TD15 Ondesetenergie

PT Lyce Benjamin Franklin
Avril 2015
TD 15 : Ondes lectromagntiques
EXERCICE 1 : Champ lectromagntique dun LASER gaz
Un faisceau LASER met une onde plane progressive monochromatique polarise rectilignement selon Oz
qui se propage dans le plan Oxy suivant une direction Ox incline de 60 par rapport laxe Ox.
!
!
!
!
a) Ecrire les composantes du vecteur donde ! k , du champ! E , du champ ! B et du vecteur de Poynting !
b) Calculer leurs normes dans le cas dun LASER Argon ionis (! 0 = 488nm ) qui met en continu un
faisceau cylindrique de 1 mm2 de section et de puissance moyenne 1 W.
EXERCICE 2 : Superposition de deux ondes planes progressives harmoniques

On sintresse la superposition de deux ondes planes progressives monochromatiques de mme amplitude,
! !
de mme pulsation et se propageant dans le vide respectivement selon les vecteurs ! u1 et ! u2 .
!
!
!
u1 sin( )u x + cos( ).uz
!!
!
!
u2 sin( )u x + cos( ).uz
a) Quelles sont les normes des deux vecteurs donde ?
b) Sachant que les deux champs lectriques sont parallles ! u y et quils sont en phase dans le plan x=0 ,
donnez leur expression sous forme complexe.
c) En dduire lexpression du champ lectrique total (rel). Dcrire londe obtenue. Est-elle plane ? Est-elle
progressive ?
d) Donner la forme du champ magntique total (relle). Commentez.
e) En dduire le vecteur de Poynting moyen. Pouvait-on deviner sa direction ?
EXERCICE 3 : Dtermination des grandeurs caractristiques dune Oem

Dans les units SI, le champ lectrique dune onde lectromagntique est donn par la relation :
! E ( M ,t ) = 3.10 4.ex + 3 3.10 4.ey .cos . 2 3x + 2y .10 7 9, 42.1015.t

3
Dterminer ltat de polarisation de cette onde, lamplitude du champ lectrique, la direction de propagation
de londe, les valeurs numriques du module du vecteur donde, du nombre donde, de la longueur donde, la
frquence, la priode et la pulsation, la vitesse de propagation, lamplitude du champ magntique. Est-ce une
onde plane ? progressive ? monochromatique ?
EXERCICE 4 : Rflexion et changement de rfrentiel (effet Doppler)

Une onde plane progressive monochromatique (de pulsation ) polarise rectilignement se rflchit en
incidence normale sur un mtal parfait occupant t = 0 le demi-espace x > 0. Ce mtal parfait est en
mouvement la vitesse uniforme v = v.ux.
a- L'onde rflchie est-elle ncessairement de mme pulsation que l'onde incidente ?
b- crire la forme des champs lectrique Ei(x, t) et magntique Bi(x, t) incidents (dans le rfrentiel du
laboratoire (suppos galilen)
c- Afin d'appliquer les rsultats usuels sur la rflexion d'une onde lectromagntique, il faudrait que la paroi
soit immobile. On est donc amen se placer dans le rfrentiel li la paroi, en translation rectiligne
uniforme la vitesse v par rapport au rfrentiel terrestre.

Exprimer la coordonne x' repre par rapport la paroi en fonction de x, repre par rapport un
point fixe terrestre.

En dduire l'expression des champs rflchis Er(x', t) et Br(x', t) dans le rfrentiel li la paroi.
d- Trouver finalement l'expression du champ rflchi Er(x, t) dans le rfrentiel du laboratoire. Interprter la
variation de son amplitude par rapport celle de Ei(x, t).
e- Quelle est la pulsation du champ rflchi Er(x, t) dans le rfrentiel du laboratoire? Trouver une
application de ce changement de pulsation.
Comment mesurer la diffrence de pulsation sachant que v << c ?
TD n 23 : Propagation guide des ondes lectromagntiques
EXERCICE
5 : Propagation
entre
deux
Exercice
1 : Onde
se propageant
entre
deuxplans
plans
Une onde lectromagntique se propage dans le vide, selon Ox, entre deux plans dquation z = 0 et z = a.
Nous verrons ultrieurement que le champ lectrique de cette onde scrit comme celui dune onde de la
z
forme : E ( x, t ) = E0 cos( ) cos( t kx)e y o A et a, k et sont des constantes.
2a
1. Quel est le champ magntique associ cette onde ?
2. Est-ce une onde plane ? Est-ce une onde transverse ?
3. Montrer qu'il existe alors une relation entre k, , c et a, et que ce type de solution ne convient que si >
0 o 0 est une grandeur que l'on dterminera. Cette relation est appele dans la suite relation de dispersion.
4. Quelle vitesse de phase peut-on associer cette onde ? Montrer que si > 0 , la dpendance en t kx
traduit un phnomne de propagation dont la vitesse dpend de .
5. Dterminer la vitesse ce de propagation de lnergie de cette onde.
Mthode : Calculer lnergie moyenne transporte pendant la dure lmentaire dt dans un paralllpipde de
longueur x = ce t et de section droite S suivant Oz ; identifier en effectuant un bilan dnergie en calculant
le flux du vecteur de Poynting sur cette mme section droite S
6. Montrer que l'onde prcdente se dcompose en deux ondes planes progressives dont on prcisera les
directions de propagation. Utiliser cette dcomposition pour retrouver simplement la relation entre k, , c
et a obtenue dans l'exercice prcdent. Que devient la direction de propagation de ces ondes lorsque
tend vers la valeur 0 calcule dans l'exercice prcdent ?
Exercice 2 : Cavit rsonante
EXERCICE
: Cavit
On
sintresse 6
une
cavitrsonante
contenue entre deux plans mtalliques parallles infinis, taills tous les deux dans
un matriau mtallique assimilable un conducteur parfait. Ces deux plans mtalliques sont situs
respectivement
z = 0 et z = a.! (On
unb,0
champ
estdes
la superposition
de deux
0 sintresse
x a,0 y
z lectromagntique,
l ) vide est dlimitequipar
Une cavit paralllpipdique
plans parfaitement
conducteurs.
Un
gnrateur
de
haute
frquence
entretient
dans
cette
cavit
une
onde
lectromagntique
ondes planes progressives harmoniques monochromatiques se contre propageant respectivement suivant u z
sinusodale de pulsation ! .
eta)polarises
suivant
une direction
transverse la cavit.
Montrez que
le champ
lectrique
!
la cavit.
1. Donner la formule du champ
y, z,t) = Em .sin lintrieur
! E(x,lectromagntique
.sin de
.exp ( j t ) .ez
2. Montrer que lon peut retrouver cette formule enacherchantbune

solution en onde stationnaire.
est
solution
de
lquation
donde,
pourvu
que
la
pulsation
ait
une
valeur
que lon
dterminera.
3. Montrer que seules certaines longueurs dondes discrte n peuvent exister
dans
la cavit. Quelles sont les
b) Quel est le champ
magntique
associ
?
frquences n associes ? On appelle mode n la structure du champ lectromagntique oscillant dans la
c) Montrer que lnergie lectromagntique volumique est constante en moyenne et quelle oscille
cavit la frquence
n.
priodiquement
entre sa forme
lectrique sa forme magntique.
4.d) Calculer
Comment
ce phnomne
? Donner
analogie
Que
se passe-t-il
si lon
la appeler
charge surfacique
sur les
parois etune
montrer
queenlalectrocintique.
cavit se comporte
comme
un condensateur
essaie
un champ
lectromagntique
de frquences
des n ?
plan
dont de
oncrer
valuera
la charge.
Dduire de lnergie
la valeur diffrentes
de sa capacit.
sappuyant
sur unegraphe
analogie
avec ununcircuit
rsonnant
LC,
trouver
linductance
L de
cettebasses
cavit.
5.e) En
Tracer
sur un mme
lallure
instant
donn, du
champ
lectrique
pour les
3 plus
x=a
x=a
frquences.
Combien
de
nuds
et
de
ventre
le
mode
n
possde-t-il
?
a
2a
x
2 x
(rappel
)
et sin
.dx =
.dx =quelconque
pourdimension
6.
Une:! cavit
x=0 sin deaforme

2
a
d. Que peut-on dire pour la longueur donde dune
x=0
onde lectromagntique stationnaire dans la cavit.
7. En admettant que dans le domaine de lacoustique, un tuyau dorgue (tube) soit rgi par des quations
analogues celle dune cavit lectromagntique, identifier les tuyaux dune orgue produisant les sons les
plus graves et les plus aigus. On supposera que le mode n = 1 est prdominant dans chaque tube.
!
EXERCICE 7 : Effet de peau
EXERCICE 8 : Bilan dnergie lectromagntique

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a) Quelles sont les normes des deux vecteurs donde ?

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! E ( M ,t ) = 3.10 4.ex + 3 3.10 4.ey .cos . 2 3x + 2y .10 7 9, 42.1015.t

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2. Montrer que lon peut retrouver cette formule enacherchantbune

x=0 sin deaforme

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EXERCICE 8 : Bilan dnergie lectromagntique

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