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    Examen 2 MD

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    Erwin Rodríguez Molina
    Este examen de matemáticas discretas contiene 7 problemas que abarcan temas como conjuntos, cardinalidades, operaciones en diferentes bases numéricas, demostraciones algebraicas y proposiciones sobre números enteros y primos. Se pide al estudiante resolver los problemas y justificar sus respuestas.

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    Examen 2 MD

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    1

    Unidad de Aprendizaje: Matemáticas Discretas


    Examen: Unidad II - Tipo A
    Departamento: Formación Básica
    Alumno(a):
    Boleta:
    Grupo:
    Lugar:

    Instruciones: Lea cuidadosamente y conteste lo se indique. Valor de cada problema


    1.5. Justifique sus respuestas. Queda prohibido el uso de dispositivos electrónicos y de
    información impresa, fotocopiada o manuscrita. Entregar examen y paquete de hojas de
    respuesta con nombre, boleta, grupo y lugar.

    1. Sean A, B y C conjuntos de un universo U tales que

    |A| = 15
    |B| = 20
    |C| = 25
    |A \ B| = 15
    |B \ C| = 15
    |A ∪ C| = 30
    |Ac ∪ B c | = 55

    Encuentre las siguientes cardinalidades

    a) |A ∩ C|
    b) |B \ A|
    c) |C \ (A ∪ B)|
    d ) |Ac |

    2. Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6} y C = {5, 6}. Complete con
    ∈, 6∈, ⊆, 6⊆, <, = o > según corresponda. Se califican aciertos menos errores.
    6 B {2, 3} A A × C A × Ac
    |B ∪ C| |B| A A\C |φ| |C|
    {3, 4, 5} B {2, 3} P(A) {φ} P(U)
    {(2, 5), (4, 6)} B × C (6, 4) A × B |A × C| |A × B|
    |P(A)| |P(B ∪ C)| |P(A)| |P(B) ∪ P(C)| A∩B A∪B

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    2

    3. De solución a los siguientes problemas.

    a) Usando el algoritmo de Euclides, encuentre el máximo común divisor de −268


    y 472, además escribalo como combinación de la pareja de números.
    b) Determine si la ecuación −14 = −300x + 207y tiene soluciones en los enteros.

    4. Realice los siguientes ejercicios

    a) Convierta el entero 299 a octal y hexadecimal


    b) Opere en la base correspondiente 27738 + 45678 + 64678 + 77768 , 152411 − 85511 ,
    3245 ∗ 145 y 10027 /57 .

    5. Demuestre que para todo n ∈ N tenemos que


    n
    X
    (4i + 3) = 2n2 + 5n
    i=1

    6. Sean A, B, C, D conjuntos de un universo U. Demuestre alguna de las siguientes


    proposiciones.

    a) P(Ac ) ⊆ P(B c ) si y solo si (P(A))c ⊆ (P(B))c .


    b) (A \ C) × (B \ D) ⊆ (A × B) \ (C × D).
    c) P((A ∩ B) × (C ∩ D)) = P(A × C) ∩ P(B × D).

    7. Demuestre alguna de la siguientes proposiciones.

    a) Sea a ∈ Z con a < −1. Entonces existen p1 , p2 , . . . pk . números primos tales


    que a = −p1 p2 · · · pk .
    b) Sean a, b, p ∈ Z con p primo y p 6= 2. Si p | (2a + 5b) y (b, p) 6= 1, entonces
    p | a.
    c) Para toda n ∈ N tenemos que 6 | (n3 + 5n).

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