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    Algèbre 2 Examen 03

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    sur 1

    Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Année Univ.

    2014-15
    Faculté des Sciences Dhar El Mehraz SMP-SMC
    Département de Mathématiques

    Rattrapage d’Algèbre 2
    durée : 1h30

    Tous les résultats doivent être justifiés .

    Exercice 1 : ( 4 points )
    1 3 1
    Soient f l’endomorphisme de R 3 de matrice A  2 1 0 par rapport à la base
    −1 2 −1
    canonique B  e 1 , e 2 , e 3 , e ′1  1, 2, −1, e ′2  3, 1, 2, e ′3  1, 0, −1 et B ′  e ′1 , e ′2 , e ′3 .
    1) Déterminer le rang de A.
    2) En déduire que B ′ est une base de R 3 (sans calcul).
    3) Donner la matrice de passage P de B à B ′ .
    4) En déduire que la matrice de f par rapport à B ′ est égale à A (sans calcul).

    Exercice 2 : ( 7 points )
    Résoudre suivant le paramétre réel m, le système d’équations linéaire suivant :
    2x  3y  m − 1z  7
    ∑m x  y  m − 1z  3
    −x  m − 1y  −2

    Exercice 3 : ( 9 points )
    8 9 6
    Soit f l’endomorphisme de R de matrice A 
    3
    −6 −7 −6 par rapport à la base
    0 0 2
    canonique B  e 1 , e 2 , e 3 .
    1) Calculer le déterminant de A. En déduire que f est un automorphime de R 3 .
    2) Calculer le polynôme caracteristique P A de A.
    3) En déduire que −1 et 2 sont les valeurs propres de f.
    4) Déterminer les sous espaces propres E −1 et E 2 .
    5) Soient u  1, −1, 0, v  1, 0, −1, w  0, 2, −3 et S  u, v, w.
    a) Montrer que S est une base de R 3 .
    b) En utilisant u ∈ E −1 et v, w ∈ E 2 (sans démonstration), montrer que f est diagonalisable
    et
    donner la matrice D de f par rapport à la base S (sans utiliser les matrices de passage).
    6) Vérifier que D 2 − D  2I 3 et en déduire D −1 en fonction de D.
    7) En utilisant la matrice de passage P de B à S, calculer A −1 (sans calculer P et P −1 ).

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