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    TD Suites ENSAM-4

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    HIBA BOUKELLOUCHE
    Ce document contient 10 exercices portant sur l'étude de la monotonie, de la convergence et des propriétés de suites numériques. Les exercices proposent de montrer des résultats sur des suites définies de manière explicite ou par des relations de récurrence.

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    ENSAM - RABAT 22-23.

    ✍
    Dep. Math. Info.✍ TD N 1 : Suites Numériques Analyse 1
    1 API

    1 Exercice 1
    Étudiez la monotonie des suites suivantes :
    n 1 1 n! 2n (−1)k
    ① un = ∑ k − , u n = n +1 , un = ∑ .
    k =0 2 n 2 k =0 k + 1

    2 Exercice 2
    n  
    Soit n ≥ 2, on définit un = ∏ cos π π
    
    2k
    et vn = un sin 2n
    k =2
    ① Montrez que (un ) est monotone.
    ② Montrez que (vn ) est géométrique.
    ③ En déduire l’expression de vn puis de un en fonction de n.
    ④ Quelle est la limite de la suite (un ) ?

    3 Exercice 3
    Exprimez en fonction de n les suites définies par:
    ① u5 = 8 et ∀n ∈ N, n ≥ 5, un+1 = 2un
    ② u0 = 3 et ∀n ∈ N, un+1 = 2un − 1
    q
    2
    ③ u0 = 2, ∀n ∈ N, un+1 = 1 + u2n
    ④ u0 = u1 = 1 et ∀n ∈ N, 6un+2 − 5un+1 = −un .

    4 Exercice 4
    Soient (un )n et (vn )n les suites réelles définies par u0 = 1, v0 = 2 et les relations de récurrence:
    ∀n ∈ N, un+1 = 3un + 2vn et vn+1 = 2un + 3vn .
    ① Montrez que la suite (un − vn )n est constante.
    ② Prouvez que (un ) est une suite arithmético-géométrique.
    ③ Exprimez pour tout entier n ∈ N un et vn en fonction de n

    5 Exercice 5
    ① Déterminer deux réels a et b tels que
    1 a b
    2
    = + .
    k −1 k−1 k+1
    ② En déduire la limite de la suite
    n
    1
    un = ∑ 2 .
    k =2
    k −1
    ③ Sur le même modèle, déterminer la limite de la suite
    n
    1
    vn = ∑ k2 + 3k + 2
    .
    k =0

    Page 1
    6 Exercice 6
    1
    ① Étudier la convergence d’une suite u vérifiant u0 > 0 et, pour tout n, 0 < un+1 ≤ 2 − un .
    ② Soit (un )n une suite arithmétique ne s’annulant pas. Montrer que pour tout entier naturel
    n, on a
    n
    1 n+1
    ∑ u k u k +1 = u 0 u n +1 .
    k =0

    7 Exercice 7
    Soient (un )n∈N une suite réelle et (vn )n∈N la suite définie par :
    u + u1 + · · · + u n
    ∀n ∈ N, vn = 0
    n+1
    ① Montrer que si la suite (un )n∈N vers un réel l, la suite (vn )n∈N converge et a pour limite l.
    Réciproque ?
    ② Montrer que si la suite (un )n∈N est bornée, la suite (vn )n∈N est bornée.
    ③ Montrer que si la suite (un )n∈N est croissante alors la suite (vn )n∈N l’est aussi.

    8 Exercice 8
    On définit les suites ( an ) et (bn ) par les deux premiers termes a0 = 2 et b0 = 10 et les relations
    3an + bn an + 3bn
    de récurrence : an+1 = et bn+1 = .
    4 4
    1
    1. Montrer qu’on a pour tout n ∈ N : an+1 − bn+1 = ( an − bn ).
    2
    2. En déduire qu’on a pour tout n ∈ N : an ≤ bn .
    3. Montrer que ces deux suites sont adjacentes.
    4. Pour tout n ∈ N, on pose cn = an + bn , montrer que la suite (cn )n est constante.
    5. En déduire la valeur de la limite des suites ( an )n et (bn )n .

    9 Exercice 9
    Soit (un )n une suite numérique telle que
    n+p
    0 ≤ un+ p ≤ , ∀(n, p) ∈ N2 .
    np
    Montrer que (un )n est convergente.

    10 Exercice 10
    Soit u = (un )n une suite de nombres réels, vérifiant ∀n ∈ N, un ≤ un+3 .
    Démontrez que u est convergente ssi u est majorée et lim(un+2 − 2un+1 + un ) = 0.

    Page 2

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