BP 2 M1 Pertes de Précontrainte
BP 2 M1 Pertes de Précontrainte
BP 2 M1 Pertes de Précontrainte
Pertes de post-tension
précontrainte PERTES DE PRECONTRAINTE
• La force de précontrainte varie à la fois :
1 Tension à l’origine σ P 0 ou P0
en tension, avant le transfert de l’effort à l’ancrage.
Il s’agit donc de la tension en O, σp0, inférieure à la tension en A, σpA (à l’entrée de la tête
d’ancrage) du fait des frottements entre les armatures et : la tête d’ancrage, de A à B, d’une
part ; la trompette d’épanouissement, de B à O, d’autre part.
σp0 (x=0 et t=0)
2 Pertes instantanées ∆σ Pi ou ∆Pi
La perte de tension entre A et O, définie dans la notice technique du procédé considéré, est couramment de l’ordre de 2 %, de sorte
que :σp0 ≈ 0,98 σpA, ou, si l’on raisonne en forces (P = Apσp, Ap représentant la section nominale du câble) : P0 ≈ 0,98PA
Notons que la force PA, elle-même, est inférieure au produit de la section du piston par la pression dans la chambre à cause des frottements
internes du vérin. Une courbe de correspondance entre pression et force appliquée PA par le vérin permet de tenir compte de ce dernier
phénomène. Il n’en demeure pas moins que, sur le chantier, pour obtenir P0 = Apσp0 en O, il faut appliquer en A une force PA supérieure
Pour le projeteur, P0 ou σP0 constitue la valeur de référence puisque c’est elle qui fait l’objet de
limitations réglementaires.
4 Tension à un instant t quelconque La contrainte à l’origine correspondante est plafonnée à la plus faible des valeurs suivantes :
0,80 fprg pour les fils et torons, 0,70 fprg pour les barres ;
0,90 fpeg ;
σ P ou P ce qu’indique la notice technique du procédé de précontrainte utilisé.
Sauf cas très particulier, les câbles sont toujours tendus au maximum autorisé, pour des
raisons évidentes d’économie.
2.1 Pertes par frottement
2 Pertes instantanées
2.1.1 Courbure du tracé
2.1 Pertes par frottement ∆σ fr
Équilibre du câble de précontrainte
La rigidité à la flexion d’un câble est faible et peut donc être négligée, ce qui revient à assimiler le câble à un fil parfait. Dans ces
conditions, le seul effort qu’il puisse transmettre est un effort de traction simple tangent à son tracé.
Étude d’un tronçon élémentaire de câble
– Courbure du tracé Considérons un tronçon MN (infiniment petit) de câble courbe, de longueur ds, compris entre les abscisses
curvilignes s et s + ds
dα dα
P × sin (dα ) + p × ds × cos − q × sin ds = 0
2 2
dα dα dα Équilibre d’ensemble du câble
Soit en négligeant les termes du 2e ordre sin (dα ) ≈ dα , cos ≈ 1 et sin ≈
2 2 2
Le câble AC (de longueur finie), dans son ensemble, est en équilibre sous
dα P l’effet des forces qu’exerce sur lui le béton :
P × dα + p × ds = 0 d’où p = −P × =− avec r désignant le rayon de courbure du tracé.
ds r
• forces concentrées sous ancrages PA et PC ;
De même, en projection sur la tangente en N : t • forces réparties radiales centrifuges (– P/r) et tangentielles (– dP/ds).
dα dα
L’étude de l’équilibre d’un tronçon élémentaire de câble courbe nous a permis d’établir
P + dP − P × cos(dα ) + p × ds × sin + q × ds × cos =0 les deux équations suivantes :
2 2 P × dα + p × ds = 0 et dP + q × ds = 0
dα dα dα
Soit en négligeant les termes du 2e ordre cos(dα ) ≈ 1 , cos ≈ 1 et sin ≈
2 2 2 Si l’on admet qu’entre q et p existe la relation fondamentale du
dP frottement solide : q = f× p
dP + q × ds = 0 d’où q=−
ds Avec f coefficient de frottement du câble sur son conduit, nous
obtenons
Le signe – de l’expression montre que la composante p est centrifuge, le signe – de l’expression que q est dP
orienté dans le sens où P va en décroissant. q représente physiquement la force tangente de frottement que le P = ± f × p × dα soit = ± f × dα
conduit exerce sur le câble au moment de la mise en tension. P
Convenons ici que dαα représente la déviation angulaire arithmétique (essentiellement positive)
2.1.2 Déviations parasites
entre les deux extrémités du tronçon MN, et supposons que le câble complet, orienté de la gauche vers la
droite, soit mis en tension par son extrémité gauche O (que l’on confond géométriquement, dans la Un conduit ne suit jamais parfaitement son tracé théorique ; il festonne entre ses points
pratique, avec le point A de fixation sous l’effet de son poids, de la poussée du béton, des incertitudes de positionnement
des attaches.
À la déviation angulaire théorique α entre O et C vient donc se superposer une déviation
parasite sensiblement proportionnelle à la distance entre O et C, donc de la forme ϕ x.
ϕ est le coefficient de perte en ligne.
Compte tenu de ce phénomène, la formule se généralise en :
P( x ) = P0 × exp(− f ×α −ϕ×x )
Frottements le long du câble lors de la mise en tension
.
ou, si l’on raisonne sur les contraintes :
σ P (x ) = σ P 0 × exp
Il est alors évident que, lors de la mise en tension, le déplacement du câble par rapport au béton
s’effectue de la droite vers la gauche et que l’action tangentielle de contact du conduit sur les armatures, ( − f ×α −ϕ×x )
s’opposant à ce mouvement, s’exerce de la gauche vers la droite ; la tension diminue donc entre le point O
et le point courant C d’abscisse x du tracé et le signe à retenir dans l’équation est le signe – .
2.1.3 Valeurs des coefficients de frottement 2.2 Pertes à la mise en charge de l’ancrage
(rentrée d’ancrage)
Cas de la précontrainte intérieure au béton Lors du report de l’effort du vérin à l’ancrage, le câble subit toujours un léger raccourcissement g :
Pour les câbles constitués de fils ou de torons, on peut, lorsque les armatures sont huilées et que • faible dans le cas des ancrages par calage ou vissage ; g, de l’ordre de 2 mm, est alors la
les conduits (gaines ou tubes métalliques) sont en bon état, utiliser les valeurs moyennes des coefficients : conséquence de la déformation du corps d’ancrage et du tassement des cales ou des filets ;
• plus important dans le cas des ancrages par coincement : les torons et les clavettes
0,12 rad-1 ≤ f ≤ 0,25 rad-1 subissent un déplacement vers l’intérieur de la pièce qui peut atteindre 6 mm et même davantage lorsque
le vérin n’est pas muni d’un système de clavetage hydraulique (permettant d’enfoncer de force les mors
dans leur logement conique avant relâchement de la pression dans la chambre du vérin).
0,12.10-2 m-1 ≤ ϕ ≤ 0,25.10-2 m-1 Les notices techniques des procédés de précontrainte définissent, pour chaque type d’ancrage, la
valeur probable de g.
Dans le cas de barres logées à l’intérieur de gaines de faible diamètre, les coefficients de Le mouvement de rentrée vers l’intérieur du béton est contrarié par le frottement du câble sur sa
frottement sont nettement supérieurs, surtout lorsqu’il s’agit de barres nervurées. gaine, comme à la mise en tension, mais en sens inverse. Son influence diminue donc à partir de l’ancrage
En ce qui concerne les torons gainés graissés, les valeurs utilisables sont les suivantes : f = 0,05 jusqu’à s’annuler à une distance d de celui-ci à partir duquel la tension demeure inchangée.
ϕ = 0,001 m–1 Tension le long du câble, avant et après relâchement de la pression dans le vérin
2.3.2 Pertes par échelonnement des mises en tension des câbles d’une
même famille [ ] Soit une poutre à 2 câbles de précontrainte : P : précontrainte totale
Supposons que la famille en question comporte N câbles de même puissance passant sensiblement P
S : section de la poutre : effort dans chaque câble
au même niveau dans une section donnée. La mise en tension de ces N câbles provoque, dans le béton 2
adjacent, une variation de contrainte normale ∆σbi.
∆σ bi ● raccourcissement du béton à la mise en tension d’un câble :
Chaque câble apporte à cette variation de contrainte une contribution , la variation
N P
∆σ bi ∆l b σb P×l P
correspondante de déformation du béton étant , où Ei représente le module instantané du béton. = = 2 ⇒ ∆l = avec au final : σ b =
N × Ei l Ebi S × E bi
b
2 × S × E bi S
Du fait que les N câbles ne sont pas tendus en même temps (il faudrait pour cela disposer d’au
moins N vérins sur le chantier), le ne câble mis en tension subit le raccourcissement dû aux (N – n) câbles ● à la mise en tension du deuxième câble, le béton se raccourcit de ∆lb , et le premier
tendus après lui :
(N − n ) × ∆σ bi . Sa perte de tension vaut donc : EP ×
(N − n ) × ∆σ bi et sa perte de câble subit le même raccourcissement.
N
Ei N Ei
force : AP × E P ×
( N − n ) ∆σ bi
× Avec AP : section du câble en question. ⇒ ∆l P =
∆σ P
× l = ∆lb =
P×l E P 1
⇒ ∆σ P = P × ×
N Ei EP 2 × S × Ebi Ebi S 2
La perte globale de force pour les N câbles est ainsi :
1 EP
n= N
(N − n ) × ∆σ bi N × ( N − 1) ∆σ bi soit ∆σ P = × ×σ b : perte de tension dans le premier câble à la mise en
∑ AP × E P ×
n =1 N Ei
= AP × E P ×
2× N
×
Ei
2 Ebi
D’où, pour la famille considérée, une perte moyenne de tension (que l’on obtient en divisant la tension du deuxième câble. Le deuxième câble n’a pas subit de raccourcissement, donc
1 E P ( N − 1)
perte de force par la section N x Ap des N câbles) : ∆σ n = × × × ∆σ bi 1 EP
2 Ei N la perte moyenne par câble vaut : ∆σ P = × ×σ b
4 Ebi
1 EP
Cette expression tend vers : × × ∆σ bi lorsque N augmente indéfiniment.
2 Ei
Pour 3 câbles : raccourcissement du béton à la mise en tension d’un câble : 1 1 2 3 EP
Pour 4 câbles, nous trouverions ∆σ P = × + + × ×σ b que nous
P 4 4 4 4 Ebi
∆l b σb P×l P
= = 3 ⇒ ∆l = avec au final : σ b = (n − 1) × E P × σ
S × E bi 3 × S × E bi P
b
l E bi S généralisons en : ∆σ P = pour n câbles, avec au final : σ b =
2× n
b
Ebi S
1 EP
● perte de tension dans le 1er câble à la mise en tension du 2ème câble : ∆σ P = × ×σ b ∆σ bj
3 E bi Le B.P.E.L. propose : ∆σ n = E P × ∑ k j × avec
j Eij
1 EP
● perte de tension dans le 1er câble à la mise en tension du 3ème câble : ∆σ P = × ×σ b
3 E bi ∆σbj variation de contrainte du béton agissant au C.d.G. des armatures
considérées sous l’effet des actions permanentes appliquées au jour j ;
1 EP
● perte de tension dans le 2ème câble à la mise en tension du 3ème câble : ∆σ P = × ×σ b kj coefficient multiplicateur égal à :
3 E bi
1/2 pour ∆σbj dû à la mise en tension des câbles mêmes et aux charges permanentes
1 1 EP 1 E 1 E
● la perte moyenne par câble vaut : ∆σ P = × × ×σ b + × P ×σ b + × P ×σ b mobilisées simultanément,
3 3 E bi 3 E bi 3 E bi
1 pour les variations ∆σbj générées par les actions permanentes appliquées
1 1 2 EP
soit ∆σ P = × + × ×σ b postérieurement à la mise en tension.
3 3 3 E bi
Pour une famille de câbles et si le seul ∆σbj intéressant la structure est celui qui ∆σ bj
Nous pouvons simplifier en ∆σ n = E P × ∑ k j × avec
j Eij
résulte de la mise en tension des câbles en question et de la mobilisation simultanée du
poids propre de la structure. Alors ∆σbj se confond avec σbi, contrainte initiale du béton ∆σ bj variation de contrainte du béton adjacent à la famille [Φ] de câbles
étudiée, dans la section considérée, sous l’effet des actions permanentes appliquées au
1 EP
adjacent et la formule se réduit à : ∆σ n = × × σ bi jour j ;
2 Eij kj coefficient multiplicateur égal à :
1/2 pour ∆σbj dû à la mise en tension des câbles mêmes de la famille [Φ] et aux charges
Si l’on se contente d’une évaluation sommaire de ∆σn(très souvent suffisante permanentes mobilisées simultanément,
compte tenu de la petitesse de ce terme), on confond σbi avec σb, contrainte finale (après 1 pour les variations ∆σbj générées par les actions permanentes appliquées
postérieurement à la mise en tension de [Φ].
stabilisation des pertes) du béton au niveau des câbles dans l’ouvrage soumis à ses seules
charges permanentes. Assez fréquemment, on peut considérer que l’on n’a qu’une famille de câbles et
que le seul ∆σbj intéressant la structure est celui qui résulte de la mise en tension des
EP câbles en question et de la mobilisation simultanée du poids propre de la structure.
Comme est, en pratique, voisin de 6, l’ordre de grandeur de la perte par
Eij Alors ∆σbj se confond avec σbi, contrainte initiale du béton adjacent et la formule se
1 E
1 EP réduit à : ∆σ e = × P × σ bi
déformation instantanée du béton est donné par : ∆σ n ≈ × ×σ b ≈ 3×σ b 2 Eij
2 Eij
Si l’on se contente d’une évaluation sommaire de ∆σe (très souvent suffisante
compte tenu de la petitesse de ce terme), on confond σbi avec σb, contrainte finale (après
stabilisation des pertes) du béton au niveau des câbles dans l’ouvrage soumis à ses seules
charges permanentes.
2.4 Tension initiale 3 Pertes de tension différées
• 3.1 Pertes par retrait ∆σ r
C’est celle qui subsiste dans le câble une fois effectuées
toutes les pertes instantanées analysées : • 3.2 Pertes par fluage ∆σ fl
3.3 Pertes par relaxation ∆σ ρ
σ Pi (x) = σ P0 − ∆σ fr (x) − ∆σ g (x) − ∆σ n (x) •
• 3.4 Pertes différées totales ∆σd
εr[1 – r(t0)]
Très souvent, on peut négliger r(t0) devant 1, ce qui conduit à la formule avec t0 : âge du béton au moment de la mise en tension des armatures considérées.
Pour t infini, la déformation finale de fluage, si l’on se contente de la formulation
simplifiée : simplifiée, respecte donc la double inégalité :
∆σr ≈ Epεr σ min
× Φ ≤ ε fl ≤
σ MAX
×Φ soit :
σ min
≤ ε fl ≤
σ MAX
Ei (t 0 ) Ei (t 0 ) E fl (t 0 ) E fl (t 0 )
ε fl ≈
Cet
Φ
×
encadrement
(σ MAX + σ min )
conduit, de façon logique, à l’estimation :
où, si l’on admet Φ ≈ 2 et en reprenant pour Ei (t0) la
3.3 Pertes par relaxation
Ei (t 0 ) 2
σ + σ min
notation plus habituelle Eij : ε fl ≈ MAX
E ij Comme on l’a vu, la perte de tension finale due à la relaxation peut être estimée
par la formule :
En pratique, σmin se confond très souvent avec la contrainte finale σb du béton
adjacent aux armatures dans l’ouvrage soumis à ses seules charges permanentes (état à
σ +σb 6 σ
vide) de sorte que : ε fl ≈ MAX ∆σ ρ = × ρ1000 × i − µ 0 × σ i
E ij
100 f
prg
× (σ MAX + σ b )
EP
La perte finale par fluage vaut donc : ∆σ fl = E P × ε fl ≈
Eij avec : ρ1000 : relaxation MAX. garantie à 1000 h
Lorsque σ MAX ≤ 1,5 × σ b , on peut, par simplification, se contenter de l’estimation (par
EP
excès) : ∆σ fl ≈ 2,5 × σ b × µ0 : coef. (0,43 en T.B.R. , 0,35 en B.R. et 0,30 en R.N.)
E ij
EP
et comme : ≈ 6 , ∆σ fl ≈ 15 × σ b
Eij