UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL.

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRONICA E INFORMATICA.

PROF: MG. PEDRO SAENZ RIVERA.

RELACIONES Y FUNCIONES
1. DEFINICIONES:

a. PAR ORDENADO. - Llamaremos “par ordenado” de números reales a la

expresión ( a, b ) donde a es llamada primera componente y b es llamada segunda
componente.
Ejemplo. - (1, 2 ) , ( −5, 0 )

b. IGUALDAD DE PARES ORDENADOS. - Dados dos pares ordenados ( a, b ) y

( c, d ) , diremos que estos son iguales si sus correspondientes componentes son
iguales, es decir:

( a , b ) = ( c, d )  a = c  b = d

c. PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.- Dados dos conjuntos Ay B

llamaremos producto cartesiano de A y B, al nuevo conjunto formado por todos los pares
ordenados de la forma ( a, b ) donde a pertenece al conjunto A y b pertenece al conjunto B. Lo
denotaremos como A  B . Formalmente:

A  B = ( a, b ) a  A  b  B

Ejemplo 1 si A = a, e, i y B = 1, 2

Entonces A  B = ( a,1) , ( a, 2 ) , ( e,1) , ( e, 2 ) , ( i,1) , ( i, 2 )

1
2. RELACIONES BINARIAS.-

a. DEFINICIÓN. - Consideremos dos conjuntos no vacíos A y B, llamaremos

relación binaria de A en B o relación entre los elementos de A y B a todo
subconjunto R del producto cartesiano A  B , esto es:

R es una relación de A en B  R  A  B

Ejemplo 1 si A = 1, 2,3 y B = 1, 2

Entonces son relaciones de A en B
R1 = (1,1) , ( 2, 2 )
R2 = ( 2,1)

OBS.
• Si A = B , entonces se dice que R es una relación de A en A o relación en A.
• Si r es una relación de A en B, diremos que A es el conjunto de partida y B es el conjunto
de llegada.
• Si A = B = , entonces se dice que R es una relación de en

b. DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN BINARIA.- Consideremos una relación R

de A en B, es decir R  A  B .

El dominio de esta relación R denotado por DR es el conjunto definido por:

DR = a  A b  B  ( a, b )  R

El rango de esta relación R denotado por RR es el conjunto definido por:

RR = b  B a  A  ( a, b )  R

Ejemplo.- Si R = (1, 2 ) , ( 2, 4 ) , ( 3, 6 ) , ( 4,8 )

Entonces: DR = 1, 2,3, 4 RR = 2, 4, 6,8

c. GRAFICA DE UNA RELACIÓN BINARIA EN .- Llamaremos grafica de una

relación binaria al conjunto de puntos P ( x, y ) cuyas coordenadas satisfagan a dicha relación.
Recordemos que la relación puede estar expresada en alguna de las formas:
E ( x, y ) = 0 , E ( x, y )  0 , E ( x, y )  0 , E ( x, y )  0 , E ( x, y )  0 .

CRITERIOS GENERALES PARA GRAFICAR RELACIONES DE LA FORMA

E ( x, y ) = 0

2
Consideremos la ecuación E ( x, y ) = 0

I. INTERCEPTOS CON LOS EJES COORDENADOS.-

a. CON EL EJE X: Se hace y = 0 en la ecuación y luego se despejan los valores de x.

b. CON EL EJE Y: Se hace x = 0 en la ecuación y luego se despejan los valores de y.

II. EXTENSIÓN
Se trata de indicar los intervalos maximales en los cuales las variables x e y toman
valores permisibles para la ecuación dada, es decir se halla el dominio y el rango.

III. SIMETRÍAS

a. SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE X : Existe simetría con respecto al eje X si se

cumple E ( x, y ) = E ( x, − y )

b. SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE Y Existe simetría con respecto al eje Y si se

cumple E ( x, y ) = E ( − x, y )

3
c. SIMETRÍA CON RESPECTO AL ORIGEN Existe simetría con respecto al origen si se
cumple E ( x, y ) = E ( − x, − y )

IV. ASÍNTOTAS
Si la distancia de un punto de la curva a una recta fija L va disminuyendo (tendiendo a
cero) conforme el punto se aleje ilimitadamente del origen, entonces dicha recta es
llamada ASÍNTOTA DE LA CURVA.
Aquí veremos solo el caso de asíntotas horizontales y asíntotas verticales
ASÍNTOTAS HORIZONTALES: para calcularlas se despeja la variable x de la
f ( y)
ecuación E ( x, y ) = 0 , es decir x = donde f y g son expresiones solamente de y,
g ( y)
entonces las asíntotas horizontales en caso existan se obtiene de la ecuación g ( y) = 0
es decir haciendo el denominador igual a cero

4
 ASINTOTAS VERTICALES: para calcularlas se despeja la variable y de la ecuación
f ( x)
E ( x, y ) = 0 , es decir y = donde f y g son expresiones solamente de x, entonces
g ( x)
las asíntotas horizontales en caso existan se obtiene de la ecuación g ( x) = 0 es decir
haciendo el denominador igual a cero

V. TABULACION: Consiste en calcular un número determinado de pares ordenados a

partir de la ecuación E ( x, y ) = 0 y ordenarlos en una tabla.
VI. MAPEO: Es trazar la curva usando los pares ordenados de la tabla, las simetrías, las
asíntotas y las extensiones.

Ejemplos:
1. Graficar la curva x2 y 2 = 1

2. Graficar la ecuación
3.

x2 y − y − 1 = 0

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2. FUNCIONES.-

Estudiaremos aquí una clase muy especial de relaciones entre elementos de un conjunto A y un
elemento del conjunto B, llamadas FUNCIONES DE A EN B. Así una función expresa la idea de que una
cantidad depende o está determinada por otra, por ejemplo el número de bacterias en un cultivo depende de la
cantidad de alimento presente. El área del círculo depende de su radio. La utilidad de una empresa depende
del número de artículos vendidos.

DEFINICIÓN.- Dados dos conjuntos no vacíos A y B y una relación f  A  B entonces se define:

ES FUNCÍON Para cada x  A, existe a lo mas un elemento

f: 
DE A EN B  y  B tal que el par ( x, y )  f

Esto quiere decir, que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera
componente.

Representación grafica de la función f : A → B

f es función si, b = c

NOTACIÓN: La función f: → Llamada función real de variable real se denota como:

f = ( x, y )   y = f ( x)
Donde la ecuación y = f ( x ) es llamada regla de correspondencia.

6
 EJEMPLO:
Si A={1,2,3,4,5} y B={1,3,5,7,9} y la función f : A → B definida por la regla
f = {(x, y) / y = 2x +1}, Hallar f
Solución
Los pares ordenados que pertenecen a la función son:
f={(1,3),(2,5),(3,7),(4,9)}

DEFINICIÓN GEOMÉTRICA.- f es una función si y solo si cualquier recta perpendicular al eje X corta a
la gráfica de f en a lo más un punto.

f es
función

f no
es
función

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN. - Sea f : A → B llamaremos dominio de f , al conjunto de

todas sus primeras componentes, al cual denotaremos por D f el cual no siempre cubre a todo A

es decir, el dominio D f es el conjunto definido por:

D f =  x  A  y  B  ( x, y )  f   A

Y llamaremos rango de f , al conjunto de todas las imágenes de f, al cual denotaremos por R f

, el cual no siempre cubre a todo B

es decir, el rango R f es el conjunto definido por:

R f =  y  B  x  A  ( x, y )  f   B

Ejemplo. - Si f = (1,3) , ( 2, 4 ) , ( 3,5 ) , ( 4, 6 )

Entonces: D f = 1, 2,3, 4 RR = 3, 4,5, 6

7
3. CRITERIO PARA EL CALCULO DEL DOMINIO Y EL RANGO DE UNA FUNCION.

El Dominio de una funcion se halla ubicando el conjunto de todos los valores que pueden tomr
las variables independientes x, exepto en el caso en que dicho dominio haya sido previamente
indicado claramente.

Ejemplos:

a. La función f(x) = x2 –4x está definida para todo número real. Así el dominio de esta función
es el conjunto de todos los números reales. D f = , como y = x 2 − 4 x tenemos que
y = ( x − 2 ) − 4 entonces x = 2  y + 4 de aquí analizando la cantidad subradical obtenemos
2

los valores de y para el rango R f =  y y  4

2x + 3
b. La función g(x) = , -1< x< 2 tiene como dominio todos los valores de x para los cuales
x+2
-1< x< 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición
2x + 3
determina en que intervalo está definida. Dg =  x x  −1, 2  , como y =
1
= 2− ,
x+2 x+2
tenemos que si x  −1, 2  y  1, 7 4 ósea Rg =  y 1  y  

c. Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio consiste de todos los números
reales para los cuales la función tiene sentido.

En el caso de la función h( x) = x + 3 , el dominio de esta función son todos los números

reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la
raíz cuadrada, es decir Dh =  x x   −3,   , fácilmente vemos que Rh =  y y   0,  

En resumen
i) Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los
números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero.

ii) Si la función es un polinomio, es decir una función de la forma:

f(x) = a0 +a1x + a2x2 +...+ anxn
(donde a0 ,a1,a2,..., an son constantes y n un entero no negativo),
el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales.

iii) Si la función es racional, esto es, si es el cociente dos polinomios, el dominio está
conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente
de cero.
El rango es el conjunto formado por todas las imágenes, es decir, es el conjunto
conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores
están determinados además, por el dominio de la función.

8
APLICACIÓN DE A EN B

A una funcion f , le llamaremos aplicaion de A en B , si y solo si D f = A

Ejemplo.- Si A = 1, 2,3, 4 , B = 2,3, 4,5

El conjunto f = ( 2, 2 ) , ( 3,3) , ( 4, 4 ) es una funcion mas no una aplicación.
El conjunto f = (1, 2 ) , ( 2,3) , ( 3, 4 )( 4,5 ) es una funcion y tambien una aplicación.

4. FUNCIONES ESPECIALES.-

a. FUNCION CONSTANTE.- A la funcion f la

llamaremos funcion constante si su regla de
correspondencia es:

f ( x ) = c , donde c es una constante

Donde D f = , R f = c
La gráfica de una función constante es una recta horizontal paralela al eje X y corta al eje Y en
el punto k.

b. FUNCIÓN LINEAL

Una función cuyo valor cambia a un ritmo constante con respecto a su variable independiente
se denomina función lineal, debido a que su gráfico es una línea recta no vertical.

f(x) = ax + b,

En general, una función lineal es de la forma

f ( x ) = ax + b

Con a y b constantes. Donde D f = , Rf =

Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.

9
d. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA.-

A la función f, le llamaremos raíz cuadrada, si su regla

de correspondencia es:
forma
f ( x) = x
+ +
Donde D f = 0 , Rf = 0

e. FUNCIÓN CUADRATICA.-

A una función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de

correspondencia es:
forma

f ( x ) = x2
Donde D f = , Rf = +
0

f. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.-

 x, x  0
f ( x) = x = 
 − x, x  0

Donde D f = , Rf = +
0

10
 g. FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO.

La función f : → tal que 𝑓( 𝑥 ) = ⟦ 𝑥 ⟧ se llama función máximo entero, donde D f = ,

Rf =

𝑓( 𝑥 ) = ⟦ 𝑥 ⟧ = 𝑛 ⟺ 𝑛 ≤ 𝑥 < 𝑛 + 1, 𝑛 ∈ ℤ


−2, si − 2  x  −1

 −1, si − 1  x  0

f ( x ) =  x   f ( x ) =  0, si 0  x  1
 1, si 1  x  2

 2, si 2  x  3



h. FUNCIÓN SIGNO. La función f : → −1, 0,1 con regla de correspondencia.

 1, si x > 0

f ( x ) =  0, si x = 0
-1, si x < 0

se llama función signo y se denota por el sig(x)

donde D f = , R f = −1, 0,1

11
 5. FUNCIONES PARES E IMPARES

Definición 2.21
Una función f : → , es par, si x, − x  D f se cumple que f ( x ) = f ( − x )
Geométricamente se reconoce que una función es par cuando su gráfica es simétrica con respecto al eje y.

Ejemplo la función f : → definida por el f ( x ) = x 6 es par, pues ∀ x , -x ∈ IR se tiene

f ( −x ) = ( −x ) = x 6 = f ( x )
6

Una función f : → , es impar, si x, − x  D f se cumple que − f ( x ) = f ( − x )

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas; es decir la gráfica total
de f se obtiene haciendo girar 180° alrededor del origen la gráfica de f para x > 0.

Ejemplo la función f : → , tal que f ( x ) = x3 es impar, porque

f ( − x ) = ( − x ) = − ( x 3 ) = −f ( x )
3

EJERCICIOS I DOMINIO, RANGO Y GRAFICA DE RELACIONES

1. Hallar el dominio y el rango de las relaciones:

R1 = ( x, y )  2
y 2 = x 2 R2 = ( x, y )  2
x + y = 1

R3 = ( x, y )  2
x  4 x − y = 0 R4 = ( x, y )  2
x 2  y

 1 1 1 1  1 1 1
2. Sea A = −1, 0,1, 2,3, 4,5 , B = 1, 0, −1, −2, −3, , C = 1, , , ,  , D = −1, − , − , − 
 2 3 4 5  2 4 6

Hallar las relaciones definidas, indicando su dominio y rango.

R1 = ( x, y )  A  B x  2 y = 4  R2 = ( x, y )  A  C x  y  y = 4

R3 = ( x, x )  A  B
2
x  −y  R4 = ( x, 0 )  A  B x  , x  −2,3 

R5 = ( x, x )  C  B
2
x y  R6 = ( x, − x )  C  D x  2

R7 = ( x, − x )  D  C x = y R8 = ( x, y )  A  D x. y = −1

 1
R9 = ( x, y )  D  A x = −  R10 = ( x, y )  A  D y   x  
 y

R11 = ( y , y )  A
2 2
y 4  R12 = ( y , y )  A
2 2

y2  4

12
3. En A = 1, 2,3, 4,5 se define la relación R tal que

R = (1,1) , ( 2, 2 ) , ( 3,3) , ( 5,1) , ( 2, 4 )( 5, 4 ) , ( 5, 2 ) , ( 4,3) , ( 3,5 ) .

Si M =  x  A ( x, 2 )  R , N =  y  A ( 3, y )  R , P =  x  A ( x,5)  R ,
hallar (M  N ) − P .

4. Dados los conjuntos : A =  x  x   , B =  x  x es par , x   , C =  x  x es impar , x  6 ,

hallar ( A   )  ( C − A) .

3x 2 + x − 2
5. Si y = ¿cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
x 2 − 2x − 3

(1) x = 3, x = -1 son asíntotas verticales. (2) y = 3 es una asíntota horizontal.

(3) El rango es R – {3, 5/4} (4) El rango es {y  R / y  3}

a) Sólo 2 y 3 b) Todas c) Sólo 1, 2 y 3 d) Sólo 1

x 3 − 3x 2 − 4x + 12
6. Dada la ecuación E(x, y): y = , establecer el valor de verdad de las siguientes
x (x − 2)(x + 2)
afirmaciones:

(1) Dom. (E) = R – {0, -2, 2}

(2) Las asíntotas verticales son x = 0, x = 2, x = -2
(3) y = 1 es una asíntota horizontal
(4) y = 2 es una asíntota horizontal
a) V F V F b) V V F V c) V V V F d) V F V V

7. Construir las gráficas de las siguientes relaciones indicando la extensión, la simetría y sus asíntotas:

1. xy 2 − 9 x − y − 1 = 0 2. x 2 y 2 − 4 x 2 − 4 y 2 = 0

3. xy − y − x − 2 =0 4. x 2 y − x 2 − 4 xy + 4 y = 0

1 1 x−2 6
5. f ( x ) = . 6. f ( x ) = . 7. f ( x ) = . 8. f ( x ) = −1 + .
x 1− x x+2 x −1

x2
10. f ( x ) =
1 1 1
9. f ( x ) = x + . . 11. f ( x ) = . 12. f ( x ) = .
x x +1 x2 x3

10 2x
13. f ( x ) = . (Curva de Agnesi) 14. f ( x ) = . (Serpentina de Newton).
x2 + 1 x +1
2

8. En cada uno de los ejercicios identificar y graficar el lugar geométrico correspondiente a la ecuación
dada.

13
 a. y 2 = 12 x. b. x2 − 2 x = 0

c. y 2 + 8x = 0. d. y2 − 2x + 2 y + 3 = 0

e. 11x 2 − 9 y 2 − 6 x − 18 y = 45. f. 9 y 2 − 4 x 2 = 36

g. 36x2 + 27 y 2 = 972 h. 4 x2 − 9 y 2 = 36.

i. x 2 + 4 y 2 − 10 x − 40 y + 109 = 0 j. 2 x2 + 3 y 2 + x − y − 5 = 0

k. x2 + y 2 + 2 x − 8 y + 12 = 0 l. ( 4 x − 3 y + 10 ) . ( 4 x − 3 y − 30 ) = 0

ll. 9 x2 − 4 y 2 = 36. m. x 2 + 4 y 2 = 9.

( x − 4) = −8 ( y + 1) . x2 − 4 y 2 = 4
2
n. o.

p. y 2 + 3x − 6 y + 9 = 0. q. 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0

r. y 2 - 4 x + 6 y + 13 = 0 s. 4 x 2 + 9 y 2 -8x + 18 y - 23 = 0

t. x2 + 3 y 2 -8x -12 y + 32 = 0 u. 25x 2 + 16 y 2 - 50 x + 64 y - 311 = 0

u. 4 x 2 - 9 y 2 -8x + 36 y + 4 = 0. v. x2 - y 2 + 2 x + 4 y -12 = 0

x. x2 + x − y + 1 = 0 y. x2 − y 2 + 2 y − 1 = 0

9. Graficar las siguientes relaciones indicando su dominio y rango.:

a. M = ( x, y )  2
x + y   . b. M = ( x, y )  2
x + y  0

c. B = ( x, y )  2
x   d. T = ( x, y )  2
y  −

e. R = ( x, y )  2
−2  y   f. R = ( x, y )  2
x 2 + y 2 = 1

g. M = ( x, y )  2
( x − 2) + ( y −1)
2 2

 h. C = ( x, y )  +
x    y  0

 x2 y 2 
i. M = ( x, y )  2
 y + x 2 −  x = 6 j. R = ( x, y )  2
+ = 1
 20 36 

k. R = ( x, y ) y 2  9 − x 2 , x  y, x  2 l. R = ( x, y )  2
, x + y = 6, x  10

m. M = ( x, y )  2
y = x n. R = ( x, y ) x + y = 4

14
 o. M = ( x, y )  2
x − y =  p. M = ( x, y )  2
y  − x

q. M = ( x, y )  2
( x − 2) − ( y −1)
2 2
  
r. C = ( x, y ) 

+ x2 y 2
+
20 36

 


s. R1 = ( x, y )  2
y  − x , 2  x  4, y  −6
t. R2 = ( x, y )  2
y  x , x + y  6, x  0 .
u. R3 = ( x, y )  2
y  x − 2 , x 2 + y 2  4, y  0
v. R4 = ( x, y )  2
x + y  5, x 2 + y 2  4, y  x
w. R4 = ( x, y )  2
y  6, x 2 − 9  y, x 2 + y 2  3
x. R6 = ( x, y )  2
x − y  16, x 2 − y 2  4, y  x

10. Dada la relación R = ( x, y )  2

x − 1 = y − 1 , hallar el dominio y el rango , graficar dicha relación.

11. Graficar la siguiente relación indicando su dominio y rango.

R1 = ( x, y )  2
y 2  4 − 2 x, y  2 x − 1

II DOMINIO, RANGO Y GRAFICA DE FUNCIONES

1.- Sean A = 1, 2,3, 4,5 , B = a, b, c, d , e, f  ¿Cuáles de los siguientes conjuntos no definen funciones de A
en B ?

C = ( 2, a ) , (1, b ) , ( 3, c ) , ( d ,5) D = ( 2, a ) , ( 2, b ) , ( 3, c ) , ( 5, d )
E = ( 2, a ) , (1, a ) , ( 3, c ) F = ( 2, a ) , (1, b ) , ( 3, d ) , ( 5, e ) , ( 4, f )
C = ( 4, a ) , ( 4, a )

2.- Cuales de los siguientes subconjuntos de  definen funciones

f : → Tales que y = f(x) ?:

a) ( x, y ) x 2 + y 2 = 9 b) ( x, y ) x = y 
c) ( x, y ) y = −2 d) ( 0, 0) , (1, 2) , ( 2,3) , (3, 4)
3.- Dadas las funciones: f : → ,

 4, x  
f(x) = 1; g ( x) =  , hallar Ran f  Ran g.
 4 x, x  

4.- Determinar dominio y rango y la gráfica de las siguientes funciones:

15
 4 x2 −1
a). f ( x) = b). f ( x ) = 4 + 3x − x 2
2x +1

c). f ( x ) = 1 + x ( x + 3) d). f ( x) =
(x 2
+ 3 x − 4 )( x 2 − 5 x + 6 )
(x 2
− 3 x + 2 ) ( x − 3)

x 1
e). f ( x) = f). f ( x) =
x −1 x− x

x3 − x 2 − 13x − 3
g). f ( x ) = 4 + 3x − x 2
h. f ( x) =
x+3


 − 25 − ( x + 2 ) , x  3
2
i. f ( x) = 4 − x2 j. f ( x) = 
 x + 3,
 ,x

 x 2 − 4 x, x  
k. f ( x) =  l. f ( x ) = 4 x 2 − 8 x − 24 − 2
 −  x, x  5

x −1 1
ll. f ( x) = m. f ( x) =
x2 + 1 1 − x2

n. f ( x ) = x 2 − 4 x + 2, x  −1, 4 o. f ( x) = x −1

f ( x ) = 2x2 + 4
2x
p. q. f ( x) =
x −5
2

r. f ( x ) = 2 + 2 − x 2 − 8 x + 20 s. f ( x ) = 4 x 2 − 6 x + 10 − 1

t. f ( x ) = 1 − 4 + 3x − x 2 u. f ( x) = 2 − ( x + 3) − 9


− 16 − ( x − 1) , 0  x  5
2
− x 2 + 1, x  3
v. f ( x) =  w. f ( x) = 

 x, , x  x + 3, x  

 x − 4, x   − x + 1,1  x  3
x. f ( x ) =  y. f ( x) = 
 2 − ( x + 3) , x  0  1 − x , x  
2 2

16
5. Indique cuales de las funciones son pares, impares, par e impar al mismo tiempo o ninguno de estos.

a. f ( x ) = 3 b. f ( x ) = 4 x c. f ( x ) = − x. d. f ( x ) = x + 6.

e. f ( x ) = x 2 − 9. f f ( x ) = 3x 2 + 2 x − 1. g. f ( x ) = x3 + 4 x.

h. 3x4 − 2 x2 + 1. i. f ( x ) = x − 1 . j. f ( x ) = 3 x . k. f ( x ) = x + x 4 .

x2 + 3
ll. f ( x ) = m. sen ( x 2 + 1) .
x
l. f ( x ) = . .
3 + x2 x

n. f ( x ) = 1 + x + x 2 − 1 − x + x 2 . o. f ( x ) = 3 ( x + 1) + 3 ( x −1) .
2 2

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III ALGEBRA DE FUNCIONES.

1.- Calcular f+g, f.g, f/g, indicando dominio y rango, donde:

a. f = (1, 4 ) , ( 2,5) , ( 3, 6 ) , ( 4, −6 ) , ( 5, −5 ) , g = ( 0,8 ) , (1,3) , ( 2, 0 ) , (3, 7 ) , ( 4, 0 )(5,10 )

b. f = ( 0, 0 ) , (1,1) , ( 2, 2 ) , ( 3,3) , ( 4, 4 ) , (5,5 ), g = ( 0, 0 ) , (1, −1) , ( 2, −2 ) , (3, −3 ) , ( 4, −4 )
c. f = ( 0, 0 ) , ( 2, 4 ) , ( 3,9 ) , ( 4, 6 ) , g = ( 0, 0 ) , (1, 2 ) , ( 2, 4 ) , (3, 6 ) , ( 4,8 )

d. f = ( 0, 0 ) , ( −2, 4 ) , ( −3,9 ) , ( −4, 6 ), g = (1, 2 ) , ( 2, 4 )

e. f = ( x, y )  2
x  4, x + y = 1 , f = ( x, y )  2
x  5, x − y = 1

f. f = ( x, y )  2

x  6, x + y = 2 , f = ( x, y )  2
x = y

2.- Calcular f+g, f.g, f/g, indicando dominio, donde:

a. f ( x ) = x − 3 g ( x ) = x2

b. f ( x ) = x 2 − 3, x  −2, 2 g ( x ) = 2x − 4

c. f ( x ) = x − 2 + 3, x  4,12 g ( x ) = x 2 − 1, x   −4, 4

d. f ( x ) = x 2 − 1 + 1 g ( x ) = 3x + 1, x   −1, 4

 2 x + 1, x  1 3x + 1, x  8
e) f ( x ) =  2 , g ( x) =  3
 x − 2 x, x    3x , x  

 x 2 , x  1  x + 1, x  −1
f) f ( x ) =  , g ( x) =  2
 x − 1 , x  1  x − 1, x  −

4.- Calcular f g , g f ,cuando:

a. f = ( 0,1) , (1, 2 ) , ( 2,3) , ( 4,3) , ( 5, 2 ) , g = ( 6, 7 ) , ( 5, 4 ) , ( 4,3) , ( 2, 4 ) , (1, 4 ) , ( 0, 7 ) .

18
b. f = ( 0, 0 ) , (1,1) , ( 2, 2 ) , ( 3,3) , ( 4, 4 ) , (5,5 ), g = ( 0, 0 ) , (1, −1) , ( 2, −2 ) , (3, −3 ) , ( 4, −4 )

c. f = ( 0, 0 ) , ( 2, 4 ) , ( 3,9 ) , ( 4, 6 ) , g = ( 0, 0 ) , (1, 2 ) , ( 2, 4 ) , (3, 6 ) , ( 4,8 )

d. f = ( 0, 0 ) , ( −2, 4 ) , ( −3,9 ) , ( −4, 6 ), g = (1, 2 ) , ( 2, 4 )

e. f ( x ) = x 2 − 3, x  −2, 2 g ( x ) = 2x − 4

f. f ( x ) = x − 2 + 3, x  4,12 g ( x ) = x 2 − 1, x   −4, 4

g. f ( x ) = x2 −1 + 1 g ( x ) = 3x + 1, x   −3,5

2
h. f ( x) = g ( x ) = 3x − 1, x   −1, 4
x −1
2

i. f ( x ) = x − 1 + 1, x  1,10 g ( x ) = 3x 2 + 1, x   −6, 6

 x + 1, x  1  x 2 + 1, x  2
j. f ( x) =  , g ( x) = 
 x − 2, x    − x, x  

 x − 3, x  1  1
 ,x  2
k. f ( x) =  , g ( x) =  2 − x
 x + 1, x  1  x 2 − 1, x  

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IV. FUNCIONES INVERSAS:

1. Dadas las funciones f y los conjuntos A y B tal que f : A → B , determinar si las siguientes funciones son
inyectivas, sobreyectivas y biyectivas:

a. f ( x ) = x 2 , A = −,  , B = 0,  . b. f ( x ) = x 2 − 1, A = −4,  , B =  −1,  .

x +1
c. f ( x ) = , A = −1,1 , B = −, 0 . d. f ( x ) = x 2 , A = −,  , B = 0,  .
x −1

1 + x2 − 5
e. f ( x ) = , A = −2, −1 , B =  ,0 .
x  2

f. f ( x ) = 4 x − x, A = 0,1 , B = 0,3.

x 1
g. f ( x ) = , A =  0,  , B = 0, . h. f ( x ) = 2 x + 8x + 6, A = B =
2x + 2 2

i. f ( x ) = − x − 1 , A = , B = −, 0 . j. f ( x ) = 1 − x 2 , A = 1,  , B = 0, 

2 x
k. f ( x ) = + 1, A = 0, 2 , B = 2,  . l. f ( x ) = 1 − , A = 0,1 , B = −, 0
x x2

2. Determinar cuales de las siguientes funciones son inyectivas:

a. f = ( −1, 2 ) , ( 2,1) , ( 3, −4 ) , ( 5,5 ) , ( 0, 0 ) , (1, −5 ).

b. g = (1, 2 ) , ( 2,1) , ( 3, −4 ) , ( 5, −4 ) , ( 0, 0 ) , ( −1, −5 ) , ( 4,1).

c. h = ( 0, 2 ) , ( 5,1) , (1, 0 ) , ( −1, 0 ).

d. f+g-h e. g.h f. f-g g. f 2

h. f = ( x, y ) ( x + 2) , x  .
2
i. f = ( x, y ) ( x + 2) , x  0 .
2

x−2  2, x  0,1
j. f ( x ) = . k. f ( x ) = 
x+2  x , x   −2,1

20
3. Hallar el conjunto B para que:

x +1
a. f : −1, 0 → B, f ( x ) = sea suryectiva.
x2 −1
x +1
b. f : 1, 2 → B, f ( x ) = 2 sea suryectiva.
x −1
x +1
c. f : −1,1 → B, f ( x ) = 2 sea suryectiva.
x −1

4. Hallar a y b para que f :  a, b →  −1,5 , f ( x ) = 3 x − 1 sea biyectiva.

 1
5. Hallar a y b para que f : b, −2 → a, −  , f ( x ) =
1
sea biyectiva.
 24  6x + 6

6. calcular las inversas de las funciones si existen:

2
a. f ( x ) = 4 − x b. f ( x ) =
x−2

4
c. f ( x ) = x − 1, x  −, 2 d. f ( x ) = , x  2, 4
x +1

e. f ( x ) = x 2 − 1, x  −2, 2 f. f ( x ) = 2 x + 1, x  −1,3

4 2x − 3 7 9
g. f ( x ) = , x  0,1 . h. f ( x ) = , x , .
1 − x2 x −1 2 2

4
f ( x) = − 1, x  −1,1  1, 2 f ( x ) = − − x + 1, x  
1− x

a. f ( x ) = 4 − x 2 , x  −2, 0 b. f ( x ) = 2 + x 2 − 6 x

4
c. f ( x ) = x − 1, x  +
d. f ( x ) = , x  1, 4
x +1

2
e. f ( x ) = x 4 − 1, x  −3, 2 f. f ( x ) = + 1, x  −1,1
1 − x2

4 4x − 2
g. f ( x ) = , x  0,1 . h. f ( x ) = , x  1, 4 .
1− x + 2 x −1

x2
f ( x) = − 1, x  −1,1  1, 2 f ( x ) = 2 − − x 2 + 4, 0  x  
1 − x2

21