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Semana 5
Semana 5
Semana 5
Funciones trigonométricas
“Si quieres encontrar los secretos del universo, piensa en términos de energía, frecuencia y
vibración”
- Nikola Tesla, 1856 - 1943
El término “trigonometría” se refiere al estudio de los triángulos, pero las funciones
trigonométricas se usan actualmente en ciencia e ingeniería para muchas más cosas que la
trigonometría. En realidad, las funciones trigonométricas son los modelos básicos para los
fenómenos periódicos, oscilatorios y ondulatorios. Por esta razón, la definición de las funciones sen
y cos que presentamos a continuación no se hace en términos de los componentes de los triángulos
rectángulos sino sobre el círculo unitario. Más aún, la variable independiente de las funciones sen y
cos no necesariamente es un ángulo formado por dos rectas, sino un número real asociado a una
distancia que se mide de manera periódica en radianes sobre un círculo unitario.
t 5.36584
π
3π 2 π
4 4
5π
4 3π
2
7π 3π 5π 3π π π π π 3π 5π 3π 7π
-2 π - - - -π - - - π 2π
4 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4
-1
-2
-3
grande reset
Las funciones sen y cos son periódicas con periodo 2 π y están íntimamente relacionadas, no
solamente por la identidad pitagórica
sino que, de hecho tienen exactamente la misma forma: la gráfica de sen se obtiene simplemente
desplazando π/2 unidades hacía la derecha la gráfica de cos. Es decir,
sen(t) = cos(t - π / 2), cos(t) = sen(t + π / 2), t ∈ (2)
Los valores de t que no pertenecen a Dom(tan) son los múltiplos impares de π / 2, que son aquellos
Semana 5.nb 3
donde cos es igual a cero. La función tan tiene asíntotas verticales en esos valores.
Hay además otras funciones trigonométricas asociadas a sen y cos, que son la cosecante, la secante
y la cotagente
1 1 1
csc(t) = , sec(t) = , cot(t) = (4)
sen(t) cos(t) tan(t)
Para repasar los conceptos básicos de trigonometría, pueden usar el libro guía
a. 1 b. 6 ° c. 3 π d. 0.12 e. 5π
f. 40 ° g. "un cuarto de vuelta"
2 6
5.2. Medellín y Lagos (la capital de Nigeria) están aproximadamente a la misma latitud
pero a una distancia de 9127 km. Calcule la diferencia entre la longitud de las dos
ciudades.
f. tan- π = cot 7 π
4 4
g. Dom(cot) = Dom(csc)
5.4. Para la cercha de la siguiente figura, halle las longitudes de los segmentos PQ, QS
y RS, y la medida del ángulo a
4 Semana 5.nb
Q 10 m
a
P S
8m 8m 8m 8m
1
0.8
π/3 1.5
π/4
1
permiten obtener una gran variedad de señales periódicas. Como se ilustra a continuación, cada uno
de los parámetros altera a la función original de una forma particular.
Semana 5.nb 5
A 2.176
b -0.164
ω 3.21187
ϕ 0.446022
A sen[ω(t-ϕ )]+ b
4
2 π /ω
2
A
ϕb
1 2 3 4
-2
-4
Ejercicio.
5.6. Suponga que la altura de la marea en metros, como función del tiempo en horas, se
comporta como en la siguiente gráfica
6 Semana 5.nb
M
10
t
3 6 9 12 15 18 21 24
2π
a. A = 8, ω = , ϕ = 6, b = 0 b. A = 2, ω = 1 , ϕ = 0, b = 3
12 4
12 2π
c. A = 8, ω = , ϕ = 6, b = 0 d. A = 4, ω = , ϕ = 0, b = 6
2π 12
Ejemplos
La naturaleza cíclica del universo ha cautivado a la humanidad desde siempre. Los astros, y hasta
la vida misma, parecen transcurrir en ciclos. Uno de los primeros problemas que se resolvió con el
cálculo fue el de los movimientos cíclicos de los planetas al rededor del sol y, desde entonces, no
hemos parado: hemos logrado entender y modelar los fenómenos ondulatorios hasta el punto de
controlar la luz y el sonido.
En matemáticas, al estudio de las funciones periódicas se le llama "análisis armónico". La palabra
armónico se refiere a la combinación de sonidos simultáneos y diferentes, pero acordes, como
cuando unos instrumentos tocan juntos “en armonía” para producir buena música. Las funciones
trigonométricas son los instrumentos de los matemáticos para crear armonía. A continuación,
veremos diversos ejemplos de sistemas físicos cuya dinámica se puede describir en términos de
funciones trigonométricas. En cada caso, lo más importante es entender el significado de la
frecuencia y amplitud, y cómo estas dependen de los parámetros de cada modelo.
Ejemplo 5.1. El péndulo simple es una masa colgada de una cuerda que oscila al
rededor de su posición vertical de equilibrio. Galileo fue el primero en descubrir que ni
el periodo ni la amplitud de oscilación de un péndulo dependen de la masa, y propuso
que los péndulos se podrían usar como relojes. Una vez planteada la segunda ley de
Newton se llegó al siguiente modelo matemático para la oscilación de un péndulo en
ausencia de resistencia del aire o cualquier otra pérdida de energía:
Semana 5.nb 7
θ(t) = θ0 cos g / l t .
θ0
θ(t)
1.0
θ(t)
0.5
t
2 4 6 8 10
- 0.5
- 1.0
En este caso la variable periódica es θ(t), el ángulo que forma la cuerda con la vertical
(positivo en en sentido antihorario). Los parámetros son la longitud l desde el eje hasta
el centro de masa del objeto colgante, la aceleración g de la gravedad, y el ángulo
inicial θ0 . Este modelo funciona para valores pequeños de θ0 , de hecho, si θ0 ≥ π no
2
hay una fórmula explícita para θ(t).
Según la ecuación (5) escrita en términos del cos, la frecuencia angular de oscilación ω
es el coeficiente de t dentro del cos, y el periodo T es igual a 2 π / ω. Es decir,
g l
ω= , T =2π
l g
Ejercicio.
5.7. ¿Cuál debe ser la longitud l de un péndulo si quiero que tarde exactamente un
segundo en llegar de un extremo al otro?.
Ejemplo 5.2. Resorte simple. La base de la teoría elástica de los sólidos, la que se usa
8 Semana 5.nb
para diseñar y construir tenis, edificios y aviones, es la ley de Hooke. La versión origi-
nal de esta ley fue planteada para una masa colgando de un resorte, y dice que la fuerza
que hace el resorte ante una deformación, es proporcional a la deformación. Despre-
ciando cualquier tipo de pérdida de energía y usando la segunda ley de Newton (esto lo
vamos a hacer en detalle más adelante), obtenemos que la distancia y del objeto
respecto a su posición de equilibrio, medida positiva hacía abajo, es una función per-
iódica del tiempo t dada por
k
y(t) = A cos t
m
m 1 m 1 m
a. T =2π b. T= c. T =
k 2π k 2A k
k
T =2A
m
x (t )
t
5 10 15 20
-1
-2
Ejemplo 5.3. Un circuito LC. Las leyes de Kirchoff constituyen los modelos matemáti-
cos básicos en eléctrica y electrónica. En general, son ecuaciones diferenciales que
relacionan la corriente y el voltaje en un circuito eléctrico. Un circuito LC es un bucle
cerrado con dos elementos: una bobina con inductancia L (en unidades de Henrys) y un
capacitor con capacitancia C (unidades de Faradays). Si no hay resistencia ni pérdidas
de energía, la corriente simplemente oscila entre los dos tipos de almacenamiento:
como un campo magnético en la bobina, y como un campo eléctrico en el capacitor.
Las variables oscilatorias en este caso son la corriente i (en unidades de Amperios) y el
voltaje V (en unidades de Voltios) y están dadas por
1 1 1
i(t) = i0 cos t , V (t ) = - L i0 sen t
LC LC LC
L × 10 -2 H
c × 10 -6 F
I 0 × 10 -2 A
i
1.5
1.0
0.5
t
- 0.5 10 20 30 40 50
- 1.0
- 1.5
1 1 LC
a. f = b. f = 2 π LC c. f = d. f =
LC 2π LC 2π
N
d d (t )
0.4
0.2
0.0
- 0.2
- 0.4
Jan Apr Jul Oct Jan
Si tomamos un punto sobre el ecuador, el ángulo que forman los rayos del sol con la
línea que une el punto y el centro de la tierra, se llama la declinación. Es el mismo
ángulo que forma el eje de rotación de la tierra con una línea perpendicular a los rayos
del sol. La declinación d (t), en grados, como función del tiempo en días, a partir del 1o
de Enero es
t+10
d(t) = - 23.45∘ cos2 π
365
Ejercicio.
5.11. Para la función d del Ejemplo 5.4, halle su fase respecto a la función coseno.
5.12. Halle el día en el cual ocurre el equinoccio de marzo de este año. Es decir, el día en
Marzo en el cual el eje de rotación de la tierra es perpendicular a los rayos del sol.
12 Semana 5.nb
4
Formas de combinar funciones
En este capítulo veremos herramientas y reglas para obtener nuevas funciones a partir de otras. Si
las familias de funciones que vimos en la sección anterior son los ladrillos, ahora aprenderemos a
pegar esos ladrillos para construir edificios, que en nuestro caso serán modelos matemáticos que se
ajustan a situaciones más complejas o realistas.
El dominio de la función es Dom( f ) = [- 1, ∞) pero su fórmula tiene tres tramos, y la expresión que
se evalúa de f (x) depende del intervalo al que pertenezca x. Noten que el valor x = 0 está incluido
en dos tramos, lo cual no es problema porque la expresión en ambos tramos para x = 0 resulta en
f (0) = 1.
La gráfica de f se muestra en la siguiente figura
Semana 5.nb 13
2.0
1.5
1.0
0.5
x
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-0.5
-1.0
Otra función muy importante que se puede definir por tramos es el valor absoluto, denotado por
x.
5
4
- x, x ≤ 0 3
x = , 2
x, x≥0
1
-4 -2 2 4
Ejemplo 1.5. Movimiento por tramos. Supongamos que debemos modelar la sigu-
iente situación: un objeto sube durante 1 minuto a una velocidad constante de 2 m/s, se
detiene, se deja caer instantáneamente, y al llegar al piso, ahí queda.
2 t, 0 ≤ t ≤ 60
1
y(t ) = 120 - g (t - 60)2 60 ≤ t ≤ 60 + 4 15 / g
2
0, t ≥ 60 + 4 15 / g
Ejercicios
14 Semana 5.nb
1.13. Respecto al Ejemplo 1.5, ¿es y una función continua en [0, ∞)?.
2.0
1.5
1.0
0.5
x
-3 -2 -1 1 2 3
- 0.5
- 1.0
x+3 x ≤ -1
- x + 1 +2 x≤0
2x -1 < x ≤ 0
a. b. cos(2 π x) 0≤x≤2
sen(2 π x) 0≤x≤2
4 x2 - 20 x + 24 2 < x
4 x2 - 20 x + 24 2<x
x+3 x ≤ -1 x+3 x ≤ -1
0.5x -1 < x ≤ 0 0.5x -1 < x ≤ 0
c. d.
cos( x) 0≤x≤2 cos(2 π x) 0≤x≤2
x2 - 20 x + 24 2<x 4 x2 - 20 x + 24 2<x
Ejemplo 1.6. Las expresiones con valor absoluto siempre se pueden convertir a fun-
ciones por tramos, simplemente usando la definición de valor absoluto. Consideremos
la siguiente función
f (x) = 4 + 5 x(x - 2)
por tanto
4 + 5 x(x - 2), x ≤ 0
f ( x) = 4 - 5 x(x - 2), 0 ≤ x ≤ 2,
4 + 5 x(x - 2), x ≥ 2.
Ejercicio.
g ( x) = x - 3 x2 + x - 2 .
- x - 3 ( x - 1) ( x + 2) x ≤ -2 ( x - 3) ( x - 1) ( x + 2) x ≤ -2
a. x + 3 (x - 1) (x + 2) - 2 < x < 1 b. -( x - 3) ( x - 1) ( x + 2) - 2 ≤ x ≤ 1
- x - 3 ( x - 1) ( x + 2) x≥1 ( x - 3 ) ( x - 1) ( x + 2) x≥1
x + 3 (x - 1) (x + 2) x ≤ -2 x - 3 (x - 1) (x + 2) x ≤ - 1
c. x - 3 (x - 1) (x + 2) -2 < x < 1 d. x + 3 (x - 1) (x + 2) - 1 ≤ x ≤ 2
x + 3 (x - 1) (x + 2) x≥1 x - 3 (x - 1) (x + 2) x ≥ 2
e. Ninguna de las anteriores
Hay una función C = f (A) que relaciona el costo C en pesos a pagar por la compra de A
kg de arroz. Para compras menores a 5 kg, tenemos que C = 3100 A. Típicamente, una
oferta promocionada así implica que si compramos 6 kg, ese kilo adicional lo venden
10% más barato. Es decir, pagamos los 5kg completos, y el kilo adicional lo venden a
0.9 × 3100 = 2790$/kg. Escribimos entonces:
3100 A, 0≤A≤5
C ( A) =
15 500 + 2790 (A - 5), 5 ≤ A
Ejercicio.
16 Semana 5.nb
1.16. Respecto al Ejemplo 1.7, suponga además que si compra mas de 10 kg, le toca
pagar un transporte que le cobra 500$ adicionales por cada uno de esos
kilogramos. ¿Cúanto vale entonces comprar 15kg de arroz?.
I (t ), 0 ≤ t ≤ 30 I0 r t , 0 ≤ t ≤ 30
Ic ( t ) = r t 30 =
I (30) 2 ( - )
, t > 30 I0 30 r+0.5 r(t-30) , t > 30
La siguiente figura compara a I con Ic hasta los primeros 60 días, y nos da una idea de
la efectividad y de la importancia del aislamiento preventivo
100 000
80 000
60 000 I(t)
40 000 Ic (t)
20 000
t
10 20 30 40 50 60
Ejercicio.
1.17. Respecto al Ejemplo 1.8, halle la tasa de infección r2 que debe tener el modelo Ic (t)
si el gobierno quiere que el país tarde 100 días en llegar a 100 000 casos.
Con cada una de las operaciones algebraicas entre números reales se pueden definir nuevas
funciones, simplemente evaluando las funciones y después operando:
f f ( x) f
◼ ( x) = , Dom = {x ∈ Dom( f ) ⋂ Dom(g) : g(x) ≠ 0},
g g(x) g
Ejercicio.
2.18. La primera de las siguientes figuras muestra las gráficas de las funciones f y g.
Identifique cuál curva de la segunda figura corresponde a cada una de las
siguientes funciones: f + g, f × g, f / g, f g
f (x) g(x)
-3 -2 -1 1 2 3
-1
18 Semana 5.nb
a b c d
6
4
2
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-4
Ejemplo 2.9. Tasa de mortandad del Covid19 en Colombia. A partir de los datos
publicados por el INS, podemos calcular el total de casos C(t) de Covid19, y el total de
muertes M (t) hasta el día t de la pandemia en Colombia. La función cociente
m(t) = M (t) / C(t) es la fracción de personas infectadas con Covid19 que han muerto
debido a la enfermedad, es decir, la tasa de mortandad asociada al virus. La siguiente
figura muestra a m desde Marzo 6, 2020 hasta Marzo 20 del 2021.
Tasa de mortandad
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
Apr Jul Oct Jan
Supongamos que amortiguamos el resorte del Ejemplo 5.2 con un líquido de manera
que opone una fuerza igual a β veces la velocidad del objeto para algún β > 0. Si el
Semana 5.nb 19
β
- t k β 2
y(t ) = A 2m sen - t
m 2m
Ejercicios.
2.19. Considere el modelo para un resorte amortiguado del Ejemplo 2.10 con m = 1 kg,
k = 3 N/m y A = 0.25m. Calcule las siguientes cantidades.
Definición 2.3.
f ( x ) = c1 f1 ( x ) + c2 f2 ( x ) + ⋯ + cn fn ( x )
Las funciones hiperbólicas, por ejemplo, se definen como las siguientes combinaciones lineales
de las funciones x y -x :
1 1 1 1
sinh(x) = x - -x , cosh( x) = x + - x (2)
2 2 2 2
p(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ⋯ + cn xn (3)
donde al número n se le llama el “grado” del polinomio. Los polinomios se usan de muchos modos
en ciencia e ingeniería. Hemos visto, por ejemplo, que dados n puntos no co-lineales en el plano,
siempre es posible hallar un “polinomio interpolador” de grado n - 1, es decir, un polinomio que
pase exactamente por cada uno de los puntos.
El estudio de los polinomios ha jugado un papel central de la matemática desde sus comienzos. En
“Los nueve capítulos sobre arte matemático” escrito en China entre los II y I a.C., se planteaban y
resolvían ecuaciones que involucran polinomios. Actualmente, el estudio de los polinomios y de
todas sus posibles generalizaciones es tema del “álgebra abstracta”, una de las grandes áreas de la
matemática. Dos problemas son de especial interés respecto a los polinomios; la factorización y el
cálculo de raíces. Respecto a ellos, repasamos a continuación el teorema más relevante. Recuerden
que un número real r es “raíz” del polinomio p si p(r) = 0, y denota el conjunto de los números
complejos con = -1 .
p(x) = cn (x - r1 ) (x - r2 ) ⋯(x - rn ) .
Ejercicios.
-b+ b2 -4 a c -b- b2 -4 a c
a x2 + b x + c = a x - x-
2a 2a
Ejemplo 2.11. Sumas de Taylor y sumas de Fourier. Una de las razones por las
cuales las funciones potencia y trigonométricas son tan importantes en el cálculo con-
temporáneo es que sus combinaciones lineales permiten aproximar básicamente
cualquier otra función. Es decir, dada una función f suficientemente “suave” en un
intervalo I de longitud L, podemos encontrar un polinomio y una combinación lineal de
senos y cosenos tales que
f (x) ≈ ∑kn=0 ck xk ,
πk
f (x) ≈ ∑m
k=0 ak sen x + bk cos π k x
L L
20
15
10
Las sumas de Fourier son fundamentales para las telecomunicaciones porque nos
permiten aproximar cualquier señal mediante combinaciones de ondas.
Actividades
m
1
A este tipo de ecuaciones se les conoce como ecuaciones paramétricas. Nos interesa
cómo estas ecuaciones describen la posición del punto con coordenadas (x(t), y(t))
sobre el plano cartesiano.
Semana 5.nb 25
1.0
0.5
-0.5
-1.0
◼ (20%) Grafique sobre el mismo eje cartesiano puntos con coordenadas ( x(t), y(t))
para muchos valores de t ≥ 0. Describa lo que observa.
◼ (15%) ¿Cada cuánto vuelve ( x(t), y(t)) al punto de partida? Relacione esto con ω
Consulte sobre los polinomios de Lagrange: cómo se definen y para qué sirven. Halle
y grafique el polinomio de Lagrange correspondiente a la siguiente tabla de
coordenadas (x, y).
Rúbrica. Escribe las definiciones y explicaciones de una manera correcta y tal que sea
evidente que entiende lo que está escribiendo (40%). Explica cómo encontró el
polinomio correspondiente a los datos dados (30%). Demuestra gráficamente que el
polinomio obtenido pasa por los puntos dados (30%).
2π 2π
f (t) = sen t , g(t) = sen t
T1 T2
Rúbrica. Hace las gráficas correspondientes a cada caso (30%). Calcula correctamente
los periódos (20%). Deduce la fórmula correcta para el periódo de la suma en general
(40%). Argumenta para la resta (10%).
D(1) = (1 + r) D0 - c
D(2) = (1 + r) D(1) - c = (1 + r)2 D0 - (1 + r) c - c
D(3) = (1 + r) D(2) - c = (1 + r)3 D0 - (1 + r)2 c - (1 + r) c - c
La expresión para D(t) juega un papel muy importante en la vida diaria de muchas
personas y se puede ver como una resta de funciones D(t) = I (t) - C(t), donde I es el
crecimiento como si no se pagaran cuotas, y C el total del abono de cuotas
“depreciado” por la tasa de interés:
◼ (30%) Considere el caso de una deuda de 1 millón de pesos a una tasa de interés
anual r = 0.05 pagando una cuota de 80 mil pesos. Haga en un mismo plano
cartesiano las gráficas de las funciones D, I y C. ¿Qué observa? ¿Cuándo termina
de pagar la deuda? ¿Cuánto pagó en total? Repita suponiendo que se paga una
cuota de 30 mil pesos
3 196-x2
x≥6
B( x ) = 7
1
- 6 10 - x2 + 4 x + 12 - 7 x + 24 10 + 42 2 ≤ x < 6
14
x
x 1 x2 x 4-
M ( x) = 1 - 2 - - 12 - 3 33 - 7 x2 + 3 1- + -3 2 + x +8
x
2 448 196 4 4- x+8
2
3 196-x2
-
7
4
B
2
M
-10 -5 5 10
B2
-2
M2
-4
-6
◼ (30%) Use la definición de valor absoluto par escribir la función M como una
función por tramos, y la correspondiente fórmula por tramos para M2
◼ (40%) Diseñe una función por tramos para - 2 ≤ x ≤ 2, que contenga al menos una
curva y que complete la cabeza del logo. Grafique la función resultante.
Use las definiciones de senh y cosh en (2) para demostrar las siguientes propiedades.
Compare cada una con la correspondiente propiedad del sen y cos.
◼ cosh2 ( x) - senh2 ( x) = 1
◼ sech2 ( x) = 1 - tanh2 ( x), donde naturalmente tanh = sinh / cosh y sech = 1 / cosh.
Semana 5.nb 29
x cosh(x)+1
◼ cosh =
2 2
Rúbrica. Describe las funciones senh y cosh de manera completa y correcta (40%).
Razona correctamente y explica los pasos para en cada demostración (60%).
Actividad 8. Suponga que usted patea un balón que se encuentra en el punto con
coordenadas x = y = 0, y reposando sobre una subida empinada de pendiente m > 0.
α
x
1
x(t) = v cos(α) t, y(t) = v sen(α) t - g t2 , t ≥ 0.
2
◼ (20%) Demuestre que la trayectoria del balón sigue la parábola dada por la
siguiente expresión (verificando además consistencia en las unidades)
1 g x2
y(x) = x tan(α) -
2 v2 cos2 (α)
Im
z = a + b = r θ
b
2
2 +b
a a sen(θ )
r=
θ
Re
a cos(θ ) a
◼ (10%) Calcule la magnitud y el argumento para los siguientes números: 1, -2, 2+2
◼ (20%) Ahora demuestre lo que para muchas personas es la fórmula más bella de
toda la matemática:
π + 1 = 0.
4 θ = 0, 4 θ = 2 π, 4 θ = 3 π, 4 θ = 4 π
◼ (15%) Halle los valores de θ que satisfacen cada ecuación y ubique en el plano
complejo los correspondientes números complejos z = θ . Esas son las “raíces
cuartas de uno en ”.