I.

Poutres continues-Méthode des trois moments

1. Méthode de trois moments
1.1. But du travail :

Calcul de poutres continues en se basant sur l’équation des trois moments.

La poutre continue peut-être à 2,3 ou 4 travées de rigidité différentes et soumise à un ensemble
de charges réparties ou/et concentrés.

2. Formulation

Équation des trois moments :

1 1 𝐴𝑖+1 𝐵𝑖
𝑀(𝑖−1) + 2 ( + ) 𝑀𝑖 + 𝑀(𝑖+1) = 6 ( − ) + 6𝐾𝑟 (𝜓𝑖+1 − 𝜓𝑖 )
𝑘𝑖 𝑘𝑖+1 𝑘𝑖+1 𝑘𝑖
Où :
𝑘𝑖 : Rigidité relative de la travée i
𝑘𝑖 = (𝐸𝐼𝑖 /𝐿𝑖 )/ 𝐾𝑟 ; 𝐾𝑟 =(EI/L) d’une travée de référence.
𝐴𝑖 , 𝐵𝑖 : Rotation isostatique dues à la charge sur la travée i ; voir tableau ci-dessous
𝜓𝑖 : La rotation de la barre de la travée i due aux déplacements relatifs de ses appuis.
𝜓𝑖 = (Δ𝑖−1 − Δ𝑖 )/𝐿𝑖

Charge sur travée j Charge répartie Charge nodale

𝐴𝑗 -ql2/24 -(1/6)(Qab/l)(2-a/l)

𝐵𝑗 ql2/24 (1/6)(Qab/l)(1+a/l)

3. Calcul
3.1. Poutre à 2 travées
3.1.1. Calcul manuelle :
Données :
Longueur des travées : L1=4m ; L2=6m
Charges : q1=50kN/m ; q2=30KN/m ; Q2=80kN/m ; a/L2=1/2
𝐸𝐼1= 𝐸𝐼2 et 𝐿𝑟 =4m
A.N :
(80∗3∗5)
𝐴2 =-ql2/24-(1/6)(Qab/l)(2-a/l)=-30*5²/24-1/6* *(2-3/6)=-75
6

100
𝐵𝑗 = ql2/24=50*4²/24= 3

Avec : 𝑘1 =1 et 𝑘2 =2/3
1 1 𝐴2 𝐵1
𝑀0 + 2 ( + ) 𝑀1 + 𝑀2 = 6 ( − )
𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘1
1 1 −75 100
0 + 2( + ) 𝑀1 + 0 = 6 ( − )
2/3 1 2/3 3
𝑀1 =-175KN.m
Calcul moments en travées :
M(x)=mq(x)+MB x/L + MA (1-x/L)
Travée 1
M(x)=mq(x)+Mb x/L + MA (1-x/L) avec mq(x)=(q1l/2) x-qx²/2=(50*4/2)x-50x2/2 et MA=0
M(x)= (50*4/2)x-50x2/2 -175(x/4)
dM(x)/dx=(q1l/2)- qx+ Mb /L =0
A.N
dM(x)/dx= (50*4/2)- 50x-188,5/4=0 x=1,125m
Mmax=31,64KN.m
Travée 2
M(x)=mq(x)+Mb x/L + MA (1-x/L) avec mq(x)=(q2l/2+Q2/2) x-qx²/2=(30*6/2+80/2)x-30x2/2 et
MB=0
M(x)= (30*6/2+80/2)x-30x2/2 +175(1-x/6)
Mmax=M(x=3 m)=167,5KN.m
Calcul effort trenchant
T(x)=tq(x)+(MB- MA)/L
Travée 1
T(x)=50*4/2-50x-175/4
T(0)=56,25 KN
T(4)=-143,75KN
Travée 2
Pour 0<x<3
T(x)=30*6/2+80/2-30x+175/6
T(0)=159,167KN

Pour 3<x<6
T(x)=-(30*6/2+80/2)+30(6-x)+175/6=-100,833KN
Calcul des réactions des appuis
Ri=Ti+- Ti-
R1=56,25-0=56,25 KN
R2=159,167-(-143,75) =302,917KN
R3=0-(-100,833) =100,833 KN
Calcul Déformée
F=fq+ fQ1+ fQ2+ fMA+MB
𝑥 𝑥 2
1 (1+ )−( ) 𝑞𝑙² 𝑥 𝑥
𝐿 𝑙
fq=𝑘𝑖 × × × 𝑙 (1 − 𝑙 ) 𝑙
3 8

1 1 𝑄𝑎(𝑙−𝑎) 𝑥 𝑥
fQ1=𝐾 (3 − 𝐾) × × 𝑙 (1 − 𝑙 )
𝑙
𝑥 𝑥
1 (2− ) (1+ ) 𝑥
𝑙 𝑙
fMA+MB=𝑘𝑟 ( × 𝑀𝐴 + × 𝑀𝐵)𝑥/𝑙(1 − 𝑙 ) × 𝑙
6 6

Travée 1
−5q 𝐿4
1 1 175×𝐿2
F(L/2)= 384𝐸𝐼 +16 × =-0,0083333m
𝐸𝐼

Travée 2
15q 𝐿4 𝑞𝐿3 1 175×𝐿2
F(L/2)=384𝐸𝐼 +48𝐸𝐼 − 16 × =0,4725m
𝐸𝐼

ϖA=ᴪi+1/ki(Ai-1/3MA-1/6 MB)
ϖA=ᴪi+1/ki(Bi+1/3MB+1/6 MA)

ϖA ϖB
Travée1 -16,67 -100

Travée2 -100 275

 3.1.2. Calcul numérique

EI(knm2) L(m)
K 1000 1 1000
référence
EI(knm2) L(m) ki q(KN/m) Q1(KN) a1(m) Q2 a2 DELTA DELTA charg
1 2 e
Travée1 1000 4 0,25 50 0 0 0 0 0 0 200
Travée2 1000 6 0,1666 30 80 3 0 0 0 0 260
6667

Ai Bi Psi
Travée 1 -33,333 33,333 0
Travée2 -75 75 0
X/Li x Mq(x) MQ1 MQ2 M(x) Tq(x) TQ1 TQ2 T(x) fq K1 K2 x fQ1 f
0 0 0 0 0 0 100 0 0 56,25 0 0 0 0 0
0,1 0,4 36 0 0 18,5 80 0 0 36,25 52,32 0,017 0,017 0,4 0,000
0,2 0,8 64 0 0 29 60 0 0 16,25 98,99 0,033 0,033 0,8 0,000
0,3 1,2 84 0 0 31,5 40 0 0 -3,75 135,52 0,050 0,050 1,2 0,000
0,4 1,6 96 0 0 26 20 0 0 -23,75 158,72 0,067 0,067 1,6 0,000
0,5 2 100 0 0 12,5 0 0 0 -43,75 166,67 0,083 0,083 2 0,000
0,6 2,4 96 0 0 -9 -20 0 0 -63,75 158,72 0,100 0,100 2,4 0,000
0,7 2,8 84 0 0 -38,5 -40 0 0 -83,75 135,52 0,117 0,117 2,8 0,000
0,8 3,2 64 0 0 -76 -60 0 0 -103,75 98,99 0,133 0,133 3,2 0,000
0,9 3,6 36 0 0 -121,5 -80 0 0 -123,75 52,32 0,150 0,150 3,6 0,000
1 4 0,000 0,000 0,00 -175 -100 0 0 -143,75 0,00 0,167 0,167 4 0,000
0 4 0 0,000 0,00 -175 90 40 0 159,167 0,00 0,083 0 4 0,000
0,1 4,6 48,6 24,000 0,00 -84,9 72 40 0 141,167 158,92 0,059 0,017 4,6 106,560
0,2 5,2 86,4 48,000 0,00 -5,6 54 40 0 123,167 300,67 0,038 0,033 5,2 204,480
0,3 5,8 113,4 72,000 0,00 62,9 36 40 0 105,167 411,64 0,019 0,050 5,8 285,120
0,4 6,4 129,6 96,000 0,00 120,6 18 40 0 87,167 482,11 0,006 0,067 6,4 339,840
0,5 7 135 120,000 0,00 167,5 0 40 0 69,167 506,25 0,000 0,083 7 360,000
0,6 7,6 129,6 96,000 0,00 155,6 -18 -40 0 -28,833 482,11 0,006 0,100 7,6 339,840
0,7 8,2 113,4 72,000 0,00 132,9 -36 -40 0 -46,833 411,64 0,019 0,117 8,2 285,120
0,8 8,8 86,4 48,000 0,00 99,4 -54 -40 0 -64,833 300,67 0,038 0,133 8,8 204,480
0,9 9,4 48,6 24,000 0,00 55,1 -72 -40 0 -82,833 158,92 0,059 0,150 9,4 106,560
1 10 0,000 0,000 0,00 0,00 -90 -40 0 -100,833 0,00 0,083 0,167 10 0,000
 Le diagramme d'effort tranchant
200
159.17
141.17
150 123.17
105.17
87.17
100
69.17
56.25
36.25
50
16.25
-3.75

KN
0 -23.75 -28.83
0 1 -43.75
2 3 4 5 6 7 8
-46.83 9 10
-63.75 -64.83
-50
-83.75 -82.83
-103.75 -100.83
-100 -123.75
-143.75
-150

-200
(M)

fléche
-0.100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
 3.2. Poutre à 3 travées

Données :

EI(knm2) L(m)
K référence 1000 8 125
EI(knm2) L(m) ki q(KN/m) Q1(KN) a1(m) Q2 a2 DELTA1 DELTA2 charge
Travée1 1000 7 1,14285714 30 0 0 0 0 0 0 210
Travée2 1000 8 1 20 100 5 0 0 0 0 260
Travée3 1000 5 1,6 80 80 2 20 4 0 0 500

Calcul moments M1 et M2 :
Ai Bi Psi
Travée1 -61,25 61,25 0
Travée2 -96,30 104,11 0
Travée3 -112,13 112,13 0

𝟑, 𝟕𝟓 𝟏 𝑴𝟏 −𝟏𝟒𝟗, 𝟗
( )( ) = 𝟔( )
𝟏 𝟑, 𝟐𝟓 𝑴𝟐 −𝟏𝟕𝟒, 𝟐

M1=-167,784KN.m
M2=-269,951KN.m

Calcul des rotations :

ϖA ϖB
Travée1 -29,116 4,639
Travée2 4,639 -13,844
Travée3 -13,844 41,963