Apuntes de Relaciones PDF

Iván Giovanny Mosso Garcı́a
Departamento de Formación Básica

Matemáticas Discretas
Apuntes de Relaciones
1. Relaciones
Definición 1.1. Sean A un conjunto en un universo U1 y B un conjunto en un universo
U2 . Una relación R de A en B es un subconjunto de A × B, es decir R ⊆ A × B. Si
(a, b) ∈ R, escribimos aRb y decimos que a esta relacionado con b. Si A = B, decimos
simplemente que R es una relación en A.
Definición 1.2. Sea R una relación de A en B. Definimos
i) al dominio de R como
DR = {a ∈ A|∃b ∈ B, aRb}
ii) y a la imagen de R como
IR = {b ∈ B|∃a ∈ A, aRb}.
Definición 1.3. Sea R una relación de A en B. Definimos a la relación inversa de R

como la relación de B en A dada por
R−1 = {(b, a) ∈ B × A|aRb}.
Definición 1.4. Sean R una relación de A en B y S una relación de B en C. Definimos

a la composición de S con R como la relación de A en C dada por
S ◦ R = {(a, c) ∈ A × C|∃b ∈ B, aRb, bSc}.
Ejemplo 1.5. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d, e, f, g}, C = {α, β, γ, δ, }. Y sean
R = {(1, a), (1, b), (2, b), (3, a), (3, d), (3, e), (3, g), (4, c)}
y
S = {(a, α), (c, δ), (c, ), (d, δ), (e, δ), (g, ), (f, β)}.
Entonces
1
2 FUNCIONES 2
R es una relación de A en B, DR = {1, 2, 3, 4} y IR = {a, b, c, d, e, g};
S es una relación de B en C, DS = {a, c, d, e, g, f } y IS = {α, β, δ, };
tenemos que
R−1 = {(a, 1), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (c, 4), (d, 3), (e, 3), (g, 3)};
tenemos que
S −1 = {(α, a), (β, f ), (δ, c), (δ, d), (δ, e), (, c), (, g)};
tenemos que
S ◦ R = {(1, α), (3, α), (3, δ), (3, ), (4, δ), (4, )}.
Ejercicio 1.6. Sean R y S como en el ejercicio anterior encuentre (S ◦ R)−1 y R−1 ◦ S −1 .

¿Qué puede conjeturar?
2. Funciones
Definición 2.1. Sea f una relación de A en B tal que
i) para toda a ∈ A, existe b ∈ B tal que af b
ii) si af b1 y af b2 , entonces b1 = b2 .
Entonces decimos que f es una función de A en B.
Otra forma de definir una función es mediante una sola condición dada por; para toda
a ∈ A existe una única b ∈ B tal que af b.
Notación 2.2. Consideraremos lo siguiente.

Sea f es una función de A en B. Sean a ∈ A y b ∈ B tales que af b. Entonces como b
es única para a escribimos b = f (a).
Para denotar que f es una función de A en B, y para a ∈ A denotar a f (a). Utilizamos
f :A → B
a → f (a)
De acuerdo a lo anterior, las condiciones que cumple la función f quedan como:
i) para toda a ∈ A, existe b ∈ B tal que b = f (a)
ii) si b1 = f (a) y b2 = f (a), entonces b1 = b2
o bien para toda a ∈ A, existe una única b ∈ B tal que b = f (a).
Observación 2.3. Sea f un función de A en B. Entonces Df = A.
Ejemplos 2.4. Las siguientes son funciones.
ESCOM-IPN IGMG
2 FUNCIONES 3
Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d}, f = {(1, b), (2, a), (3, a), (4, c), (5, b)}, luego
f :A → B
1 → b
2 → a
3 → a
4 → c
5 → b
f :R → R
x → x2
g : Z × Z \ {0} → Q
(a, b) → ab
Sea H el conjunto de los seres humanos mayores de 18 años. Sean, h ∈ H, eh la

edad de h al 1ro de enero del 2000. Entonces
e:H → N
h → eh
es una función.
Observación 2.5. Sean
f :A → B
a → f (a)
y
g:B → C
b → g(b).
Entonces
g◦f :A → C
a → g(f (a))
2.1. Funciones Inyectivas, Suprayectivas y Biyectivas

Definición 2.6. Sea f : A → B. Decimos que f es
i) Inyectiva si cuando b = f (a1 ) y b = f (a2 ), entonces a1 = a2 .
ii) Suprayectiva si para toda b ∈ B existe a ∈ A tal que f (a) = b.
iii) Biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Observación 2.7. f es biyectiva si para toda b ∈ B existe una única a ∈ A tal que
f (a) = b
Definición 2.8. Sea A un conjunto. Definimos a la cardinalidad como
i) |A| = 0 si A = φ.
ESCOM-IPN IGMG
3 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES 4
ii) |A| = n si existe una función f biyectiva de {1, 2, . . . , n − 1, n} en A.
iii) |A| = ∞ numerable si existe una función f biyectiva de N en A
iv) |A| = ∞ no numerable en otro caso.
3. Propiedades de las relaciones

A continuación consideraremos a las relaciones como no vacı́as, a menos que se diga
lo contrario.
3.1. Relación reflexiva e irreflexiva

Definición 3.1. Sean A un conjunto, R una relación en A. Decimos que R es
i) Reflexiva si para todo a ∈ A, tenemos que aRa.
ii) Irreflexiva si para todo a ∈ A, tenemos que a 6 Ra.

Proposición 3.2. Sea R una relación en A. Entonces:
i) Si R es reflexiva, entonces R es no irreflexiva.
ii) Si R es irreflexiva, entonces R es no reflexiva.

Proposición 3.3. Sea A un conjunto. Entonces idA ⊆ R para toda R relación reflexiva
en A. En otras palabras la relación reflexiva mas pequeña de A es idA .
Definición 3.4. Sean A un conjunto, R una relación en A. Llamamos cerradura reflexiva
de R a la relación clR (R) tal que
i) clR (R) es reflexiva,
ii) R ⊆ clR (R),
iii) si S es una relación reflexiva tal que R ⊆ S entonces clR (R) ⊆ S.

Proposición 3.5. clR (R) = R ∪ idA .
3.2. Relación Simétrica y Antisimétrica

Definición 3.6. Sean A un conjunto, R una relación en A. Decimos que R es
i) Simétrica si para todo a, b ∈ A, tenemos que si aRb, entonces bRa.
ii) Antisimétrica si para todo a, b ∈ A, tenemos que si aRb y bRa, entonces a = b.

Proposición 3.7. Sea R una relación en A tal que R es simétrica y antisimétrica en-
tonces R ⊆ idA
Definición 3.8. Sean A un conjunto, R una relación en A. Llamamos cerradura simétrica
A a la relación clS (R) tal que
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3 PROPIEDADES DE LAS RELACIONES 5
i) clS (R) es simétrica,
ii) R ⊆ clS (R),
iii) si S es una relación simétrica tal que R ⊆ S entonces clS (R) ⊆ S.
Proposición 3.9. clS (R) = R ∪ R−1 .
3.3. Relación Transitiva

Definición 3.10. Sean A un conjunto, R una relación en A. Decimos que R es Transitiva
si para todo a, b, c ∈ A, tenemos que si aRb y bRc, entonces aRc.
Definición 3.11. Sea R una relación en A. Sea n ∈ N definimos
i) R1 = R
ii) Rn = Rn−1 ∪ {(a, c) ∈ A × A|∃b ∈ A, aRn−1 b, bRn−1 c} si n > 1.
Proposición 3.12. Sea R una relación en A. Entonces R es transitiva si y solo si

R = R2 .
Definición 3.13. Sean A un conjunto, R una relación en A. Llamamos cerradura tran-

sitiva A a la relación clT (R) tal que
i) clT (R) es transitiva,
ii) R ⊆ clT (R),
iii) si S es una relación transitiva tal que R ⊆ S entonces clT (R) ⊆ S.

∞
Rn .
S
Proposición 3.14. clT (R) =
n=1
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Iván Giovanny Mosso Garcı́a

Departamento de Formación Básica

Definición 1.2. Sea R una relación de A en B. Definimos

ii) y a la imagen de R como

Definición 1.3. Sea R una relación de A en B. Definimos a la relación inversa de R

R−1 = {(b, a) ∈ B × A|aRb}.

Definición 1.4. Sean R una relación de A en B y S una relación de B en C. Definimos

S ◦ R = {(a, c) ∈ A × C|∃b ∈ B, aRb, bSc}.

R es una relación de A en B, DR = {1, 2, 3, 4} y IR = {a, b, c, d, e, g};

S es una relación de B en C, DS = {a, c, d, e, g, f } y IS = {α, β, δ, };

Ejercicio 1.6. Sean R y S como en el ejercicio anterior encuentre (S ◦ R)−1 y R−1 ◦ S −1 .

i) para toda a ∈ A, existe b ∈ B tal que af b

Entonces decimos que f es una función de A en B.

Notación 2.2. Consideraremos lo siguiente.

De acuerdo a lo anterior, las condiciones que cumple la función f quedan como:

i) para toda a ∈ A, existe b ∈ B tal que b = f (a)

ii) si b1 = f (a) y b2 = f (a), entonces b1 = b2

o bien para toda a ∈ A, existe una única b ∈ B tal que b = f (a).

Observación 2.3. Sea f un función de A en B. Entonces Df = A.

Ejemplos 2.4. Las siguientes son funciones.

Sea H el conjunto de los seres humanos mayores de 18 años. Sean, h ∈ H, eh la

2.1. Funciones Inyectivas, Suprayectivas y Biyectivas

ii) Suprayectiva si para toda b ∈ B existe a ∈ A tal que f (a) = b.

iii) Biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

ii) |A| = n si existe una función f biyectiva de {1, 2, . . . , n − 1, n} en A.

iii) |A| = ∞ numerable si existe una función f biyectiva de N en A

iv) |A| = ∞ no numerable en otro caso.

3. Propiedades de las relaciones

3.1. Relación reflexiva e irreflexiva

ii) Irreflexiva si para todo a ∈ A, tenemos que a 6 Ra.

ii) Si R es irreflexiva, entonces R es no reflexiva.

ii) R ⊆ clR (R),

iii) si S es una relación reflexiva tal que R ⊆ S entonces clR (R) ⊆ S.

3.2. Relación Simétrica y Antisimétrica

ii) Antisimétrica si para todo a, b ∈ A, tenemos que si aRb y bRa, entonces a = b.

i) clS (R) es simétrica,

ii) R ⊆ clS (R),

iii) si S es una relación simétrica tal que R ⊆ S entonces clS (R) ⊆ S.

Proposición 3.9. clS (R) = R ∪ R−1 .

3.3. Relación Transitiva

Definición 3.11. Sea R una relación en A. Sea n ∈ N definimos

ii) Rn = Rn−1 ∪ {(a, c) ∈ A × A|∃b ∈ A, aRn−1 b, bRn−1 c} si n > 1.

Proposición 3.12. Sea R una relación en A. Entonces R es transitiva si y solo si

Definición 3.13. Sean A un conjunto, R una relación en A. Llamamos cerradura tran-

i) clT (R) es transitiva,

ii) R ⊆ clT (R),

iii) si S es una relación transitiva tal que R ⊆ S entonces clT (R) ⊆ S.

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S es una relación de B en C, DS = {a, c, d, e, g, f } y IS = {α, β, δ, };