Evaluación Sumativa 3

Geometría Analítica
San Cristóbal, 20 de noviembre del 2020
Estudiante: Luis Fernando Ramírez Vásquez
Carrera: Ingeniería de Sistemas
C.I: 30.032.958
Sección: T1

Sección 7.1: Sistema de Coordenadas Polares (páginas 229 – 230)

Exprese en Radianes cada uno de los siguientes ángulos:
3) 210 ° ,225 ° , 240° , 255 °
Sabiendo que cada radian ( π ) es equivalente a 180 ° podemos aplicar la regla de 3
π 210 π 30∗7 π 7 π
210 ° ∗210 ° = = =
180° 180 30∗6 6
π 225 π 15∗15 π 15 π 3∗5 π 5 π
225 ° ∗225 ° = = = = =
180° 180 15∗12 12 3∗4 4
π 240 π 20∗12 π 12 π 3∗4 π 4 π
240 ° ∗240 ° = = = = =
180° 180 20∗9 9 3∗3 3
π 255 π 15∗17 π 17 π
255 ° ∗255 ° = = =
180° 180 15∗12 12

5) Usando Coordenadas Polares identifique cada punto (r , θ) sobre la figura

7.11 considerando que r ≥ 0 y que 0<θ <2 π
Viendo la imagen, nos damos cuenta de que los puntos son:

Letra Coordenadas Polares

A
(2 ; π4 )
 B
(2 ; 34π )
C (1 ;π )
D
(2 ; 54π )
E
(1 ; 74π )

Localice los siguientes puntos dados en un sistema de coordenadas polar:

Por comodidad, se cambiará los nombres de tal forma que todos tengan un nombre
diferente, con la intención de que tenga concordancia con el graficador de Geogebra,
recordando que, en Geogebra, 2 puntos no pueden tener el mismo nombre

8) P= (−1; π ) ( 4
9)Q= 3 ; π
3 )
( 4
11) R= −3 ;− π
3 ) 13) S=( 2 ;− π )
3
2
Sección 7.2: Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares
(Páginas 236 – 237)
Encuentre las coordenadas rectangulares de los siguientes puntos dados en
coordenadas polares:

(
6) −3 ;
3π
2 ) (
7) −2 ;−
π
3 ) (
13) 5 ;
5π
4 )
Para obtener dichos puntos, se usarán las fórmulas:
x=r∗cos ⁡(θ) y y=r∗sen ⁡(θ)

( 2)
(
x P =(−3 ) cos
3π
) ( 2)
=0 y =(−3 ) sen ( ) =3
P
3π

( ( ))
x Q= (−2 ) cos
−π
3 ( ( ))
=−1 y Q =(−2 ) sen
−π
3 ( ( ))
=1.732x R =( 5 ) cos
5π
4
=−3.53 5

( )
y R= 5 sen
( ( )) 5π
4
=−3.535

Entonces, los puntos son:

Letra Coordenada Polar Coordenada Rectangular

P
(−3 ; 32π ) ( 0 , 3)
 Q
(−2 ;− π3 ) (−1 , 1.732 )

R
(5 ; 54π ) (−3.535 ,−3.535 )

Transforme las siguientes ecuaciones en las ecuaciones correspondientes en coordenadas

polares:
31)2 x+ y=3 35) x 2+ y 2=9

Ejercicio 31:

2 x+ y=32 ( r∗cos ( θ ) ) + ( r∗sen ( θ ) ) =3r (2 cos (θ ) +sen (θ ))=3

Ejercicio 35:

x + y =9√ x 2+ y2 =3r =3
2 2

Transforme las siguientes ecuaciones en las ecuaciones correspondientes en coordenadas

rectangulares
44)rcos ( θ )=4 49)r 2 cos ( 2 θ )=a2
3 1
53)r = 55)r =
3 sen ( θ ) +4 cos ( θ ) cos ( θ ) +3 sen (θ )

Ejercicio 44
r∗cos ( θ )=4 x=4

Ejercicio 49
2 2
x −y
r cos ( 2 θ )=a r ( cos ( θ )−sen (θ ) )=a r cos ( θ ) −r sen ( θ )=a x 2− y 2=a2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
=1
a

Ejercicio 53
3
r= r (3 sen ( θ ) + 4 cos ( θ ))=33 rsen ( θ )+ 4 rcos ( θ )=33 y +4 x=3
3 sen ( θ ) +4 cos ( θ )
Ejercicio 55
1
r= r (cos ( θ ) +3 sen ( θ ) )=1rcos ( θ )+3 rsen ( θ )=1 x +3 y=1
cos ( θ ) +3 sen (θ )

Sección 7.3: Gráficas de Ecuaciones en Coordenadas Polares (Página 240)

Dibuje las gráficas de las siguientes ecuaciones. En las ecuaciones que
π
incluyan sen ( θ ) y cos (θ ) será suficiente localizar puntos en intervalos de 6

4
9)r =4+ cos ( θ ) 14)r =2 sen ( θ ) 21)r =
2+ sen ( θ )
π
Los ejercicios se calcularán siguiendo la siguiente ecuación θ=n donde “n” es el número
6
de puntos que se hayan sacado, cada vez que se usa en el mismo ejercicio, n vale 1 unidad
más que en el anterior, para el comienzo de todos los ejercicios n=0
Ejercicio 9 Desarrollo

( π6 )=5r =4+ cos(1 π6 )=4.866r =4+ cos( 2 π6 )=4.5r =4 +cos (3 π6 )=4

r 1=4+ cos 0 2 3 4

r =4+ cos ( 4 )=3.5r =4+ cos ( 5 )=3.133r =4+ cos ( 6 )=3r =4+ cos ( 7 )=3.133
π π π π
5 6 7 8
6 6 6 6

r =4+ cos ( 8 )=3.5r =4+ cos ( 9 )=4r =4 +cos (10 )=4.5r =4+cos (11 )=4.866
π π π π
9 10 11 12
6 6 6 6

Por lo tanto, su tabla de valores es:

Letra r θ
A 5 π
0
6
B 4.866 π
1
6
C 4.5 π
2
6
D 4 π
3
6
E 3.5 π
4
6
F 3.133 π
5
6
G 3 π
6
6
 H 3.133 π
7
6
I 3.5 π
8
6
J 4 π
9
6
K 4.5 π
10
6
L 4.866 π
11
6

Ejercicio 14 Desarrollo

( π6 )=0r =2 sen(1 π6 )=1r =2 sen( 2 π6 )=1.732r =2 sen (3 π6 )=2

r 1=2 sen 0 2 3 4

r =2 sen ( 4 )=1.732r =2 sen ( 5 )=1

π π
5 6
6 6
La Tabla de Valores es:
Letra r θ
A 0 π
0
6
B 1 π
1
6
C 1.732 π
2
6
D 2 π
3
6
E 1.732 π
4
6
F 1 π
5
6
Ejercicio 21 Desarrollo:

4 4 4 4
r 1= =2r 2= =1.6r 3= =1.395r 4= =1.333
2+ sen 0( )
π
6
2+ sen 1 ( )
π
6
2+ sen 2
π
6 ( ) 2+ sen 3( )
π
6
4 4 4 4
r 5= =1.395r 6 = =1.6r 7 = =2r 8 = =2.666
2+ sen 4( )
π
6
2+ sen 5( )
π
6 ( )
2+ sen 6
π
6
2+ sen 7( )
π
6
4 4 4
r9 = =3.527r 10= =4r 11 = =3.527
2+ sen 8
π
6( ) 2+ sen 9
π
6( ) ( )
2+ sen 10
π
6
4
r 12= =2.666
2+sen 11 ( )
π
6

La tabla de valores es:

Letra r θ
A 2 π
0
6
B 1.6 π
1
6
C 1.395 π
2
6
D 1.333 π
3
6
E 1.395 π
4
6
F 1.6 π
5
6
G 2 π
6
6
H 2.666 π
7
6
I 3.527 π
8
6
 J 4 π
9
6
K 3.527 π
10
6
L 2.666 π
11
6

Sección 7.4: Ayuda para Graficar Ecuaciones en Coordenadas Polares

(Páginas 248-249)
Esboce la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones. Examine primero la ecuación a
fin de encontrar propiedades que sean útiles para trazar la gráfica. Cuando se presente la
constante literal “a”, asigne un valor positivo conveniente.

3)r =4 ( 1+ cos ( θ ) ) 19)r 2=16 cos ( 2θ )

Ejercicio 3:
r =4 ( 1+ cos ( θ ) )
Sabemos por su forma que es una gráfica de una ecuación de la forma r =b+a∗cos ( θ ),
como a=b, sabemos que es un cardioide

Simetría con el polo

−r =4 ( 1+ cos ( θ ) ) → r=−4 ( 1+cos ( θ ) ) → r=4 (−1−cos ( θ ) ) se altera
r =4 ( 1+ cos ( π + θ ) ) →r =4 ( 1−cos (θ ) ) se altera

No es simétrica con el polo

Simetría con el eje polar

r =4 ( 1+ cos (−θ ) ) → r=4 ( 1+cos ( θ ) ) No se altera
−r =4 ( 1+ cos ( π−θ )) → r=−4 ( 1−cos ( θ ) ) → r=4 (−1+cos (θ ) ) Se altera

Como cumple una de las 2 condiciones, sabemos que es simétrica con respecto al eje polar

π
Simetría con la recta vertical θ= 2

r =4 ( 1+ cos ( π −θ ) ) → r=4 ( 1−cos ( θ ) ) Se altera

−r =4 ( 1+ cos (−θ ) ) → r=−4 ( 1+cos (θ ) ) → r =4 (−1−cos ( θ ) ) Se altera

π
No es simétrica con la recta vertical θ=
2

Por lo tanto, su tabla de valores es:

θ cos (θ ) r
π 1 ⟶ 0.866 8 ⟶ 7.464
0→
6
π π 0.866 ⟶ 0.5 7.464 ⟶ 6
→
6 3
π π 0.5 ⟶ 0 6⟶4
→
3 2
 π 2π 0 ⟶−0.5 4 ⟶2
→
2 3
2π 5π −0.5 ⟶−0.8666 2 ⟶ 0.535
→
3 6
5π −0.866 ⟶−1 0.535 ⟶ 0
→π
6

Ejercicio 19
2
r =16 cos ( 2θ )
Por comodidad, evaluaremos la simetría con la siguiente ecuación:
r 2=16 ( cos2 ( θ )−s en2 ( θ ) )

Simetría con el polo

(−r )2 =16 ( cos 2 ( θ ) −sen 2 ( θ ) ) ⟶ r 2 =16 ( cos 2 ( θ ) −sen 2 ( θ ) ) No se altera

r 2=16 ( cos2 ( π +θ )−sen 2 ( π +θ ) ) ⟶ r 2=16 ( −cos2 ( θ ) + sen2 ( θ ) ) ⟶r 2=16 ¿ Se altera

Como cumple una de las 2 condiciones, la ecuación es simétrica con el polo

Simetría con el eje polar
r 2=16 ( cos2 (−θ ) −sen 2 (−θ ) ) → r 2=16 ¿r 2=16 ( cos2 ( θ )−sen 2 ( θ )) No se altera

(−r )2 =16 ( cos 2 ( π−θ )−sen2 ( π −θ ) ) → r 2=16 (( −cos ( θ ) ) −( sen ( θ ) ) ) →

2 2

r 2=16 ( cos2 ( θ )−sen 2 ( θ )) No se altera

Como podemos comprobar, tiene simetría con el eje polar, y como tiene simetría con el
π
polo, necesariamente tiene simetría con la recta vertical θ=
2
Teniendo en cuenta esto, su tabla de valores es:
θ cos (2 θ) r
π 1 →0.809 4 →3.597
0→
10
π π 0.809 → 0.5 3.597 → 2.828
→
10 6
π 7π 0.5 → 0.104 2.828 →1.293
→
6 30
7π π 0. 1 04 → 0 1 .293→ 0
→
30 4