Apuntes Moderna II

1 DEFINICIONES BÁSICAS 1
Álgebra Moderna II
Anillos.
César Alberto Escobar Gracia
1 Definiciones básicas
Definición 1.1 Un anillo asociativo R es un conjunto no vacı́o con dos opera-
ciones +, · que satisfacen
i). (R, +) es un grupo abeliano
ii). · es asociativa
iii). · distribuye respecto a la suma +.
Si además existe 1 ∈ R tal que 1 · r = r · 1 = r para cada r ∈ R, diremos que R
es un anillo con identidad. Más aún, si r · x = x · r para cada x, r ∈ R, diremos
que R es conmutativo.
Definición 1.2 Si R es un anillo conmutativo, a ∈ R − {0} se dice divisor de

cero si existe b ∈ R − {0} tal que ab = 0
Definición 1.3 Un anillo en el cual no hay divisores de cero y es conmutativo

se llama dominio entero.
Definición 1.4 Un anillo de división R, es un anillo con unidad en el cual

cada elemento a distinto del cero existe un elemento b tal que ab=ba=1, a este
elemento se le llama inverso multiplicativo.
Observación 1.5 Se puede probar que el inverso multiplicativo es único y por

esto se denota como a−1 .
Definición 1.6 Un campo K es un dominio entero tal que (K −{0}, ·) es grupo.
Ejemplo 1.7 1. El conjunto de las matrices cuadradas con entradas en R

junto con la suma y producto usual de matrices es un anillo no conmutativo
con identidad.
2. Sea n ≥ 1 un entero.
Z/nZ = Conjunto de clases de equivalencia módulo n
y considere las operaciones usuales de suma de clases, es decir: a + b =

a + b, a · b = ab. Con estas operaciones Z/nZ es un anillo conmutativo
con identidad.
En adelante consideraremos anillos con identidad a menos que se especifique lo

contrario.
César Alberto Escobar Gracia Álgebra Moderna I

1 DEFINICIONES BÁSICAS 2
Proposition 1.8 Z/nZ es dominio entero si y sólo si n es primo.

Demostración: ⇐=) ab = 0 ⇒ p \ ab ⇒ p \ a o p \ b ⇒ a = 0 o b = 0. Por
lo tanto no existen divisores de cero y Z/nZ es dominio entero.
=⇒) Procedamos por reducción al absurdo, y suponga que n 6= p para
cualquier p primo. entonces n = pq con 1 < p, q < n, por lo tanto 0 = n = pq =
p q y como 1 < p, q < n entonces n 6 \p y n 6 \q, ası́ que p 6= 0 y q 6= 0 lo cual es
una contradicción pues supusimos que no habı́a divisores de cero.
Proposition 1.9 Z/pZ es un campo para p primo.
Demostración: Por la proposición anterior sólo resta ver que (Z/pZ)∗ =

Z/pZ − {0} es un grupo. Para lo cual es suficiente ver que esisten los inversos.
Sea a ∈ (Z/pZ)∗ , entoncs p 6 \a, por lo que (a, p) = 1 y por lo tanto existen
enteros x, y tales que 1 = ax + py de donde 1 = ax es decir a tiene inverso en
(Z/pZ)∗ .
Ejercicio 1.10 Demostrar que en un anillo conmutativo el teorema del binomio

de Newton se satisface
Ejercicio 1.11 Sea D un dominio entero finito, entonces D es un campo
Teorema 1.12 Sea R un anillo, entonces

a). a · 0 = 0 · a = 0 ∀a ∈ R
b). a(−b) = (−a)b = −ab ∀ a, b ∈ R
c). (−a)(−b) = ab ∀ a, b ∈ R
d). (−1)a = −a ∀ a ∈ R si R tiene identidad
e). (−1)(−1) = 1 si R tiene identidad.
Demostración:
a) a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0. Ahora usando el inverso aditivo de a · 0 se
tiene que 0 = a·0+(−(a·0)) = (a·0+a·0)+(−(a·0)) = a·0+[a·0+(−(a·0))] =
a · 0 + 0 = a · 0. Análogamente se verifica que 0 · a = 0 de donde se obtiene la
conclusión.
b) ab + (a(−b)) = a(b + (−b)) = a · 0 = 0 y por la unicidad de los inversos
a(−b) = −ab. Análogamente se tiene que (−a)b = −ab.
c)Por el inciso anterior (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−ab), ahora −ab + ab =
ab − ab = 0 por lo que −(−ab) = ab de donde (−a)(−b) = ab.
d) Tomando en (b) b = 1 se tiene −a = (−a) · 1 = −(a · 1) = −a
e)Tomando en (c) a = b = 1 se tiene (−1)(−1) = 1 · 1 = 1

2 ANILLOS Y HOMOMORFISMOS DE ANILLOS 3
2 Anillos y Homomorfismos de anillos

Definición 2.1 Sean R y R0 anillos, f : R −→ R0 una función. f se dice
homomorfismo de anillos (o simplemente homomorfismo si no hay peligro de
confusión) si:
i). f (a + b) = f (a) + f (b) ∀ a, b ∈ R
ii). f (ab) = f (a)f (b) ∀ a, b ∈ R
Observe que la definición anterior no da lugar a que f (1) = 10 (1 ∈ R, 10 ∈

R0 ). Sin embargo bajo condiciones adicionales se tiene este resultado, de hecho
tenemos los siguiente:
1. Si f no es idénticamente cero y R0 es un dominio entero f (1) = 10
En efecto, se tiene que 10 f (1) = f (1) = f (1 · 1) = f (1)f (1) por lo que
f (1)(f (1)−10 ) = 0 y como si f no es idénticamente cero, entonces f (1) 6= 0.
Ahora como R0 es dominio entero se concluye que f (1) = 10 .
2. Si f es suprayectiva entonces f (1) = 10 .
En efecto, si f es suprayectiva, existe a ∈ R tal que f (a) = 10 , por lo que
y por lo tanto 10 = f (a) = f (1a) = f (1)f (a) = f (1)10 = f (1).
Definición 2.2 Sea f un homomorfismo de r en R0 , el kernel de f denotado

por Ker f y la imagen de f denotada por Im f son los conjuntos
Ker f = {r ∈ R | f (r) = 0} e Im f = {f (r) ∈ R0 | r ∈ R}
Definición 2.3 Sea R un anillo, I un subconjunto de R, I se llama ideal si

i). (I, +) es subgrupo de (R, +)
ii). rx, xr ∈ I ∀ r ∈ R, ∀x ∈ I
Ejemplo 2.4
1. Si f : R −→ R0 es homomorfismo, Kerf es un ideal de R.
2. Si R = Z los ideales de R son de la forma nZ, con n ∈ N.
3. Si R es un anillo e {Iλ }λ∈A es una familia de ideales de R, entonces
I = ∩λ∈A Iλ también es un ideal.
4. Si R un anillo y S es un subconjunto de R, la intersección de los ideales
que contienen a S es no vacı́a siempre y es un ideal de R llamado el ideal
generado por S que denotaremos por (S).
5. En particular, si en el ejemplo anterior S = {a} consta de un sólo ele-
mento el ideal generado por S se denotará por (a) y se dirá que es un ideal
principal.

Ejercicio 2.5 Sea R un anillo conmutativo y S subconjunto de R, demuestre

que el ideal generado por S es igual a (S) = {r1 x1 + c . . . rn xn | ri ∈ R, xi ∈
S ∀ 1 ≤ i ≤ n, n ∈ N}. En particular si S = {aa , . . . , an } es finito entonces
(S) = (a1 ) + · · · + (an ). De un ejemplo para verificar que la hipótesis de que R
sea conmutativo es necesaria.
Teorema 2.6 [Anillo cociente] Sea R un anillo, I un ideal de R, entonces

R/I es un anillo con las operaciones
1. (a + I) + (b + I) = (a + b) + I
2. (a + I) · (b + I) = ab + I
Demostración: Como I es un subgrupo, entonces (R/I, +) es un grupo abe-

liano. Veamos que el producto esta bien definido. Suponga que a + I = x + I
y b + I = y + I, entonces a − x, b − y ∈ I y como es ideal entonces ab − xy =
ab − ay + ay − xy = a(b − y) + (a − x)y ∈ I de donde ab + I = xy + I. Las
propiedades de asociatividad y distribución del producto se heredan de R.
Teorema 2.7 [Teorema de la correspondencia para anillos] Sea R un

anillo, I un ideal de R, entonces hay una correspondencia biyectiva entre los
ideales de R que contienen a I y los ideales de R/I. Esta correspondencia esta
dada por J −→ J/I.
Demostración: Se sigue del teorema de la correspondencia para grupos.
Definición 2.8 Sea R un anillo, M ideal de R, M 6= R, M se dice maximal

si cuando M ⊆ I se tiene que M = I o M = R.
Ejemplo 2.9 En Z los ideales maximales son justamente los generados por un
primo.
Teorema 2.10 Sea R un anillo con identidad. Entonces R admite ideales ma-
ximales
Demostración: Considere F = {I | I es ideal de R, 1 6∈ I}. Entonces F = 6

pues el ideal cero está en F. Usaremos el lema de Zorn para ver que F tiene
elementos maximales. Sea C una cadena en F, I0 = ∪I∈F I, entonces claramente
1 6∈ I0 .
Si a, b ∈ I0 entonces existen Ia , Ib ∈ F tales que a ∈ Ia , b ∈ Ib , como C es
una cadena se tiene que Ia ⊆ Ib o Ib ⊆ Ia , luego a, b ∈ Ib o a, b ∈ Ia de donde
a − b ∈ Ib o a − b ∈ Ia , en cualquier caso a − b ∈ I0 por lo que (I0 , +) es grupo.
Además si x ∈ I0 y r ∈ R, entonces rx = xr ∈ I0 por lo que I0 ∈ F.
Sea M ∈ F un elemento maximal (respecto al orden de F que es la in-
clusión), I un ideal de R tal que M ⊆ I. Si I 6= M, entonces M esta contenido
propiamente en I, por lo que I 6∈ F, ası́ que 1 ∈ I y con ello I = R.
Corollary 2.11 Sea R un anillo con identidad, I ideal propio. Entonces existe
un ideal maximal M de R tal que I ⊆ M

Demostración: Considere el anillo R1 = R/I. Entonces el resultado se sigue

del teorema anterior y el teorema de la correspondencia para anillos
Definición 2.12 Sea R un anillo conmutativo con identidad, P un ideal de R.

P se dice primo si ∀ a, b ∈ R tales que ab ∈ P se tiene a ∈ P o b ∈ P .
Observación 2.13 Sea R anillo conmutativo con identidad

a). Entonces P es ideal primo si y sólo si R/P es dominio entero.
b). Todo ideal maximal es primo, el recı́proco es falso.
c). R es campo si y sólo si sus únicos ideales son (0) y el mismo.
Demostración: a) ⇒) Suponga P primo, y P = (a+P )(b+P ) = ab+P ∈ R/P ,

entonces ab ∈ P por lo que a ∈ P o b ∈ P , de donde a + P = P o b + P = P .
⇐) Si ab ∈ P entonces P = ab + P = (a + P )(b + P ) de donde a + P = P o
b + P = P , luego a ∈ P o b ∈ P .
b)Sea M maximal, ab ∈ M y suponga que a 6∈ M, entonces por el teorema
de la correspondencia el ideal (a + M) se corresponde con un ideal de R que
contiene a M, el cual es máximal, por lo que necesariamente se corresponde con
R, luego (a + M) = R/M, en particular 1 + M ∈ (a + M), ası́ 1 + M = ra + M
para algún r ∈ R, de donde 1 − ra ∈ M y por tanto b − rab ∈ M, luego b ∈ M,
y M es primo.
La última afirmación se deja como ejercicio.
c) Si R es campo e I ideal de R no trivial, al tomar a ∈ I −{0} como a−1 ∈ R
entonces 1 = a−1 a ∈ I de donde para todo r ∈ R se tiene que r = r · 1 ∈ I,
ası́ I = R. Recı́rocamente, si los únicos ideales de R son (0) y el mismo, para
a ∈ R − {0}, el ideal generado por a debe ser el total, ası́ 1 ∈ (a) de donde
existe r ∈ R tal que 1 = ra = ar, luego a tiene inverso. Que sea dominio entero
se sigue inmediatamente del hecho de que todo elemento no cero tiene invero y
por tanto R es un campo.
Teorema 2.14 Sea R un anillo conmutativo con identidad, M un ideal de R.

Entonces M es maximal si y sólo si R/M es campo.
Demostración: =⇒) Suponga que M es maximal, se tiene por el teorema

2.6 que R/M es un anillo y es conmutativo ya que se hereda de que R lo es,
y tiene identidad 1 + M, ahora por la observación 2.13 se tiene que M es
primo y R/M es dominio entero, por lo que sólo resta ver que tiene inversos.
Sea a + M ∈ R/M, a 6∈ M, considere el ideal generado por a + M, como
este ideal contiene a M, por el teorema de la correspondencia existe un ideal
I que contiene a M que le corresponde en R, y puesto que M es maximal,
entonces necesariamente I = R y por lo tanto (a + M) = R/M en particular
1 + M ∈ (a + M) ası́ que existe b ∈ R tal que (a + M) · (b + M) = 1 + M, es
decir a + M tiene inverso.
⇐=) Suponga ahora que R/M es campo y sea I ⊆ R ideal que contiene
propiamente a M, entonces por el teorema de la correspondencia I + M es un

ideal de R/M no trivial, y por la observación 2.13 nesariamente I +M = R/M,

de donde por el teorema de la correspondencia I = R, es decir, M es maximal.
Teorema 2.15 [Campo de cocientes] Sea D un dominio entero entonces

existe un campo KD tal que:
1. D ,→ KD
2. Si K es otro campo tal que D ⊂ K entonces existe un monomorfismo
KD ,→ K.
Demostración: Sea D∗ = D − {0} y definamos en D × D∗ la siguiente relación

de (a, b) ∼ (c, d) si y sólo si ad−bc = 0, entonces esta relación es de equivalencia.
En efecto es
i). reflexiva pués (a, b) ∼ (a, b) ⇔ ab − ba = 0

ii). simétrica pués (a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad − bc = 0 ⇔ cb − da = 0 ⇔ (c, d) ∼ (a, b)
iii). transitiva pués (a, b) ∼ (c, d) y (c, d) ∼ (e, f ) ⇔ ad − bc = 0 y cf − de =
0 ⇒ f ad − f bc = 0 y bcf − bde = 0 y por ser D conmutativo se tiene
que f ad − bde = 0 = d(af − be) y como d ∈ D∗ entonces af − be = 0 de
donde (a, b) ∼ (e, f ).
Sea KD = D × D∗ / ∼ el conjunto de clases de equivalencia bajo la relación. A
un elemento (a, b) ∈ KD lo representaremos por (a, b) = ab . Definamos en KD
las siguientes operaciones
i). (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)

ii). (a, b) · (c, d) = (ac, bd)
Se verifica sin dificultad que estas operaciones están bién definidas, que (0, b)
es el elemento cero, (a, a) es la identidad multiplicativa en KD , y que con estas
operaciones es un campo.
Definamos ahora φ : D ,→ KD por φ(a) = (a, 1), entonces
i). φ(a + b) = (a + b, 1) = (a, 1) + (b, 1) = φ(a) + φ(b),
ii). φ(ab) = (ab, 1) = (a, 1)(b, 1) = φ(a)φ(b)
iii). y φ(a) = (0, 1) si y sólo si (a, 1) = (0, 1) de donde a = 0.
Por lo tanto φ es un monomorfismo y D ,→ KD .

Ahora si D ⊆ K con K un campo. Definamos ϕ : KD −→ K por ϕ( ab ) =
−1
ab , entonces
−1
i). ϕ( ab + dc ) = ϕ( ad+cb
bd ) = (ad + cd)(bd) = ab−1 + cd−1 = ϕ( ab ) + ϕ( dc ) y
ii). ϕ( ab · dc ) = ac(bd)−1 = (ab−1 )(cd−1 ) = ϕ( ab )ϕ( dc )

iii). ϕ( ab ) = 0 si y sólo si ab−1 = 0 si y sólo si a = 0 o b−1 = 0 si y sólo si a = 0

si y sólo si ab = (0, b).
por lo que ϕ es un monomorfismo y KD esta inyectado en K.
Observación 2.16 Diferentes dominios enteros pueden tener el mismo campo

de cocientes.
n
Ejemplo 2.17 Sea p un número primo, Z(p) = { m | (p, m) = 1 } es un subani-
llo de Q que contiene propiamente a Z.
Ejercicio 2.18 i). Z = ∩p primo Z(p)
ii). Z(p) es un anillo con un sólo ideal maximal (los anillos conmutativos con
esta propiedad se llaman anillos locales)
iii). Sea M el único ideal maximal de Z(p) . Describa Z(p) /M.
Definición 2.19 Sea D un dominio entero, dados a, b ∈ D, b 6= 0 se dice que

b divide a a denotado por b \ a si existe c ∈ D tal que a = bc.
Definición 2.20 Un elemento p en un dominio entero D se dice primo si el

ideal generado por p es primo.
Observación 2.21 p es primo si y sólo si p \ ab ⇒ p \ a o p \ b.
Definición 2.22 Una unidad en un anillo conmutativo con identidad es un

elemento no cero que tiene inverso multiplicativo.
Definición 2.23 Un elemento π en un dominio entero se dice irreducible si

cuando π = ab entonces uno de a o b es unidad.
Definición 2.24 Dados a, b ∈ D con al menos uno distinto de cero, se define

el máximo común divisor de a y b denotado por (a, b) = d como un elemento en
D que satisface
i). d \ a y d \ b.
ii). ∀ c ∈ D tal que c \ a y c \ b se tiene que c \ d.
De manera análoga al caso de los enteros se define el mı́nimo común múltiplo
de a y b y se denota por [ a, b ]
Observación 2.25 Sea D un dominio entero, p elemento de D. Si p es primo

entonces es irreducible
Demostración: Suponga p = ab entonces p \ a o p \ b. Podemos suponer que

p \ a, entonces a = pc para algún c ∈ D, por lo tanto p = pcb ası́ que al ser D
dominio entero se puede cancelar y entonces p es unidad
Notación: U (D) = {a ∈ D | ∃v ∈ D con av = 1} a los elementos de U (D)
se les llama unidades de D.

Definición 2.26 Un dominio entero D se dice de factorización única si cumple

las condiciones
[ UF1] Todo a ∈ D, a 6∈ U (D) ∪ {0} se puede representar como producto
finito de irreducibles , es decir, a = uΠni=1 πiei con u ∈ U (D).
[UF2] La factorización en UF1 es única salvo unidades y orden.
Definición 2.27 Dos elementos a, b en un dominio entero D se dicen asociados

si a=bu con u ∈ U (D).
Teorema 2.28 Sea D un dominio entero, el cual satisface la condición UF1,

entonces las siguientes condiciones son equivalentes
i). UF2
ii). Un elemento es irreducible si y sólo si es primo [UF3]
i)=⇒ ii) Por la observación anterior basta probar que todo irreducible es
primo. Suponga π irreducible y que π \ ab. Por hipótesis a = u1 π1 · · · πn , b =
u2 p1 · · · ps , por lo que πc = u1 u2 π1 · · · πn p1 · · · ps y por la condición UF2 se debe
tener que π \ πi o π \ pj para algún i o para algún j. Por lo tanto πi = πci o
pj = cj π y como tanto πi comp pj son irreducibles entonces ci o cj son unidades,
de donde π \ a o π \ b.
ii)=⇒ i) Sea a = c1 π1 · · · πk = c2 p1 · · · ps con c1 , c2 ∈ U (D) y π1 , . . . , πk ,
p1 , . . . , ps irreducibles, veamos que k = s y que πi = pi ui con ui ∈ U (D). Como
π1 \a = c2 p1 · · · ps entonces π1 \pi para algun i, y podemos suponer que i = 1, ası́
que p1 = π1 u1 y c1 π2 · · · πk = c2 u1 p2 · · · ps , ahora un proceso inductivo termina
la prueba.
Definición 2.29 Sean a, b en un dominio entero D, si el máximo común divisor

de ellos es 1, se dice que son primos relativos y se denota por (a, b)=1
Ejercicio 2.30 Sean a, b en un dominio entero tales que (a, b) = 1 y b \ ac

entonces b \ c
Definición 2.31 Sea D un dominio entero, D se dice de ideales principales

(D.I.P) si todo ideal de D es de la forma
(a) = {ar | r ∈ D para algún a ∈ D}
Observación 2.32 Sea D un D.I.P, entonces dados a, b no ambos cero, el

máximo comun divisor d existe y d = (a, b) = an0 + bm0 para algunos n0 , m0 .
En particular si (a, b) = 1 existen a0 , b0 ∈ D tales que 1 = aa0 + bb0 . Más aún
si (a, b) = 1, b \ c y a \ c entonces ab \ c.
Demostración: Sea I = {ax + by | x, y ∈ D} = aD + bD. I es ideal no cero

ya que a, b ∈ I. Como D es D.I.P, entonces I = dD para algún d ∈ I. Veamos
que d = (a, b).

3 DOMINIOS EUCLIDIANOS 9
Como d ∈ I entonces d = aa0 + bb0 para algunos a0 , b0 ∈ D, además d \ a

y d \ b ya que a, b ∈ D. Ahora si d1 \ a y d1 \ b entonces d1 \ an y d1 \ bm
para cualesquiera m, n ∈ D, enparticular d1 \ aa0 + bb0 = d ası́ d es un máximo
común divisor.
En particular si (a, b) = 1 y c \ a, c \ b entonces c = xb = ay para algúnos
x, y ∈ D y 1 = aa0 + bb0 , ası́ c = caa0 + cbb0 = xbaa0 + aybb0 = ab(xa0 + yb0 ),
luego ab \ c.
3 Dominios Euclidianos
Definición 3.1 Sea D un domino entero, diremos que D es un dominio eucli-
diano (D.E.) si existe una función f : D∗ −→ N ∪ {0} tal que
i). f (a) ≤ f (ab) ∀ a, b ∈ D∗
ii). ∀ a, b ∈ D con al menos uno distinto de cero, existen q, r ∈ D tales que
a = bq + r con r = 0 o f (r) < f (b)
En algunos casos es conveniente definir f (0) = 0. A f se le llama función
euclidiana.
Teorema 3.2 Sea D un D.E. entonces D es un D.I.P
Demostración: Sea I un ideal en D. Si I = (0) = 0D. Suponga entonces

que I 6= (0) y sea a ∈ I \ {0} tal que f (a) ≤ f (x) ∀ x ∈ I − {0} con f la
función que hace de d un D.E.
Veamos que I = aD. Claramente aD ⊆ I ya que I es ideal, ahora dado
x ∈ I, por la condición (ii) de la definición de D.E., existen q, r ∈ D tales que
x = aq + r con r = 0 o f (x) < f (a), pero ya que x, a ∈ I entonces r = x − aq ∈ I
y por la minimalidad de a se debe tener entonces que r = 0, luego x = aq, es
decir I = aD.
Observación 3.3 Si D es D.E. entonces D admite idéntidad multiplicativa.
Demostración: En efecto, como D es ideal, existe c ∈ D tal que D = cD, en

particular c = cu para algún u ∈ D. Si ahora x ∈ D es un elemento arbitrario
se tiene que x = cy con y ∈ D, por lo que xu = cyu = ycu = yc = cy = x de
donde u es identidad.
Ejercicio 3.4 Sea D un dominio euclidiano.

1. Si a, b son asociados entonces f (a) = f (b). Recı́procamente si a \ b y
f (a) = f (b) entonces a y b son asociados.
2. f (1) = f (u) si y sólo si u es unidad.
Teorema 3.5 Sea D un dominio euclidiano, entonces D es un D.F.U.

Veamos que UF1 se cumple. Sea f : D∗ −→ N ∪ {0} la función euclidiana y

a ∈ D − {0}.
Si f (a) = 1, entonces por el ejercicio anterior a es unidad y no hay nada que
probar.
Suponga entonces f (a) > 1 y procedamos por inducción sobre f (a), es decir,
suponga el resultado cierto para todo los elementos x ∈ D tales que f (x) >
1, f (x) < f (a). Sea I = {x | f (x) < f (a)}, por hipótesis de inducción los
elementos de I se factorizan como producto de irreducibles. Si a es irreducible
hemos terminado, ası́ que suponga que no lo es, entonces a = αβ con α, β no
unidades, f (α), f (β) ≤ f (a) por la propiedad (i) de la función euclidiana, más
aún por el ejercicio anterior ya que no son unidades y a es divisible por ambos
se debe tener que f (α), f (β) < f (a), es decir α, β ∈ I, luego ambos se factorizan
como producto de irreducibles y por lo tanto también a.
Ahora ya que UF1 se cumple para terminar la prueba probaremos UF3, es
decir que todo irreducible es primo. Sea π irreducible tal que π \ ab. Si π 6 \a
entonces (a, π) = 1 y por el teorema 3.2 se tiene que (π, a) = 1 = πn + am para
algunos n, m ∈ D. Por lo tanto b = bπn + bam = bπn + bcm = π(bn + cm), de
donde π \ b, luego π es primo.
Teorema 3.6 Sea D un D.I.P., π ∈ D, M = (π). Entonces las siguientes

condiciones son equivalentes
i). M es maximal
ii). π es primo
iii). π es irreducible
Por el último argumento del teorema 3.5 se tiene ii)⇔ iii). Mostremos que i)⇔
ii). Si M es maximal, entonces D/M es campo, luego dominio entero y por
tanto (π) = M es primo, de donde por la definición π es primo.
ii)⇒ i) Suponga (π) = M primo e I un ideal que contiene a M, con I 6= M.
Sea a ∈ I − M, entonces (π, a) = 1 de donde 1 = nπ + ma ∈ I y por tanto
I = D, ası́ M es maximal.
Definición 3.7 Sea R un anillo conmutativo con identidad, I un ideal de R,

diremos que I es finitamente generado (f.g.) si existen α1 , . . . αn ∈ I tales que
I = Rα1 + · · · Rαn
Definición 3.8 Sea {In }n∈N una sucesión de ideales de R tal que Ii ⊆ Ii+1 ∀ i.
La sucesión se dice estacionaria si existe n tal que In = In+i ∀ i ≥ 1.
Teorema 3.9 Sea R un anillo conmutativo con identidad. Entonces las sigu-
ientes condiciones son equivalentes
i). Todo ideal de R es f.g.
ii). Toda sucesión ascendente de ideales se estaciona

iii). Toda familia de ideales no vacı́a admite elementos maximales ( la maxi-

malidad es dada por el orden inducido por inclusión)
Demostración: (i) ⇒ (ii) Sea {In } una sucesión creciente de ideales (In ⊆
In+1 ∀n) y sea I = ∪n∈N In , se verifica que I es ideal de R y por lo tanto f.g.,
luego existen α1 , . . . , αk ∈ I tales que I = α1 R + · · · + αk R. Como I es la unión
de los In 0 s y la sucesión es creciente, existe n ∈ N tal que α1 , . . . , αk ∈ In , luego
I ⊆ In ⊆ I de donde I = In y por lo tanto In = In+i ∀i.
(ii) ⇒ (iii) Sea F una familia de ideales no vacı́a en R e I1 ∈ F. Si I1
no es maximal, existe I2 ∈ F tal que I1 ( I2 . De forma inductiva en caso de
que ningún In sea maximal podemos construir una cadena de ideales I1 ( I2 (
· · · ( In ( · · · que por hipótesis se debe estacionar lo cual no podrı́a ser, por
lo tanto In es maximal para algún n ∈ N. Luego F tiene elementos maximales.
(Note que aquı́ hablamos de elementos maximales respecto a la inclusión).
(iii) ⇒ (i) Sea I ideal de R, F = {J | J es ideal de R, J ⊆ I, J es f.g.}.
F es no vacı́a pues contiene al ideal cero, ası́ que admite elementos maximales.
Sea M uno de ellos, si M 6= I, entonces existe a ∈ I − M, y por lo tanto
M ( M + aR ⊆ I que contradice la maximalidad de M. Por lo tanto I = M
e I es f.g.
Teorema 3.10 Todo dominio D de ideales principales es de factorización única
Demostración: Por el teorema 3.6 es suficiente ver que se verifica UF1 en un

D.I.P.. Sea a ∈ D∗ \U (D), entonces (a) 6= D por lo que existe un ideal maximal
M que contiene a (a). Como D es un D.I.P, entonces M = (π1 ) en donde por
el teorema 3.6, π1 es irreducible.
Como (a) ⊆ M = (π1 ) entonces a = π1 a1 para algún a1 ∈ D∗ . Si a1 es
unidad hemos terminado si no procediendo con el mismo argumento existe π2
irreducible tal que a = π1 π2 a2 y de hecho inductivamente podemos encontrar
π1 , . . . πn irreducibles tales que a = π1 π2 · · · πn an , de donde
(a) ( (π2 · · · πn an ) ( (π3 · · · πn an ) · · · ( (πn an ) ⊆ (an ).
Ahora como D es D.I.P. entonces todo ideal es f.g., luego aplicando el teorema
3.9 la sucesión de ideales se estaciona, lo cual es equivalente a que an ∈ U (D)
para algún n. De donde a = π1 · · · πn u con u ∈ U (D).
Teorema 3.11 El anillo Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} es un anillo euclidiano con

la función N : Z[i] −→ N ∪ {0}, con N (a + bi) = a2 + b2 . A este anillo se le
denomina el anillo de los enteros gaussianos.
Demostración: Veamos que N cumple la definición.

(i) N (α) ≤ N (αβ) ∀ α, β ∈ Z[i] se sigue del hecho de que N (α) = |α|2 con
| · | el valor absoluto en C.
(ii) Sean α = x + yi ∈ Z[i] y β ∈ N, aplicando el algoritmo de la división a
x y β por una parte y por otra a y e β se tienen que
x = q1 β + r1 , y = q2 β + r2 , con ri = 0 o |ri | < β/2

Por lo que α = x + yi = (q1 + q2 i)β + (r1 + r2 i) con r1 + r2 i = 0 o r12 + r22 ≤

2
β β2 2
4 + 4 <β .
Ahora tomemos α, β ∈ Z[i], como ββ ∈ N por lo ya probado existen q, r ∈
Z[i] tales que
βα = qββ + r con r=0 o N (r) < N (ββ)

De donde r = β(α − qβ), y N (β)N (α − qβ) = N (r) < N (β)N (β) de donde
N (α − qβ) < N (β).
Tomando r1 = α − qβ y q se tienen que satisfacen las condiciones requeridas.

Teorema 3.12 Sea p ∈ Z un número primo tal que pd = x2 +y 2 con (d, p) = 1,
entonces p se puede expresar como suma de cuadrados.
Demostración: Si p fuera primo en Z[i] se tendrı́a que p \ x − yi o p \ x + yi.
Si por ejemplo p \ x − iy entonces x − yi = p(a + bi) = pa + pbi de donde p \ x y
p \ y, y por tanto pd = x2 + y 2 = p2 n + p2 m = p2 (n + m) lo cual no puede ser.
Lo mismo se obtiene si p \ x + yi. Por lo que se concluye que p = αβ con α y β
no unidades y entonces p2 = N (p) = N (αβ) de donde N (α) = N (β) = p y por
lo tanto p = N (α) = a2 + b2 con α = a + bi.
Observación 3.13 Sea a ∈ Z, p un primo impar, entonces
p−1
i). 1 = a 2 mod p si y sólo si a es un cuadrado módulo p.
p−1 p−1
ii). 1 = a 2 mod p o −1 = a 2 mod p
Demostración: (i) Suponga primero que a es un cuadrado módulo p, entonces
p−1
a = c2 y a 2 = cp−1 = 1 mod p por el teorema chico de Fermat.
p−1
Recı́procamente, suponga que 1 = a 2 mod p, y considere el polinomio
p−1
x 2 − 1 ∈ Zp [x], este polinomio tiene a los mas p−1 2 raı́ces en Zp , de hecho
12 , 22 , . . . , ( p−1
2 )2
son raı́ces del polinomio en Zp , además para 1 ≤ m, n ≤ p−12
2 2
se tiene que n = m mod p si y sólo si (m − n)(m + 1) = 0 mod p si y sólo
si m − n = 0 mod p o m + n = 0 mod p, pero 0 < n + m ≤ p − 1 por lo
que m + n 6= 0 mod p y entonces n = m, de donde todas las p − 1 raı́ces son
distintas y a es una de ellas.
(ii) Observe que el polinomio x2 − 1 ∈ Zp tiene sólo dos raı́ces en Z de hecho
p−1 p−1
1 y -1, además a 2 satisface siempre la ecuación por lo que si a 2 6= 1 mod p
p−1
necesariamente a 2 = −1 mod p
Definición 3.14 (Sı́mbolo
de Legendre) Sea p ∈ Z un primo impar, Fp =
Z/pZ, definamos p : Fp −→ {−1, 1} por

a 1 si a es un cuadrado
=
p −1 si a no es un cuadrado
Se verifica que esta función es un homomorfismo de grupos llamado el sı́mbolo
de Legendre ( Use el teorema siguiente).

a
p−1
Teorema 3.15 (Euler) p =a 2 mod p.
p−1
Demostración: Por la observación anterior a 2 siempre es 1 o -1 y es 1 si y
p−1
sólo si a es un cuadrado módulo p, luego ap = a 2 mod p.

Corollary 3.16 −1 ∈ (F∗p )2 si y sólo si p = 1 mod 4.

p−1 p−1
Demostración: −1

p = (−1) 2 mod p y 1 = (−1) 2 mod p si y sólo si
p = 1 mod 4.
Teorema 3.17 Sea p un primo en Z tal que p = 1 mod 4, entonces p = a2 +b2
con a, b ∈ Z.
Demostración: Por el corolario 3.16, −1 = x2 mod p para algún 1 ≤ x ≤
p − 1, de hecho tomando el representante de clase adecuado podemos tomar x
de tal forma que |x| < p2 ( En caso de que x > p2 al tomar y = p − x se tiene
y 2 = p2 − 2px + x2 = x2 = −1 mod p). Por lo tanto x2 + 1 = cp
2
Por otra parte cp = x2 + 1 ≤ p4 + 1 < p2 por lo que (c, p) = 1, aplicando
ahora el teorema 3.12 se tiene la conclusión.
Corollary 3.18 Los primos de la forma 4n + 1 no permanecen primos en Z[i].
Teorema 3.19 Un entero gaussiano α es primo si y sólo si esta asociado con
uno y sólo uno de los siguientes casos
i). Un primo racional p tal que p = 3 mod 4 (primo racional significa primo
en Z).
ii). 1 + i
iii). a + bi en donde a, b ∈ Z con a ∈ 2N, b 6= 0, a2 + b2 = p con p = 1 mod 4.
Demostración: Note primero que si α ∈ Z[i] es primo, entonces α divide
exactamenbte a un primo de Z, pués αα = ||α|| = p1 · · · pk con pi ∈ Z y por ser
α primo entonces α \ pi para algún i, si además α \ pj para algún j 6= i, entonces
α \ xpi + ypj para cualesquiera x, y ∈ Z, en particular divide a 1 = (pi , pj ),
lo cual no puede ser. Por tanto los primos en Z[i] vienen de primos de p ∈ Z,
veamos que tipo de primos en Z[i] dividen a p.
Si p = 2 y α \ p entonces p = αc, por lo que ||p|| = ||α|| · ||c|| = 4 y como 2 no
es primo en Z[i], entonces c no es unidad y por lo tanto ||α|| = ||c|| = 2 = a2 +b2
de donde α = ±(1 ∓ i), es decir α es asociado a 1 + i.
Si p = 1 mod 4, entonces p = ||x|| = a2 + b2 para algún x ∈ Z[i], de hecho
podemos suponer por el teorema 3.17 que exactamente uno de ellos es par, más
aún si es necesario multiplicando por ±i podemos suponer a ∈ 2N y b 6= 0.
Aún más, esta representación es única ya que si p = a2 + b2 = c2 + d2 con
a, c ∈ 2N, b, d 6= 0 con a + bi asociado a c + di entonces a + bi = c + di.
Si p = 3 mod 4 y x es un primo en Z[i] tal que x \ p, entonces xα = p ası́
p2 = ||x|| · ||α||. Si ||α|| =
6 1, como 1 6= ||x|| = a2 + b2 entonces ||x|| = ||α|| = p
luego p 6= 3 mod 4, lo cual no puede ser, por lo tanto ||α|| = 1 y x, p son
asociados.

4 OPERACIONES CON ANILLOS 14
Ejercicio 3.20 1. Sea n = pe11 · · · pekk un número natural. Demuestre que n

es la suma de dos cuadrados si y sólo si ej = 0 mod 2 cuando pj = 3
mod 4.
2. Encuentre el M.C.M. de (15 + 2i, 3 + 9i); (6 + 7i, 12 − 3i); (3 + 8i, 12 + i).
3. Encuentre la descomposición en primos de 12 + i; 6 + 2i; 12; 3 + 5i.

4. Sea x = a + bi primo gaussiano. Demuestre que ab = 0 ó (a, b) = 1.
4 Operaciones con anillos

Definición 4.1 Sean R, R1 anillos, considere el conjunto R×R1 = {(x, y) | x ∈
R, y ∈ R| }, definiendo en R × R1 las operaciones de suma y producto por com-
ponente resulta un anillo llamado el anillo producto,
Sea R un anillo conmutativo con identidad I, J ideales de R, definimos:
I + J := {x + y : x ∈ I, y ∈ J}
se verifica directamente que I + J es un ideal de R, en general para una familia

de ideales {Iα }α∈Ω , se define:
X
Iα = {Σaα : aα ∈ Iα y aα = 0 para casi para todo α }
α∈Ω
Xn
I ·J ={ ai bi : ai ∈ I, bi ∈ J, n ∈ N} ⊆ I ∩ J
i=1
Más generalmente, sean I1 , ... In ideales, se define:

n
Y
Ij = {Σa1 · · · an : ai ∈ Ii }
j=1
Definición 4.2 I, J se dicen comaximales o primos relativos si I + J = R
Teorema 4.3 [Teorema chino del residuo] Sea R un anillo conmutativo con
identidad I1 , · · · , In ideales tales que Ij + Ii = R, i 6= j. Sea
n
Y
I= Ii .
1
Entonces
R R R
' × ··· ×
I I1 In

4 OPERACIONES CON ANILLOS 15
Qn
Sea ϕ : R −→ i R/Ii definida por: ϕ(x) := (x + Ii , . . . , x + In ). Se verifica
fácilmente que ϕ es un homomorfismo.
I) Mostraeremos que ϕ es suprayectiva. Sea
n
Y
y = (aj + Ii , . . . , an + Jn ) ∈ R/Ii ,
1
entonces:
n
X
y= (0̄, . . . , 0̄, āi , 0̄, . . . , 0̄)
i=1
más aún:
n
X
y= (0̄, . . . , 1̄, . . . , 0̄)(ā1 , . . . , āi , . . . , ān )
i=1
Poniendo ei = (0̄, . . . , 1̄, . . . .0̄) probar que ϕ es suprayectiva es equivalente

a mostrar que ∀i ∈ [1, n], ∃ xi ∈ R tal que ϕ(xi ) = ei , pues como los a0i s son
dados se tiene:
n
X n
X
ϕ(Σai xi ) = ϕ(ai )ϕ(xi ) = (āi , . . . , āi )ēi = y
i=1 i=1
Note que ϕ(xi ) = ēi es equivalente a mostrar que existe xi ∈ R tal que xi ≡ 1
mod Ii y xi ≡ 0 mod Ij , j 6= i Como Ii + Ij = R, ∀ i 6= j entonces dado
i ∃ aj ∈ Ij y ai(j) ∈ Ii tales que:
1 = aj + ai(j) ⇔ aj = 1 − ai(j)
Q Q
Sea xi = i6=j ai = j6=i (1 − ai(j) ) ≡ 1 mod Ii y xi ∈ Ij ∀j 6= i, por tanto
xi ≡ 1 mod Ii y xi ≡ 0 mod Ij
Por tanto ϕ es suprayectiva.
Qn
Tn II) Veamos que ker ϕ = I = i=1 Ii . Primeramente notemos T queQ ker ϕ =
I
i=1 i , ası́ que para terminar la prueba debemos mostrar que I i = Ii .
La igualdad anterior corre por inducción sobre n. Suponga que n = 2.
Mostraremos que I1 ∩ I2 ⊆ I1 I2 . Sea x ∈ I1 ∩ I2 . ya que los ideales I1 , I2 son
comaximales, existen x1 ∈ I1 y x2 ∈ I2 tales que 1 = x1 + x2 , por tanto:
x = x x1 + x x2 ∈ I1 I2 .
Q
Para poder usar el caso n = 2 se debe probar Q que j6Q =i Ij + Ii = T . Sea xi
construida como en I). Se tiene que xi = j6=i ai ∈ i6=j Ii . Como xi ≡ 1
Q Ii entonces ∃ a ∈ Ii tal que xi − 1 = a ası́ xi − a = 1, y por tanto
mod
i6=j Ii + Ij = R. luego utilizando el caso n = 2 se tiene que:
Y Y Y
Ii ∩ Ij = Ii Ij = Ii
i6=j i6=j

5 ANILLOS DE POLINOMIOS 16
Q T
Por otro lado la hipótesis inductiva garantiza que i6=j Ij = j6=i Ij , por tanto:
Y \ n
\
Ii ∩ Ij = Ii ∩ Ij = Ii
i6=j i6=j i=1
Qn Tn
por tanto i=1 Ii = i=1 Ii .

Qt
Corollary 4.4 U (Z/nZ) ' U (Z/pei i ) con n = pei i
Q
i6=j i6=j
Demostración: Por el teorema chino del residuo

t
Y
Z/nZ ≡ Z/pei i Z
i=1
Ahora observe que en un producto de anillos un elemento es unidad si y sólo si

cada componente lo es, de aquı́ se obtiene la conclusión.

Corollary 4.5 Sean m, n ∈ N primos relativos, entonces
ϕ(n m) = ϕ(n) ϕ(m).
(ϕ es la función de Euler).
Demostración: Como Z/(nm)Z ≡ Z/nZ × Z/mZ entonces U (Z/(nm)Z) ≡

U (Z/nZ) × U (Z/mZ). Ahora un argumento sobre cardinalidad termina la
prueba.

Ejercicio 4.6 Sea p un primo en Z, e ≥ 0 entero, mostrar que ϕ(pe ) =

pe−1 (p − 1).
5 Anillos de Polinomios
Sea R un anillo conmutativo con identidad y R[x] = {(a0 , . . . , an , . . . ) | ai ∈ R
y ai = 0 ∀ i > n}. Definimos en R[x] las operaciones:
1. (a0 , . . . , an , . . .) + (b0 , . . . , bn , . . .) = (c0 , . . . , cn . . .)
2. (a0 , . . . , an , . . .) · (b0 , . . . , bn , . . .) = (c0 , . . . , cn . . .)

con c0 = a0 b0 , c1 = a0 b0 + a1 b1 y en general:
X X
ci = ak bj = ai−j bi
k+j=i j=0

Con las operaciones definidas R[x] resulta un anillo conmutativo con identidad,
de hecho e = (1, 0, 0, . . .). Además R puede ser inyectado en R[x] de la siguiente
forma:
R −→ R[x]
a −→ (a, 0, . . . , 0, . . .)
Al elemento (0, 1, 0, . . . , ) de R[x] lo denotamos por x = (0, 1, 0, . . . , 0, . . .) y
le llamaremos una indeterminada, identificando a ∈ R con (a, 0, . . . , 0, . . .) en
R[x] se tiene: ax = (0, a, 0, . . . , 0, . . .). De la definición de producto en R[x] se
verifica que xn = ( 0, . . . , 0, 1, 0 . . .) y con esto se verfica la regla de los exponentes
| {z }
n+1
xn xm = xn+m . Con esta notación, un elemento (a0 , a1 , . . . , an , 0, . . . , 0) de R[x]
será denotado por f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn . El grado de un polinomio
f (x) es el máximo n tal que an 6= 0 y se denota por deg f (x) = n. Si an =
1, f (x) se llama mónico.
Observación 5.1 Si R es dominio entero entonces R[x] es dominio entero.
Demostración: Sean f (x), g(x) ∈ R[x] tales que f (x) g(x) = 0. Suponga que
f (x) = a0 + . . . + an xn y g(x) = b0 + . . . + bm xm . Como f (x)g(x) = 0 entonces:
a0 b0 = 0 . . . (1)
a0 b1 + a1 b0 = 0 . . . (2)
a0 b2 + a1 b1 + a2 b2 = 0 . . . (3)
..
.
a0 bi + a1 bi + . . . + ai b0 = 0 . . . (i)
Ahora como R es dominio entero entonces a0 = 0 o b0 = 0. Si a0 6= 0 entonces
b0 = 0 de (1). Veamos que bi = 0 ∀ i. De la ec. (2) y la hipótesis a0 6= 0 y b0 = 0
tenemos b1 = 0. Ası́ sucesivamente se concluye que bi = 0 ∀i.
Por simetrı́a si b0 6= 0 se tiene que ai = 0 ∀ i. Para el caso general podemos
suponer f (x) = ak xk + · · · + an xn = xk (ak + · · · + an xn−k ) con ak 6= 0, en este
caso se verifica que f (x)g(x) = 0 implica que g(x)(ak + · · · an xn−k ) = 0 y el
resultado se sigue del primer caso.
Observación 5.2
i). deg(f (x) · g(x)) ≤ deg(f (x)) + deg(g(x))

ii). deg(f (x) + g(x)) ≤ max{deg(f ), deg(g)}. Si R es dominio entero, deg(f ·
g) = deg( f ) + deg( g )

Teorema 5.3 [Algoritmo de la división generalizado] Sea R un anillo

conmutativo con identidad, R[x] el anillo de polinomios en la indeterminada
x, f (x) , g(x) ∈ R[x] de grados m y n respectivamente. Entonces existe k ∈
Z, 0 ≤ x ≤max{m − n + 1, 0}, q(x), r(x) ∈ R[x] tales que:
ak f (x) = q(x)g(x) + r(x) con r(x) = 0 o deg(r(x)) < n.
En donde a el coeficiente principal de g(x). Si a no es divisor de cero, entonces

r(x) y q(x) son únicos.
Demostración: Si m < n, tome k = 0, r(x) = f (x) y q(x) = 0.

Si m ≥ n considere r(x) = af (x) − bxn−m g(x). Si r(x) = 0 o deg(r(x)) =
s < n hemos terminado. Nótese que s ≤ m − 1.
Si s ≥ n, entonces por hipótesis inductiva ∃ t ∈ Z, 0 ≤ t ≤max{s − n + 1, 0},
y existen q1 (x), r1 (x), en R[x] tales que:
at r(x) = q1 (x)g(x) + r1 (x) con r1 (x) = 0 o deg r1 (x) < n
Por tanto: at [af (x) − bxm−n g(x)] = q1 (x)g(x) + r1 (x), ası́ que
at+1 f (x) = [at bxm−n + q1 (x)]g(x) + r1 (x)
y como t ≤ s − n + 1 ≤ m − 1 − n + 1 entonces 0 ≤ t + 1 ≤ m − n + 1.
Si a no es divisor de cero, entonces deg[g(x) · h(x)] = deg(g(x)) + deg(h(x)).
Aplicaremos esto para concluir que q(x) y r(x) son únicos.
Suponga que q1 (x)g(x) + r1 (x) = q(x)g(x) + r(x) de lo cual obtenemos:
(q1 (x) − q(x))g(x) = r(x) − r1 (x).
Si q1 (x) − q(x) 6= 0, entonces deg(q1 (x) − q(x)) + deg(g(x)) = deg(r(x) −
r1 (x)) ≤max{deg(r(x)), deg(r1 (x))} < n, lo cual no puede ser.
Por tanto q1 (x) − q(x) = 0 y r(x) − r1 (x) = 0
Ejemplo 5.4 Tomar f (x) = 3x4 + 3x3 + x2 + 1, g(x) = 2x3 + 2x2 + 1, entonces:
2f (x) = 3x · g(x) + r(x) y el exponente del coeficiente de f (x) en la ec. anterior
no es 2 = max{4 − 3 + 1, 0}.
Definición 5.5 Sea f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ R[x], diremos que α ∈ R

es raı́z de f (x) si f (α) = a0 + a1 α + · · · + an αn = 0
Corollary 5.6 Sea R con las hipótesis del teorema 5.3, x ∈ R, f (x) ∈ R[x]
entonces α es raı́z de f (x) si y sólo si (x − α)q(x) = f (x).
Demostración: Por el teorema anterior existen f (x) y r(x) tales que: f (x) =
q(x)(x − α) + r(x) con r(x) = 0 o deg(r(x)) < 1, por lo tanto f (α) = r(α), luego
f (α) = 0 si y sólo si r(x) = 0
Corollary 5.7 Sea R un dominio entero,

Qn f (x) ∈ R[x], α1 , α2 , . . . , αn raı́ces
diferentes de f (x) entonces: f (x) = i=1 (x − αi )q(x)

Demostración: Inducción sobre n. Si n = 1 se tiene del corolario 5.4. Suponga

cierto el resultado para n − 1 > 1 y pruébelo para n.
n−1
Y n−1
Y
f (x) = (x − αi )g(x) ⇒ f (αn ) = (αn − αi )g(αn )
i=1 i=1
Como f (αn ) = 0 y Π(αn − αi ) 6= 0 entonces g(x) = 0, ası́ g(x) = (x − αn )g(x)

por lo que
Yn
f (x) = (x − αi )g(x)
i=1
Corollary 5.8 Sea R un dominio entero, f (x) ∈ R[x]. Entonces el número de

raı́ces de f (x) en R es menor o igual que deg f
Demostración: Sean α1 , . . . , αm raı́ces diferentes de f (x) en R. Por el coro-
lario anterior:
f (x) = (x − α1 ) · · · (x − αm )g(x)
Si algún αi es raı́z de g entonces:
f (x) = (x − α1 )α1 · · · (x − αm )αm g(x) y g(αi ) 6= 0 ∀i.
La condición se obtiene tomando grados.

Observación 5.9 El corolario anterior falla en cualquier anillo que no sea
dominio enterio.
Por ejemplo si R no es dominio entero, existe a ∈ R \ {0} el cual es divisor
de cero. Por tanto el polinomio ax tiene al menos dos raı́ces.
Corollary 5.10 Si R es un campo, entonces R[x] es un dominio euclidiano.
Demostración: La función ”grado” es una función euclidiana. (Aplicación de

corolarios).
Teorema 5.11 (Teorema de Wilson) Sea p un entero positivo, entonces p

es primo si, y sólo si −1 ≡ (p − 1)! mod p
Demostración: Supongamos p primo y consideremos el polinomio xp−1 −

1 ∈ Fp [x]. Por el teorema chico de Fermat las raı́ces de xp−1 −1 son 1, 2, . . . , p−1,
por el corolario 5.6
xp−1 − 1 = (x − 1)(x − 2) · . . . · · · (x − (p − 1))
Desarollando el producto de la derecha e igualando coeficientes se tiene:
−1 ≡ (−1)p−1 (p − 1)! ∈ Fp
lo cual equivale a:
−1 ≡ (p − 1)! mod p
Note el uso p 6= 2, ya que p = 2 es trivial.

Observación 5.12 Considerando la ecuación xp−1 −1 = (x−1) · · · (x−(p−1)),

en general, si:
xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = (x − α1 ) · · · (x − αn )
Tenemos:
n
X
an−1 = − αi
i=0
X
an−2 = αi αj
i<j
..
.
X
an−p = (−1)p αj1 , . . . αji
1≤j1 < ...<ji
n
Y
a0 = (−1)n αi
i=1
Definición 5.13 Sea R un D.F.U, f (x) ∈ R[x] \ {0}. Se define el contenido

de f como c(f ) = (a0 , a1 , . . . , an ) en donde f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn . Si
cf (x) es una unicidad, f se dice primitivo.
Lema 5.14 [Lema de Gauss] Sea R un D.F.U., f (x), g(x) ∈ R[x] \ {0},
entonces c(f g) = c(f ) · c(g).
Demostración: Notemos primeramente que dado f (x) ∈ R[x] \ {0}, b ∈ R

entonces; c(bf (x)) = b · c(f (x)) y f (x) = c(f ) f1 (x) con f1 (x) primitivo. Por
esta nota, basta probar el lema en el caso en que f (x) y g(x) son primitivos.
Debemos probar que c(f g) = 1. Si c(f g) 6= 1 entonces ∃ p ∈ R tal que
p | c(f g). Sean f (x) = a0 +a1 x+. . .+an xn y g(x) = b0 +b1 x+. . .+bm xm . Como
f y g son primitivos, existen ı́ndices i0 , j0 tales que p | ai , p | bj ∀ i < i0 , j < j0
y p - ai0 , p - bj0 . Sea ci0 +j0 el coeficiente de ı́ndice i0 + j0 de f g, entonces:
ci0 +j0 = a0 bi0 +j0 + a1 bi0 +j0 −1 + . . . + ai0 bi0 +ai0 bj0 + . . . + ai+j0 b0 .
| {z } | {z }
c d
Claramente p | c y p | d y p | ci0 +j0 , por tanto p | ai0 bj0 lo cual es una
contradicción. Por tanto, c(f g) = 1.
Lema 5.15 Sea R un D.F.U., f (x), g(x) ∈ R[x], b ∈ R, y suponga que g(x) es
primitivo y g | b f , entonces g | f .
Demostración: bf = gh. Tomando contenido tenemos: b c(f ) = c(g) · c(h) =

c(h),, por lo que, b | c(h). Por otro lado, h = c(h)h1 , con h1 primitivo, por
tanto: bf = g c(h)h1 = gb dh1 y ası́ f = gdh1 , en consecuencia: g | f.
Teorema 5.16 Sea R un D.F.U., entonces R[x] también lo es.

Demostración: UF1) Aplicaremos inducción sobre el grado de un polinomio.

Si deg(f (x)) = 0 entonces f (x) ∈ R y R es D.F.U.
Supóngase el resultado cierto para los polinomios de grado menor que f (x).
Si f (x) es irreducible hemos terminado. En caso contrario, f (x) = g(x) h(x)
con deg(g(x)), deg(h(x)) < deg(f (x)) y por hipótesis inductiva g(x) y h(x) se
factorizan como producto de irreducibles, por lo tanto f se factoriza.
UF3) Veamos que todo irreducible es primo.
Sea p un irreducible en R[x]. Si p ∈ R y p | f (x) g(x) entonces p | c(f ) c(g)
luego p | f (x) y/o p | g(x).
Podemos entonces suponer que p ∈ / R. Supongamos que p | f g y que p - f.
Consideremos:
M = {a(x) p + b(x)f | a, b ∈ R[x]}
Sea ϕ un polinomio en M de mı́nimo grado. Sea a el coeficiente principal de ϕ.
Por el algoritmo de la división generalizado, ∃ r, h ∈ R[x] tales que:
ak f = hϕ + r con r = 0, o deg(r) < deg(ϕ)
Note que r ∈ M y como ϕ es de grado mı́nimo en M , entonces r = 0 ası́,

ak f = hϕ. Escribiendo ϕ = dϕ1 , con ϕ1 primitivo, entonces ak f = dhϕ1 . Por
el Lemma 5.15, y la ec. anterior ϕ1 | f. Un argumento completamente análogo
muestra que ϕ1 | p. Como p - f entonces ϕ1 es unidad, por tanto ϕ ∈ R, ası́
R ∩ M 6= {0}, además:
ϕ = ap + bf ⇒
ϕ g = gap + bgf = p(ag + bh1 )
con ph1 = gf por hipótesis.
Por tanto, p | ϕg, ϕ ∈ R aplicando nuevamente el lema 5.15 concluı́mos
p | g.. En conclusión p es primo y por tanto R[x] es D.F.U.
Definición 5.17 Un anillo de polinomios en dos indeterminadas x e y se define

como:
R[x, y] := R[x][y] = {b0 + b1 y + . . . + bn y n : bi ∈ R[x]}
Se define el anillo de polinomios en las indeterminadas x1 , . . . , xn inducti-
vamente por
R[x1 , . . . , xn ] := R[x1 , . . . , xn−1 ][xn ]
Corollary 5.18 Si R es un D.F.U. entonces R[x1 , . . . , xn ] es un D.F.U.
Demostración: Inducción sobre el número de indeterminadas n.
Observación 5.19 Sea R un D.F.U., k su campo de cocientes f (x) ∈ R[x]

primitivo, entonces f (x) se factoriza en k[x] si y sólo si f (x) se factoriza en
R[x]

Demostración: ⇐) trivial.
⇒) Sea f (x) = g(x)h(x) con g(x), h(x) ∈ k[x]. Sea m1 y m2 los mı́nimos
común múltiplos de los denominadores de g(x) y h(x) respectivamente, entonces
M1 M2 f (x) = h1 (x)g1 (x) con g1 , h1 ∈ R[x], ası́, tomando contenidos:
M1 M2 c(f ) = c(h1 )c(g1 )

y oor lo tanto
M1 M2 = c(h1 )c(g1 )
p Ahora h1 (x) = c(h1 )h2 y g1 (x) = c(g1 )g2 con h2 , g2 primitivos, ası́ que:
M1 M2 f = c(h1 )h2 c(g1 )g2 ⇒ f = h2 g2
Observación 5.20 La hipótesis primitivo en la observación anterior, no es

relevante pues si f (x) no es primitivo f (x) = c(f ) · f1 con f1 primitivo.
Teorema 5.21 [Criterio de Eisenstein] Sea R un U.F.D. f (x) = a0 + a1 x +

. . . + an xn ∈ R[x]. Suponga que ∃ π ∈ R, primo tal que π | ai ∀ i < n, π 2 - a0
y π - an . Entonces f (x) es irreducibles en k[x], k campo de cocientes de R. Si
f (x) es primitivo, entonces f (x) es irreducible en R[x]
Demostración: Sea f (x) = h(x)g(x), podemos suponer que h(x), g(x) ∈

R[x] pues en caso contrario, multiplicando por una constante adecuada se logra
esto.
Sea ck el coeficiente principal de h, entonces π - ck y sean g(x) y h(x) los
polinomios
g(x) = b0 + b1 x + . . . + bt xt , h(x) = c0 + c1 x + . . . + ck xk
Además a0 = c0 b0 y como π | a0 , entonces π | c0 ó π | b0 . De hecho podemos
suponer que π | b0 y π - c0 . Como π - bt entonces ∃ i < t tal que π | bj ∀ j < i y
π - bi .
Ahora ai = b0 ai +· · ·+bi−1 c1 +bi c0 , y los primeros i sumandos son divisibles
por π, mientras que el último no, ası́ que π - ai , por lo tanto i = n y ası́
deg f (x) = deg g(x), de donde h es constante y f es irreducible en k[x].
Ejercicio 5.22
i). Caracterizar los ideales maximales de Z[x]
ii). Sea R con dominio entero, f (x) = a0 + . . . + an xn ∈ R[x]. Entonces f (x)
es irreducible si, y sólo si, g(x) = an + · · · + a0 xn es irreducible.
iii). Sea F un campo finito con q elemento, f (x) ∈ F [x] un polinomio de grado
d > 0.
(a) Demuestre que el anillo F [x]/f (x) tiene q d elementos.

6 MÓDULOS 23
Qt
(b) Si f (x) = i=1 pei i es la factorización de f (x) como productos de
irreducibles con di = deg pi . Demuestre que
t
F [x] ∼ Y F [x]
U( )= U ( ei )
(f (x)) i=1
(pi )
de la ecuación anterior concluya que:

n
F [x] Y
| U( ) |= q ei (di −1) (q di − 1)
(f (x)) 1
6 Módulos
6.1 Generalidades de módulos
En adelante R denotará a un anillos conmutativo con identidad.
Definición 6.1 Un R-módulo es un grupo abeliano (M, +, 0) y una función

ϕ : R −→ M denotada por ϕ(r, m) = rm la cual satisface:
i). r(m + n) = rm + rn ∀ r ∈ R, n, m ∈ M
ii). (r + s)m = rm + sm ∀ r, s ∈ R, m ∈ M
iii). r(sm) = (rs)m ∀ r, s ∈ R, m ∈ M
iv). 1 · m = m ∀ m ∈ M.
Ejemplo 6.2
I. Espacios vectoriales sobre un campo K son ejemplos de K − módulos
II. Los grupos abelianos son Z − módulos

III. Los ideales de un anillo R son R − módulos y además son los únicos
R − módulos contendos en R
IV. Si R ⊆ B con B anillo, B es un R − módulo.
Definición 6.3 Si M y N son módulos, f : M → N se dice un R-homomor-

fismo de módulos (o R-homomorfismo) si satisface:
i. f (m + n) = f (m) + f (n), ∀ m, n ∈ M
ii. f (rm) = rf (m), ∀ r ∈ R, m ∈ M
Las definiciones de monomorfismo, epimorfismo e isomorfismo son análogos

a las definiciones para homomorfismos de grupos. Los conceptos siguientes se
definen de manera análoga al caso de grupos.

6 MÓDULOS 24
1. Submódulo
2. ker f = kernel de un hom.f
3. Im f = imagen de un hom.f
4. Módulo cociente
Teorema 6.4 [Teoremas de Isomorfismo para módulos] Sean M , N dos

R-módulos entonces:
1. Si f : M → N es homomorfismo se tiene que M/ ker f ∼ = = f . Dehecho
cada submódulo de M es el kernel de algún homomorfismo de M.
2. Si N2 ⊂ N1 ⊂ M son submódulos de M, entonces M/N2 ∼

= M
N1 /N2 N1
3. Si N1 y N2 son submódulos de M , entonces:

N1 + N2 ∼ N2
=
N1 N1 ∩ N2
Teorema 6.5 [Teorema de la correspondencia para módulos] Dado N

submódulo de M , los submódulos de M/N están en correspondencia biyectiva
con los submódulos de M que contienen a N
Definición 6.6 Si N1 , . . . , Nk son submódulos de M definimos:
N1 + . . . + Nk := {n1 + . . . + nk : ni ∈ Ni }
Se verifica sin dificultad que este conjunto es submódulo de M llamado la suma

de N1 , . . . , Nk .
Definición 6.7 (Submódulo generado por un conjutno) Sea X un sub-

conjunto de M . Se define el submódulo generado por X como el conjunto:
\
L (X) = hXi = N
X⊆N
N submódulo
Observación 6.8
1. Si X = ∅, L (∅) = {0}
2. Si X 6= ∅ se verifica que
k
X
L (X) = { ri mi : ri ∈ R, k ∈ N}
i=1
Definición 6.9 Sea X un subconjutno no vacı́o de M . SeP dice que X es R −

linealmente independiente (l.i.) si para toda suma finita ri mi = 0 implica
ri = 0, ∀i.

6 MÓDULOS 25
Definición 6.10 Un subconjunto X genera a M si M = L {X}

Definición 6.11 Un módulo M admite una base, si existe un subconjunto B ⊆
M tal que:
i. M = L (B)
ii. B es l.i
Definición 6.12 Si M admite una base M se dice un módulo libre.
Es conocido de algebra lineal que dado un conjunto de generadores, existe
una base contenida en este conjunto (si el espacio es de dimensión infinita se
usa el lema de Zorn).
En el caso de módulos el resultado anterior no es válido, como muestra el
siguiente ejemplo:
Ejemplo 6.13 Sea R un anillo con divisores de cero, a ∈ R divisor de cero.
Considere a I = (a) = {ra : r ∈ R}. Claramente {a} genera I como R−módulo
y {a} no es una base.
Ejemplos de módulos libres.
Ejemplo 6.14 Sea M = R × R × . . . × R. Definiendo en M, operaciones de

| {z }
n veces
suma y producto por componentes (el producto es por escalares). M adquiere
estructura de R−módulo. Sea ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ M, entonces {ei }ni=1
es una base de M , es decir, M es libre.
Ejemplo 6.15 Sea I un conjunto no vacı́o,
F = {f : I −→ R : f (α) = 0, para casi toda α ∈ I}
Definiendo en F operaciones de suma y producto punto a punto, F resulta un
R−módulo.
De hecho I se puede inyectar en F mediante la aplicación ϕ(α) = fα ∈ F , en
donde fα está definida por::

0 α 6= β
fα (β) =
1 α = β
además {fα } es una base de F.
En efecto:
i. {fα } genera a F . Sea f ∈ F , entonces ∃ α1 , . . . , αn ∈ I tales que
fP(αi ) = ai ∈ R \ {0} ∀ i y f (β) = 0 ∀ β ∈ / {α1 , . . . , αn }. Considere
n
a f
i=1 i αi . Evaluando en un elemento arbitrario β de I se tiene:
n n
X X 0 β 6= αi ∀ i
( ai fαi )(β) = ai fαi (β) = = f (β)
ai β = αi
i=1 i=1
Pn
Por tanto i=1 ai fαi = f .

6 MÓDULOS 26
Pn Pn
ii. Ahora si i=1 ri fai = 0 entonces ( i=1 ri fαi )(β) = 0 ∀ β en particular.
Xn
( ri fαi )(αi ) = ri = 0 ∀ i.
i=1
Notación: F se denota por F = RI o F = ⊕α∈I Rα con Rα ∼

= R ∀ α ∈ I.
Observación 6.16 El ejemplo 6.15 generaliza al ejemplo 6.14.
El ejemplo 6.13 muestra también que no todo ideal módulo admite una base.
Si I admite base, existe S ⊆ I tal que:
i. I = L (S)
ii. S es l.i
Si S existe entonces como S ⊆ I = (a), entonces S = {r1 a, r2 a, . . . }, pero S no
es l.i.
Teorema 6.17 Sea F un R−módulo, entonces las siguientes condiciones son
equivalentes:
i. F admite una base no vacı́a B
ii. F = ⊕i∈I Rmi mi ∈ F
iii. F ∼
= RI para algún I
Demostración:
i) ⇒ ii) Sea B una base de F , entonces F = ⊕mi ∈B Rmi
ii) ⇒ iii) Por hipótesis F = ⊕i∈I Rmi , mi ∈ F, entonces dado m ∈ F , m
admite una representación única de la forma:
k
X
aij mij
j=1
.
Definamos ϕ : F −→ RI = {f : I → R : f (α) = 0, para casi toda α ∈ I}
ϕ(m) = fm , en donde fm se define por:

0 si α ∈/ {i1 , . . . , ik }
fm (α) =
aij si α = ij
Se verifica sin dificultad que ϕ es un homomorfismo. Además ϕ es inyectiva,
pues si ϕ(m) = fm = 0 (la función identicamente cero), entonces: fm (ij ) =
aij = 0 ∀ ij , ası́ m = 0.
Más aún, ϕ es suprayectiva, pues dado f ∈ RI existen i1 , . . . , ik ∈ I tales
que:
f (ij ) = aij 6= 0 y f (α) = 0 ∀ α ∈
/ {i1 , . . . , ik }
Pk
Tomando m = j=1 aij mij se tiene que ϕ(m) = fm = f
iii) ⇒ i) Se sigue del ejemplo 6.15 que {fα } es una base de F y por tanto
es libre.

6 MÓDULOS 27
Corollary 6.18 Todo módulo M es cociente de un módulo libre F.
Demostración: Considere F = Rm sabemos que {fm }m∈M con:

1 si m = n
fm (n) =
0 si m 6= n
es una base de F por el ejemplo 6.15.

Definase ϕ : F −→ M por ϕ(fm ) = m y extiéndase por linealidad, entonces
el primer teorema de isomorfismo para módulos garantiza: M ∼= F/ ker ϕ
Observación 6.19
a. Si M = hm1 , . . . , mn i = Rm1 + . . . + Rmn entonces F se puede entener

como Rn .
b. Si M = Rn y N = Rm son R-módulos libres, los homomorfismos ϕ :
M −→ N se pueden describir como:
m
X
ϕ(ej ) = aij εi con aij ∈ R
i=1
es decir, ϕ tiene asociada una matriz A = (aij )1≤i≤m

1≤j≤n
Teorema 6.20 Sea R un anillo conmutativo con identidad F un R−módulo

libre. Entonces la cardinalidad de cualquier base de F es la misma.
Definición 6.21 Sea F un módulo libre sobre R (conmutativo, con identidad).

Se define el rango de F por rank(F ) = |B|, B una base.
6.2 Módulos finitamente generados (f.g.) sobre dominios

de ideales principales y matrices enteras
Teorema 6.22 Sea D un dominio entero, entonces las siguientes condiciones
son equivalentes:
i. D es D.I.P
ii. ∀ D-módulo libre F de rango finito y ∀ N ≤ F, N es libre y rank(N ) ≤
rank(F )
Demostración:
ii) ⇒ i) Sea I 6= (0) un ideal de R, como R es libre de rango 1, entonces
N = I es libre de rango menor o igual a 1 y como I 6= (0), entonces I es generado
por un sólo elemento.
i) ⇒ ii)Por el teorema 6.17 es suficiente probar el teorema para cuando
F = Dn para algún n ∈ N, por lo cual procederemos por inducción sobre n.

6 MÓDULOS 28
Si n = 1 entonces F = D y los submódulos de F son precisamente los

ideales de D los cuales son principales por hipótesis, por tanto son libres de
rango menor o igual a 1.
Supongamos el teorema cierto para todos los módulos de rango n − 1 y
probémoslo para los de rango n.
Sea F = De1 , ⊕ . . . ⊕, Den , F1 = De2 , ⊕ . . . ⊕, Den y N ≤ F . Probemos que
N es libre y rank(N ) ≤ n
Considere F/F1 ∼ = De1 más precisamente, {e1 + F1 } es una base F/F1 , sea
N̄ = (N + F1 )/F1 .
Si N̄ = 0 entonces N ⊆ F1 y por hipótesis inductiva N es libre y rank(N ) ≤
rank(F1 ) < n
Si N̄ 6= 0, entonces rank(N̄ ) = 1 es decir, existe ā1 = a1 + F1 , a1 ∈ N + F1
tal que N̄ = Dā1 , de hecho podemos suponer que a1 ∈ N . Si N ∩ F1 = (0) dado
x ∈ N, x̄ ∈ NF+F 1
1
= Dā1 ası́ que x̄ = rā1 luego x − ra1 ∈ F ∩ N = (0) y por
tanto x = ra1 , es decir, N = Da1 .
Si N ∩ F1 6= (0). Como N ∩ F1 ⊂ F1 entonces por hipótesis inductiva N ∩ F1
tiene una base {a2 , . . . , am } con m − 1 ≤ n − 1.
Afirmamos que {a1 , . . . , am } es base de N . En efecto:
a. La base escogida genera pues si x ∈ N entonces x̄ ∈ Dā1 = N̄ luego

x − ra1 ∈ F1 ∩ N, por tanto:
m
X
x − ra1 = ri ai y por lo tanto x ∈ L {a1 , . . . , am }
i=2
b. {a1 , . . . , am } es l.i. ya que si

n
X n
X
ri ai = 0 entonces 0 = ri āi = r1 āi
i=1 i=0
Y como ā1 es base de N̄ , entonces r1 = 0 de donde ri = 0 ∀ i
Definición 6.23 Sea R anillo conmutativo con identidad, diremos que A ∈

Mn×n (R) es invertible o que admite inversa si existe B ∈ Mn×n (R) tal que
AB = I con I la matriz identidad en Mn×n (R), es decir, I = (aij ) en donde
aij = 1 si i = j y aij = 0 si i 6= j. Si A es invertible, y AB = I más adelante
se probará que B es única y se le denotará por A−1 .
Definición 6.24 Sea R, A ∈ Mn×n (R), se define el determinante de A deno-

tado por det(A) por
X
det(A) = sig (σ)a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(n)
σ∈Sn
En donde Sn es el grupo de permutaciones de n elementos y sig(σ) denota el

signo de la permutación.

6 MÓDULOS 29
Ejercicio 6.25 Sea R un anillo conmutativo con identidad, A ∈ Mn×n (R)

a. Demuestre que
X
det(A) = sig (σ)aσ(1)1 aσ(2)2 · · · aσ(n)n
σ∈Sn
b. Definimos el menor de orden n − 1 de indice ij o correspondiente a aij ,

como el determinante Dij , de la matriz que se obtiene de A al suprimir
el renglón i-ésimo y la columna j-ésima. Y el cofactor de aij por cij =
(−1)i+j Dij .
Demuestre que
det(A) = ci1 ai1 +· · ·+cin ain = c1j a1j +· · ·+cnj anj ∀ 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n
A esta forma de calcular el determinante de la matriz se le llama desarrollo

por menores.
c. Demuestre que
ci1 ak1 + · · · + cin akn = 0 si i 6= k y
c1j a1k + · · · + cnj ank = 0 si j 6= k.
d. La matriz adjunta de A denotada por Adj(A) es por definición la matriz

transpuesta de la matriz B = (cij ). Demuestre que
Adj(A) · A = A · Adj(A) = det(A)I
e. Demuestre que si B es la matriz que se obtiene de A al intercambiar dos

renglones (ó dos columnas), entonces det(B) = − det(A).
f. Demuestre que si A tiene dos renglones idénticos o dos columnas idénticas,
entonces det(A) es divisor de cero, en paricular si R es dominio entero
det(A) = 0.
g. Demuestre que det(AB) = det(A) · det(B)
Ejercicio 6.26 Sea R un anillo conmutativo con identidad, A ∈ Mn×n (R)

a. Demuestre que A admite inverso si y sólo si det(A) ∈ U (R)
b. Demuestre que si A es invertible, entonces la inversa es única y AA−1 =
A−1 A = I, más aún A−1 = Adj(A)/ det(A).
c. Demuestre que si A y B son invertibles, AB lo es y además (AB)−1 =
B −1 A−1
Observación 6.27 Sea R anillo conmutativo con identidad, A, B ∈ Mn×n (R)

6 MÓDULOS 30
a. Una matriz de intercambio de renglones y/ó una de intercambio de colum-

nas es invertible, de hecho su inversa es ella misma.
b. Si r ∈ R, una matriz que suma r veces el renglón i-ésimo (y/ó columna)
al renglón j-ésimo (y/ó columna) es invertible, de hecho su inversa es
la matriz que le resta r veces renglón i-ésimo (y/ó columna) al renglón
j-ésimo (y/ó columna).
c. Sean a, b ∈ R y suponga que d = xa + yb, d | a, d | b entonces la matriz

x b/d
y −a/d
es invertible con inversa
a/d b/d
y −x
Notación: Sea D un dominio de ideales principales, m y n ∈ N. Deno-
taremos por Mm×n (D) el conjunto de matrices m × n con entradas en D y por
Mm (D) y Mn (D) los conjuntos de matrices m × m y n × n respectivamente.
Definición 6.28 Dados A, B ∈ Mm×n (D) se dice que A y B son equivalentes
si existen P ∈ Mm (D) y Q ∈ Mn (D) invertibles tales que: A = P B Q.
Definición 6.29 Sea D un D.I.P., r ∈ R, la longitud de r es por definición la
cantidad de primos (contando multiplicidad) que aparecen en la factorización de
r, denotada por l(r). En particular l(r) = 0 si y sólo si a ∈ U (D)
Teorema 6.30 Sea D un D.I.P., A ∈ Mm×n (D) entonces A es equivalente a
una matriz ”diagonal” de la forma {d1 , . . . , dr , 0, . . . , 0} con di 6= 0, di | di+1 ∀ i.
Equivalentemente existen matrices invertibles P y Q tales que
P AQ = diag{d1 , . . . , dr , 0, . . . , 0}
Demostración: Entre todas las matrices equivalentes con A, sea B = (bij )
una matriz que tenga una entrada (i, j) tal que l(bij ) sea mı́nima. Note que
esto es posible hacerlo debido a que las longitudes de las entradas de A misma
son finitas. Como las matrices de intercambio de renglones y/ó columnas son
invertibles de hecho podemos pensar que b11 tiene longitud mı́nima.
Veamos que b11 | b1j y b11 | bi1 para todo 1 < i ≤ m, 1 < j ≤ n. Para probar
esto procedamos por reducción al absurdo, nuevamente utilizando el hecho de
que se pueden intercambiar columnas, suponga que b11 - b12 , como D es D.I.P.,
existen x, y ∈ D tales que d = (b11 , b12 ) = xb11 + yb12 , más aun l(d) < l(b11 ).
Utilizando la observación 6.27 inciso (c), se concluye que la matriz
..
 
b12
 x d 0 . 0 
 y − b11 0 . . . 0 
 d 

 0 .. 
 0 1 . 0 

 . . .
 .. .. ..


0 0 0 ... 1

6 MÓDULOS 31
Es invertible y que:
..
 
b12
 x 0 . 0  
d

b
 y − 11 d 0 ∗ ... ∗
0 ... 0 
 d
..
  ∗ ∗ ∗ ... ∗ 
B 0 =
   
0 1 . 0  .. .. .. .. 

 . ..
  . . . . 
. .. 
 . . .  ∗ ∗ ∗ ... ∗
0 0 0 ... 1
es una matriz equivalente con A y l(d) < l(b11 ) que es una contradicción. Por
lo tanto b11 | b1j y b11 | bi1 para todo 1 < i ≤ m, 1 < j ≤ n. Aplicando el
inciso (b) de la observación 6.27 podemos suponer entonces que bi1 = b1j = 0
para todo 1 < i ≤ m, 1 < j ≤ n
Ahora b11 | bij para todo 1 < i ≤ m, 1 < j ≤ n pues de lo contraio al sumar
el renglón i-ésimo al renglón 1, contradiciriamos el paso anteior, la conclusión
se sigue por inducción ya sea sobre n o sobre m (dependiendo cual es más chico)
ya que la submatriz  
b22 . . . b2n
 .. . . .. 
 . . . 
bm2 ... bmn
se puede ”diagonalizar” de tal forma que b11 | bij .
Observación 6.31 La prueba del teorema anterior no es constructiva y en ge-

neral determinar la matriz B no es una tarea fácil, por lo que a continuación
presentamos una prueba para dominios euclidianos que es constructiva .
Demostración: Si A = 0 no hay nada que probar. Supongamos que A 6= 0 y

sea f : D∗ −→ Z∗ una función euclidiana.
1. Como el intercambio de renglónes y/o de columnas es invertible pode-

mos suponer que si A tiene entradas cero en el primer renglón o en
la primera columna, estás aparecen al final, de hecho podemos suponer
que la primera entrada no es cero. Más aún, podemos suponer que
0 < f (a11 ) ≤ f (aij ) ∀ i, j, pues en caso contrario A es equivalente a una
matriz  
b11 . . . b1n
B =  ... .. 

. 
bm1 ... bmn
la cual satisface 0 < f (b11 ) ≤ f (bij ) ∀ i, j con bij 6= 0
2. Sea k > 1 entonces b1k = b11 ck + c1k con c1k = 0 o f (c1k ) < f (b11 ). Si
c1k = 0, para en este caso b11 | b1k , en caso contrarı́o restando ck veces
la columna 1 a la columna k-ésima el elemento b1k se transforma en c1k ,
haciendo lo mismo con las entradas bk1 se obtiene que B es equivalente a
una matriz de la forma

6 MÓDULOS 32
 
b11 c12 ... c1n

 c21 c22 ... c2n 

 .. .. .. 
 . . . 
cm1 cm2 ... cmn
Aplicando nuevamente el procedimiento desde el paso (1) y después de un

número finito de veces se obtiene una matriz de la forma:
 
c11 c12 ... c1n

 c21 c22 ... c2n 

 .. .. .. 
 . . . 
cm1 cm2 ... cmn
en donde c11 | c1k y c11 | ck1 ∀k>1

Esta última matriz es equivalente a una matriz de la forma:
 
c11 0 ... 0
 0 d22 ... d2n 
 . . . (1)
 
 .. .. ..
 . . . 
0 dm2 ... dmn
3. Si c11 - dk1 para algún k ≥ 2 entonces sumando la fila k-ésima a la primera

fila de la matriz en (1), esta toma la forma:
 
c11 dk2 . . . dkn
0 d22 . . . d2n 
..  . . . (2)
 
 .. ..
 . . . 
0 dm2 . . . dmn
Aplicando nuevamente el procedimiento anterior a la primera fila en (2)

se obtiene una matriz equivalente a A de la forma:
 
d11 0 ... 0
 0 e22 . . . e2n 
..  . . . (3)
 
 .. ..
 . . . 
0 em2 ... emn
Con la propiedad d11 | ekl ∀ k, ∀ l. Aplicando el procedimiento induc-

tivamente se construye una matriz diag{d11 , . . . , drr , 0 . . . , 0} la cual es
equivalente a A y dii | di+1,i+1 poniendo dii = di ∀ i, di | di+1
Definición 6.32 A la matriz diag{d1 , . . . , dr , 0, . . . , 0} se le llama la forma nor-

mal de A o forma normal de Smith. A los elementos d1 , . . . , dr se les llama los
factores invariantes de A.

6 MÓDULOS 33
En los teoremas siguientes mostraran que esta forma es única ası́ como los
factores invariantes, en el sentido de que los di s son distintos en otras formas
tan sólo por unidades.
 
4 5 6
Ejemplo 6.33 Sea A =  3 5 −1  encuentre la forma normal de A
7 8 0
     
3 5 −1 −1 5 3 −1 0 0
A∼ 4 5 6  ∼  6 5 4  ∼  6 35 22 
7 8 0 0 8 7 0 8 7
     
−1 0 0 −1 0 0 −1 0 0
∼  0 35 22  ∼  0 7 8  ∼  0 7 1 
0 8 7 0 22 35 0 22 13
     
−1 0 0 −1 0 0 −1 0 0
∼ 0 1 7 ∼ 0 1 0 ∼ 0 1 0 
0 13 22 0 13 −69 0 0 −69
 
1 0 0
∼ 0 1 0 =D
0 0 69
 
2 4 −16
Ejemplo 6.34 Sea A =  6 8 −8  encuentre la forma normal de A
12 24 12
Entonces
     
2 4 −16 2 0 0 2 0 0
A= 6 8 −8  ∼  6 −4 40  ∼  0 −4 40 
12 24 12 12 0 108 0 0 108
 
2 0 0
∼ 0 −4 0 
0 0 108
Y las operaciones elementales que se aplicaron nos dan
    
1 0 0 1 0 0 1 0 0
P =  0 −1 0   −3 1 0  =  −3 1 0 
−6 0 1 0 0 1 −6 0 1
     
1 −2 0 1 0 8 1 0 0 1 −2 −12
Q= 0 1 0  0 1 0  0 1 10  =  0 1 10 
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

6 MÓDULOS 34
Observación 6.35 Consideremos la sig. ecuación matricial
AX = B . . . (∗)
Sean P y Q invertibles tales que P AQ = D, Y = Q−1 X, B0 = P B y
DY = B0 . . . (∗∗)
Entonces (*) y (**) son equivalentes en el sentido de que una solución de

(*) induce una de (**) y recı́procamente.
Demostración: Si Y1 es una solución de (**), entonces DY1 = B0 = P B ası́
que B = P −1 DY1 = P −1 (P AQ)Y1 = AQY1 de donde tomando X1 = QY1 se
tiene una solución de (*), el recı́proco es claro.

2 4 −16
Ejemplo 6.36 Sea A = encuentre las soluciones enteras del
6 8 −8
 
x1
b1
sistema AX = A  x2  =
b2
x3
Tomando
 
1 −2 −12
1 0
P = y Q= 0 1 10 
−3 1
0 0 1
Se tiene que
2 0 0
P AQ = D =
0 −4 0
 
x1
b1
Entonces el sistema AX = A  x2  = es equivalente al sistema
b2
x3
DY = B0 = P B es decir
 
y
0 0  1 

2 1 0 b1 b1
y2 = =
0 −4 0 −3 1 b2 −3b1 + b2
y3
Por lo tanto y1 = b21 , y2 = −3b−4

1 +b2
, y3 libre. Por lo que para que el sistema
tenga solución se debe tener que b1 = 0 mod 2 y −3b1 + b2 = 0 mod 4 lo cual
pasa si y sólo si b1 = 2k con k ∈ Z y −6k + b2 = −2k + b2 = 0 mod 4 que
sucede cuando b1 = 2k y b2 = 2k + 4l con l ∈ Z. En este caso la solución del
sistema es
     
1 −2 −12 y1 1 −2 −12 b1 /2
−3b1 +b2
X = QY =  0 1 10   y2  =  0 1 10   −4

0 0 1 y3 0 0 1 y3

6 MÓDULOS 35
b2
   
−b1 + 2 − 12t −k + 2l − 12t
−3b1 +b2  =  −k + l + 10t 
= 4 + 10t
t t
En donde k, l, t ∈ Z son libres.
Definición 6.37 Dado M , D−módulo, con D un dominio, se define la torsión

de M por T (M ) = {m ∈ M : ∃r ∈ D∗ , rm = 0}. T (M ) es un submódulo de
M . Dado m ∈ M definimos Ann (m) = {r ∈ D : rm = 0} llamado el anulador
de m. Se verifica que Ann (m) es un ideal de D. Diremos que M es de torsión
si T(M)=M, y dirémos que es libre de torsión si T (M ) = {0}.
Definición 6.38 Se dice que un D-módulo M es cı́clico si admite a un conjunto

{a} con un único genrador, es decir, es de la forma M=Da.
Observación 6.39 Si M es un D-módulo cı́clico, entonces está competamente

determinado por el anulador de su generador ya que por el primer teorema de
isomorfismo M ∼ = D/Ann (a). Observe que si b ∈ Da = (a) entonces Ann (a) ⊆
Ann (b) y por lo tanto si b es otro generador de Da entonces Ann (a) = Ann (b).
En particular si Ann (a) = 0 entonces D ∼ = Da = (a).
Teorema 6.40 Sea M un D−módulo finitamente generado, D un D.I.P. En-

tonces existen m1 , . . . , mk ∈ M tales que Ann (m1 ) ⊇ Ann (m2 ) ⊇ . . . ⊇ Ann (mk )
con Ann (mi ) 6= 0 ∀ i y M = Dm1 ⊕ . . . ⊕ Dmk
Demostración: Como M es finitamente generado, existen x1 , . . . , xn ∈ M

tales que M = Dx1 + . . . + Dxn . Sea ϕ : Dn −→ M dada por ϕ(ei ) = xi , ϕ es
n
un homomorfsmo con kernel K, ası́ que, DK ∼ = M . Por el Teorema 6.22, como K
en un submódulo de Dn , existe una base {f1 , . . . , fP m } de K, más aún, cada fi es
n
combinación lineal de {e1 , . . . , en }, es decir, fi = j=1 aij ej . Sea A = (aij ) la
matriz de coeficientes en la anterior representación de las fi . Por el Teorema 6.30
existen matrices P y Q invertibles tales que P AQ = diag{d1 , . . . , dr , 0, . . . , 0}
con di | di+1 . Como P y Q son matrices invertibles, podemos suponer que son
matrices de cambio de base en K y Dn respectivamente. Sean las nuevas bases
{fi0 } y {e0j } respectivamente. La matriz de coeficientes de estas bases es P AQ
0
y por lo tanto fiP = di e0i , i = 1, . . . , m.
n
Sean mi = j=1 qij xj con i ∈ {1, . . . , n}, Q = (qij ). Como se tiene la
igualdad
 
q11 . . . q1n
 .. ..   x   m   
 . .  1 1 m1
  .   .  −1 . 
  ..  =  ..  entonces X = Q  .. 
 qi1 . . . qin   

 .
 ..  xn mn mn

qn1 ... qnn
Es decir, las xi ’s están generadas por las mi ´s de donde estas últimas generan
a M.

6 MÓDULOS 36
0
Estos generadores {mi }m
i=1 satisfacen ϕ(ei ) = mi pues:
Xn n
X n
X
ϕ(ei ) = xi ⇒ ϕ(e0i ) = ϕ( qij ej ) = qij ϕ(ei ) = qij xj = mi
j=1 j=1 j=1
Por otro lado tenemos que {f10 , . . . , fm 0

} es una base K y fi0 = di ei 0 de donde
0 0 0
se obtiene di m Pim= di ϕ(ei ) = ϕ(di ei ) = ϕ(fP i ) = 0 ∀ 1 ≤ i ≤P m.
0 n 0
P 0 Ahora si i=1 bi mi = 0 entonces 0 = b i ϕ(e i ) = ϕ( i=1 bi ei ) por lo que
0 0
P 0 P 0 0
bi ei ∈ {f1 , . . . , fm }, entonces bi e i = ai di ei y como {ei } es una base,
entonces bi = ai di ∀ i, de donde bi mi = ai di mi = 0, por tanto Dm1 + . . . + Dmn
es una suma directa y M = Dm1 ⊕ . . . ⊕ Dmn .
Probemos que Ann (mi ) = (di ). Ya se probó que (di ) ⊆ Ann (mi ).
Si bi mi = 0 entonces bϕ(e0i ) = 0 ası́ ϕ(be0i ) = 0 luego bi e0i ∈ {d1 e01 , . . . , dm e0m }
por tanto bi e0i = ai di e0i de lo que se sigue que bi = ai di y entonces Ann (mi ) =
(di ). Más aún, como di | di+1 entonces Ann (mi ) = (di ) ⊇ (di+1 ) = Ann(mi+1 )
Finalmente si algún mi tiene anulador una unidad se descarta ese sumando.
Teorema 6.41 Con las hipótesis del teorema anterior M = T (M ) ⊕ F con F

libre.
Demostración: Con la notación del teorema 6.40 sea r tal que Ann (mi ) 6=
0 ∀ i ≤ r, Ann (mi ) = 0, i > r.
Afirmación T (M ) = Dm1 ⊕ . . . ⊕ Dmr . Es claro que Dm1 ⊕ . . . ⊕ Dmi ⊆
T (M ).
Sea z ∈ T (M ) ⊆ M , entonces z = b1 m1 +. . .+br mr +br+1 mr+1 +. . .+bk mk .
Como z ∈ T (M ), ∃a ∈ D∗ tal que az = 0 entonces 0 = az = ab1 m1 + . . . +
abr mr + abr+1 mr+1 + . . . + abk mk = 0
Como la suma de los submódulos generados por las mi es directa, los coefi-
cientes en la ec. anterior deben ser cero, es decir, abi = 0 ∀ i. Como Ann (mi ) =
0 ∀ i > r entonces abi = 0 ∀ i > r, además a 6= 0 ası́ que bi = 0, luego
z ∈ Dm1 ⊕ . . . ⊕ Dmr
Sea ahora F = Dmr+1 ⊕ . . . ⊕ Dmk , entonces como Ann (mi ) = 0 por la

observación 6.39, Dmi ∼
= D y por lo tanto F ∼
= Dk−r−1 el cuál es libre.
Definición 6.42 Dado p ∈ D con D un D.I.P., y p primo se define T (M )p =
{m ∈ M : pn m = 0 para algún n} y se llama la p parte de T (M )
Observación 6.43 Sea M módulo sobre D de ideales principales. Si m ∈

T (M )p ∩ T (M )q con p y q primos distintos, entonces existen x, y ∈ D tales que
1 = pe1 x + q e2 y y ası́ m = 1 · m = (pe1 x + q e2 y)m = x(pe1 m) + y(q e2 m) = 0 por
lo tanto la suma es directa.
Observación 6.44 T (M )p es submódulo de T (M ) ∀ p primo, por lo tanto

L
p primo T (M )p también es submódulo de T (M ).

6 MÓDULOS 37
Teorema 6.45 Sea M = Dx, Ann (x) = (d), d = gh con (g, h) = 1. Entonces
existen y, z ∈ M tales que M = Dy ⊕ Dz, Ann (y) = (g), y Ann (z) = (h).
Recı́procamente si M = Dy + Dz con Ann (z) = (h), Ann (y) = (g), (g, h) = 1
entonces M = Dx con Ann (x) = (gh)
Demostración: Como (g, h) = 1 entonces existen a, b ∈ D tales que:
1 = ag + bh . . . (1)
Sean y = hx, z = gx. Probaremos que M = Dx = Dy + Dz para lo cual

basta ver que x ∈ Dy + Dz. lo cual se sigue de (1) pues x = 1 · x = agx + bhx =
az + by ∈ Dz + Dy
Observe que gy = ghx = dx = 0 ası́ que g ∈ Ann (y) además si s ∈ Ann (y)
entonces 0 = sy = shx y por lo tanto sh ∈ Ann (x) = (gh) de donde sh = tgh y
s = tg ∈ (g), luego Ann (y) = (g). Análogamente se prueba que Ann (z) = (h).
Veamos ahora que la suma es directa. Sea m ∈ Dy ∩ Dz entonces m = ry =
tz con r, t ∈ D, de esta ecuación se concluye que gm = gry = r(gy) = 0 y
hm = htz = t(hz) = 0, por tanto usando otra vez (1) tenemos que
1 · m = m = agm + bhm = 0
y se tiene entonces que M = Dy ⊕ DZ.

Recı́procamente, como en la parte anterior se prueba que Dy y Dz forman
una suma directa, es decir, M = Dy ⊕ Dz. Sea x = y + z, note que si cx = 0
entonces cy = −cz y como Dy ∩ Dz = {0} se tiene que cy = cz = 0 luego
c ∈ Ann (y) ∩ Ann (z) = (g) ∩ (h), por lo tanto Ann (x) ⊆ Ann (y) ∩ Ann (z).
Ahora claramente (gh) ⊆ (g) ∩ (h) y usando una vez más (1) tenemos que
para s ∈ (g) ∩ (h), s = gn = hm con lo que
s = sag + sbh = hmag + gnbh ∈ (gh)
de donde Ann (y) ∩ Ann (z) = (g) ∩ (h) = (gh) ⊇ Ann(x)

Por otro lado si s ∈ Ann (y) ∩ Ann (z) claramente sx = 0, es decir, s ∈ Ann (x)
y por tanto Ann (x) = (gh).
Ahora, como M = Dy + Dz, para probar que M = Dx, basta verificar que
y, z ∈ Dx. Usando nuevamente (1) tenemos que y = (ag + bh)y = bhy = bh(y +
z) = bhx ∈ Dx. Más aún z = x − y ∈ Dx. Por lo tanto M = Dy ⊕ Dz = Dx.
Corollary 6.46 Por inducción se sigue que si M = Dx, Ann (x) = (pe11 · · · pekk )
Lk
con pi primos diferentes, entonces M = i=1 Dxi y Ann (xi ) = (pei i ).
Definición 6.47 El corolario anterior establece que todo módulo cı́clico de tor-
sión M = Dx es suma directa de submódulos cı́clicos primarios. Un módulo
cı́clico M = Dx se dice p-primario si Ann (x) = (pe ) con p primo.
Observación 6.48 Sea D un D.I.P. tal que Dz⊕Dy, Ann (z) = (h) y Ann (y) =
(g) entonces (h, g) = 1.

6 MÓDULOS 38
Demostración: Por el corolario 6.46 D = ⊕Dxi y D = ⊕Dx0i con Ann (xi ) =

f
(pei i ), Ann (x0i ) = (qi j ), h = pe11 · · · pess , g = q1f1 · · · qtft en dondde loa pi ’s son
primos distintos y los qj ’s son primos distintos. Si (h, g) = 1 entonces tienen
al menos un primo en común, de hecho podemos suponer que p1 = q1 , en
este caso se tiene que pe11 xi = 0 = q1f1 x0i ası́ que xi , x0i ∈ T (M )p1 = T (M )q1 .
Ahora por el teorema 6.49 Dz = ⊕T (M )pi y Dy = ⊕T (M )qj por lo cual
T (M )p1 ⊆ Dz ∩ Dy = {0}, ası́ que T (M )p1 = 0 y xi = x0i con lo que Dxi = Dx0i
lo cual es una contradicción. Por lo tanto (h, g) = 1.
Teorema 6.49 Sea M un módulo de torsión f.g., entonces T (M )p = 0 para casi

Lk
todo p y si p1 , . . . , pk son tales que T (M )pi 6= 0 entonces M = i=1 T (M )pi .
Demostración: Por el teorema 6.40, M = Dm1 ⊕ . . . ⊕ Dmk con Ann (mi ) =

(di ) 6= 0, ∀i. Por el corolario 6.46, Dmi = ⊕kj=1
i
Dxij con
eik e
Ann (mi ) = (pei1i1 · · · pik1i ), Ann (xij ) = (pijij )
e
Ası́ que pijij xij = 0 y por lo tanto
xij ∈ T (M )pij ,
de donde mi = si1 xi1 + · · · + siki xiki ∈ ⊕kj=1

i
T (M )pij y Dmi ⊆ ⊕kj=1
i
T (M )pij
Se sigue entonces que:
M ki
k M M
M⊆ T (M )pij ⊆ T (M )p ,
i=1 j=1 p primo
que junto con la observación 6.44 demuestran la igualdad.

Sea ahora p1 , . . . , pl un reordenamiento de los primos pij , si p 6∈ {p1 , . . . , pl }
Ll
entonces T (M )p = T (M )p ∩ ( i=1 T (M )pi ) = {0}
Observación 6.50 Sea M un D-módulo, y k ∈ N, entonces el conjunto Mk =

{pk m | m ∈ M } es un D-submódulo de M.
Demostración: Es suficiente ver que es cerrado bajo la multiplicación por

”escalares” y bajo la suma. Lo cual se sigue de que pk m = 0 = pk m1 →
pk (m + m1 ) = 0 y de que si r ∈ D entonces pk (rm) = r(pk m) = 0.
Teorema 6.51 [Teorema de los invariantes del módulo] Sea M un módulo

tal que M = Dz1 ⊕ . . . ⊕ Dzs = Dw1 ⊕ . . . ⊕ Dwt con
Ann (zi ) ⊇ Ann (zi+1 ), Ann (wi ) ⊇ Ann (wi+1 ), ∀ i.
Suponga que ningún sumando en la representación es cero. Entonces s = t y

Ann (zi ) = Ann (wi ), ∀ i.

6 MÓDULOS 39
Demostración: Sean r, u ∈ N tales que Ann (zi ) 6= 0, ∀ i ≤ r, Ann (zi ) =

0, i > r, Ann (wi ) 6= 0 i ≤ u, Ann (wi ) = 0, i > u. Entonces (Teorema 6.41)
T (M ) = Dz1 ⊕ . . . ⊕ Dzr = Dw1 ⊕ . . . ⊕ Dwu , por tanto M/T (M ) ∼ = F, por
otro lado M/T (M ) ∼ = Dzr+1 ⊕ . . . ⊕ Dzs ∼ = Dwu+1 ⊕ . . . ⊕ Dwt y como F es
libre rank(F ) = t − u = s − r.
De esta parte se concluye que basta probar el resultado suponiendo que
M = T (M ). Descomponiendo los sumandos cı́clcios de M en cı́clicos primarios
y agrupando las componentes p-primarias se obtiene la p-parte de T (M ). Para
probar que el número de sumandos en M es el mismo basta probarlo para cada
T (M )p , por lo tanto, podemos suponer que M = T (M )p para algún p. Por
hipótesis, Ann (zi ) = pei , Ann (wi ) = pti . (Note que e1 ≤ . . . ≤ es y f1 ≤ . . . ≤
ft ).
Sea k ∈ N, pk M = {pk m : m ∈ M }, es un submódulo de M, ası́ pk M =
Dp z1 ⊕ . . . ⊕ Dpk zs = Dpk w1 ⊕ . . . ⊕ Dpk wt . (Observe que M ⊇ pM ⊇ p2 M ⊇
k
. . .).
k
Considere Mk = PPk+1MM , no es difı́cil verificar que M x es un D/(p)−módulo.
Como p es primo, y D es P.I.D entonce (p) es maximal, por tanto D/(p) es un
campo, ası́ que Mk es un k−espacio vectorial. Más aún,
Dpk z1 Dpk zs
Mk ∼
= k+1
⊕ ... ⊕
Dp z1 Dpk+1 zs
Note que el número de sumandos distintos de cero en Mk es igual al número de
ei que son mayores que k.
Por tanto, dimk MR es igual al número de ei ´s que son mayores que k e igual
a la cantidad de fi ’s que son mayores que k.
Por tanto s = t y ei = fi ∀ i. Probando lo que se querı́a.
Observación 6.52 1. Este resultado complementa el Teorema 6.40 para mostrar

que la descomposición de M como suma de submódulos cı́clicos es única
2. De hecho con ambos resultados se tiene que todo módulo M se puede rep-
resentar de forma única como M = T (M ) ⊕ F con F libre, en particular
si F ∼
= Dn , entonces a n se le llama el rango del módulo denotado por
rank(M )
Ejercicio 6.53 Hacer un programa que tenga por entrada una matriz con en-
tradas en Z, y el vector de variables independientes y que tenga por salida el
rango de la matriz, los factores de la matriz, los factores invariantes de la ma-
triz y obtener todas las soluciones del sistema. Si se tiene n = m decidir si la
matriz tiene inversa.
Definición 6.54 Los ideales anulador de zi , Ann (zi ) se llaman ideales inva-
riantes de M .
Definición 6.55 rank (M ) = rank (F ) con M = T (M ) ⊕ F.

6 MÓDULOS 40
6.2.1 Aplicación de la forma normal de Smith a grupos f.g.

Sea {ei } una base de G, {f1 , . . . , fn } un conjunto de generadores de H. Como
H ⊆ G y {ei } es base de G, entonces:
n
X
fi = aij ej ;
j=1
estas ecuaciones equivalen a f~ = A~e ⇔

  
  a11 . . . a1n e1
f1  .. ..   .. 
 f2   . .  . 
 
  
 ..  =  f i1 ... ain  

 ei 

.   . .. .
 .. .   .. 
 
fn
am1 . . . amn en
Por el Teorema 6.30, existen matrices invertibles P y Q tales que P AQ =

D = diag{d1 , . . . , dr, 0, . . . , 0} con di | di+1 ∀ i. De la ecuación anterior se
obtiene A = P −1 DQ−1 , por tanto:
f~ = P −1 DQ−1~e
De esta última ecuación se obtiene P f~ = DQ−1~e.

Poniendo ~v = P f~ y ~u = Q−1~e se tiene que {v1 , . . . , vr } y {u1 , . . . , un } son
bases de H y G respectivamente, además vi = di ui , i = 1, . . . , r.
Solamente falta verificar que {v1 , . . . , vr } es una base de H.
De la ecuación anterior ~v = P f~ con P invertible se obtiene que {v1 , . . . , vr }
es un conjunto de generadores, pues {f1 , . . . , fm } son generadores de H. La
independencia lineal se obtiene de las ecuaciones vi = di ui , {u1 , . . . , un } que es
base de G.
Ejemplo 6.56 (Ejemplo numérico.) Sea G = Z × Z y H el subgrupo de G

generado por {(1, 2), (2, 3)}:

1 2
f1 = (1, 2) = (1, 0) + 2(0, 1), f2 = (2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1), A=
2 3
Entonces:
1
0 1 2 1 2
=
−2
1 2 3 0 −1

1 2 1 2 1 0
=
0 1 0 −1 0 −1

1 0 1 2 1 0 −3 2
P = =
0 −1 0 1 −2 1 2 −1

7 ANILLOS Y MÓDULOS NOETHERIANOS 41
Q=I

−3 2 f1 e
~v = P f~ = = 1
2 −1 f2 e2
Ejemplo 6.57 Sea ahora G = Z × Z y H el subgrupo de G generado por

{(1, 5), (2,
3)}, f1 = (1, 5) = (1, 0) + 5(0, 1), f2 = (2, 3) = 2(1, 0) + 3(0, 1)
1 5
ası́ A = , entonces
2 3

1 0 1 5 1 5 1 5 1 −5 1 0
= y =
−2 1 2 3 0 −7 0 −7 0 1 0 −7
entonces

1 0 1 −5 1 5
P = , Q= y Q−1 =
−2 1 0 1 0 1
Luego u1 = e1 + 5e2 , u2 = e2 , v1 = f y v2 = −2f1 + f2

Note que rank(H) = rank(G) = 2, sin embargo H 6= G, esto se debe a que
H = T (H) ⊕ Z2
H/Z2 ∼= Z/7Z
7 Anillos y módulos Noetherianos

7.1 Anillos Noetherianos
Definición 7.1 Un anillo es llamado Noetheriano si satisface alguna de las
condiciones i), ii) o iii) del Teorema 3.9 y es conmutativo con identidad.
Definición 7.2 Un dominio Noetheriano es un anillo noetheriano que es do-

minio entero.
Ejemplo 7.3 Los dominios euclidianos y de ideales principales son Noetheria-

nos.
Proposition 7.4 Sea R un anillo Noetheriano, entonces:

i. ϕ es homomorfismo, implica que ϕ(R) es Noetheriano.
ii. Si a ∈ R∗ entonces a = Π1 . . . Πk , con Πi irreducible.
iii. Cada ideal I en R contiene un producto de ideales primos.
Demostración: (i) Sea I 0 ideal de ϕ(R) y considere I = ϕ−1 (I 0 ), se verifica sin

dificultad que I es ideal de R, por lo que es f.g., sean m1 , . . . , mn un conjunto
de generadores de I, entonces para b ∈ I 0 existe a ∈ I tal que b = ϕ(a) y
a = r1 m1 + · · · + rn mn ası́ b = r1 ϕ(m1 ) + · · · + rn ϕ(mn ) ∈ (ϕ(m1 ), . . . , ϕ(mn ))
de donde I 0 es f.g.

(ii) Si a es unidad o irreducible no hay nada que probar, suponga entonces

que a = a1 b1 con a1 , b1 no unidades si a1 no es irreducible nuevamente a1 =
a2 b2 con a2 , b2 no unidades, continuando con el proceso podemos construir una
sucesión {an } de elementos de R tal que (a) ⊆ (a1 ) ⊆ (a2 ) ⊆ · · · ⊆ (an ) ⊆ . . . ,
la cual por hipótesis se debe estacionar y por lo tanto existe n ∈ N tal que
(an ) = (an+k ) ∀ k ∈ N, luego an es irreducible, argumentando de manera
análoga para bn se tiene que este debe ser irreducible o producto de irreducibles,
de donde se tiene también que a1 es producto de irreducibles, luego por el mismo
argumento aplicado a b1 se tiene que a es producto de irreducibles.
(ii) Sea F = {I | I es ideal de R no trivial que no contiene un producto de
ideales primos }. Si F 6= ∅ al ser R noetheriano, F tiene un elemento maximal
digamos I. Veamos que I es primo, en efecto, si xy ∈ I y x, y 6∈ I entonces
I = xy + I = (x + I)(y + I) y por la maximalidad de I se debe tener que los
ideales xR + I, yR + I deben contener un producto de primos, pero entonces I
contiene un producto de primos, lo cual no puede ser, por lo tanto I es primo y
se tiene lo pedido. Si F = ∅ se tiene de manera trivial el resultado.
Lema 7.5 Si I es un ideal en R[x] (R Noetheriano), i ∈ Z ∪ {0}
Li (I) = {ai : ∃ f (x) ∈ I con f (x) = ai xi + . . . + a0 } ∪ {0} entonces:
a. Li (I) es un ideal de R
b. {Li (I)}i∈N es una sucesión creciente de ideales en R.
c. Si I es un ideal en R[X] tal que I ⊆ J y Li (J) = Li (I) ∀ i ∈ N entonces
I = J.
Demostración:
a. Para ver que es ideal basta ver que es cerrado bajo la suma y multiplicación
por escalares (elementos de R) lo cual se sigue del hecho de que si ai , bi ∈
Li (I) entonces hay un par de polinomios en I cuyo coeficientes principales
son ai y bi respectivamente, pero entonces el polinomio sumaestá en I,
tiene coeficiente principal ai + bi si esta última suma no es cero y es de
grado i. Si la suma es cero por definición es un elemento de Li (I). También
cualquiera de estos polinomios multiplicado por un r ∈ R está en I y es
de grado i si rai 6= 0 , en caso contrario rai = 0 ∈ Li (I)
b. Probaremos que Li (I) ⊆ Li+1 (I), en efecto:
Sea ai ∈ Li (I), entonces ∃ f (x) = ai xi + . . . a0 ∈ I, luego: xf (x) ∈ I de
donde ai ∈ Li+1 (I)
c. Probaremos que J ⊆ I. Sea g(x) ∈ J, g(x) = bi xi +. . .+b0 entonces bi ∈
Li (J) = Li (I) ası́ que ∃ f (x) ∈ I tal que f (x) = bi xi + q(x) con
deg(q(x)) < i. Entonces deg(g(x)−f (x)) ≤ i−1 y además g(x)−f (x) ∈ J,
inductivamente tenemos que:
g(x) − f (x) − f1 (x) − . . . − fj (x) ∈ J con deg(g(x) − f (x) − f1 (x) − . . . −
fj (x)) ≤ i − j − 1, f (x), f1 (x), . . . , fj (x) ∈ I. Cuando j = i − 1 tendremos
entonces que g(x) = f (x) + f1 (x) + . . . + fj (x) + a0 ∈ I. Por tanto J = I.

Teorema 7.6 [Teorema de la base de Hilbert] Si R es un anill Noetheri-

ano, entonces R[x] también es Noetheriano
Demostración: Sea {In }n∈N una sucesión creciente de ideales en R[x], en-
tonces si fijamos i, para:
{Li (Ij )}(i,j)∈N×N existe n(i) tal que Li (In(i) ) = Li (In(i)+k ) ∀ k ∈ N
pues R es Noetheriano. Por el lema 7.5 anterior, concluimos que:
In(i) = In(i)+k ∀ k ∈ N
Corollary 7.7 Un anillo de polinomios sobre un campo es Noetheriano, o sobre

un anillo de enteros también es Noetheriano.
Demostración: En un campo los únicos ideales son el (0) y el total, en par-

ticular es D.I.P., luego cada ideal es f.g., también Z es D.I.P.
7.2 Módulos Noetherianos

Definición 7.8 Sea R un R−módulo, M , se dice Noetheriano si satisface al-
guna de las siguientes condiciones:
i. Todo submódulo de M es f.g.
ii. Toda sucesión creciente de submódulos de M, {Mn }n∈N tal que Mi 6=
Mi+1 (es estacionaria), es finita.
iii. Todo conjunto no vacı́o S de submódulos de M tiene un elemento maximal.
Proposition 7.9 Sea M un R−módulo Noetheriano, entonces todo submódulo

y todo módulo cociente de M es Noetheriano.
Demostración: La primera afirmación es inmediata. Sea M M2

N ⊂ N ⊂ . . . una
1
sucesión creciente de submódulos en M

N.
Por el teorema de la correspondencia M1 ⊆ M2 ⊆ . . . , como M es Noetheri-
ano existe Mr tal que Mr = Mi+r ∀ i, luego por el teorema de la correspondencia
Mv Mr+i
N = N ∀ i.

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1 DEFINICIONES BÁSICAS 1

Definición 1.2 Si R es un anillo conmutativo, a ∈ R − {0} se dice divisor de

Definición 1.3 Un anillo en el cual no hay divisores de cero y es conmutativo

Definición 1.4 Un anillo de división R, es un anillo con unidad en el cual

Observación 1.5 Se puede probar que el inverso multiplicativo es único y por

Definición 1.6 Un campo K es un dominio entero tal que (K −{0}, ·) es grupo.

Ejemplo 1.7 1. El conjunto de las matrices cuadradas con entradas en R

Z/nZ = Conjunto de clases de equivalencia módulo n

y considere las operaciones usuales de suma de clases, es decir: a + b =

En adelante consideraremos anillos con identidad a menos que se especifique lo

César Alberto Escobar Gracia Álgebra Moderna I

Proposition 1.8 Z/nZ es dominio entero si y sólo si n es primo.

Proposition 1.9 Z/pZ es un campo para p primo.

Demostración: Por la proposición anterior sólo resta ver que (Z/pZ)∗ =

Ejercicio 1.10 Demostrar que en un anillo conmutativo el teorema del binomio

Ejercicio 1.11 Sea D un dominio entero finito, entonces D es un campo

Teorema 1.12 Sea R un anillo, entonces

César Alberto Escobar Gracia Álgebra Moderna I

2 Anillos y Homomorfismos de anillos

Observe que la definición anterior no da lugar a que f (1) = 10 (1 ∈ R, 10 ∈

Definición 2.2 Sea f un homomorfismo de r en R0 , el kernel de f denotado

Ker f = {r ∈ R | f (r) = 0} e Im f = {f (r) ∈ R0 | r ∈ R}

Definición 2.3 Sea R un anillo, I un subconjunto de R, I se llama ideal si

César Alberto Escobar Gracia Álgebra Moderna I

Ejercicio 2.5 Sea R un anillo conmutativo y S subconjunto de R, demuestre

Teorema 2.6 [Anillo cociente] Sea R un anillo, I un ideal de R, entonces

Demostración: Como I es un subgrupo, entonces (R/I, +) es un grupo abe-

Teorema 2.7 [Teorema de la correspondencia para anillos] Sea R un

Demostración: Se sigue del teorema de la correspondencia para grupos.

Definición 2.8 Sea R un anillo, M ideal de R, M 6= R, M se dice maximal

Demostración: Considere F = {I | I es ideal de R, 1 6∈ I}. Entonces F = 6

César Alberto Escobar Gracia Álgebra Moderna I

Demostración: Considere el anillo R1 = R/I. Entonces el resultado se sigue

Definición 2.12 Sea R un anillo conmutativo con identidad, P un ideal de R.

Observación 2.13 Sea R anillo conmutativo con identidad

Demostración: a) ⇒) Suponga P primo, y P = (a+P )(b+P ) = ab+P ∈ R/P ,

Teorema 2.14 Sea R un anillo conmutativo con identidad, M un ideal de R.

Demostración: =⇒) Suponga que M es maximal, se tiene por el teorema

César Alberto Escobar Gracia Álgebra Moderna I

ideal de R/M no trivial, y por la observación 2.13 nesariamente I +M = R/M,

Teorema 2.15 [Campo de cocientes] Sea D un dominio entero entonces

Demostración: Sea D∗ = D − {0} y definamos en D × D∗ la siguiente relación

i). reflexiva pués (a, b) ∼ (a, b) ⇔ ab − ba = 0

i). (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)

Por lo tanto φ es un monomorfismo y D ,→ KD .

ii). ϕ( ab · dc ) = ac(bd)−1 = (ab−1 )(cd−1 ) = ϕ( ab )ϕ( dc )

César Alberto Escobar Gracia Álgebra Moderna I

iii). ϕ( ab ) = 0 si y sólo si ab−1 = 0 si y sólo si a = 0 o b−1 = 0 si y sólo si a = 0

Observación 2.16 Diferentes dominios enteros pueden tener el mismo campo

Ejercicio 2.18 i). Z = ∩p primo Z(p)

Definición 2.19 Sea D un dominio entero, dados a, b ∈ D, b 6= 0 se dice que

Definición 2.20 Un elemento p en un dominio entero D se dice primo si el

Observación 2.21 p es primo si y sólo si p \ ab ⇒ p \ a o p \ b.

Definición 2.22 Una unidad en un anillo conmutativo con identidad es un

Definición 2.23 Un elemento π en un dominio entero se dice irreducible si

Definición 2.24 Dados a, b ∈ D con al menos uno distinto de cero, se define

Observación 2.25 Sea D un dominio entero, p elemento de D. Si p es primo

Demostración: Suponga p = ab entonces p \ a o p \ b. Podemos suponer que