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Exercice 1:
Pour tout entier naturel k, Pk désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré 6 k.
Dans ce problème, n désigne un entier naturel non nul et x0 , x1 , . . . , xn des réels deux à deux
distincts ; on note π le polynôme π = (X − x0 )(X − x1 ) · · · (X − xn ).
Enfin, pour tout entier naturel m, on définit l’application fm : Pm −→ Rn+1
¡ ¢
Sot m un entier naturel. P 7−→ P (x0 ), . . . , P (xn )
1. Si R ∈ Pn est tel que pour tout i ∈ {0, 1, . . . , n}, R(xi ) = 0, montrer que R est le polynôme nul.
2. Vérifier que fm est une application linéaire.
3. Dans cette question, on suppose que m > n + 1.
(a) Montrer que Ker fm = {Qπ ; Q ∈ Pm−n−1 }
(b) Montrer que les sous-espaces vectoriels Ker fm et Pn sont supplémentaires dans Pm .
(c) En déduire la dimension de Ker fm puis en donner une base.
(d) Déterminer le rang de fm ; l’application fm est-elle surjective ?
4. Dans cette question, on suppose que m 6 n.
(a) Montrer que fm est injective.
(b) Quel est le noyau de fm ? Quel est son rang ?
(c) À quelle condition sur les entiers n et m l’application fm est-elle surjective ?
Y (X − xj )
5. On définit les polynômes L0 , L1 , . . . , Ln par Li = , i ∈ {0, 1, . . . , n}.
(xi − xj )
06j6n
j6=i
(a) Pour i ∈ {0, 1, . . . , n}, quel est le degré de Li ? Vérifier que pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n},
Li (xk ) = δi,k avec δi,k = 1 si i = k et 0 sinon.
¡ ¢
(b) Calculer fn (Li ), i ∈ {0, 1, . . . , n}. Que représente la famille fn (L0 ), fn (L1 ), . . . , fn (Ln )
pour l’espace vectoriel Rn+1 ?

(c) Montrer que la famille (L0 , L1 , . . . , Ln ) est une base de Pn .
(d) Soit y = (y0 , y1 , . . . , yn ) ∈ Rn+1 .
i. Montrer qu’il existe un unique polynôme Py ∈ Pn tel que fn (Py ) = (y0 , y1 , . . . , yn ).

ii. Exprimer le polynôme Py en fonction de L0 , L1 , . . . , Ln et y0 , y1 , . . . , yn .
Exercice 2:
E désigne un espace vectoriel de dimension 2 et L(E) l’algèbre des endomorphismes de E. Si f ∈ L(E),
on note C(f ) l’ensemble des endomorphismes de E qui commutent avec f : C(f ) = {g ∈ L(E) ; f g = gf }.
1.1. Soit f ∈ L(E) tel que, pour tout x ∈ E, la famille (x, f (x)) est liée.
1.1.1. Montrer que, pour tout x ∈ E \{0E }, il existe un unique λx ∈ K tel que f (x) = λx x.
1.1.2. Soit (e1 , e2 ) une base de E ; montrer que λe1 = λe2 .

1.1.3. On pose λ = λe1 = λe2 . Montrer que f = λ idE (homothétie de rapport λ).
1.2. Soit f un endomorphisme de E.
1.2.1. Montrer que C(f ) est un sous-espace vectoriel de L(E).
1.2.2. Déterminer C(f ) si f est une homothétie.
1.3. Soit f un endomorphisme de E qui n’est pas une homothétie.
1.3.1. Justifier qu’il existe e ∈ E tel que la famille (e, f (e)) soit une base de E .
1.3.2. Si g ∈ L(E), justifier qu’il existe un unique couple (α, β) ∈ K2 tel que g(e) = α e + βf (e) et
montrer que g ∈ C(f ) si, et seulement si, g = α idE + βf .
1.3.3. Préciser C(f ) ; quelle est sa dimension ?
Exercice: 4. Soit E un K espace vectoriel non n"cessairement de dimension finie; On se propose de montrer
par récurrence que: Pour r ≥ 2 si F1 , F2 , ..., Fr des sous espaces vectoriels de E tels que
E = F1 ∪ F2 ∪ ... ∪ Fr alors il existe un entier i ∈ {1, ..., r} tel que E = Fi
Soit alors r ≥ 2 et des sous espaces vectoriels F1 , F2 , ..., Fr de E tels que
E = F1 ∪ F2 ∪ ... ∪ Fr
(a) Si r = 2 , montrer que E = F1 ou E = F2 . On pourra raisonner par l’absurd et considé-
rer,après en avoir justifier l’existence, un vecteur x1 + x2 où x1 et x2 sont tels que x2 ∈ E \ E1 et x1 ∈ E \ E2
Dans la suite de cette partie , on suppose r ≥ 2 et on pose F = F1 ∪ F2 ∪ ... ∪ Fr−1
(b) On suppose ici que E 6= F et E 6= Fr , et on considère deux vecteurs x ∈ E \ F et y ∈ E \ Fr .
i. Justifier que x ∈ Fr et montrer que , pour tout λ ∈ K, y + λx ∈

/ Fr
ii. En déduire que pour tout λ ∈ K , y + λx ∈ F puis montrer alors qu’il existe deux scalaires
α et β distincts, et un entier k compris entre 1 et r − 1 , tels que y + αx ∈ Fk et y + βx ∈ Fk .

iii. Trouver une contradiction et conclure.
(c) Montrer qu’il existe un entier i ∈ {1, ..., r} tel que E = Fi
Exercice: 5. Soit E un R-espace vectoriel de dimension n > 2.
1. Soit f ∈ L(E) tel que fn−1 6= 0 et fn = 0 où 0 désigne l’endomorphisme nul de E.
a. Montrer qu’il existe x ∈ E tel que fn−1 (x) 6= 0.
b. Montrer que, pour un tel vecteur x, la famille (fn−1 (x), fn−2 (x), . . . , f(x), x) est une base de E.
Dans toute la suite de l’exercice, f est un endomorphisme de E tel que fn−1 6= 0 et fn = 0
et x un vecteur de E tel que fn−1 (x) 6= 0.
Ä ä
2. Pour k un entier tel que 1 6 k 6 n, on pose Fk = vect (fn−i (x))16i6k .
a. Déterminer la dimension de Fk .
b. Montrer que Fk = Ker(fk ) = Im(fn−k ).
c. Montrer que Fk est stable par f.
3. Soit F un sous-espace vectoriel stable par f. On suppose que F est de dimension k avec 1 6 k 6 n − 1
. On note f̃ l’endomorphisme de F défini par : ∀y ∈ F, f̃(y) = f(y).
a. Montrer qu’il existe un entier p > 1 tel que f̃p−1 6= 0̃ et f̃p = 0̃ où 0̃ désigne l’endomorphisme nul de F.
˜
b. Soit y˜ ∈− F tel que fp 1 (y) 6= 0. Que peut-on dire de la famille (y, f̃(y), . . . , f̃p−1 (y)) ?
En déduire que f̃k = 0̃.
c. Montrer que F = Ker fk .
d. Déterminer tous les sous-espaces vectoriels stables par f.
4. On veut déterminer tous les endomorphismes g de E qui commutent avec f, c’est-à-dire tels que f◦g = g◦f.
a. Soit g un endomorphisme de E. Montrer qu’il existe un unique n-uplet de nombres réels
(α0 , α1 , . . . , αn−1 ) tel que : g(x) = α0 x + α1 f(x) + · · · + αn−1 fn−1 (x)
b. En déduire que si g commute avec f alors, g = α0 IdE +α1 f + · · · + αn−1 fn−1
où α0 , α1 , . . . , αn−1 sont les réels définis à la question précédente.
c. Montrer que l’ensemble des endomorphismes qui commutent avec f est un sous-espace
vectoriel de L(E) et préciser sa dimension.
Exercice: 6. Dans cet exercice E désigne le IR espace vectoriel IR4 [X ] des
polynômes à coefficients reéls de degrés 4. On note ϕ1 , ϕ2 et ϕ3 les trois formes linéaires définies sur E par:
8 P 2 E : ϕ1 ( P) = P (1) , ϕ2 ( P) = P0 (1) et ϕ3 ( P) = P00 (1) .

1 . Montrer que la famille (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ) est libre.
2 . Soit G = ker (ϕ1 ) \ ker (ϕ2 ) \ ker (ϕ3 ) . Donner la dimension de G en déterminer une base.
3 . On pose K = P 2 IR4 [ X ] j X 2 + 1 divise P . Monter que K est un sous
espace vectoriel de E et que E = G K.

Exercice 1. Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n, avec n > 2
. On rappelle que E∗ est l’ensemble des formes linéaires sur E.
1. Soit ϕ ∈ E∗ non nulle. Montrer que Ker(ϕ) est un hyperplan de E.
2. Soit H un hyperplan de E. Montrer qu’il existe ϕ ∈ E∗ telle que H = Ker(ϕ).
3. Soient ϕ et ψ deux éléments non nuls de E∗ tels que Ker(ϕ) = Ker(ψ). Montrer qu’il existe un réel non
nul λ tel que ψ = λϕ.
4. Soit H un hyperplan de E. Montrer que l’ensemble D(H) des éléments de E∗ dont le noyau contient H est
un sous-espace vectoriel de E∗ dont on précisera la dimension.

5. On appelle transvection de E tout endomorphisme f de E possédant les deux propriétés suivantes :
I Ker(f − Id) est un hyperplan de E ;
I Im(f − Id) ⊂ Ker(f − Id).

On appelle Ker(f − IdE ) la base de f et Im(f − IdE ) la direction de f.
a. Soit ϕ un élément non nul de E∗ et u un vecteur non nul de Ker(ϕ). Pour tout vecteur x de E, on pose
f(x) = x + ϕ(x)u. Justifier l’existence de u et montrer que f est une transvection dont on précisera
la base et la direction.
b. Réciproquement, soit f une transvection de E. Montrer qu’il existe un élément non nul ϕ de E∗ et un
vecteur u non nul de Ker(ϕ) tels que f(x) = x + ϕ(x)u pour tout x ∈ E.
5. Soit H1 = ker ϕ1 et H2 = ker ϕ2 deux hyperplans distincts

E → R2


a) Montrer que v: Est linéaire surjective, dont le noyau est ker ϕ1 ∩ ker ϕ2 = H1 ∩ H2
x 7−→ (ϕ1 (x), ϕ2 (x))

b) Montrer que dim(H1 ∩ H2 ) = n − 2

c) Que vaut H1 + H2 ?.
EXERCICE 42 : E désigne un K–espace vectoriel de dimension finie n, et F, G deux sous-espaces vectoriels de E.

Le but de cet exercice est de montrer que F et G ont un supplémentaire commun dans E si et seulement si ils ont même dimension.
1) Montrer que si F et G ont un supplémentaire commun dans E, alors dim F = dim G.
Exercice
2) On suppose 3:
maintenant que F et G ont même dimension p ; on note r = dim (F∩G).
Soient F1 un supplémentaire de F∩G dans F et G1 un supplémentaire de F∩G dans G : F = (F∩G)⊕F1 ; G = (F∩G)⊕G1.
a) Montrer que dim F1 = dim G1. On note q la dimension commune de F1 et G1.
b) Montrer que : F∩G1 = {0} ; F1∩G = {0}.
Soient (f1,…,fq) une base de F1 et (g1,…,gq) une base de G1. On pose H = Vect({f1+g1,…,fq+gq}).
c) Déterminer dim H.
d) Montrer que : F+G = F⊕H ; F+G = G⊕H. Nous avons donc trouvé un supplémentaire commun H de F et G dans F+G. .
e) Montrer que F et G ont un supplémentaire commun dans E.
3) Exemple : E = R4 ; F = {(x,y,z,t) ∈ E, x = y = z} ; G = {(x,y,z,t) ∈ E, y = z , x – y + t = 0 }.
F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E (on ne demande pas de le prouver).
Déterminer cinq vecteurs e, f, g, h et c tels que

F∩G = R.e ; (e,f) est une base de F ; (e,g) est une base de G ;
H = R.h est un supplémentaire commun à F et G dans F+G ;
C = Vect({h,c}) est un supplémentaire commun à F et G dans E.

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Exercice 1:

pour l’espace vectoriel Rn+1 ?

i. Montrer qu’il existe un unique polynôme Py ∈ Pn tel que fn (Py ) = (y0 , y1 , . . . , yn ).

1.1.2. Soit (e1 , e2 ) une base de E ; montrer que λe1 = λe2 .

i. Justifier que x ∈ Fr et montrer que , pour tout λ ∈ K, y + λx ∈

α et β distincts, et un entier k compris entre 1 et r − 1 , tels que y + αx ∈ Fk et y + βx ∈ Fk .

8 P 2 E : ϕ1 ( P) = P (1) , ϕ2 ( P) = P0 (1) et ϕ3 ( P) = P00 (1) .

3 . On pose K = P 2 IR4 [ X ] j X 2 + 1 divise P . Monter que K est un sous

espace vectoriel de E et que E = G K.

2. Soit H un hyperplan de E. Montrer qu’il existe ϕ ∈ E∗ telle que H = Ker(ϕ).

un sous-espace vectoriel de E∗ dont on précisera la dimension.

I Ker(f − Id) est un hyperplan de E ;

I Im(f − Id) ⊂ Ker(f − Id).

b) Montrer que dim(H1 ∩ H2 ) = n − 2

EXERCICE 42 : E désigne un K–espace vectoriel de dimension finie n, et F, G deux sous-espaces vectoriels de E.

F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E (on ne demande pas de le prouver).

Déterminer cinq vecteurs e, f, g, h et c tels que

H = R.h est un supplémentaire commun à F et G dans F+G ;

C = Vect({h,c}) est un supplémentaire commun à F et G dans E.

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