EJERCICIOS PARA CÁLCULO IV (2023-2)

Índice
1. Integral de Riemann 2
Referencias 8

1
 Hechos por Alex

2 EJERCICIOS PARA CÁLCULO IV (2023-2)

1. Integral de Riemann
1.1. Sea R := [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] un rectángulo en Rn . Dado ε > 0, pruebe que
existen rectángulos R1 y R2 tales que:
(a) R1 ⊆ int(R) y m(R) − m(R1 ) < ε; y
(b) R ⊆ int(R2 ) y m(R2 ) − m(R) < ε.
Definición 1.1. Sean R := [a1 , b1 ]×· · ·×[an , bn ] y P := P1 ×· · ·×Pn una partición
del rectángulo R. Para cada 1 6 i 6 n enumeremos a Pi como
ai = t(i, 1) < t(i, 2) < . . . < t(i, ki ) < t(i, ki + 1) = bi .
Recuerde que si para cada 1 6 i 6 n fijamos `i ∈ {1, . . . , ki }, entonces
[t(1, `1 ), t(1, `1 + 1)] × · · · × [t(n, `n ), t(n, `n + 1)]
es un subrectángulo de R inducido por la partición P .

b2

a2

a1 b1

1.2. Sean R := [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] y f : R ⊆ Rn → R integrable sobre el

rectángulo R. Demuestre los siguientes incisos.
(a) Si 1 6 j 6 n y aj < cj < bj , entonces f es integrable sobre los rectángulos
[a1 , b1 ] × · · · × [aj , cj ] × · · · × [an , bn ] y
[a1 , b1 ] × · · · × [cj , bj ] × · · · × [an , bn ].
(b) Si 1 6 j 6 n y aj 6 cj < dj 6 bj , entonces f es integrable sobre el rectángulo
[a1 , b1 ] × · · · × [cj , dj ] × · · · × [an , bn ].
(c) f es integrable sobre cualquier rectángulo contenido en R.
1.3. Sean R, R1 y R2 una terna de rectángulos en Rn tales que R = R1 ∪ R2
y int(R1 ) ∩ int(R2 ) = ∅. Demuestre los siguientes enunciados para una función
acotada f : R ⊆ Rn → R.
R R R R R R
(a) R f = R1 f + R2 f y R f = R1 f + R2 f .
(b) f es integrable sobre R si y sólo
R si fR es integrable
R sobre R1 y R2 . Además,
en ambos casos se tiene que R f = R1 f + R2 f .
Sugerencia: Argumente primero que, si R := [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ], entonces
existen 1 6 j 6 n y c ∈ [aj , bj ] tales que
R1 = [a1 , b1 ] × · · · × [aj , c] × · · · × [an , bn ] y
R2 = [a1 , b1 ] × · · · × [c, bj ] × · · · × [an , bn ].
Definición 1.2. Recuerde que si R es un rectángulo, entonces PR es el conjunto
de todas las particiones de R.
 EJERCICIOS PARA CÁLCULO IV (2023-2) 3

1.4. Sean α ∈ R y f : R ⊆ Rn → R una función acotada. Si {Pk : k ∈ N} y

{Qk : k ∈ N} son subconjuntos de PR tales que
lı́m S(f, Pk ) = α = lı́m S(f, Qk ),
k→∞ k→∞
R
demuestre que f es integrable sobre R y R f = α.
1.5. Sean α ∈ R y f : R ⊆ Rn → R una función acotada. Demuestre que si para
todo ε > 0 existen P, Q ∈ PR talesR que |S(f, P ) − α| < ε y |S(f, Q) − α| < ε,
entonces f es integrable sobre R y R f = α.
1.6. Sea f : R ⊆ Rn → R una función acotada. Demuestre los siguientes enuncia-
dos.
(a) Si f > 0 y para todo ε >R 0 existe P ∈ PR tal que S(f, P ) < ε, entonces f
es integrable sobre R y R f = 0.
(b) Si f 6 0 y para todo ε > 0R existe P ∈ PR tal que S(f, P ) + ε > 0, entonces
f es integrable sobre R y R f = 0.
1.7. Sea f : R ⊆ Rn → R una función acotada tal
R que, para cualquier x ∈ int(R),
f (x) = 0. Pruebe que f es integrable sobre R y R f = 0.
Definición 1.3. Para una función f : Rn → R, definimos a la función f + : Rn → R
mediante la regla (
+ f (x), si f (x) > 0,
f (x) =
0, si f (x) 6 0.
Similarmente, f − : Rn → R está dada por
(
− f (x), si f (x) < 0,
f (x) =
0, si f (x) > 0.
1.8. Sea f : R ⊆ Rn → R una función acotada. Demuestre que f es integrable
sobre R si y sólo si Rf + y f −
R son integrables sobre R. Además, pruebe que en ambos
casos se tiene que R f = R f + + R f − .
R

1.9. Sea f : R ⊆ Rn → R una función acotada.

(a) Muestre que si f 2 es integrable sobre R, entonces |f | es integrable sobre R.
(b) ¿Será cierto que si f 2 es integrable sobre R, entonces f es integrable sobre
R?
1.10. Sea f : R ⊆ Rn → R una función integrable sobre R.
(a) Pruebe que si existe c > 0 tal que, para cualquier x ∈ R, f (x) > c, entonces
1/f es integrable sobre R.
(b) ¿Será cierto que si para cada x ∈ R, f (x) > 0, entonces 1/f es integrable
sobre R?
1.11. Sean f, g : R ⊆ Rn → R un par de funciones integrables sobre R. Demuestre
los siguientes enunciados.
(a) Si m, M ∈ R R son tales que m 6 f (x) 6 M para toda x ∈ R, entonces
m · m(R) 6 R f 6 M · m(R).
(b) (Teorema del R Valor Promedio) Si f es continua en R, entonces existe
ξ ∈ R tal que R f = f (ξ) · m(R).
(c) Si f es Rcontinua en R Ry, para toda x ∈ R, g(x) > 0, entonces existe ξ ∈ R
tal que R f g = f (ξ) · R g.
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1.12. Determine si las siguientes funciones son integrables sobre el rectángulo

[0, 1] × [0, 1]. En caso afirmativo, calcule el valor de la integral.
(a) f (x, y) := x − y.
(b) g(x, y) := x2 y.
(c) h(x, y) := (x + 2y.
1, si y > x,
(d) p(x, y) :=
0, si y 6 x.
(
1, si (x, y) ∈ Q × Q,
(e) q(x, y) :=
0, si (x, y) 6∈ Q × Q.

Definición 1.4. Si A ⊆ Rn , la frontera de A es el conjunto Fr(A) := A \ int(A).

1.13. Suponga que A es un subconjunto de Rn y demuestre los siguientes incisos.
(a) Fr(A) = A ∩ (Rn \ A). En particular, Fr(A) = Fr(Rn \ A).
(b) Fr(A) es un subconjunto cerrado de Rn . Además, si A es acotado, entonces
Fr(A) es acotado.
(c) int(A) ∩ Fr(A) = ∅ y int(A) ∪ Fr(A) = A.
(d) Rn \ A = int(Rn \ A) y int(A) ∪ Fr(A) ∪ int(Rn \ A) = Rn .
(e) A es un subconjunto cerrado de Rn si y sólo si Fr(A) ⊆ A.
1.14. Sean A y B un par de subconjuntos de Rn . Demuestre los siguientes incisos.
(a) Existen C ⊆ D ⊆ Rn tales que Fr(C) 6⊆ Fr(D).
(b) Fr(int(A)) ⊆ Fr(A).
(c) Fr(A ∪ B) ⊆ Fr(A) ∪ Fr(B) y Fr(A ∩ B) ⊆ Fr(A) ∪ Fr(B).
(d) Si A es un subconjunto abierto o cerrado de Rn , entonces int(Fr(A)) = ∅.
1.15. Demuestre que si A ⊆ Rn y R es un rectángulo en Rn de tal manera que
6 R ∩ (Rn \ A), entonces R ∩ Fr(A) 6= ∅.
R ∩ A 6= ∅ =
Definición 1.5. Recuerde que si A es un subconjunto de Rn , entonces a la función
χA : Rn → R determinada mediante
(
1, si x ∈ A,
χA (x) =
0, si x 6∈ A,
se le conoce como la función caracterı́stica de A.
1.16. Fijemos un subconjunto A de Rn y sean R y R0 un par de rectángulos.
(a) Demuestre que si A ⊆ R0 ⊆ RR y χA esR integrable sobre R, entonces χA es
integrable sobre R0 y además R χA = R0 χA .
0 0
R si A ⊆ R, A ⊆ R y χA es integrable sobre R y R , entonces
(b) RPruebe que
χ = R0 χA .
R A
En especial, el presente ejercicio garantiza que la medida de Jordan está bien
definida, es decir, que no depende del rectángulo que se elija.
1.17. Sea A un subconjunto acotado de Rn . Demuestre que A es Jordan medible
y J(A) = 0 si y sólo si para cualquier ε > 0, existen rectángulos R1 , . . . , Rk tales
Sk Pk
que A ⊆ i=1 Ri y i=1 m(Ri ) < ε.
1.18. Demuestre que si R es un rectángulo en Rn , entonces R es Jordan-medible
y J(R) = m(R).
 EJERCICIOS PARA CÁLCULO IV (2023-2) 5

1.19. Si A, B ⊆ Rn , demuestre los siguientes enunciados.

(a) Si J(A) = 0 = J(B), entonces A ∪ B es Jordan-medible y J(A ∪ B) = 0.
(b) Si B ⊆ A y J(A) = 0, entonces B es Jordan-medible y J(B) = 0.
Definición 1.6. Si A y B son conjuntos, la diferencia simétrica de A y B es el
conjunto A4B := (A \ B) ∪ (B \ A).
1.20. Sean A y B un par de subconjuntos Jordan-medibles de Rn . Demuestre los
siguientes incisos.
(a) A ∪ B y A ∩ B son Jordan-medibles. Además, J(A ∪ B) + J(A ∩ B) =
J(A) + J(B). En especial, J(A ∪ B) 6 J(A) + J(B).
(b) A \ B es Jordan-medible y J(A \ B) = J(A) − J(A ∩ B). En particular,
cuando B ⊆ A, J(A \ B) = J(A) − J(B).
(c) A4B es Jordan-medible y J(A4B) = J(A ∪ B) − J(A ∩ B).
(d) Si B ⊆ A, entonces J(B) 6 J(A).
1.21. Sean A, B y C una terna de subconjuntos de Rn . Si A ⊆ B ⊆ C, A y
C son Jordan-medibles y J(A) = J(C), demuestre que B es Jordan-medible y
J(A) = J(B) = J(C).
1.22. Si A ⊆ Rn es Jordan-medible, demuestre los siguientes enunciados.
(a) J(A) > 0 si y sólo si int(A) 6= ∅.
(b) J(A) = 0 si y sólo si A ⊆ Fr(A).

(c) int(A) y A son Jordan-medibles y J int(A) = J(A) = J(A).
(d) Si B ⊆ Rn es tal que int(A) ⊆ B ⊆ A, entonces B es Jordan-medible y
J(B) = J(A).
1.23. Sea A un subconjunto Jordan-medible de Rn . Demuestre que para toda ε > 0
existe K ⊆ int(A) compacto tal que K es Jordan-medible y J(A) − J(K) < ε.
1.24.S Sea {Ak :Tk ∈ N} una sucesión de subconjuntos Jordan-medibles de Rn tales
∞ ∞ S∞
T∞ k=1 Ak y k=1 Ak están acotados. ¿Será cierto que los conjuntos k=1 Ak y
que
k=1 Ak son Jordan-medibles?

1.25. Demuestre que el conjunto


A := (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] : ∃n ∈ N(y = 1/n)
es Jordan-medible y obtenga J(A).
Definición 1.7. Sea f : A ⊆ Rn → R una función acotada sobre el conjunto
acotado A. Definimos fA : Rn → R mediante
(
f (x), si x ∈ A,
fA (x) =
0, si x 6∈ A.
Decimos que f es integrable sobre A si la función fA es integrable sobre algún
rectángulo R que contenga a A. En este caso diremos que la integral de f sobre A
está dada por Z Z
f= fA .
A R
Además, un argumento similar al presente
R en el ejercicio 1.16 se puede emplear
para constatar que la definición de A f no depende del rectángulo R que se elija.
6 EJERCICIOS PARA CÁLCULO IV (2023-2)

1.26. Sean f, g : A ⊆ Rn → R un par de funciones integrables sobre el conjunto A.

Demuestre los siguientes enunciados.
R R R
(a) f + g es integrable sobre A y A f +Rg = A f +R A g.
(b) Si c ∈ R, cf es integrable sobre A y A cf = c · A f .
(c) f g es integrable sobre A. R
(d) Si f (x) > 0 para toda x ∈ A, entonces A fR > 0. R
(e) Si f (x) 6 g(x) para toda x ∈ A, entonces A f 6 A g.
R  R
(f) |f | es integrable sobre A y  A f  6 A |f |.
(g) Las funciones máx{f, g} y mı́n{f, g} son integrables sobre A.
1.27. Sea f : A∪B ⊆ Rn → R acotada sobre el conjunto acotado A∪B. Demuestre
los siguientes enunciados.
(a) (fA∩B )+ = mı́n{(fA )+ , (fB )+ } y (fA∩B )− = máx{(fA )− , (fB )− }.
(b) fA∪B + fA∩B = fA + fB .
1.28. Sean A ⊆ Rn y f : A ⊆ Rn → R una función talesR que J(A) = 0 y f es
acotada sobre A. Pruebe que f es integrable sobre A y A f = 0.
1.29. Sea f : A ⊆ Rn → R acotada sobre el conjunto Jordan-medible A. Demuestre
R si f (x) = 0 para toda x ∈ int(A), entonces f es integrable sobre A y además
que
A
f = 0.
1.30. Sean A, B ⊆ Rn conjuntos Jordan-medibles y f : B ⊆ Rn → R integrable
sobre B. Demuestre que si A ⊆ B, entonces
R R f es integrable sobre A. Más aún, si
f (x) > 0 para toda x ∈ B, entonces A f 6 B f .
1.31. Sean A, B y C una terna de subconjuntos Jordan-medibles de Rn tales que
A = B ∪ C y J(B ∩ C) = 0. Pruebe que si f R: A ⊆ RRn → R Res integrable sobre B y
sobre C, entonces f es integrable sobre A y A f = B f + C f .
1.32. Demuestre que si f : A ⊆ Rn → R es integrable
R sobre
R el conjunto Jordan-
medible A, entonces f es integrable sobre int(A) y A f = int(A) f .
1.33. Sea f : A ⊆ Rn → R no negativa e integrable sobre el conjunto Jordan-
R Muestre que si f es continua en un punto x0 ∈ int(A) y f (x0 ) > 0,
medible A.
entonces A f > 0. ¿Es indispensable la hipótesis de que x0 ∈ int(A)?
1.34. Sea f : A ⊆ Rn → R no negativa e integrable sobreR el conjunto Jordan-
medible A. Si B := {x ∈ A : f (x) > 0}, demuestre que A f > 0 si y sólo si
int(B) 6= ∅.
1.35. Sean f : A ⊆ Rn → R una función integrable sobre el conjunto Jordan-
medible A y B := {x ∈ A : f (x) 6= 0}.
(a) ¿Será cierto que B es un conjunto Jordan-medible?
R R
(b) Demuestre que f es Rintegrable sobre B y A f = B f .
(c) Si f es no negativa, A f = 0 y B es Jordan-medible, pruebe que J(B) = 0.
1.36. Sea A un conjunto Jordan-medible en Rn . Demuestre los siguientes incisos.
(a) Si f : A ⊆ Rn → R es una función acotada y B := {x R∈ A : f (x) 6= 0}
cumple que J(B) = 0, entonces f es integrable sobre A y A f = 0.
(b) ¿El inciso anterior sigue siendo cierto si cambiamos la hipótesis J(A) = 0
por λ(A) = 0?
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(c) Sean f, g : A ⊆ Rn → R con f integrable sobre A y g acotada sobre A. Si

B := {x ∈ RA : f (x)
R 6= g(x)} satisface que J(B) = 0, entonces g es integrable
sobre A y A g = A f .
1.37. Sea f : A ⊆ Rn → R integrable sobre el conjunto Jordan-medible A. Pruebe
que la gráfica de f , Gf := {(x, f (x)) ∈ Rn+1 : x ∈ A}, es Jordan-medible y
J(Gf ) = 0.
1.38. Sean f, g : A ⊆ Rn → R continuas sobre el conjunto cerrado, acotado y
Jordan-medible A, tales que f (x) 6 g(x) para toda x ∈ A. Demuestre que el
conjunto
{(x, y) ∈ A × R : f (x) 6 y 6 g(x)}
es un subconjunto Jordan-medible de Rn+1 .
8 EJERCICIOS PARA CÁLCULO IV (2023-2)

Referencias
[1] J. Páez Cárdenas, Cálculo diferencial de varias variables, 2.a ed., https://lya.fciencias.
unam.mx/paez/princ_calc_3_linux_web.pdf.
[2] J. Páez Cárdenas, Cálculo integral de varias variables, 3.a ed., https://lya.fciencias.unam.
mx/paez/notas_calc_IV_3ra_ed.pdf.