Terminale Sciences Mathematiques Parti 4
Terminale Sciences Mathematiques Parti 4
Terminale Sciences Mathematiques Parti 4
com
Le plan complexe est m uni du repère orthonormé direct 9 Déterminer les nombres complexes z tels que :
(0, e➔1 , e-►)
2
•
lzl =J!J=iz -11.
10 Résoudre dans C 2 les systèmes suivants.
(1 + i)z - iz' = 2 + i
a) { (2 + i)z + (2 - i)z' = 7 - 4i
,
bJ{ (2(1 -+ 1)z
~)_: + ?3,'= 1 +_zi:
E tude algébrique - =4 -
lZ l
r
.,
- en déduire la forme algébrique de z.
fJ ( ~
(- 1 - 2i)3
e)
(1 + i)4 1- 21 a) z = (~ - i~)3 ..
! Déterminer les parties réelle et imaginaire des
n ombres complexes suivants.
aJ (3 + 4i)3 b) (2 - i) 3
c) 2 + i _ 3 - 4i
3 + 4i 2 - i
dJ (3 + 4i)3 - (2 :.__ i)3.
c) z
(1. ✓3)(1
= \2+ 12 2-12
)3)
3 Pour quelles valeurs du nombre réel x le d) z = (1 + i) 2 e) z = (1 - i) 4
nombre complexe [10 - x + i(2 + x)](x - i) est-il un
( fz + i~) •
3
nombre réel ? un nombre imaginaire pur ? f] -1 + iJ3 g)
[3 + i - 1 +1
J3 +i /3 - i
4 Vérifier que : ~ + ~ - 1 = O.
v3 - l v3+1 {6- i./2 .
11 Soit z 1 = - - - et z 2 =1 - 1.
2
5 1 . Calculer i 3 , i 4 et i 5 • En déduire i 18 et i 19. a) Déterminer le module et un argument de z1 et z2 •
2. Calculer 1 + i + i2 + i3, puis i199 + i200 + i201 + i202_ b) Écrire sous forme algébrique et trigonométrique le
2000 2002 . zl
3. Calculer I ik et I (- i)k . quotient z.
k=O k=O
c) En dédl.Îire les valeurs de cos{ et sin{ .
6 Écrire sous forme algébrique 'le conjugué des 2 2
nombres complexes suivants. 13 Écrire sous forme expon entielle les nombres
2-i complexes suivants.
a) (4 - i/3)(1 + i) b)
-3+i a) (- 1 - i)i b) [[3 + i)(- 1 + i./3)
c) (1 - i)(2 + i) d) (2 - 3i)(1 + i) .
1- i j.'.:.
2i(- 3 + i) ' (2 - i)2 c] 1- ~ d) - - e 4
1
1 + i /3
3 + 2i 3 - 2i -zi.::.
7 Soit z 1 - - - et z 2 = - - a e 3
f) 5 - 5i -1- i/3) 10
- 5 + 7i 5 + 7i e) - - - g) ( . .
Démontrer, sans calcul, que z 1 - z 2 est un nombre réel ,)2 + i[z '"
1- · -1 + 1
lOe 4
et z 1 + z 2 un nombre imaginaire pur.
14 Soit z un nombre complexe tel que :
8
Calculer le module des nombres complexes
suivants. z + z1 = 2cos0.
2 1 Démontrer que pour tout entier naturel n , on a :
a) 1 - i b) - 4i
zn + ; 11 = 2cosn0.
[2(1 + i) d] (- 5 + 7i)(4 - Zi)
c)
1([3 - i) (3 + 4i)(7 + 5i) .
15 Smt z 1 = j
[3 + i
. et z 2 = ~
4i
.
- 1-1,; 3
3 + l
e) (1 - i)2 f) ( ./3 -_i)3.
(1 + i)3 · 1-1 a) Écrire sous forme exponentielle z1 et z 2 •
76 Nombres complexes
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- ::::::= déduire la forme algébrique des nombres com- 17 Résoudre dans C les équations suivantes et
- .. z z , z1 (z )3 z~. représenter graphiquement les images des solutions.
p Iexes 1 2
- ,
1
et -
. Zz z3
1
a) z4 - ,2z 2 + 1= 0 b} z8 + z4 +1 = O~
Nombres complexes 77
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78 Nombres complexes
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c) Déterminer l'ensemble des triplets (z1 ; z 2 ; z 3 ) de c) Déterminer et construire les im ages par f des
nombres complexes de module 1 tels que : ensembles déterminés à la question 2.
. 2!!
z1 + z 2 + z 3 = 0 et O s arg(z1 ) s arg(z2 ) s arg(z3 ) < 2n:.
55 Soit le nombre complexe z = e' 7 .
52 Construction d'un pentagone régulier On pose : a= z + z 2 + z4 et b = z3 + z5 + z6.
. 2n:
1- 1. Démontrer que a et b sont deax :nombres complexes
Soit le nombre complexe z0 = e 5 • conjugués et que la partie im aginaire de a est p ositive.
1. On pose : a, = z0 + zj et ~ = z5+ ~- 2. Calculer a + b et ab. En déduire a et b.
a) Démontrer que 1 + z0 + z5 + ~ + ~ = 0 et en dédui-
re que a et ~ sont solutions de l'équation (E) : 56 Soit a et b deux nombres complexes non nuls,
A et B leurs images respectives.
Z 2 + Z- 1 = O. 1. a) Démontrer que les points 0, A et B sont alignés si
bj Exprimer a en fon ction d e cos 2!'. et seulement si ab est u n nombre réel.
0
c) Résoudre (E) et en déduire la valeur de cos2;.
2. On désigne par A0 , A 1 , A 2 , A 3 et A4 les points d'af-
b) Démontrer que (a:t) 2
est un nombre réel si et ~eule-
ment si les points 0 , A et B sont alignés ou si OA = OB.
fixes respectives 1 , z0 , z5, z~ et zj. 2. On suppose dans cette question qu e les points 0 , A
a) Soit H le point d 'intersection de la droite (A 1 A4 ) avec et B ne sont pas alignés et que les nombres complexes
la droite de repère (0, i;). a et b ont pour module 1.
Démontrer que l'affixe du point H est cos2;.
, (a+ b)2 b , l .
b) Soit (r) le cercle de centre le point n d'affixe - 1 D emon trer que ~ est u n nom re ree stnctement
positif.
et passant par le point B d'affixe i.
(r) coupe la droite d e repère (0, i;) en M et N, M étant 3. Application
le point d'abscisse positive. Soit M 1 et M 2 deux points d 'affixes respectives z 1 et z2'
Démontrer que M et N ont pour affixes respectives a, et tels que les points 0 , M 1 et M 2 ne sont pas alignés.
a ) Calculer, en fonction de z 1 et z 2 , l 'affixe Z du bary-
~ et que H est le milieu de [OM].
c) En déduire une construction simple d'un pentagone
centre I du système {(M1 , 1z 2 I) ; (M 2 , 1z1 1)}.
régulier dont on connaît le centre O et un sommet A 0. b) Démontrer que ; : est un nombre réel.
1 2
53 1. a) Résoudre dans C l'équation : z 2 - 4z + 8 = O.
c) En déduire que
--+
OI--~-:~m vecteur directeur de la
Écrire les solutions sous forme algébrique et sous forme
trigonométrique. bissectrice de l'angle M 1 0M2 .
b) Placer les images A et B des solutions, A étant l'ima-
. ge de la solution dont la partie imaginaire est négative.
5 7 Soit A et B les points d'affixes respectives 1 et 2i.
À tout nombre complexe z distinct de 2i, on associe le
Quelle est la nature du triangle OAB ? z-1
nombre complexe Z tel que: Z = -
2. Soit f l'application du plan dans lui-même qui à tout z- 21..
point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle 1. Déterminer l'ensemble (qz1 ) des points M d 'affixe z
,-
. 1[
tels que : arg(Z) = ~ [Zn:].
que: z' = e 3 z .
a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques 2. Déterminer l'ensemble (<f6 2) des points M d'affixe z
de l'application f. tels que : 1 Z 1 = 2.
b) Déterminer sous forme trigonométrique, puis sous 3. Démontrer que (<f6) et (~ 2) ont un unique point com-
forme algébrique l'affixe du point A', image de A par f. mun dont on précisera l'affixe.
En déduire les valeurs de cos 1
et sinJ .
1 58 Soit A le point d'affixe 2i et f l'application du
54 On considère les nombres complexes : plan dans lui-même qui à tout point M d'affixe z, dis-
,... tinct de A, associe le point M ' d'affixe z' telle que :
a= - J3 + i , b = 3 + 2i et c = 7 - 2i.
1. a) Déterminer de deux façons différentes les racines , 2iz - 5
carrées de a.
z = z-
2i .
En déduire les valeurs de cos 15 tt et sin511t . 1. Démontrer que f admet deux points invariants.
- 2 2 2. Démontrer que f est bijective et déterminer son
b) Déterminer les entiers relatifs n pour lesquels an est
application réciproque.
un nombre réel. 3. Démontrer que la droite de repère (0, ê;), privée de
c) Déterminer les entiers relatifs n pour lesquels an est
A, est globalement invaria,nte ;:iar f.
un nombre imaginaire pur. 4. a) Démontrer que : 1z' - 2i 1 1z - 2i 1 = 9.
2. Déterminer et construire les ensembles de points M b) En déduire l'image par f du cercle (((6) de centre A et
d'affixe z tels que : de rayon R.
a) lz- bl lz-cl
= b) 2lz-bl
= lai. Déterminer R pour que (qz) soit globalement invariant
3. Soit f l'application du plan dans lui-même qui à tout par f.
point M d 'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle
qrni : z' = (1 + i/3)z - si/i _ 59 Soit fi. et B les points d 'affixes respectives 1 et
a) Démontrer que f admet un seul point invariant n . 1 ~ - 1 et f l'application du plan dans lui-même qui à tout
b) Démontrer que f est la composée d'une rotation et point M d'affixe z non nulle associe le point M' d'affixe
d 'une homothétie positive de même centre n. z' telle que : zz' = 1.
Préciser l'angle de la rotation et le rapport de l'homo- 1. a) Déterminer et construire l'image par f du point C
thétie. d 'affixe 1 + i.
Nombres complexes 79
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b) Démontrer que pour tout point Met s~age M', On désigne par P, Q et M les points d'affixes respectives
la droite (AB) est bissectrice de l'angle MOM' et que i, - i et z.
OMxOM'=OA2. a) Démontrer que si z est solution de (E), alors : .
2 . a) Vérifier que :
Vz EC *, (z ~ z'_ 1)(2 ~ z ·+ 1)
b) Soit I le milieu de [.M~r}.
= e~z•r réelle, alors : 1a 1= 1.
~=nJlaf.
b) Démontrer que si (E) admet au moins une solution
80 Nombres complexes
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I sométries du plan -
Applicati ns affines
Introduction
bst :&
.....
• Soit (Ll) et (~•) deux droites parallèles, 0 un • Soit (~) et (~') deux droites sécantes en un
point de (l\) et 0 ' son projeté orthogonal sur (~'). point 0, de vecteurs directeurs respectifs il et zl•.
La composée s~. 0 s 6 des symétries orthogonales La composée sa.osa des symétries _orthogonales
d'axes respectifs (Ll) et (~') est la translation de d'axes respectifs (~) ~(~') est la rotation de
~
Exemples
ABCD est un carré de sens direct et de centre O.
• S{DC) 0 S(AB) = t2BC ;
• s(AClos(AB) = r(A. ~} (quart de tour direct de centre A) ;
• Soit t.; une translation de vecteur il non nul. • Soit rco. a) une rotation de centre O et d'angle a.
Pour toute droite (~) de vecteur normal il, il Pour toute droite CM passant par 0, il existe une
existe une droite (~') et une seule telle que : droite (~') et une seule telle que :
sil.osa = t.;. Sô,osô;;;; r(O, o.)"
Exemples
ABCD est un carré de sens direct et de centre 0, I et J sont les
milieux respectifs de [AB] et [CD].
• ~B ;;;; s(BC)os(IJ) = s(IJ)os(ADJ ;
• r(B, fl;;;; s(BD) 0 s(BC) = s(AB) 0
S(BD] ;
· • r(o.- ;i = s(IJlos1801 = s(AC)os(IJ)'
Les propriétés suivantes précisent la nature de la composée d'une symétrie orthogonale et d'une trans-
lation.
D émonstration guidée
Soit O un poin t de (.Li) et A le point tel que : OA = Û.
Désignons par : A
H le projeté orthogonal de A sur (.Li),
I le milieu de [AH],
(Li') la parallèle à (Li) passant par I.
. • Démontrer que : sA.osA = tHÂ.
• Démontrer que: ta osti. = t 00 osti...
• Conclure. 0 H
I
Soit r et r' deux rotations d'angles respectifs a et a'.
• Si â + â• * Ô, alors r'or est une rotation d'angle a+ a'.
• Si â + â• = Ô, alors r ' or est une translation.
Exemples
ABC est un triangle équilatéral de sen s direct et B' est le milieu de [AC].
1 41t.
· d'ange
• r(B, 2;ior1c. ~ l est une rotation 3
De plus : r(B_ ~ l = s!AB)os(BC) et r1c, ~l = s(BC) 0 s 1AcJ· B C
4;
Donc : r(B, ~ 1or1c, 2~1:l = s(ABlos(ACl = r(A, _ 2;1 = r(A, 1-
• r(A. 2;1or(B. ~J est une rotation d 'angle 7t, c'est-à-dire une symétrie centrale.
De plus: r{A. 2; 1 = s(AC)oslABJ et ;i
r(B, = s(ABlos(BB'l·
Donc: r (A. 2; 1or(B. ;i = s(AC)os[BB'J = sB ..
Démonstration t
r n
Soit M et N deux points distincts.
MIM.M,IM'
Posons: r(M) = M1 , r(N) = N1 , t(M1 ) = M' et t(N1 ) = N'.
N i N: N: N'
1
Remar~ueJ
• On démontre de manière analogue que rot est une ro:ntion d "angle a .
• On a en général : t or * rot .
Exemples
ABCD est un carré de sens direct et de centre 0, C' est le syc.é ,;;:::E da C par rapport à B.
• r 1A, ~)°tcÊ est un quart de tour direct.
Soit (Ll) la médiatrice du segment [BC].
On a: tcÊ = s(ABJos6 et r(A, ~) = s(ACJos1ABJ'
Donc : r(A, ~)otëÊ = S(AC) 0 s6 = r(O, fl'
• tcÊ 0 r 1A _l!_l est un quart de tour direct.
' 2
Soit (A') la médiatrice du segment [BC'].
On a: tc13 or 1A, fl = (s6 ,os(ABJ)o(s1ABlos1AC'J) = s6 ,os(AC'J·
Donc, tc13 or1A, ~) est le quart de tour direct dont le centre est le point O', symétrique de O par rapport à (AB).
Pour déterminer la composée tit orto,aJ d'unexotation et d'une translation de ,ecteur non nul,
.on peut utiliser les droites· (2ll), (A) et (A') telles que :
- (~) est la droite passant par O et de vecteur.normal ïl;
. . ./ ... .... ·:.
- r == s11l os6 ,e! t = sA,0s2/J. 1
On a : tor = s;,osA.
S olution guidée
-+
Soit t la translation de vecteur BA et r le quart de tour direct de centre A.
• Déterminer l'image du point C, puis du cercle (~ )parla transformation rot.
• Conclure.
5 olution guidée
Désignons par :
r 1 la rotation de centre A et d'angle ; ;
r 2 la rotation de centre Cet d'angle - ~ .
• Déterminer la nature de r 2 °r1 .
• Déterminer les images de I et L par r 2 or1 •
• Conclure.
L
z .ABCD et AEFG sont des carrés de sens direct et H est le point tel que ADHE soit un parallélogramme.
Démontrer que les droites (BH) et (CG) sont perpendiculaires et que BH = CG.
C
Solution
Désignons par : .-
t la translation de ·rncteur DA ;
r le quart de tour direct de centre A ;
C' le symétrique d e C par rapport à B.
t r rot
n n n
Ona: E G donc : ~
H E
B G C' IC B IC
F
Or: rot est un quart de tour direct ;
donc: (BH) 1- (CG) et BH = CG.
1.b ABCD est un carré de sens direct et de centre O. Mes (MC, M'C) = Mes(MC, MB) + a [1t].
Préciser la nature et les éléments caractéris- 2. En déduire le lieu des points M tels que les
tiques de chacune des transformations sui- points C, M et M' sont alignés.
vantes.
a) s(AC)or(A, fi b) r(D, flor(A, fl 1.e OAB et OCD sont des triangles équilatéraux de
sens direct. E est le point tel que BOCE soit u n
c) r(c.-flor!A.fl dJ r(A, f lotëJÏ·
parallélogramme.
Démontrer que AED est un triangle équilatéral.
1.c Le plan est muni du repère orthonormé (0, t]J. (On pourra utiliser la transformation rro. fJ 0 t00.)
On désigne par s et s' les symétries orthogo-
nales d 'axes respectifs (q]J) et (q]J'). A
Dans chacun des cas suivants, déterminer la
nature et les éléments caractéristiques de la
transformation sos'.
a} (!io) : x = 4 et (qjJ') : x = y
b) (!io) : x - y = 1 et (@') : x + y = 1
c) (!ib) : y = - 1 et (@') : y = 2
d) (@) : x + 2y = o et (q]J') : 2x - y + 1 = O.
E C
1.d Soit ABC un triangle isocèle en A~ la rota-
~ -+ -+
tion de centre A et d'angle a= (AB, AC).
D émonstration
Existence
~
Désignons par A' l'image de A par f et part la translation de vecteur AA'.
Posons: g = r 1 of.
g, composée de deux isométries, est une isométrie.
De plus: g(A) = r 1 of(A) = t~1 (A') = A.
Donc, f est la composée d'une isométrie laissant A inYariant et d'une translation.
Unicité
Supposons qu'il existe une isométrie g' laissant A invariant et une translation t ' telles que : f = t' og'.
On a : f(A) = t'(A) = t(A) ; donc : t' = t.
On en déduit que: tog = tog'; donc: g = g'.
•
~::wr=:n Isométries laissant invariants trois points "On alignés
Soit f une isométrie laissant invariants trois points A, B et C n on alignés.
Pour tout point M d'image M' par f, on a: M'A= MA, M'B = NIB et ~fC = ~IC.
Les points M et M' sont confondus, sinon A, B et C appartiendraient à la médiatrice de [MM'] et seraient
alignés.
On en déduit que tout point du plan est invariant par f.
Une isométrie du plan qui laisse invariants trois points non alignés est l'applic ation identique.
1
ment [CC']. A B
• Désignons pars la symétrie orthogonale d'axe (AB).
sof, isométrie laissant invariants les trois points non alignés A, B et
C, est l'application identique.
C
On en déduit que : f = s.
Une isométrie du plan qui laisse invariants deux points A et B distincts et qui n'est pas l'application
identique, est la symétrie orthogonale d'axe (AB).
sof n'est pas l'application identique, sinon f serait une symétrie orthogonale et n'aurait pas un seul point
invariant.
D'après la propriété précédente, s o f est la symétrie orthogonale d'axe (AB).
On a : sil of= s(ABJ ; donc : f = sil os(ABJ·
On en déduit que f est une rotation de centre A.
Une isométrie du plan qui laisse invariant un seul point A est une rotation de centre A.
1:1111 Conséquence
D'après les propriétés précédentes, toute isométrie du plan qui laisse invariant au moins un point A esf :
- soit l'application identique ;
- soit une symétrie orthogonale dont l'axe passe par A ;
- soit une rotation de centre A.
Donc, d'après le théorème précédent, toute isométrie du plan est:
- soit une translation ;
- soit la composée d 'une symétrie orthogonale et d'une translation ;
- soit la composée d 'une rotation et d'une translation.
On en déduit le théorème suivant.
Toute isométrie du plan est une translation, une rotation, une symétrie orthogonale ou une symétrie
glissée.
R~m~r..qu_g~
• L'ensemble des isométries du plan, muni de la loi o , est un groupe.
• L'ensemble des déplacements du plan, muni de la loi o, est un groupe.
• L'ensemble des antidéplacements du plan, muni de la loi o, n 'est pas un groupe.
Soit A, B, A' et B' quatre points tels que: AB= A'B' et A -:/:- B.
Il existe un déplacement et un seul transformant A en A' et B en B '.
•
D émonstration guidée
B'
Existence
Désignons par : - B
---+ ---+ t
- r la rotation de centre A et d'angle (AB,A'B') ;
---+
- t la translation de vecteur AA'.
Démontrer que la transformation f, telle que f = tor, est
un déplacement qui convient.
Unicité
Soit g un déplacement transformant A en A' et Ben B'.
• Démontrer que: f-1 og(A) = A et f-1 og(B) = B.
• En déduire que f-1 og est l'application identique. A
• Conclure.
R~rri~rque~
---+ ---+ --+
-► -
• Si AB = A'B', alors f est la translation de vecteur AA'.
---+ -► ---+
• Si AB-:/:- A'B', alors f est une rotation d'angle (AB,A'B').
Pour construire son centre, trois cas sont à envisager.
1er cas : A = A' ou B = B' ze cas : (AA') et (BB ') sont sécantes 3e cas : (AA') // (BB')
- Si A = A', alors A est le centre Le centre de la rotation est 0, Le centre de la rotation est 0,
de la rotation. point d'intersection des média- point d'intersection de la droite
- Si B = B', alors B est le centre trices de [AA'] et [BB']. (AB) et de la médiatrice commu-
de la rotation. ne à [AA'] et [BB'].
B' B
B
I
A
A
A' ~ B
A
0
B'
B' 0
Soit A, B, A' et B' quatre points tels que: AB= A'B' et A"#~- .
Il existe un antidéplacement et un seul transformant A en A' et Ben B'.
D émonstration guidée
Désignons pars la symétrie orthogonale d'axe (A'B').
Soit g un antidéplacement transformant A en A' et Ben B'.
• Démontrer que s 0 g est un déplacement transformant A en A: et Ben B'.
• Utiliser la propriété précédente pour condure.
R~rnargl!._q
• Étant donnés quatre points .A, B, A' et B' tels que AB = A'B' et A :t: B, il existe donc exactement deux
isométries qui transforment A en A' et Ben B'; l'une est un déplacement et l 'autre un antidéplacement.
• Si l'on note f l 'une de ces isométries, alors l'autre est s(A'B'Jof
Démontrer que s 1 os 2 os 3 est une symétrie orthogonale si et seulement si les droites (A1 ), (A2 ) et (A3 ) sont
parallèles ou concourantes.
2°} Soit (~). (~) et (A3 ) trois droites concourantes en un point O.
Construire un triangle ABC tel que (A1 ), (A2 ) et (A3} soient les médiatrices respectives des côtés [AC],
[BC] et [AB].
!olution
1°) Étude directe
Supposons que s1 os2 os3 soit une symétrie orthogonale ; notons s cette symétrie.
On a: s 1 os2 os3 = s; donc: s 1 os2 = sos3 •
• Si (~) et (Az) sont parallèles, alors s1 os2 est une translation de vecteur orthogonal à (A1) et (Az).
De même sos3 est une translation de vecteur orthogonal à (A3 ) et à l'axe des.
Donc, les droites (A), (A2) et (A3) sont parallèles.
• Si (A) et (Ll2 ) sont sécantes en un point 0, alors s 1 os2 est une rotation de centre O.
De même s 0 s 3 es_t une rotation de centre O.
Donc (A3 ) passe par O et les droites (A1 ), (A2 ) et (A3 ) sont concourantes en O.
Étude réciproque
• 1er cas : (A 1}, (A2 } et (A) sont parallèles.
On a: s 1 os2 os3 = tr1os 3 , où ,1 est un vecteur normal (.11 ) et (A2 ), donc normal à (A3 ).
On en déduit que s1 °s2 °s3 est une symétrie orthogonale.
• 2e cas : (Ail, (A) et (A3) sont concourantes en O.
s1 °s2 °s3 , antidéplacement qui admet au moins un point invariant, est une symétrie orthogonale.
A
2°) Analyse d'une figure répondant à la question
Les médiatrices d'un triangle sont concourantes.
Donc, s 1 o s 2 o s 3 est une symétrie orthogonale ; on désigne
B
par (0.l) son axe.
On a: s 1 os2 os3 = s(S?vJ'
De plus: s1 os2 os3 (A) == s 1 osz(B) == s 1 (C) = A.
, •''
Donc : A E (:2ll). ,
,
'
On en déduit que : (0.l) = (OA). '
Construction de (0.l}
Soit Mun point distinct de O et M' son image par s 1 os2 os3 •
• Si M' = M, alors (0.l) = (OM).
• Si M' -::f. M, alors (0.l) est la médiatrice de [MM'].
Discussion
Tout point A1 de (2ll) pnvee de O peut être considéré
comme sommet d'un triangle cherché ;
les deux autres sommets de ce triangle sont :
Bl = siA1) et cl= sl(Al). M' ';, ______ _ ____ __ '.,.'
S olution
Soit ABC un triangle équilatéral de sens direct, 0 son centre de gravité et f une isométrie laissant ABC
invariant.
Toute isométrie conserve le barycentre ; donc : f(O) = O.
f est une isométrie laissant invariant au moins un point ; donc f est une rotation (éventuellement l 'ap-
plication identique) ou une symétrie orthogonale.
Supposons que f est distincte de l'application idéntique.
•
• Si f laisse invariants deux des points A, B ou C, alors f est une isométrie laissant invariants trois points
non alignés ; donc f est égale à Id, ce qui est contraire à l'hypothèse.
On en déduit que f laisse invariant au plus l'un des trois points A, B et C.
• Si f laisse invariant un seul des points A, B ou C, alors f est la symétrie orthogonale par rapport à la
droite passant par O et ce point.
• Si f ne laisse invariant aucun des trois points A, B ou C, deux cas sont possibles :
2
- soit f(A) = B, f(B) = Cet f(C) = A ; f est alors la rotation r de centre O et d'angle ; ;
2
- soit f(A) = C, f(B) = A et f(C) = B ; f est alors la rotation r-1 de centre O et d 'angle - ; .
..R~J11filg~e
Si on désigne par !}>ABC l'ensemble des isométries laissant invariant un triangle équilatéral ABC, [.<J,ABC' 0 J
est un groupe.
2.a Soit deux droites (01) et (01'), A un point de ('2h) Démontrer qu'il existe une unique rotation r
et N un point de (01'). telle que : r(A) = D et r(B) = C.
Démontrer qu'il existe deux déplacements qui Préciser le centre et l'angle de cette rotation.
transforment A en N et ('2h) en (01').
2.d ('€) est un cercle de centre 0, A un point exté-
2.b (<fb) et (<fb') sont deux cercles de même rayon et rieur à((~) et (0J) une droite.
de centres distincts O et O'. Construire un triangle équilatéral ABC tel que :
Soit A un point de (<(g) et A' un point de (<fb'). B E ('€) et C E ('2h).
Démontrer qu'il existe un unique déplacement
transformant A en A' et(<€) en (<fb'). 2.e 1. Déterminer toutes les isométries laissant
invariant un carré ABCD.
2.c Soit A, B, Cet D quatre points distincts tels que 2. Établir le tableau de composition de ces iso-
C est le milieu de [ABJ et B le milieu de [CD]. métries.
. Ap.plications affines
----
Dans cette leçon,<!/' d ésigne le plan et 'V l'ensemble des vecteurs du p lan.
~~ne== Introduction
• Soit (qc) et (~) deux dro ites sécantes et p la projection sur(~) paral-
lèlement à (~}-
- -
Soit A et B delLx points distincts, À un nombre réel et C le point tel
que : AC =l ..AR
On désigne par N, B' et C' les images respectives de A, B et C par p.
A' C' B'
On a: AC
- = i..AB
- ç::} (1 -À) CA+
- ÀCB- = ---+
O
ç::} C = bar ((A, 1 -À), (B, À)}.
On a vu en classe de première que les projections conservent le barycentre de deux points.
-► -
Donc: C' = bar {(A', 1 - À), (B', À)}; c'est-à-dire: A'C' = ÀA'B'.
On dit que p conserve le coefficient de colinéarité.
• Plus généralement, on démontre de façon analogue qu'une application de <!/' dans <!/' qui conserve le
barycentre de deux points pondérés conserve le coefficient de colinéarité.
• Récip roquement, soit f une application de rzJ> dans<!/' qui conserve le coefficient de colinéarité.
Soit G le barycentre de deux points pondérés (A, a) et (B, b) (a+ b 1:- 0).
---+
On a: AG= --bb AB;
----+ -
donc: f(A)f(G) b -►
= --b f(A)f(B).
a+ a+
On en déduit que f(G) est le barycentre des points pondérés (f(A), a) et (f(B), b).
Il est donc équivalent de dire qu'une application du plan conserve le coefficient de colinéarité et qu'el-
le conserve le barycentre de deux points pondérés.
Définition et propriétés
On appelle application affine du plan toute application de(<!/') dans(<!/') qui conserve le coefficient de
colinéarité.
Une application affine bijective du plan est appelée transformation affine du plan.
• La composée de deux applications affines du plan· est une application affine du plan.
• La réciproque d'une transformation affine du plan est une transformation affine du plan.
D émonstration
• Soit f et g deux applications affines du plan.
Pour tous points A, B, G du plan et tout nombre réel Â, on a:
--+ --+ -------- -►
AG = À.AB ⇒ f(A)f(G) =11.f(A)f(B)
⇒ g[f(A)]g[f(G)] = À g[f(A)]g[f(B)].
Donc la composée de deux applications affines du plan est une application affine du p lan.
• Soit f une transformation affine du plan, G le barycentre de deux points pondérés (A, a) et (B, b).
Désignons par G' le barycentre des points pondérés ( f-1 (A), a) et ( r 1 (B), b).
On a: f(G') = bar {(A, a); (B , b)} = G ; donc: f-1 (G) = bar {(r1 (A), a);
(f-1 (B), b)}.
f-1 conserve le barycentre de deux points ; donc f-1 est une transformation affine du plan.
Exemple
Toute similitude, composée d'une isométrie et d'une homothétie, est une transformation affine du plan.
,R~Jn~Lq,Yg
L'ensemble des transformations affines du plan, muni de la loi o, est un groupe appelé groupe affine du plan.
Exemples
• Une application de (fJ> dans (fJ> est une translation si et seulement si pour tous points M et N d'images
--+ = MN.
respectives M' et N', on a: M'N' -
On en déduit que l'application vectorielle associée à une translation est l'application identique de "V.
• Une application de (fJ> dans CfP est une homothétie de rapport k (le -:t:. 0 et k -:t:. 1) si et seulement si pour
--+ --+
tous points Met N d'images respectives M' et N', on a : M'N' = k MN.
On en déduit quë l'application vectorielle associée à une homothétie de rapport k est l'application de "V
dans "V qui à tout vecteur Û associe le vecteur kil.
Cette application est appelée homothétie vectorielle de rapport k. N' N
-
seulement si pour tous points M et N distincts d'images respec~
- -),-
tives M' et N', on a : MN = M'N' et (MN, M'N') = o:.
-► ...-.....
M
On en déduit que l'application vectorielle associée à une rotation
d'angle o: est l'application de "V dans "V qui à to~vecteur Û non
nul associe le vecteur Û' tel que : llûll = llû11 et (Û ;Û1 = â:.
Cette application est appelée rotation vectorielle d'angle o:. 0
Démonstration
B'
• La première propriété traduit la conservation de la colinéarité.
Démontrons la seconde propriété.
• Soit A, B et C trois points tels que : AB = il et BC =
On désigne par A', B' et C' les images respectives de A, B et C par f. A'
- - v. B
~
On a: -
A'C' = -
A'B' + ----+
B'C' = ::7\
cp(u, + cp(v->) ;
- ----+ -;. -+
A'C' = cp(AC)= <p(u + v ). A _. -+ C
On en déduit que : cp(il + Ïi ) = cp(ti) + <p(Îi). u+v
emargue_!.
->
• On a : <p(O) = -+ ----+ - -+
0 ; en effet : <p(AA) = f(A)f(A) = O.
-+ ) n -+
Il
• Plus généralement, on a : <p( I,a.
1
u.
i=1 '
=i=1
Ia .<p( u
. 1
.).
1
On en déduit que G' est le barycentre des points pondérés (A'1, a) 1 s i:,; n·
..
3.2. Autres propriétés
~::."'~ Détermination d'une application affine
Soit A , B, C trois points non alignés de <fJ> et f une application affine de <ff>.
Soit Mun point du plan et (x; y) ses coordonnées dans le repère (A, B, C),
-+ -+ -+ -+ - ----+ -+
On a : AM= xAB + y AC ⇒ xMB + y MC + (1 - x - y)MA = 0
⇒ M = b ar {(A, 1 - x - y), (B, x), {C, y)}
⇒ f(M) = bar {(f(A), 1 - x - y) , (f(B), x), (f(C), y )).
Une application affine du plan est déterminée par la·donn ée de trois points non alignés et de leurs
images. ·
.Remarques
• Si deux applications affines du plan coïncident en trois points non alignés, alors elles sont égales.
En particulier, l'application identique est la seule application affine du plan qui laisse invariants trois
points non alignés.
• Une application affine du plan est bijective si et seulement si l'image d'un repère est un repère.
Exemples M
D émonstration
Soit (.9\) l'ensemble des points invariants par f. Raisonnons par disjonction des cas.
• ier cas : il existe au moins trois points invariants non alignés A, B et C .
On a vu dans le paragraphe précédent que f _est alors l'application identique de C/P.
On en déduit que : (.9\) = <!P.
• ze cas : il n'existe pas trois points invariants non alignés, mais il existe deux points invariants dis-
tincts A et B.
- Tout point invariant M est tel que A, B et M sont alignés; donc: (.<Jif) c (AB).
---+ --+
- Soit M un~oint ~ la <ft.oite (AB); il existe un nombre réel À tel que: AM= ÂAB.
On a : Af(M) = ÂAB =AM; donc M est invariant et (AB) C (.<Jif).
On en déduit que : (Sir) = (AB). ·
• 3e cas : (J'jl ne_contient pas deux points invariants distincts.
(,<Jif) est soit l'ensemble vide, soit un singleton.
Exemples
• Une translation de vecteur non nul n'a pas de point invariant.
• Une rotation d'angle non nul n'a qu'un point invariant, son centre.
• L'ensemble des points invariants par une symétrie orthogonale est l'axe de cette symétrie.
Soit f une application affine, (AB) une droite, A' et B' les images respectives de A et B par f.
• Si N = B', alors l'image de (AB) est le singleton {A'}.
*
• Si N B', alors l'image de (AB) est la droite (NB').
D émonstration
La droite (AB) est l'ensemble des barycentres de A et B, donc l'image de (AB) est l'ensemble des bary-
centres de f(A) et f(B). On en déduit qµe :
• si A'= B', alors: f(AB) = IA'J ;
*
• si A' B', alors : f(AB) = (A'B').
Soit f une application affine du plan, (AB) et (CD) deux droites parallèles.
Si l'image de (AB) par f est une droite (A'B'), alors l'image de (CD) par f est une droite (C'D') parallè-
le à (A'B').
D émonstration
-- -*
-
- - -
Les vecteurs AB et CD sont colinéaires ; donc, il existe un nombre réel le non nul tel que : CD = k AB.
f est une application affine ; donc f conserve le coefficient de colinéarité et on a: C'D' = kA'B'.
___.,
L'image de (AB) est une droite ; donc : A'B' O.
- ---+
On en déduit que C'D'-::/:. 0 et que l'image de (CD) par f est une droite (C'D') parallèle à (A'B').
RemaLq~
• Les images par une transformation . affine du plan de deux droites strictement parallèles sont deux
droites strictement parallèles.
• Les images par une transformation affine du plan de deux droites sécantes sont deux droites sécantes_
D émonstration
Soit A, B, C trois points non alignés et A', B', C' leurs images respectives par f.
• 1er cas : A', B' et C' sont non alignés
(A', B', C') est un repère du plan ; donc f est bijective et f(CZP) = 0'>.
• 2e cas : A', B' et C' sont alignés et non tous confondus
On peut supposer par exemple que A' et B' sont distincts.
D'après la propriété 1, on a: f(AB) = (A'B') ; donc (A'B') C f((JJ>).
De plus, l'image de tout point M du plan, considéré comme barycentre de A, B, et C, est un point M '
barycentre de A', B' et C'; donc .: f((JJ>') C (A'B').
On en déduit que : f(CZP) = (A'B').
3e cas : A' = B' = C'
On a: f(CZP) = {A'}.
Exemples
• L'image de (JJ> par une translation est 0'>.
• L'image de (JJ> par la projection 01:thogonale sur une droite (2li) du plan est (2b).
, .
• Rec1proquement, . f une app1·1cat10n
s01t . d ' expression
. anal ytique
·
. : {x'
, = ax, + by
b' + c , .
y = ax + y+ c •
Désignons par G le barycentre des points pondérés (A, a) et (B, 13), par N, B' et G' les images respectives
- --
des points A , B et G par f.
- --
On a: aGA + 13 GB = O ; démontrons que: aG'A' + j3G'B' = O.
On a: a(x~ -xé) + j3(x~ -xé) = a[a(xA -xG) + b(y --yG)J + 13[a(xB -xG) + b(yB -yc)1
= a[a(xA-- xG) + l3(xB - xG)] + b[a(yA - Ycl + j3(yB - yJ]
= O. -
On démontre de même que : a(y~ - Yé) + 13(y~ - Yél = O.
On en déduit que G' est le barycentre des points pondérés (N, a) et (B', !3).
Donc, f est une application affine du plan.
On en déduit la propriété suivante.
Expression analytique
Le plan est muni du repère (0 , --C J).
On ne donne l'expression analytique d'une affinité que
·dans le cas particulier où l ·axe est parallèle à la droite M
de repère (0, f) et la direction est celle de J
Soit f l'affinité d'axe (~) d·équation : y = b,
de direction celle de J: 7
de rapport k . J
Soit M(;) un point du p lan, M'(i'.) son image par f et
H le projeté de M sur (91i) suivant la direction de J 0 7
t
On a : HM
-+ , -+
= k HM ç:::}
{x'= X
y, _ b = k(y _ b) . M'
eSt : { ;: : k; + (1 - k)b ·
,R~mar u_e~ ·
• Toute affinité est une application affine.
• Soit f l'affinité d'[!xe (95) de vecteur directeur Û, de direction celle de vet de rapport k.
L'application linéaire associée à f est l'application <p de 'V dans lui-même définie par : { <p((ïf}. = ÛI-►•
<p V1 = CV
On en déduit qu'une affinité est bijective si et seulement si le 'i: O.
3.a Soit ABC un triangle, A', B' et C' les milieux distincts A et B dans les cas suivants :
a) les droites (AB) et (LI.) sont parallèles ;
respectifs de [BC], [AC] et [AB], f l'application
b) les droites {AB) et'(LI.) sont sécantes.
affine du plan définie par :
2. Démontrer que f est une application affine
f(A) = A, f(B) = B' et f(C) = C'.
1. Déterminer les images par f de A', B' et C'.
du plan.
2. Déterminer les images par f des droites
(AA'), (BB ') et (CC'). 3.c Le plan est muni du repère (0, I, J).
3. Déterminer l'expression analytique de f dans On considère l'application affine f telle que :
le repère (A, B, C). f(O) = I , f(I) = J et f(J) = O.. ,
1. Démontrer que f est bijective.
2. Déterminer l'ensemble des points invariants
3.b (2D) et (LI.) sont deux droites sécantes en un
par f. ·
point O. Soit f l'application du plan dans lui-
même qui à tout point M associe le point M' tel
que: 3.d On reprend l'application f de l'exercice 3b.
- si M E= (LI.), alors M' = M ; . 1. Déterminer une e:igiression analytique d e 1
- si M '1. (LI.) , alors le milieu I de [MM'] appar- dans lm.repère (0, f,j) tel que TutJ sont vec-
tient à (LI.) et (MM') // (2D). teurs directeurs respectifs de {2D) et (LI.).
1. Construire les images par f de deux points 2 . Démontrer que f est bijective.
~E
~ x ercices
"" On note A: le point d'intBiSection des droites (BD) et (AC).
1. Démontrer que N est le symétrique de A par rapport
àC .
D écomposition 2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques
des transformations suivantes :
et composition d'isométries s(BDios(DCJ ; s(cAios(AB) ; s"!'OosfCAl'
3. On note : f == s(BDiosc 0 s(AB)"
1 ABCD est un rectangle. a) Déterminer f(A) puis la nature et les él émen ts carac-
Dans chacun des cas suivants, déterminer la droite (~) téristiques de f. •
telle que: b) En déduire la nature de la transformation 5nm1osc·
a) \1i == s6 os(Aoi b) \1i == s(ADlos6
c) \1i == s6oscaci d) t..:s == s(BClos6.
1Soit ABC un triangle, 0 le centre de son cercle
I sométries et démontrations
circonscrit, (~1), (~2 ) et (~3 ) les médiatrices respectives de propriétés
de [BC], [CA] et [AB].
Déterminer les applications suivantes : 9 ABC est un triangle de sens direct.
a) s(AC)os(ABJ b) s62os63 Les points P et Q sont tels que les triangles PAC et QAB
c) s630s62 os61 d) s61 os os6 . sont extérieurs à ABC, isocèles rectangles respective-
62 3 ment en P et Q.
I est le milieu de [BC].
3 ABC est un triangle équilatéral de sens direct et Soit rp et rQ les quarts de tour
A
de centre O. Dans chacun des cas suivants, déterminer
la droite (~) telle que : directs de centres respectifs P 0
et Q.
a) r(A.fl == s6 os(ABJ b) r(A,fl == s(OAlos6 1. Démontrer que : rporQ == s1•
c) r(O, ?fi= s(OAJos6 d) r(O. ?fi == s6 os(OA)· 2 . En déduire que IPQ est un
C
triangle isocèle rectangle en I.
4 ABC est un triangle équilatéral de sens direct et
de centre O. Déterminer les applications suivantes : 10 ABC est un triangle F
d e sens direct. Les points D, E
a) r (B.1-Jorcc.tJ b) r(B,fior(A.- fi
et F sont tels que les triangles
BCD, AEB et CFA sont équi-
latéraux directs.
5 ABC est un triangle équilatéral de sens direct. 1. Préciser la nature de la C
Déterminer les applications suivantes : transformation r(B, or(A,
7 -fr
a} r(A, ~ot-
AB b} t-►
AB
or(A, ~ 2. Utiliser cette transformation
3 3
pour démontrer que AEDF est
c) r(C.1-Jor(B,1-Jor(A,f l d) r(C,flor(A,1-Jor18,1-J. un parallélogramme. E
6 ABCD est un carré de sens direct et de centre O. 11 ABCD est un carré D 'R
~~--~
-
14 ABC est un triangle tel que :
---->- ---->-
Mes(AB, AC) = ~ et AB < AC.
En déduire la nature de r.
2. a) Démontrer que les poi~M, N et M ' sont alignés
---+ -+
On désigne par (ï) le cercle circonscrit à ABC et O son si et seulement si : Mes [lvfQ, MA) = ; [1t] .
centre. Soit E le milieu de [BC] et P le point de [AC] tel
b) En déduire qu e l'ensemble (ï) des points M du plar:
que AB = CP. La droite (OE) coupe (ï) en I et J, tels que tels que M, N et M' sont alignés est un cercle passam
Jet A soient sur le même arc de corde [BC]. par les points A et Q. Construire (ï).
1. a) Faire une figure.