Apuntes de Relaciones PDF
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1. Relaciones
Definición 1.1. Sean A un conjunto en un universo U1 y B un conjunto en un universo
U2 . Una relación R de A en B es un subconjunto de A × B, es decir R ⊆ A × B. Si
(a, b) ∈ R, escribimos aRb y decimos que a esta relacionado con b. Si A = B, decimos
simplemente que R es una relación en A.
i) al dominio de R como
DR = {a ∈ A|∃b ∈ B, aRb}
IR = {b ∈ B|∃a ∈ A, aRb}.
Ejemplo 1.5. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d, e, f, g}, C = {α, β, γ, δ, }. Y sean
R = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, a), (3, d), (3, e), (3, g), (4, c)}
y
S = {(a, α), (c, δ), (c, ), (d, δ), (e, δ), (g, ), (f, β)}.
Entonces
1
2 FUNCIONES 2
tenemos que
R−1 = {(a, 1), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (c, 4), (d, 3), (e, 3), (g, 3)};
tenemos que
S −1 = {(α, a), (β, f ), (δ, c), (δ, d), (δ, e), (, c), (, g)};
tenemos que
S ◦ R = {(1, α), (3, α), (3, δ), (3, ), (4, δ), (4, )}.
2. Funciones
Definición 2.1. Sea f una relación de A en B tal que
ii) si af b1 y af b2 , entonces b1 = b2 .
Otra forma de definir una función es mediante una sola condición dada por; para toda
a ∈ A existe una única b ∈ B tal que af b.
f :A → B
a → f (a)
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2 FUNCIONES 3
Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d}, f = {(1, b), (2, a), (3, a), (4, c), (5, b)}, luego
f :A → B
1 → b
2 → a
3 → a
4 → c
5 → b
f :R → R
x → x2
g : Z × Z \ {0} → Q
(a, b) → ab
es una función.
Observación 2.5. Sean
f :A → B
a → f (a)
y
g:B → C
b → g(b).
Entonces
g◦f :A → C
a → g(f (a))
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3 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES 4
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3 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES 5
i) R1 = R
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