Examen 01 Grupo F Solución

Álgebra Básica Primera prueba parcial.
Grupo F 5-11-2018
apellidos nombre
Instrucciones. Escribir la respuesta a cada ejercicio en hojas separadas. Entregar al

final las hojas ordenadas por cuestiones. Durante la realización del examen exclusiva-
mente se podrá disponer de material de escritura. Ningún otro objeto está permitido.
Nota. Cada ejercicio se puntúa sobre 10 puntos, la nota de la prueba será la media
entre ambos. Es necesario obtener al menos un 3 en cada ejercicio para superar la
prueba.
Ejercicio 1. Las siguientes cuestiones son independientes.

1) Sean A, B y C conjuntos. Probar que
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
2) Sea f : X → Y una aplicación inyectiva. Probar que f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).

3) En el apartado anterior ¿es necesario que f sea inyectiva? Justifíquese la respuesta.
4) Dar razonadamente ejemplos de aplicaciones de N en Z que sean:
(a) Biyectiva.
(b) Ni inyectiva ni sobreyectiva.
(c) Sobreyectiva pero no inyectiva.
(No se pide demostración, solo los ejemplos)
5) Sea f : Z → Z la aplicación definida por
f (n) := resto de dividir n entre 5.
Usar la factorización canónica para describir Z/Rf .
Solución.
1) Vamos a probar la igualdad por doble inclusión:
x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x ∈ C ⇐⇒
⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ c ∈ C) ⇐⇒ x ∈ A ∩ C ∨ x ∈ B ∩ C ⇐⇒
⇐⇒ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
De donde se deduce (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
2) Sea f : X → Y inyectiva. Vamos a demostrar f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) por doble
inclusión.
Veamos primero que f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).
y ∈ f (A ∩ B) =⇒ ∃x ∈ A ∩ B | y = f (x) =⇒
=⇒ ∃x ∈ X | x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ y = f (x) =⇒
=⇒ y ∈ f (A) ∧ y ∈ f (B) =⇒ y ∈ f (A) ∩ f (B).
Luego f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).
Veamos ahora que f (A ∩ B) ⊃ f (A) ∩ f (B).
y ∈ f (A) ∩ f (B) =⇒ y ∈ f (A) ∧ y ∈ f (B) =⇒ (∗)

Del hecho de que y ∈ f (A) se deduce que existe x1 ∈ A tal que f (x1 ) = y, mientras
que de y ∈ f (B) se deduce que existe x2 ∈ B tal que f (x2 ) = y. Al ser f inyectiva,
de f (x1 ) = y = f (x2 ) se deduce que x1 = x2 , que es por tanto un elemento que
pertenece a A ∩ B. Sigamos con la prueba:
(∗) =⇒ ∃x ∈ A ∩ B | y = f (x) =⇒ y ∈ f (A ∩ B).
Por tanto, f (A) ∩ f (B) ⊂ f (A ∩ B).

3) Hemos de pensar que, al haber tenido que usar la condición de ser f inyectiva en
la segunda inclusión, es necesaria. Comprobémoslo con un ejemplo.
Sean X = {1, 2} e Y = {1}. Sea f : X → Y definida por f (1) = f (2) = 1, que no es
inyectiva. Y sean A = {1} y B = {1}. Se tiene entonces que f (A ∩ B) = f (∅) = ∅,
mientras que f (A) ∩ f (B) = {1}.
Luego si f no es inyectiva es posible que f (A ∩ B) $ f (A) ∩ f (B).
4) Veamos algunos ejemplos, dejamos como ejercicio comprobar que efectivamente
verifican las condiciones deseadas:
(a) La aplicación f : N → Z definida por

n/2 si n es par,
f (n) =
−(n + 1)/2 si n es impar.
(b) La aplicación constante f : N → Z definida por f (n) = 0.
(c) La aplicación f : N → Z definida por

 n/3 si n es múltiplo de 3,
f (n) = −(n + 2)/3 si n es múltiplo de 3 más 1,
0 si n es múltiplo de 3 más 2,

5) La factorización canónica prueba que existe una aplicación biyectiva
f : Z/Rf → Im(f ).
Siendo Rf la relación en Z dada por
mRf n ⇐⇒ f (m) = f (n).
El resto de dividir n entre 5 toma cualquier valor entre 0 y 4, luego
Im(f ) = {0, 1, 2, 3, 4}.
Es decir, en el conjunto cociente hay cinco clases de equivalencia, una por cada
elemento de Im(f ). Por tanto,
Z/Rf = {{n | f (n) = i} con i = 0, 1, 2, 3, 4}
= {{5k + i | k ∈ Z} con i = 0, 1, 2, 3, 4} .
Se observa además que, para cada i = 0, . . . , 4,
Rf (i) = {5k + i | k ∈ Z}.
Ejercicio 2. Las siguientes cuestiones son independientes.

1) Sean (G, ?) un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Probar que la relación
aRH b ⇔ ab−1 ∈ H
es de equivalencia.
2) Sean S3 y H = {(), (1 2)} ⊂ S3 . Dar la lista de todas las clases de equivalencia
del grupo de permutaciones S3 por la relación anterior. Es decir, dar todos los
elementos del conjunto cociente S3 /RH .
3) Definir los conceptos de grupo y subgrupo.
4) Sea M el grupo de las matrices invertibles de orden 2 con coeficientes en R. Probar
que el conjunto
O = {A ∈ M | AAt = I}
es un subgrupo de M .
5) Descomponer la siguiente permutación σ ∈ S9 como producto de ciclos disjuntos.
Calcular el orden de σ.

1 2 3 4 5 6 7 8 9
σ= .
9 8 5 2 6 4 3 7 1
Solución.
1) Dados un grupo (G, ?) y un subgrupo H ⊂ G se define la relación:
aRH b ⇔ ab−1 ∈ H.
Veamos que es de equivalencia.

Propiedad reflexiva: Sea a ∈ G un elemento cualquiera. Como H es subgrupo,
aa−1 = e ∈ H, de donde aRH a para todo a ∈ G.
Propiedad simétrica: Sean a, b ∈ G tales que aRH b. Veamos que entonces bRH a.
H grupo
aRH b =⇒ ab−1 ∈ H =⇒ (ab−1 )−1 = ba−1 ∈ H =⇒ bRH a.
Propiedad transitiva: Sean a, b, c ∈ G tales que aRH b y bRH c. Entonces:
aRb ⇒ ab−1 ∈ H

H grupo
−1 =⇒ (ab−1 )(bc−1 ) = ac−1 ∈ H =⇒ aRH c.
bRc ⇒ bc ∈ H
2) Sea H = {(), (1 2)} ⊂ S3 . Los elementos de S3 /RH son las clases de equivalencia.
Aunque no es necesario, si hacemos la tabla de multiplicar de S3 obtenemos toda
la información que necesitamos.
◦ () (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3)
() () (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3)
(1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) () (1 3) (2 3) (1 2)
(1 3 2) (1 3 2) () (1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3)
(1 2) (1 2) (2 3) (1 3) () (1 3 2) (1 2 3)
(1 3) (1 3) (1 2) (2 3) (1 2 3) () (1 3 2)
(2 3) (2 3) (1 3) (1 2) (1 3 2) (1 2 3) ()
Se observa, por ejemplo, que (1 3)(1 2 3) = (1 2) ∈ H. Luego (1 3) está relacionada
con (1 2 3)−1 = (1 3 2). Es decir, (1 3)RH (1 3 2).
De la tabla deducimos, por tanto, que las clases de equivalencia son
RH (()) = {(), (1 2)},
RH ((1 2 3)) = {(1 2 3), (2 3)} y

RH ((1 3 2)) = {(1 3 2), (1 3)}.
3) Las definiciones pueden verse en los apuntes de la asignatura.
4) Para demostrar que O ⊂ M es un subgrupo hemos de comprobar:
- La operación es interna en O. Es decir, sean A, B ∈ O ¿AB ∈ O?
Como A, B ∈ O, se tiene que AAt = I y que BB t = I. De donde se deduce
(AB)(AB)t = ABB t At = AAt = I =⇒ AB ∈ O.
- El elemento neutro de M está en O. Es decir ¿I ∈ O?

Esto es evidente, pues II t = II = I. Luego I ∈ O.
- Si A ∈ O entonces A−1 ∈ O.
Como A ∈ O, sabemos que A−1 = At . De donde
A−1 =At
A−1 (A−1 )t = At (At )t = At A = I =⇒ A−1 ∈ O.
La propiedad asociativa siempre se “hereda” de la de M , además, en este caso

sabemos que el producto de matrices siempre es asociativo.
Por tanto, O ⊂ M es subgrupo.
5) Siguiendo cíclicamente las imágenes de cada elemento se obtiene
σ = (1 9)(2 8 7 3 5 6 4).
Sabemos que el orden de una permutación finita es el mínimo común múltiplo de

los órdenes de los ciclos en los que se descompone. También sabemos que el orden
de un ciclo es igual a su longitud. Por tanto, el orden de σ es el mínimo común
múltiplo de 7 y 2. Es decir,
o(σ) = 14.

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Instrucciones. Escribir la respuesta a cada ejercicio en hojas separadas. Entregar al

Ejercicio 1. Las siguientes cuestiones son independientes.

2) Sea f : X → Y una aplicación inyectiva. Probar que f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).

f (n) := resto de dividir n entre 5.

Usar la factorización canónica para describir Z/Rf .

y ∈ f (A) ∩ f (B) =⇒ y ∈ f (A) ∧ y ∈ f (B) =⇒ (∗)

(∗) =⇒ ∃x ∈ A ∩ B | y = f (x) =⇒ y ∈ f (A ∩ B).

Por tanto, f (A) ∩ f (B) ⊂ f (A ∩ B).

5) La factorización canónica prueba que existe una aplicación biyectiva

Siendo Rf la relación en Z dada por

mRf n ⇐⇒ f (m) = f (n).

El resto de dividir n entre 5 toma cualquier valor entre 0 y 4, luego

Im(f ) = {0, 1, 2, 3, 4}.

Rf (i) = {5k + i | k ∈ Z}.

Ejercicio 2. Las siguientes cuestiones son independientes.

Veamos que es de equivalencia.

Propiedad transitiva: Sean a, b, c ∈ G tales que aRH b y bRH c. Entonces:

RH (()) = {(), (1 2)},

RH ((1 2 3)) = {(1 2 3), (2 3)} y

(AB)(AB)t = ABB t At = AAt = I =⇒ AB ∈ O.

- El elemento neutro de M está en O. Es decir ¿I ∈ O?

La propiedad asociativa siempre se “hereda” de la de M , además, en este caso

Sabemos que el orden de una permutación finita es el mínimo común múltiplo de

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