MECANIQUE DES FLUIDES

STATIQUE DES FLUIDES

La masse volumique est définie en un point M du système par la relation:

dm Un fluide est qualifié de compressible si sa masse volumique est variable et il est

ρ( M ) = qualifié d'incompressible si sa masse volumique est une constante.
dτ Un gaz qui occupe toujours tout le volume mis à disposition est un fluide
compressible.

Un liquide au sein duquel les molécules sont très proches et interagissent fortement
est peu compressible.
Un liquide peut être considéré comme un fluide incompressible.
 M(x,y,z)

dz
dx
dy

!"
dF g !" !" "
= ρ(M,t ).g dF pression = ⎡⎣ P(x , y ,z)− P(x + dx , y ,z)⎤⎦ .dy.dz.e x
dτ "
+ ⎡⎣ P(x , y ,z)− P(x , y + dy ,z)⎤⎦ .dx.dz.e y
"
+ ⎡⎣ P(x , y ,z)− P(x , y ,z + dz)⎤⎦ .dx.dy.e z
 ∂P
P(x + dx , y,z) = P(x , y,z)+ .dx 2.4 Résultante des forces de pression s'exerçant sur une surface fermée
∂x
dans le cas d'une pression uniforme
∂P
P(x , y + dy,z) = P(x , y,z)+ .dy
∂y Po
∂P
P(x , y,z + dz) = P(x , y,z)+ .dz
∂z Po !" "
!" " " dF = Po .dS
dF pression = ⎡⎣ P(x , y ,z)− P(x + dx , y ,z)⎤⎦ .dy.dz.e x + ⎡⎣ P(x , y ,z)− P(x , y + dy ,z)⎤⎦ .dx.dz.e y
" Po
+ ⎡⎣ P(x , y ,z)− P(x , y ,z + dz)⎤⎦ .dx.dy.e z !" " "
F=#∫∫ o
P .dS
(S )
= Po #
. ∫∫ dS
(S )
(S) Surface fermée
!" ⎡ ∂P ⎤ " ⎡ ∂P ⎤ " ⎡ ∂P ⎤ " !
dF pression = ⎢ − .dx ⎥ .dy.dz.e x + ⎢ − .dy ⎥ .dx.dz.e y + ⎢ − .dz ⎥ .dx.dy.e z
⎣ ∂x ⎦ ⎣ ∂y ⎦ ⎣ ∂z ⎦ On montre ∫∫( S )dS = 0
"
!" " " "
!" " " "
∂P
dF pression = − dx.dy.dz.e x −
∂x
∂P
∂y
dx.dy.dz.e y −
∂P
∂z
.dx.dy.dz.e z F=# ∫∫ o
P .dS
(S )
= Po #
. ∫∫ = 0
dS
(S )

!!" !!!!!" Lorsque le champ de pression est uniforme, c'est-à-dire indépendant des
dF pression = −grad P(x, y, z).dτ coordonnées d'espace, la résultante des forces de pression s'exerçant sur
une surface fermée est nulle.

RELATION FONDAMENTALE DE LA STATIQUE DES FLUIDES

Ou relation fondamentale de l’hydrostatique

Dans un référentiel galiléen, un fluide au repos vérifie :

!!!!!" !"
grad P(x, y, z) = ρ (x, y, z).g
en supposant que la seule force extérieure est le poids:

Remarque: il faut éventuellement tenir compte des autres forces (ex : liquide en équilibre
dans un référentiel non galiléen, force de Lorentz) . De manière générale, la relation
s’écrit :
dF
grad P = ρ.g +
dτ
avec dF = autres forces que le poids appliquées sur l’élément de volume dτ
 z
La surface libre d'un liquide au repos est plane et horizontale
z1 !" dP
h g = − ρ.g
z2 dz
O

Pour un fluide incompressible ( ρ = cste ) (

P2 − P1 = ρ.g. z1 − z2 )

(
P2 − P1 = ρ.g. z1 − z2 = ρ.g.h ) Vases communicants contenant plusieurs liquides non miscibles

Po
Po
Dans les conditions ordinaires de température et de pression ρ gaz << ρliquide

En présence de gaz et de liquides, on néglige

l’influence de la pesanteur dans le gaz et on ne
la considére que dans les liquides.

Baromètre de Torricelli 1608-1647

Mesure de la pression atmosphérique Surface libre d'un liquide en rotation uniforme autour d'un axe

Ω2 2
z = zo + .r
! 2g
ez
r
!
er La surface libre a la forme d’une
surface parabolique d’axe de
révolution Oz.
 Particule de fluide dm en équilibre dans le référentiel en rotation uniforme par rapport
au référentiel galiléen (R):
! ! """""! "!
dm.a = ρ.dτ .a = − gradP.dτ + ρ.dτ .g
! ! """""! "!
ρ.a = − ρ.Ω2 .r.e r = − gradP + ρ.g
!!!!!" ∂P " 1 ∂P " ∂P "
En coordonnées cylindriques: gradP = .e r + . .eθ + .e z
∂r r ∂θ ∂z
En projection sur les axes:

r2
P(r ,z) = ρ.Ω . − ρ.g.z + A
2

2
La surface libre P=Po:

Modèle de l’atmosphère isotherme

Atmosphère supposée isotherme

et l’air assimilé à un gaz parfait
z
z !" Loi des gaz parfaits:

(sol) O
g m
P.V = n.R.T = .R.T
M
Statique des fluides:

R.T
H=
M.g
z Mgz
− − H= 8 km
P(z) = Po .e H
= Po .e RT
 Facteur de Boltzmann
R
kB =
−
Mgz −
mgz
k BT
Na
P(z) = Po .e RT
= Po .e
M
m=
Na
mgz
−
k BT
Le facteur de Boltzmann e traduit la compétition entre deux phénomènes
physiques:
-La pesanteur d’énergie potentielle mgz qui tend à faire accumuler les
molécules de gaz près du sol
-L’agitation thermique d’énergie moléculaire kB.T qui conduit les molécules de
gaz à tenter d’occuper tous les niveaux d’énergie disponibles.
Application:

7. Résultante des forces de pression s'exerçant sur un objet

!" !!" "
Π = ∫∫ −P(M).dS = ∫∫ −P(M).dS.n
(S ) (S )
 Point d'application de la résultante des forces de pression Premier cas: si la surface (S) est une surface fermée entièrement entourée de
s'exerçant sur objet fluides, on peut utiliser la poussée d’Archimède.
Le théorème d’Archimède est un outil puissant permettent de calculer facilement la
résultante des forces de pression et son centre d’application, le centre de poussée.
Le point A d'application appelé centre de poussée est celui pour lequel La poussée d’Archimède est une force verticale dirigée de bas en haut et égale au
la somme des moments en A de toutes les forces élémentaires de poids du fluide déplacé.
pression est nul. Le point d'application de la poussée d'Archimède est le centre de masse du fluide
!!!!" !!" " déplacé.

∫∫ AM ∧ P( M ).dS = 0
(S )
Π = ρ fluide .g.Vcorps
Deuxième cas: si la surface (S) n’est pas une surface fermée, on peut utiliser la
poussée d’Archimède s’il est possible de lui ajouter une surface (S’) telle que la
réunion de (S) et de (S’) soit une surface fermée .
Le point A d'application est aussi celui pour lequel la somme des
moments en un point O de toutes les forces élémentaires de pression Autres cas : la résultante des forces de pression ne peut se calculer à l'aide de
est égal au moment en O de la résultante des forces de pression la poussée d'Archimède
!" !!" " !!!!" !!" "
appliquée en A.
!!!!" !!" !!!" !"
− ∫∫ OM ∧ P( M ).dS = OA ∧ F
Π = ∫∫ −P(M).dS = ∫∫ −P(M).dS.n
(S ) (S ) ∫∫ AM ∧ P( M ).dS = 0
(S )
Le calcul intégral est souvent lourd.
(S )

Exemple: Cône circulaire de rayon a, hauteur h immergé dans un liquide Exemple 2:Stabilité de l’équilibre d’un sous-marin

Force de pression exercée par le liquide sur la surface ( S) du dessus du cône?

π .a2 .h z Po
Volume d’un cône: V=
3
(S)
(S)∪(S') est une surface fermée H
! (a) En position (b) Couple dans (c) Couple dans
h le sens d’un
ez d’équilibre le sens d’un
redressement chavirement
O
Un sous-marin peut être en équilibre (figure a).
a La poussée d’Archimède s’applique au point C , centre de gravité du volume de fluide
(S’) délacé, que l’on appelle centre de poussée.
G est le point d’application du poids dont la position dépend de la répartition des masses
dans le sous-marin.
A l’équilibre, les pojnts C et G sont alignés sur une même verticale.

Cet équilibre est-il stable dans une mer agitée?

!" !" !" ⎡ π .a2 .h ⎤ !"

F liquide→( S ) = Π − F liquide→( S') = ⎢ ρ.
3
( )
.g − Po + ρ gH .π .a2 ⎥ .e z La condition de stabilité: G au-dessous de C le centre de poussée.
⎣ ⎦
Exemple 3: Centre de poussée d’un barrage plan retenant de l’eau de largeur L, En projection sur l’axe Oz:
de hauteur immergée h.
z + L/2 h
Po − ∫∫ ρ.g.(h− z).( y − y A ).dy.dz = − ρ.g. ∫ ( y − y A ).dy. ∫ (h− z).dz = 0
(S ) − L/2 0
h + L/2
! ! ⎡ z2 ⎤ ⎡ y2 ⎤ h2 h2
h −Po .dS.e x P(z).dS.e x ⎢hz − ⎥ . ⎢ − y A . y ⎥ = (h − ).(− y A .L) = − . y A .L = 0
2
yA = 0
⎣ 2 ⎦0 ⎣ 2 ⎦ − L/2 2 2
eau
x En projection sur l’axe Oy:
+ L/2 h
∫∫ ρ.g.(h− z).(z − z A ).dy.dz = ρ.g. ∫ dy. ∫ (h− z).(z − z A ).dz = 0
Oy
(S ) − L/2 0
h
⎡ z2 z3 z2 ⎤ ⎡ h2 h3 h2 ⎤
⎢ h( − z A
.z)− + .z A⎥
.L = ⎢ h( − z A
.h)− + .z A ⎥ .L = 0
⎣ 2 3 2 ⎦0 ⎣ 2 3 2 ⎦
!!!!" !!" "
∫∫ AM ∧ dF = 0 ⎛ 1 1 ⎞ h2 h3 h2
h3 . ⎜ − ⎟ − .z A = − .z A = 0
(S ) ⎝ 2 3⎠ 2 6 2
!!!" " "
( ) ( )
AM = y − y A .e y + z − z A .e z h
zA =
3