Control5 Cálculo2009 (ProfEugenioRivera)

Universidad De Santiago De Chile
Cálculo B-10
Prof: Eugenio Rivera M.
Ayud: Perla Trejos M.
Control No 5
Año 2009
1. La transformación
½ de una curva en coordenadas cartesianas a coordenadas polares es mediante
x(θ) = r(θ) cos(θ)
las expresiones .
y(θ) = r(θ) sin(θ)
a) Transforme la curva de ecuación (x2 + y 2 )2 = x2 − y 2 a coordenadas polares.

b) Escriba en coordenadas cartesianas la curva de ecuación r(θ) = cos(2θ).
c) Si r(θ) = cos(2θ) analice simetrı́as y ubique en el plano XY los puntos (θ, r(θ)) para los
π π
valores θ = 0, , .
4 2
d ) Si r(θ) = cos(2θ), determine θ para los cuales la tangente a la curva es paralela al eje X.
2. Demuestre
√ que la función f (x) = a · sin(wx) + b · cos(wx) alcanza un valor máximo igual a
2 2
a +b .
3. Se suelta un globo en un punto P a 1500 mt con respecto a un observador que esta a nivel del
suelo. Si el globo se eleva verticalmente a razón de 18 mt/min ¿Con que rapidez aumenta la
distancia del observador al globo cuando éste se encuentra a 80 mt de altura?
Solución Control No5.
1. a) Transforme la curva de ecuación (x2 + y 2 )2 = x2 − y 2 a coordenadas polares.
½
x(θ) = r(θ) cos(θ)
De las expresiones . Es fácil observar que r2 (θ) = x2 + y 2 , reem-
y(θ) = r(θ) sin(θ)
plazando en la ecuación de la curva
¡ 2 ¢2
(x2 + y 2 )2 = x2 − y 2 ⇒ r (θ) = r2 (θ) cos2 (θ) − r2 (θ) sin2 (θ)
Entonces
r4 (θ) = r2 (θ)[cos2 (θ) − sin2 (θ)] ⇒ r2 (θ) = cos2 (θ) − sin2 (θ)
Finalmente p
r2 (θ) = cos(2θ) ⇒ r(θ) = cos(2θ)
b) Escriba en coordenadas cartesianas la curva de ecuación r(θ) = cos(2θ).
³ x ´ 2 ³ y ´ 2 x2 − y 2
2 2
r(θ) = cos (θ) − sin (θ) ⇒ r = − = 2
⇒ r 3 = x2 − y 2
pr r r
De la expresión x2 + y 2 = r2 ⇒ r = x2 + y 2 , reemplazando tenemos:
¡p ¢3
x2 + y 2 = x2 − y 2
por lo tanto la ecuación cartesiana corresponde a:

3
(x2 + y 2 ) 2 = x2 − y 2
c) Si r(θ) = cos(2θ) analice simetrı́as y ubique en el plano XY los puntos (θ, r(θ)) para los
π π
valores θ = 0, , .
4 2
r(−θ) = cos(−2θ) = cos(2θ) = r(θ), por lo tanto es simétrica con respecto al eje X.
r(π − θ) = cos(−2θ) = cos(2π − 2θ) = r(θ) = cos(2θ) = r(θ), por lo tanto es simétrica
con respecto al eje Y .
Los puntos (θ, r(θ)) se obtienen de la siguiente forma:
r(0) = cos(0) = 1 ⇒ (0, 1)
³π ´ ³π ´ ³π ´
r = cos =0 ⇒ ,0
4 2 4
³π ´ ³π ´
r = cos (π) = −1 ⇒ , −1
2 2
.
d ) Si r(θ) = cos(2θ), determine θ para los cuales la tangente a la curva es paralela al eje X.
Analizando la primera derivada:
dy
dy y 0 (θ) r(θ) cos(θ) + r0 (θ) sin(θ) dr
= dθ = 0 = 0 . Donde = −2 sin(2θ)
dx dx x (θ) r (θ) cos(θ) − r(θ) sin(θ) dθ
dθ
Reemplazando tenemos:
dy cos(2θ) cos(θ) + (−2 sin(2θ)) sin(θ) cos(2θ) cos(θ) − 2 sin(2θ) sin(θ)
= =
dx (−2 sin(2θ)) cos(θ) − cos(2θ) sin(θ) −2 sin(2θ) cos(θ) − cos(2θ) sin(θ)
dy
Entonces = 0 ⇔ cos(2θ) cos(θ) − 2 sin(2θ) sin(θ) = 0, trabajando esta ecuación y
dx
reduciendo términos se obtiene:
cos(θ)[1 − 6 sin2 (θ)] = 0, luego se tiene:

 π 3π

 cos(θ) = 0 ⇒ θ = , .

 2 2  µ ¶

  1

 
 θ = arcsin √
 


 6µ ¶
 2 1 1

 1 − 6 sin (θ) = 0 ⇒ sin(θ) = ± √ ⇒ θ = π ± arcsin √

 6 
 µ 6 ¶

 


 
 1
  θ = 2π − arcsin √
6
El gráfico de r(θ) es:
1
0,5
-1 -0,5 0 0,5 1
0
-0,5
-1
Figura 1: Gráfica de r(θ) = cos(2θ)

2. Demuestre
√ que la función f (x) = a · sin(wx) + b · cos(wx) alcanza un valor máximo igual a
2 2
a +b .
Derivando e igualando a cero f 0 (x) = aw cos(wx) − bw sin(wx) = 0, entonces
a
a cos(wx) = b sin(wx) ⇒ tan(wx) =
b
Podemos asociar el triángulo rectángulo

©
√ ©©
a2 + b2 © a
© sin(wx) = √
©© a2 + b2
© ©© a
© ©© cos(wx) = √
b
©© C wx a2 + b2
b
Observación: En esta parte no es necesario despejar x, ya que, las condiciones encontradas son
equivalentes.
Cálculo de f 00 (x) = −aw2 sin(wx)−bw2 cos(wx), entonces, por lo descrito anteriormente evaluar
en el punto critico es equivalente a reemplazar los valores de sin(wx) y cos(wx)
a b (a2 + b2 )w2
f 00 (xcrit ) = −aw2 · √ − bw2 · √ = − √ < 0, por lo tanto existe un
a 2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
máximo para f (x) que es:
a b
f (xcritico ) = a · √ +b· √
a 2 + b2 a2 + b2
a2 b2 √
f (xcritico ) = √ +√ = a2 + b2
a2 + b2 a2 + b2
3. Se suelta un globo en un punto a 1500 mt con respecto a un observador que esta a nivel del
suelo. Si el globo se eleva verticalmente a razón de 18 mt/min ¿Con que rapidez aumenta la
distancia del observador al globo cuando este se encuentra a 80 mt de altura?
Figura 2: Diagrama del problema
dD dy mt
Se pide =?, datos = 18 y y = 80 mt.
dt dt min
Por la geometrı́a del problema, se tiene la relación y 2 + 15002 = D2 , al derivar se logra:
dy dD dD y dy
2y = 2D ⇒ = · , reemplazando los datos, finalmente se tiene:
dt dt dt D dt
dD 80 mt mt mt
= √ · 18 = 0,96
dt 20 5641 mt min min

Control5 Cálculo2009 (ProfEugenioRivera)

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Control5 Cálculo2009 (ProfEugenioRivera)

Cargado por

Información del documento

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Control5 Cálculo2009 (ProfEugenioRivera)

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Universidad De Santiago De Chile

a) Transforme la curva de ecuación (x2 + y 2 )2 = x2 − y 2 a coordenadas polares.

por lo tanto la ecuación cartesiana corresponde a:

Los puntos (θ, r(θ)) se obtienen de la siguiente forma:

r(0) = cos(0) = 1 ⇒ (0, 1)

Figura 1: Gráfica de r(θ) = cos(2θ)

Podemos asociar el triángulo rectángulo

Figura 2: Diagrama del problema

También podría gustarte