MT-21

PPTCANMTALA03012V2

Clase

Relaciones y funciones
Resumen de la clase anterior

En la clase anterior evaluamos los contenidos razones, proporciones y

proporcionalidad, y porcentajes e interés. Como resumen,
resolveremos los ejercicios 7 y 16 de la prueba MT-041.

7. Tiare y Romina demoran 12 horas en pintar la cocina de su casa. Si les

ayudara su prima Carolina, ¿cuánto tiempo tardarían en pintar la misma cocina,
suponiendo que las tres trabajan a un mismo ritmo?

A) 4 horas
B) 6 horas
C) 8 horas
D) 9 horas
E) 10 horas

C
Habilidad: Aplicación
Resumen de la clase anterior

16. En una liquidación, una chaqueta vale $17.850 la cual ya ha sido rebajada
en un 30%. ¿Cuánto costaba la chaqueta antes del descuento?

A) $ 59.500
B) $ 55.000
C) $ 30.345
D) $ 25.500
E) Ninguno de los precios anteriores.

D
Habilidad: Aplicación
 Aprendizajes esperados

• Definir relación y función estableciendo las diferencias entre un

concepto y otro.

• Representar información cuantitativa a través de gráficos y

esquemas.

• Determinar dominio y recorrido de una función.

• Determinar si una relación es función.

• Determinar si una función es inyectiva, epiyectiva o biyectiva.

Pregunta oficial PSU

26. Si f(x) = 5x, entonces 5∙f(5x) es igual a

A) 125x
B) 25x
C) 125x2
D) 25x2
E) ninguna de las expresiones anteriores.

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, PSU 2008.

1. Nociones de teoría de
conjuntos

2. Relaciones

3. Funciones
 1. Nociones de teoría de conjuntos

1.1 Definiciones

Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos, considerados

como una sola unidad.

Pertenencia () : Si un objeto “p” es elemento de un conjunto C,

entonces p pertenece a C y su notación es: p  C. Si p no pertenece a
C, se denota: p  C

Conjunto vacío (Ø): Es aquel conjunto que no posee elementos.

También se denota como: { }

Subconjunto (  ): Un conjunto A es “subconjunto” de otro conjunto B si

todos los elementos que pertenecen a A, son también elementos de B.
 1. Nociones de teoría de conjuntos

1.2 Producto cartesiano

Dados los conjuntos A y B , su producto cartesiano ( A × B ) está formado

por cada uno de los pares ordenados donde el primer elemento pertenece
a A y el segundo a B:

A x B = { (a, b) / a  A y b  B }

Ejemplo:

Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 } , entonces:

A x B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) }
2. Relaciones

2.1. Definición

Una “relación R” de un conjunto A a un conjunto B (R: A B), es un

subconjunto del producto cartesiano entre A y B (A x B), determinado por
una, o más condiciones.

Ejemplo:

Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:

R = { (a, b)  A x B / b es múltiplo de a}
entonces:
A x B = {(2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 4); (3, 5); (3, 6); (7, 4); (7, 5); (7, 6)}

R = {(2,4); (2,6); (3,6)}  A x B

2. Relaciones

2.1. Definición

El par (2, 4) pertenece a la relación R, ya que 4 es múltiplo de 2. Los

pares (2, 6) y (3, 6), también están relacionados, ya que 6 es múltiplo de
2 y de 3.

Notación:

(2, 4)  R ó 2R4 ó R (2) = 4

(2, 6)  R ó 2R6 ó R (2) = 6
(3, 6)  R ó 3R6 ó R (3) = 6
2. Relaciones

2.1. Definición

Utilizaremos el ejemplo anterior para explicar algunos conceptos.

R = {(2, 4); (2, 6); (3, 6)}  A x B
R
A B
2 4
3 5
7 6

Conj. de partida Conj. de llegada (Codominio)

Pre-imágenes {2, 3} Imágenes {4, 6}

De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que:

2 es “pre-imagen” de 4 y de 6 , y 4 es “imagen” de 2
2. Relaciones

2.2. Dominio y recorrido

Dominio:
Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de partida
que son pre-imagen de algún elemento del conjunto de llegada.

Recorrido:
Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de llegada
que son imagen de algún elemento del conjunto de partida.
Ejemplo:
Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:
R = {(2,4); (2,6); (3,6)}  A x B, entonces:
Dom(R) = {2, 3}
Rec(R) = {4, 6}
3. Funciones

3.1. Definición
Una “función f” es una relación, tal que todo elemento del conjunto de
partida tiene imagen, y ésta es única.

• Dom f = A
• Ningún elemento del dominio tiene más de una imagen.

Ejemplos:
1. Determine si la siguiente relación R es función:
R
A B
R (c) = e
a d
b e R (c) = f

c f

La relación R NO es función, porque c tiene dos imágenes.

3. Funciones

3.1. Definición

2. Determine si la siguiente relación R es función:

R
A B
3 6
5 7
4 9

R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida tiene imagen

y ésta es única.
3. Funciones

3.1. Definición

f
A B
f (3) = 6
3 6
f (5) = 6
5 7
f (4) = 7
4 9

Además:
Dominio(f) = A
Recorrido(f) = {6, 7}
3. Funciones

3.2. Evaluación de funciones

Ejemplo 1:
Sea f una función, definida en los reales como:

f(x) = 2x + 3.
Determinar: f
IR IR
a) f (1) = 2·1 + 3 = 5
x f(x)
b) f (3) = 2·3 + 3 = 9
1 5
c) f (7) = 2·7 + 3 = 17 9
3
d) f (12) = 2·12 + 3 7 17
= 24 + 3 12
… 27

…
= 27
3. Funciones

3.2. Evaluación de funciones

e) Para f(x) = 2x + 3, determinar

f (4) – 3·f (0) = 2·4 + 3 – 3(2·0 + 3)

f (– 1) 2(– 1) + 3

= 8 + 3 – 3(3)
1
= 11 – 9
= 2
3. Funciones

3.3. Dominio y recorrido

Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3.

f(x) = 2x + 3 es “función afín”, Dom(f) = IR y Rec(f) = IR

3. Funciones

3.3. Dominio y recorrido

Ejemplo 1: 2
Sea f(x) =
x–1

¿Es siempre posible calcular este cuociente?

Respuesta:
Como la división por 0 no está definida, x – 1 debe ser distinto de 0, es
decir: x ≠ 1.
f
IR IR
Luego, Dom(f) = IR – {1}
x f(x)
2 2
3 1
-1 -1
1

…
3. Funciones

3.3. Dominio y recorrido

Ejemplo 2:
f(x) = x + 2
Sea

Dom(f) = [– 2, +∞ [

¿Por qué?
3. Funciones

3.3. Dominio y recorrido

Ejemplo 3: f(x) = x
x–3

Como la división por 0 no está definida, x – 3 debe ser distinto de 0, es

decir: x ≠ 3.
Luego, Dom(f) = IR – {3}

Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x.

x
y=
x–3
y(x – 3) = x
3y Luego, Rec(f) = IR – {1}
yx – 3y = x x=
y–1
yx – x = 3y
x(y – 1) = 3y
3. Funciones

3.3. Dominio y recorrido

Ejemplo 4:
Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones, determinando
el dominio y recorrido de aquellos que representen una función.

y=2

Dom(f) = [– 2,5 ; 5] Dom(f) = IR

Rec(f) = [– 1,8 ; 3,2] Rec(f) = {2}
3. Funciones

3.3. Dominio y recorrido

x=3
Dom(f) = IR
No es función
Rec(f) = ] – ∞ , 4]
3. Funciones

3.4. Clasificación

Función inyectiva (uno a uno):

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido, es imagen de
exactamente un único elemento del dominio.
Ejemplo:
1. Determine si la siguiente función es inyectiva:
f
A B
2 4 Dom(f) = A
3 5 Rec(f) = {5, 6}
7 6

f NO es función inyectiva, porque 6 es imagen de 2 y de 3.

3. Funciones

3.4. Clasificación

2. Determine si la siguiente función es inyectiva:

f
A B
2 4 Dom(f) = A
3 5 Rec(f) = {4, 5, 6}
7 6
9

f es función inyectiva, ya que cada elemento del recorrido es imagen

de un único elemento del dominio.
3. Funciones

3.4. Clasificación
Función epiyectiva (sobreyectiva):
Una función es epiyectiva o sobreyectiva si todos los elementos del
conjunto de llegada (codominio), son imagen de algún elemento del
conjunto de partida, es decir, el recorrido es igual al conjunto de llegada.
Ejemplos:
f1
A B
3 6 Dom(f1) = A
5 7 Rec(f1) = {6, 7} = B
9

f1 es función epiyectiva, ya que cada elemento de B (codominio), es

imagen de un elemento de A. (f1 no es inyectiva).
3. Funciones

3.4. Clasificación

f2
A B
2 6 Dom(f2) = A
8 4 Rec(f2) = {4, 16} ≠ B
-2 16

f2 NO es epiyectiva, ya que existe un elemento en B (6) que no es

imagen de ningún elemento de A. (f2 no es inyectiva).
3. Funciones

3.4. Clasificación

Función biyectiva:
Una función es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la vez.

Ejemplos:
f
A B
8 4 Dom(f) = A
5 7 Rec(f) = {4, 7, – 4} = B
–3 –4

f es biyectiva, ya que es inyectiva y epiyectiva a la vez.

Pregunta oficial PSU

26. Si f(x) = 5x, entonces 5∙f(5x) es igual a

A) 125x
B) 25x
C) 125x2
D) 25x2
E) ninguna de las expresiones anteriores.

ALTERNATIVA
CORRECTA

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, PSU 2008.

Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

1 C Relaciones y funciones Comprensión
2 E Relaciones y funciones Comprensión
3 A Relaciones y funciones Aplicación
4 B Relaciones y funciones Análisis
5 D Relaciones y funciones Aplicación
6 D Relaciones y funciones Aplicación
7 C Relaciones y funciones Análisis
8 A Relaciones y funciones Aplicación
9 D Relaciones y funciones Análisis
10 A Relaciones y funciones Análisis
Tabla de corrección

Nº Clave Unidad temática Habilidad

11 C Relaciones y funciones Análisis
12 E Relaciones y funciones Análisis
13 D Relaciones y funciones Aplicación
14 C Relaciones y funciones Aplicación
15 A Relaciones y funciones Análisis
16 C Relaciones y funciones Análisis
17 E Relaciones y funciones Aplicación
18 C Relaciones y funciones Análisis
19 D Relaciones y funciones Evaluación
20 B Relaciones y funciones Evaluación
Síntesis de la clase

Relaciones
Y funciones

Conjuntos

Relaciones
Dominio Recorrido

Funciones

Gráfica Evaluación Clasificación

Prepara tu próxima clase

En la próxima sesión, realizaremos la

clase práctica Recapitulación de
relaciones y funciones.
Equipo Editorial Matemática

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