Ecole Supérieure de Comptabilité Et de Finances de Constantine - ESCFC
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Constantine -ESCFC
Département de Mathématiques
Par : LAIB. M
2020-2021
Définition : On appelle fonction numérique f, toute fonction définie sur un ensemble E dans un
autre ensemble F tel que F est un sous-ensemble de l’ensemble des nombres réels ℝ ou ℝ lui-même
Et tout élément x de E permet d’associer au plus un élément de F appelé alors image de x et noté f
(x)
Remarque :
Exemples :
1) f
A* *1 Cette relation est une fonction
B* *2 𝐷𝑓 = {𝐴; 𝐵; 𝐶 } ⊂ 𝐸
C* *3
D* *4
m m
ple ple
s: s:
𝑈∶ℕ → ℝ 𝑈∶ℕ → ℝ
2) n →2n+1
1) n →2n+1
e e
s s
t t
u u
2) f
Cette relation est une application
A* *1 𝐷𝑓 = 𝐸
B* *2
C* *3
D* *4
m m
ple ple
E F
s: s:
3)
4)A* 𝑈∶ℕ →ℝ
n →2n+1
3) 𝑈∶ℕ →ℝ
n →2n+1
B*e *1e
C*s *2s Cette relation n’est ni fonction ni application
D*t *3t
E* u *4u
mn mn
ple e plee
4) * 𝑓(s𝑥:)s = 𝑥; 𝐸 = 𝐹 = ℝ. s :s
application ( car6):u𝐷𝑓𝑈∶ℕ
𝑈∶ℕ → ℝ →ℝ
Donc f est5) uune n →2n+1 n= 𝐸 = ℝ)
→2n+1
ie 1 i e
* 𝑓 (𝑥)t = 𝑥 ; ( car : 𝐸 = ℝ =t 𝐹) s
s
et e t
nu
f est une fonction ( car : 𝐷𝑓 = ℝn∗ ⊂ u ℝ).
un un
Donc : on définit la fonction f comme suit :
me me
On appelleéfonction
s numérique sur é sun ensemble E, tout application de E dans ℝ.
ru r u
ii i i
3.1.1 Domaine
qt de définition
qt
Définition : eon appelle domaine udeedéfinition ou l’ensemble de définition d’une fonction
u
numérique,el’ensemble
n des nombrese n de E qui admet une image par f noté 𝐷𝑓 ou D s’il n’y a pas
de d’ambiguïtéc u . c u
’m 𝐷𝑓 ’=m{𝑥 ∈ 𝐸 ⊂ ℝ/𝑓(𝑥 ) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒} ⊂ ℝ.
Exemple : é e e é
sr s
1) La fonction 𝑓: 𝑥 ↦ √𝑥 − 1 estr définit sur le domaine {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≥ 1} c’est-à-dire la demi-
ti t i
droite fermée [1; +∞[
lq l
2) La fonction 𝑔: 𝑥 ↦ 𝑔(𝑥 ) = 5 :qest une fonction constante sur l’ensemble ℝ.
au 1 a u
3) La fonctions e ℎ: 𝑥 ↦ 𝑥 est définit s e pour tout 𝑥 ∈ ℝ tel que 𝑥 ≠ 0 ; donc 𝑥 ∈ ℝ\{0} = 𝐷𝑓
1 u 1
Et l’image uduc réel 4 par 𝑓 𝑒𝑠𝑡 4, on cdit que 4 est un antécédent de 4 = 𝑓 (4).
i’ i ’
te t e
3.1.2. FONCTION
es PAIRE, e s IMPAIRE ET FONCTION PERIODIQUE
Définition d t : Soit 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ ⟶ ℝ d tune fonction définit sur l’intervalle I symétrique par rapport à
l’origine e l e l
On dit que laa fonction numériques 𝑓aest une fonction :
s
i. Pairen s: si et seulement si :n∀𝑥 s ∈ 𝐷𝑓 , −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : 𝑓 (−𝑥 ) = 𝑓(𝑥 )
ou ou
mi mi
bt bt
re r e
ed e d
se s e
ii. Impaire : si et seulement si : ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 , −𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : 𝑓 (−𝑥 ) = −𝑓(𝑥 )
Définition : Une fonction numérique 𝑓 est dite périodique s’il existe 𝑇 > 0 tel que :
∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : 𝑓 (𝑥 + 𝑇) = 𝑓 (𝑥)
Remarque :
Si 𝑇 est une période pour f ; tous les nombres de la forme 𝑘𝑇, 𝑘 ∈ ℤ∗ , sont aussi des périodes pour
f.
𝑓 (𝑥 + (𝑘 + 1)𝑇 ) = 𝑓 (𝑥 )
Posons : 𝑥 ′ = 𝑥 + 𝑘𝑇
𝑓 (𝑥 ′ + 𝑇) = 𝑓 (𝑥′) = 𝑓 (𝑥 + 𝑘𝑇) = 𝑓 (𝑥 )
Exemples :
1) La fonction 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑥 2 + 1 est paire, son domaine de définition est 𝐷 = ]−∞; +∞[ qui est
symétrique par rapport à l’origine .
2) La fonction 𝑔: 𝑥 ↦ 𝑔(𝑥 )1 est impaire, son domaine de définition est
𝐷 = ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ qui est symétrique par rapport à l’origine .
3) la fonction 𝑓: 𝑥 ↦ 𝑠𝑖𝑛𝑥 est une fonction périodique de période 2𝜋.
En effet :
Sachant que : sin(𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥 cos 2𝜋 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 sin 2𝜋 = sin 𝑥 . 1 +𝑐𝑜𝑠𝑥 .0
sin(𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥
3.2.1 SURJECTION
Soit 𝑓 : 𝐸 ⟶ 𝐹
𝑥 ↦ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦
3.2.2 INJECTION
*
Soit 𝑓 : 𝐸 ⟶ 𝐹
𝑥 ↦ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦
Exemple :
3.2.2
E F
* 𝑓 *
* * Est injective
* *
*
*
3.2.3 BIJECTION
On dit que la fonction 𝑓 est bijective si et seulement si :
E F
𝑓
* *
* * Est bijective
* *
* *
𝑥 ↦ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦
Si la fonction 𝑓 est bijective alors la fonction réciproque de 𝑓 existe et notée 𝑓 −1 tel que :
𝑓 −1 : 𝐹 ⟶ 𝐸
𝑦 ↦ 𝑓 −1 (𝑦) = 𝑥
Et on a : (𝑓 −1 ⃘𝑓)(𝑥 ) = 𝑓 −1 (𝑓(𝑥)) = 𝑥
𝑥 ↦ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦
Soient 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, on a : 𝑦 = 𝑥 + 3 ⟺ 𝑥 = 𝑦 − 3
On trouve que :
𝑥 ↦𝑦−3
𝑦 = 𝑓 (𝑥 ) ⟺ 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦)
𝐺 −1 = {(𝑥; 𝑦) ∈ ℝ2 ; 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥)}
Soit 𝑓 : 𝐷 ⟶ ℝ
𝑥 ↦ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦
Donc f est bijective. De plus si f est continue sur D, l’image de D par f est 𝑓(𝐷) ⊂ ℝ
On déduit que 𝑓est une application bijective de D dans 𝑓(𝐷) donc f admet une réciproque 𝑓 −1 tel
que :
𝑓 −1 : 𝑓 (𝐷) ⟶ 𝐷
Si 𝑓 est croissante ⟹𝑓 −1 est croissante
Si 𝑓 est décroissante ⟹𝑓 −1 est décroissante
𝑓 −1 est continue sur 𝑓(𝐷).
On a : (𝑓 −1 ⃘𝑓)(𝑥 ) = 𝑓 −1 (𝑓(𝑥)) = 𝑥 = 𝐼𝑑𝐷
(𝑓 ⃘𝑓 −1 )(𝑦) = 𝑓(𝑓 −1 (𝑦)) = 𝑦 = 𝐼𝑑𝐹
𝑔
Et on a : 𝑓 : 𝐸 ⟶ 𝐹 → 𝐷
𝑔 ⃘𝑓: 𝐸 ⟶ 𝐷
(𝑔 ⃘𝑓)−1 : 𝐷 ⟶ 𝐸
(𝑔 ⃘𝑓)−1 = 𝑓 −1 ⃘𝑔−1
𝑥 ↦ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦
On dit que 𝑓 est majorée s’il existe un nombre M (M∈ ℝ) tel que :
∀𝑥 ∈ 𝐸: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀.
On dit que 𝑓 est minorée s’il existe un nombre m ( 𝑚 ∈ ℝ) tel que :
∀𝑥 ∈ 𝐸: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚.
On dit que 𝑓 est bornée si elle est à la fois majorée et minorée ; autrement dit s’il existe
𝑚; 𝑀 ∈ ℝ tels que :
∀𝑛 ∈ ℕ: 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀.
Ou : ∃𝑀 ∈ ℝ: |𝑓 (𝑥 )| ≤ 𝑀
Assez souvent, pour des raisons pratiques, on utilisera plutôt la définition suivante :
𝑓 est bornée ⟺ ∃𝑀 ∈ ℝ; ∀𝑛 ∈ ℕ: |𝑓 (𝑥)| ≤ 𝑀 ⟺ −𝑀 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀
Remarque :
S’il existe 𝑥0 ∈ 𝐸 sup 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) ; alors sup 𝑓(𝑥) = max 𝑓(𝑥)
S’il existe 𝑥0 ∈ 𝐸 inf 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) ; alors inf 𝑓(𝑥) = min 𝑓(𝑥)
2) Limite en un point :
Définition : On dit que la fonction f définie au voisinage d’un point 𝑥0 sauf peut-être en 𝑥0 , admet
une limite 𝑙 au point 𝑥0 , si ∀𝜀 > 0, il existe un nombre 𝛿 > 0, tel que pour tout𝑥 ≠ 𝑥0 ,
|𝑥 − 𝑥0 | ≤ 𝛿 ⟹ |𝑓 (𝑥 ) − 𝑙 | ≤ 𝜀.
Et l’on écrire : 𝑙 = lim 𝑓(𝑥)
𝑥⟶𝑥0
Exemples :
3𝑥+2 11 11
1) lim 𝑥−1 = 2 ⟺ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0: |𝑥 − 3| ≤ 𝛿 ⟹ | 𝑓(𝑥 ) − 2 | ≤ 𝜀.
𝑥⟶3
3𝑥 + 2 11 6𝑥 + 4 − 11𝑥 + 11 5 −𝑥 + 3 5 𝑥−3 5
| − |=| |= | |= | | < |𝑥 − 3 | < 𝜀
𝑥−1 2 2(𝑥 − 1) 2 𝑥−1 2 𝑥−1 2
5 2𝜀
|𝑥 − 3| < 𝜀 ⟺ |𝑥 − 3| < ⁄5.
2
Il suffit de prendre 𝛿 = 2𝜀⁄5.
2) 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥 − 1
lim 𝑓(𝑥) = 3 ⟺ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0/∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : |𝑥 − 2| ≤ 𝛿 ⟹ | 𝑓 (𝑥 ) − 3| ≤ 𝜀.
𝑥⟶2
| 𝑓(𝑥) − 2| = |2𝑥 − 4| = 2|𝑥 − 2| < 𝜀
2|𝑥 − 3| < 𝜀 ⟺ |𝑥 − 3| < 𝜀⁄2.
Il suffit de prendre 𝛿 = 𝜀⁄2.
𝑥²−1
3) 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥−1
lim 𝑓(𝑥) = 2 ⟺ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0/∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : |𝑥 − 1| ≤ 𝛿 ⟹ | 𝑓 (𝑥 ) − 2| ≤ 𝜀.
𝑥⟶1
𝑥² − 1 (𝑥 − 1)2
| 𝑓(𝑥) − 2| = | − 2| = | |<𝜀
𝑥−1 𝑥−1
(𝑥−1) 2
| | < 𝜀 ⟺ |𝑥 − 1| < 𝜀.
𝑥−1
Il suffit de prendre 𝛿 = 𝜀.
3) Limite à gauche et à droite en un point
Définition : Soit 𝑓 : 𝐸 ⟶ 𝐹 tel que : On dit que la fonction f tend vers 𝑙 quand 𝑥 s’approche à 𝑥0
à droite (resp. à gauche) si et seulement si :
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝛿 ⟹ |𝑓 (𝑥 ) − 𝑙 | ≤ 𝜀.
(resp. ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : 𝑥0 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑥0 ⟹ |𝑓 (𝑥 ) − 𝑙 | ≤ 𝜀.)
L’on note lim
>
𝑓(𝑥) = 𝑙 (resp. lim
<
𝑓(𝑥) = 𝑙).
𝑥 →𝑥0 𝑥 →𝑥0
on notera aussi: lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 + 0) (resp. lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 − 0)).
𝑥→𝑥0 +0 𝑥→𝑥0 −0
4) Unicité de la limite :
Théorème : Si la fonction f admet une limite au point 𝑥0 , alors cette limite est unique.
Remarque :Si la limite existe, il est évident que la limite à droite et la limite à gauche existent et
sont égale à cette limite.
Réciproquement, si 𝑓(𝑥0 + 0) = 𝑓(𝑥0 − 0)) existent, la limite existe.
Exemple :
|𝑥| −1, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
1) Soit la fonction : 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 = {
+1, 𝑠𝑖 𝑥 > 0
On a : lim 𝑓(𝑥) = −1, lim 𝑓(𝑥) = 1
𝑥→𝑥0 −0 𝑥→𝑥0 +0
Donc f n’a pas de limite quand 𝑥 → 0, mais seulement une limite à droite et une limite à gauche .
𝑠𝑖𝑛𝑥
2) 𝑔(𝑥 ) = |𝑥| , 𝑥0 = 0
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥
On a : lim 𝑓(𝑥) = lim = 1 et : lim 𝑓(𝑥) = lim = −1
> > 𝑥 < < −𝑥
𝑥 →0 𝑥 →0 𝑥 →0 𝑥 →0
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥
lim ≠ lim
> | |
𝑥 →0 𝑥
| |
𝑥 →0 𝑥
<
2) Si 𝑥0 = ±∞ et 𝑙 fini, on dit que la fonction tend vers 𝑙 quand 𝑥 tend vers ±∞ si et seulement
si : ∀𝜀 > 0, ∃𝐴 > 0; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : |𝑥 | ≥ 𝐴 ⟹ |𝑓 (𝑥 ) − 𝑙 | ≤ 𝜀.
4
3) Continuité sur un intervalle
- Continuité sur un intervalle ouvert
On dit que la fonction est continue sur un domaine 𝐷 = ]𝑎; 𝑏[ si et seulement si : elle est continue
en tout point de 𝐷.