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Rfumel de la notation
• Problème 07 points
• Exercice 01 03,50 points
• Exercice 02 05,50 points
• Exercice 03 02,50 points
• Exercice 04 01,50 points

La présentation, la lisibilité, l'orthographe et la qualité de la rédaction, la clarté et la précision

des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage de la calculatrice, de tout matériel électronique, de tout ouvrage de référence
et de tout document est rigoureusement interdit.

1/5
( PROBLÈME
On désigne par n un entier naturel non nul et l'on se propose d'étudier les racines positives de

l'équation: « e' = x" » que l'on note (En)' A cet effet, on introduit la fonction fn définie, par:

1) Etude des racines positives des équations (El) et ( E2) :

a)- Etudier et représenter sur [0, -too[les fonctions 1; et f2 . ~ ( ,,~,,)

b)- Etudier l'existence des racines positives pour les équations (El) et (E2 ). t \.~.k'~)
(On rappelle que: 2 < e <3)

2) Etude des racines positives de l'équation (E3) :

a)- Etudier et représenter sur [0, -too[la fonction h .On donne les valeurs approchées: ~ \ ~~~ )

eS :::::148,4

En déduire que l'équation (E3) admet deux racines positives u et v telles que 1 < u < v , 1
et encadrer chacune d'elles par deux entiers consécutifs. A
b)- Soit la suite définie par la relation: Yn+l = 31n (Yn) avec Yo est un nombre réel donné
strictement supérieur à u .
- Montrer que si u < Yo 5 v, alors pour toutn EN, u < Yn 5 v.
- Montrer que si v 5 Yo' alors pour tout n EN, v 5 Yn'
- Etudier le signe de Yn+l - Yn en fonction du signe de Yn - Yn-l' ·1
- En déduire selon la position de Yo par rapport à V , la monotonie de la suite (Yn) ./\

3) Etude des racines positives de l'équation (En) pour n z3 :

a)- Etudier sur [0, -too[ la fonction fn . En déduire que l'équation (En) admet deux racines

positives », et v, telles que 1 < u" < v". r:;:Jf: (~-\I\r~)

b)- Déterminer pour n z 4, le signe de J" (u n_l). Déduire des variations de la fonction L, la
monotonie de la suite (un)' puis prouver la convergence de celle-ci.

c)- Montrer que l'on a : un = exp (u~ ) ,et en déduire la limite L de la suite (un) J puis un

équivalent simple de un - L quand n tend vers +00.

d)- Déterminer pour nz4 J le signe de L; (vn)· Déduire des variations de la fonction fn J la 3 (~fA-flJ
monotonie de la suite (v n), puis étudier la limite de celle-ci.

e)-Onposepourtoutréelx>l: g(x)=x-Inx
Montrer (à l'aide d'un théorème dont on rappellera l'énoncé) que g réalise une bijection d--
de ]1,-too[ sur ]1,-too[ .
2/5
 f)- Etablir que g(~) n
= ln n , montrer à l'aide de g-l que lim v = +00,
n~_~'n
~

puis en déduire un équivalent de vn quand n tend vers +00.

EXERCICEl Ô
Considérons le problème (P) suivant:
(P) : « Trouver des triangles rectangles dont la longueur de l'hypoténuse ne dépasse pas 50 m »
On considère l'équation (E) : x2 + l = Z2 d'inconnue (x, y, z) E N· x N· x N·.

1) Donner une ~oiution particulière de l'équation (E).

Dans la suite du problème, (x, y, z) désigne une solution de (E) dans N· x N· x N·.

2) On note: d = x /\ Y = pgcd ( x, y).

a)- Montrer que d divise z .

b)- On pose: X = dx' ;y = dy' ;z = dz' . Montrer que Z' /\ x' = 1et z' /\ yi =J v (~~A,
3) a)- Soient a et b deux entiers impairs. Montrer que: a2 + b2 == 2 [4].
4.:-
b)- En déduire que x' et yi sont de parités différentes. Quelle est la parité de z' ? !{J ( n-k-A J
On suppose dans la suite que x' est pair et que yi est impair.

4) On pose: x' = 2a avec a EN· .

a) - Mon trer qu'il existe deux entiers stri ctem en t post ti fs b et c tels que, b + c ~ z' et b - c ~ y' /1, X (~
En déduire que: a2 = be . Y-
b)- Montrer que: b /\ C = 1 ; en déduire qu'il existe deux entiers u et v dans N· tels que : ~ ( 1.-t-",r-rO'9
b = u2 et c = v2
c)- En déduire que: (
.( Q,;'t-~["t'JIn
x = 2duv et y = d (u 2
- v)2
et z 2
= d (u + v ) 2
1. \ \ 1

d)- Réciproquement, montrer que tout triplet (x, y, z) de la forme ci-dessus est solution de (E). .~
5) Donner trois solutions du problème (P).

EXERCICE 2 1 @)
M2 (IR) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels. On rappelle que

(M, (lII.),+,x) est un anneau dont l'élément unité est, 1~ (~ r ~]

-5 0 -6]
Partie 1: On note M
(
= 3
3 0
1 3
4
.

1
1) Calculer A = -(M -1) puis vérifier que A2 ='J1.
3 3/5
 La matrice A est-elle diagonalisable ? Justifier votre réponse. (O,(t-0,()
2) Par convention, on note MO = I.
Démontrer qu'il existe une suite (un) telle que:

'\ln E N, Mn = l +un.A avec: '\ln E N, Un+l = -2un + 3 Arf C~~~

3) Calculer un en fonction de n puis donner l'expression de Mn en fonction de n . L (~k"-)
Partie II: Soit J = (~1 ~ ~21
1 ° j 2
1) Calculer J2 ; en déduire que la matrice J n'est pas inversible dans M2 (~). t.0-tf\.)
<'

2) On considère l'ensemble: E = {al + bJ; (a,b) E IR2}

a)- Montrer que E est stable par la multiplication des matrices. ~-c /

b)- Quels sont les éléments de E admettant dans E un inverse pour la multiplication? ~
c)- Résoudre dans E les équations suivantes: X2 =l et X2 =X ~ \~.kl\ )
3) a)- Montrer que MEE.

b)-Montrerque: '\InEN,Mn =(1-(-2f)J+(-2f l

,-1
(

Partie III: L'espace vectoriel (IR 3, +, •) est rapporté à la base B = (el' e2 , ë,) telle que:

el = (1,0,-1) e =(1,1,-1)
2 e3 = (-2,1,1)
Soit j l'endomorphisme de ~3 dont la matrice dans la base B est J .
1) Déterminer une forme réduite de J . /f-
2) En déduire dim lm (J) et dim ker(J). ~ ~~~,

3) Donner une base de lm (J) ainsi qu'une base de ker(J). :2: r ~k,AJ
4) Montrer que pour toutu E IR3 s U - j (u) = v( u) appartient à ker(J). ~ ) »: 1) )

En déduire que tout vecteur u E IR3 s'écrit: u = s + v avec SE lm (J) et v E ker (J)
5) Vérifier que lm (J) (l o} et en déduire l'unicité du couple (s, v).

EXERCICE 3 )

Soit Jo la fonction définie sur l'intervalle [0,1] par Jo (x) = e-3x • Pour tout nE N' , on définit la fonction

J"sur[O,l]par: J" (x) = (l-xf e-3x

On pose pour tout n EN: un = ! (x) dx
J"

1) Calculer UO' 1
2) a)- Mont::r que pour tout n EN, on a: un;:: ° a..
b)- En déduire que la suite (un) est conve~gente. .1--
4/5
 1
3) a)- Montrer que pour toutn EN, on a: u ~--
n n +1
b)- Déterminer la limite de la suite (Un).
4) a)- Etablir pour toutn E
~T
l'l, la relation suivante: un+1 ="31 - n+l
-3-Un
Il,
b)- En déduire lim nun•
n~+«>
.1\ .

5) On pose pour tout n EN:

a)- Déterminer lim vn•

n~+«>

(-lyn!
b)- Montrer que toutn EN, on a: un = 3n+1
vn

EXERCICE 4 1 Œ.l J
On se donne trois carr~olés de côté 1 comme sur la figure suivante:

E G H
r-------~~~----~~--~~==~

On pose:_ JiAD = arctan ( a) et HiC = arctan (b )

1) Déterminer les valeurs numériques de a etb . h
2) Monter que les triangles AFH et HCB sont semblables. ~

"
3) Déduire de ce qui précède que: CBH - -
= AHF et que: arctan (1)"2 + arctan (1)"3 ="4
Tf

FlN DE' L 'EIPRŒ'UVE'

5/5