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Clotilde BERDIN, ECP
Mcanique Linaire de la Rupture Dimensionnement en prsence dune fissure dans un matriau fragile 2 Clotilde BERDIN, ECP Fissures - Effet dentaille - Modes de chargement Champs mcaniques en pointe de fissure - Facteur dintensit des contraintes - Plasticit confine en mode I Extension de fissure en mode I - Tnacit K IC - Aspects mtallurgiques Aspects nergtiques - Taux de restitution dnergie G - Equivalence G-K 3 Clotilde BERDIN, ECP Concentration de contrainte multiaxiale (augmentation de m ) a max 1 2 yy a
| | = + | \ X yy
( ) yy x ( ) xx x X Y Fissures Rappel : effet dentaille a
X Y X X Y K t K t (En lasticit) 4 Clotilde BERDIN, ECP Fissures Fissure = entaille avec 0 t K max yy
X yy
a Modes de chargement Physique : endommagement plasticit 5 Clotilde BERDIN, ECP Fissures Modes de chargement 6 Clotilde BERDIN, ECP Champs mcaniques en pointe de fissure Facteur dintensit des contraintes Problme MMC ( ) ( ) 0 ( ) 0 (1 ) ( ) 0 1 ( ) ( ) 0 0 x y x x y Div e D Tr Tr I e E E Rot Rot
= =
+ + =
` + = = =
= )
a X y M r
HPP, statique Pas de force de volume 7 Clotilde BERDIN, ECP Champs mcaniques en pointe de fissure Facteur dintensit des contraintes Elasticit plane (mode I et II) : rsolution par les fonctions dAiry ( ) (1 ) ( ) 0 0 x x D Tr + + = =
( ) , , , 0 xx xx yy yy xy xy zz xx yy zz
= = = = + = En DP En CP On pose 2 , , , 2 , , 1 1 1 1 rr r rr r r r r r r
= + = = + 8 Clotilde BERDIN, ECP Champs mcaniques en pointe de fissure Le facteur dintensit des contraintes K fonction dAiry 0 = On pose ( ) 2 , ( ) r r
+ = ( ) ( ) ( ) 2 2 '' 2 2 0 ( 2) ( 2) 0 ( ) sin cos sin ( 2) cos ( 2) iv A B C D
= + + + + + = = + + + + + ( ) sin 0 ( ) cos 0 ( ( 2)) cos 0 ( ( 2)) sin 0 A C B D A C B D
+ = + = + + = + + = Conditions de surface libre sur les lvres de la fissure 2 ( ) 0 e = =
9 Clotilde BERDIN, ECP Champs mcaniques en pointe de fissure Facteur dintensit des contraintes 2 1 2 n n + = = 3 2 E V r r U r rd drdx
Calcul de lnergie lastique U E U E finie 2 1 1 + > 1 2 = 1 1 r r
2 2 I II K K B A = = Facteur dintensit des contraintes en mode I en mode II 10 Clotilde BERDIN, ECP Champs mcaniques en pointe de fissure Facteur dintensit des contraintes en mode I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 2 cos 2 1 sin 2 sin 3 2 cos 2 1 sin 2 sin 3 2 cos 2 sin 2 cos 3 2 0 xx yy xy zz xx yy zz I r r en DP en K CP
= = = + = = + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 cos 2 cos sin 2 cos 3 4 3 1 x I y r r u u u k u k K k en DP k en CP
= = = =
= +
Remarque : ( ) ( ) 0 y y u u 11 Clotilde BERDIN, ECP Champs mcaniques en pointe de fissure Facteur dintensit des contraintes en mode I ( )
4 0 ( ) 2 I y r r u E K
= = Les fonctions (CP) 12 Clotilde BERDIN, ECP Champs mcaniques en pointe de fissure Facteur dintensit des contraintes en mode II ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 2 sin 2 2 cos 2 cos 3 2 sin 2 cos 2 cos 3 2 cos 2 1 sin 2 sin 3 2 0 xx yy xy zz xx yy z II z r r en DP en P K C
= = + = = = + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 sin 2 1 2cos 2 cos 2 1 2sin 2 x y II r r u u k K u u k
= = + + =
13 Clotilde BERDIN, ECP Champs mcaniques en pointe de fissure Facteur dintensit des contraintes en mode III ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 2 sin 2 cos 2 0 2 2 sin 2 xz yz z III III r K K r r r u u u
= = = = =
Elasticit anti-plane 14 Clotilde BERDIN, ECP Champs mcaniques en pointe de fissure Facteur dintensit des contraintes K I , K II , K III : Paramtres de chargement dune structure fissure en Fonctions de la gomtrie et des conditions aux limites MPa m max 0 0 lim lim 2 2 I t K K
= = I t K K 2a 1 2 t I K a a K
| | = + |
= | \ Plaque fissure centrale (CCT)
Solution du problme MMC
- choix de (solution de Westergaard, Muskhelishvili) => Handbook des valeurs de K 15 Clotilde BERDIN, ECP En mode I, Y, facteur gomtrique Champs mcaniques en pointe de fissure Facteur dintensit des contraintes Quelques valeurs de K I (Handbook) a 1.12 I K a = I K Y a =
P 2a I P a x K a x a + =
2a ( ) cos 2 I a K a b
= 2b
Penny-Shaped Crack rayon a
2 I K a
x 16 Clotilde BERDIN, ECP Champs mcaniques en pointe de fissure Facteur dintensit des contraintes Mthodes de superposition Mthodes numriques K I ? + = Connu (ou fonctions de poids) 0 0 lim ( 0) 2 2 2 lim ( ) 1 I yy r I y r K r K u k r
= = = = + + relation K-taux de restitution dnergie ( voir) 1 ( ) a I yy a a x K x dx a x a
+ =
17 Clotilde BERDIN, ECP Champs mcaniques en pointe de fissure Plasticit confine en mode I (ZP dIrwin) En contraintes planes 0
yy
a 0 c p
x y x 0 2 0 0 0 0 0 0 ( ) / ( , ) 2 1 ( ) 2 2 I p yy I p I p p K a c K c K a c dx c x
+
= =
| |
= = ` | + | | \
= |
\ )
moussement : (0, yy ,0) p p r c = + Zone plastique 0 eff p a a c = + ( ) 2 0 1 2 CP p I p K c r
| | = = | \ 18 Clotilde BERDIN, ECP Champs mcaniques en pointe de fissure Plasticit confine en mode I En lments finis , critre de Mises CP DP Zone plastique CP > Zone plastique DP 19 Clotilde BERDIN, ECP Extension de fissure en mode I Tnacit K IC Rupture - Critre en nergie (K I G, voir aprs) - Critre en contrainte critique une distance critique Critre en chargement critique 0 0 IC C I I I K da K d K a K < = = > Tnacit K IC - Caractristique du matriau - Indpendant de la gomtrie * 20 Clotilde BERDIN, ECP Extension de fissure en mode I Tnacit K IC rupture ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 5 2 7 2 9 2 29,6 -185,5* +655,7* -1017 + 6390 f a W a W a W a W a W a W = ( ) I F K f a W B W = W ( ) Q I Q K K F = 0 2%( ) a W a max 1.1 Q P P Mcanique linaire de la rupture ( ) 2 0 0 0 0 0 , , 25 , , 2, 5 IC DP Q p Q K W a a B r a K K W a B
| |
| \ = prouvette CT 21 Clotilde BERDIN, ECP Extension de fissure en mode I Tnacit K IC Influence de lpaisseur C K IC K T<0 T>0 B Influence de la gomtrie de lprouvette : contrainte T 0 ( 0) 2 xx I T K r r
= = + ductilit ductilit 22 Clotilde BERDIN, ECP Extension de fissure en mode I Influence de la limite dlasticit Aspects mtallurgiques Tnacit des matriaux Cramiques-verres-btons : qqes Alliages dAl : 20-50 Alliages de Ti : 100-50 Aciers ferritiques : 30-200 MPa m MPa m MPa m MPa m prcipitation Affinement du grain
0 K IC 23 Clotilde BERDIN, ECP Extension de fissure en mode I Aspects mtallurgiques Influence de la temprature, vitesse de sollicitation K IC K Id T A508 Influence de la taille de grain d K IC dispersion 24 Clotilde BERDIN, ECP Aspects nergtiques Taux de restitution dnergie Bilan nergtique de lextension de fissure de dA (Griffith 1920) 1 ( . ) 2 2 U R ext U V V R S E W W d d E U dV Tr dV dt dt W A
+ = = = =
( ) 2 2 ext U S p S d W dA dE dA E = = d d A dt dA =
0 0 c c G G dA G G dA < = = > p dE G dA = Taux de restitution dnergie Critre nergtique dextension de fissure En prsence de plasticit 2 S S p c G + = en J/m 2 ou N/m 2 c S G = 25 Clotilde BERDIN, ECP Aspects nergtiques Taux de restitution dnergie Force impose p dE G dA = dplacement impos 2a F dS =
H+u F u F u 2 ( ) 2 F dC a G B da = dA=Bda 2 1 ext dW dC F B da da = 2 1 2 U dE dC F dA B da = 1 C 2 ( ) 2 F dC a G B da = 2 1 2 U dE dC F dA da = 0 ext dW da = 26 Clotilde BERDIN, ECP Aspects nergtiques Taux de restitution dnergie Equivalence KI-G, extension coplanaire Formule gnrale dIrwin (1958) (pour extension coplanaire) (1) 22 ( ) 0 2 2 da u Gda dx =
( ) 2 2 2 2 1 1 I II III G K K K E E + = + + 2 2 2 (1 ) I I K K G CP G DP E E
= = yy
X a+da y u a X da (1) (2) 27 Clotilde BERDIN, ECP Conclusions Paramtre de chargement dune structure fissure - gomtrie, chargement - paramtre local - paramtre global (quivalence G-K) Paramtre de rsistance la propagation de fissure - matriau Extension de fissure Dimensionnement en tolrance au dommage (a c pour donn ou c pour a donn) I K Y a = IC C K G , ( 0) u r
0 0 IC C I I I K da K d K a K < = = > 28 Clotilde BERDIN, ECP Aspects nergtiques Taux de restitution dnergie cas CCT dplacement impos 2 1 p U dE dE G a dA B da E
= = = 2 I I K G K a E = = Zone de dcharge Variation de E p => valuation de K I 29 Clotilde BERDIN, ECP Bibliographie La rupture des mtaux, Ecole dt de la Colle sur Loup, Masson, 1972 Lemaitre J. et Chaboche J.L., Mcanique des matriaux solides , Dunod, 1992 (2 nde d.) Bui H.D., Mcanique de la rupture fagile, Masson, 1978 J.B. Leblond, Mcanique de la rupture fragile et ductile, Herms, 2003 Vocabulaire Pointe de fissure : crack tip Facteur dintensit de contraintes : stress intensity factor Tnacit : toughness Taux de restitution dnergie : strain energy release rate Dformations (contraintes) planes : plane strain (stress) 30 Clotilde BERDIN, ECP
