TD1 Vide Crmef

Crmef -Béni Mellal
Filière : PC
Année Universitaire : 2023-2024
TD1- Propagation d'une onde électromagnétique dans le vide

Ex1.
1.Rappeler les équations de MAXWELL dans le vide en absence de charges et de courants.
2. À partir des équations de MAXWELL dans le vide, établir les équations de propagation
de 𝐸⃗ et de 𝐵
⃗.
3.
3.1. Montrer qu'une fonction de la forme :

𝑧 𝑧
𝑓(𝑧, 𝑡) = 𝑓1 (𝑡 − ) + 𝑓2 (𝑡 + )
𝑐 𝑐
est solution de l'équation de propagation, c'est à dire qu'elle vérifie l'équation de

propagation. 𝑐 est la célérité de la lumière dans le vide vérifiant 𝜇0 𝜀0 𝑐 2 = 1.
3.2. Interpréter la solution précédente en termes d'ondes planes progressives.
4. Soit un champ électrique 𝐸⃗, dans un repère cartésien orthonormé direct (𝑂, 𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 , 𝑒𝑧 ),
de la forme :
𝜔
𝐸⃗ = 𝐸0 cos⁡ (𝜔𝑡 − 𝑧) 𝑒𝑥
𝑐
Montrer que 𝐸⃗ vérifie l'équation de propagation dans le vide.
⃗
5. À partir des équations de MAXWELL, déduire l'expression du champ magnétique 𝐵
associé.
6. En déduire la structure de l'onde.
⃗ , 𝑘⃗), où 𝑘⃗ est le vecteur d'onde, dont on précisera la

7. Quelle est la nature du trièdre (𝐸⃗ , 𝐵
direction. Faire un schéma.
𝐸
8. Quel est le rapport des normes des champs : ?
𝐵
⃗ et 𝐸⃗ ?
9. Quelle relation vectorielle relie 𝐵
10. Déterminer la relation de dispersion de l'onde dans le vide. Le vide est-il un milieu
dispersif ?
Pr. CHAHID EL HADI

11. Définir et calculer les vitesses de phase et de groupe. Donner la signification physique
de chaque vitesse.
12. Soit 𝑢𝑒𝑚 la densité volumique de l'énergie électromagnétique et 𝜋

⃗ le vecteur de
POYNTING, établir la relation locale traduisant la conservation de l'énergie
électromagnétique en l'absence de charges et de courants.
Ex2. Propagation d’une onde plane
1. Rappeler les équations de MAXWELL dans le vide en absence de charges et

de courants et en déduire les équations de propagation vérifiées par les champs⁡⁡𝐸⃗
⃗.
et 𝐵
2. Une solution de ces équations est dite en onde plane lorsque les champs ne
dépendent que d’une seule coordonnée cartésienne, soit ici 𝑧, et du temps 𝑡.
Soit X(z,t) une composante quelconque de 𝐸⃗ ou 𝐵
⃗ : 𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 , 𝐸𝑧 , 𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 , 𝐵𝑧 .
Résoudre l’équation scalaire à une dimension vérifier par X(z,t) en introduisant les
1
variables 𝑝 = 𝑧 − 𝑐𝑡 et 𝑞 = 𝑧 + 𝑐𝑡 où c=√𝜇 .
0 𝜀0
3. Interpréter la solution précédente en termes d’ondes planes progressives et

donner la signification physique de la grandeur c.
4. Quelle serait l’expression d’une onde plane progressive se propageant dans la
direction et le sens d’un vecteur unitaire 𝑢
⃗ quelconque.
Ex3. Structure et propriétés d’une onde plane progressive
1. Récrie les équations de MAXWELL en absence de charges et de courants, en les

projetant sur les axes 𝑂𝑥, Oy⁡𝑒𝑡⁡Oz et en se limitant pour chacune des composantes de
𝐸⃗ et 𝐵
⃗ à une fonction de la seule variable 𝑝 = 𝑧 − 𝑐𝑡 .
2. En déduire que les champs 𝐸⃗ et 𝐵 ⃗ sont :
▪ Transverses, c’est-à-dire orthogonaux à la direction de propagation.
▪ Orthogonaux et ont des modules proportionnels.
Montrer qu’il est possible de résumer ces propriétés par une seule relation vectorielle.
3. Quelles sont les équations de propagation des potentiels V et 𝐴 correspondants à
une telle onde ?
- Donner les solutions de ces deux équations en introduisant la variable 𝑝 .
4. En déduire les composantes de 𝐸⃗ et 𝐵
⃗ en fonction des dérivées des composante de
𝐴⁡ et V par rapport à la variable p.
5. En utilisant la jauge de LORENTZ, retrouver la valeur de la composante de 𝐸⃗ sur
l’axe 𝑂𝑧 . Est-t-il possible de choisir V=0 ?
Pr. CHAHID EL HADI

|𝐸⃗ |
6. L’impédance caractéristique de l’onde est la quantité 𝑍𝑐 =𝜇0 |𝐵⃗|⁡. Déterminer
l’expression de 𝑍𝑐 en fonction des caractéristiques du vide. Quelle est sa valeur
numérique ?
Ex4. Transport d’énergie par l’onde
1. Soit 𝑢(𝑀, 𝑡) est la densité volumique d’énergie électromagnétique et 𝑅⃗(𝑀, 𝑡) le

vecteur de POYTING, établir en faisant un bilan d’énergie ,la relation locale traduisant la
conservation électromagnétique en l’absence de charges et de courants .
2. A quelle expression pour 𝑢 et 𝑅⃗ conduisent les équations de MAXWELL ?
3. Caculer 𝑢 et 𝑅⃗ pour l’onde plane progressive précédente en fonction du seul champ

électrique, puis donner une relation simple entre 𝑅⃗ et 𝑢. En déduire la vitesse de
propagation de l’énergie.
Ex5. OPPM électromagnétique
On étudie la propagation d’une onde électromagnétique dans le vide.
1. Rappeler l’équation aux dérivées partielles à laquelle satisfont les champs

électrique 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) et magnétique 𝐵
⃗ ⁡(𝑀, 𝑡).
On suppose que le champ électrique est de la forme : 𝐸⃗ = ⁡ 𝐸0 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)⁡𝑢

⃗ 𝑥.
2. Déterminer une équation satisfaite par k pour que ce champ soit solution
de l’équation donnée en Q1.
3. Quels sont la direction, le sens et la vitesse de propagation de cette onde ?
- Quel est son état de polarisation ?
4. Indiquer la relation de structure de ce champ électromagnétique. En
déduire le champ 𝐵 ⃗ (𝑀, 𝑡) de cette onde puis le vecteur de Poynting de
l’onde.
Ex6. OPPM électromagnétique de direction quelconque
On étudie une onde électromagnétique dans le vide, dont le champ électrique

s’écrit :
𝑘
𝐸⃗ = ⁡ 𝐸𝑥 ⁡𝑢 ⃗ 𝑦 avec 𝐸𝑥 = ⁡ 𝐸0 exp [𝑖 (3 (2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧) − 𝜔𝑡)]
⃗ 𝑥 +⁡ 𝐸𝑦 ⁡𝑢
L’onde se propage dans le vide et sa longueur d’onde est 𝜆 = 600⁡𝑛𝑚.
Pr. CHAHID EL HADI

1. Calculer la fréquence de l’onde. Dans quel domaine du spectre se situe
cette onde ?
2. Calculer la valeur numérique de 𝑘.
3. Etablir l’équation cartésienne d’un plan d’inde.
4. Exprimer 𝐸𝑦 en fonction de 𝐸𝑥 .
5. Calculer le champ magnétique 𝐵 ⃗ de cette onde.
6. Calculer la densité volumique moyenne d’énergie électromagnétique
associée à cette onde.
7. Même question pour le vecteur de Poynting. Commentaire ?
Ex7.
On cherche les conditions pour faire propager une onde électromagnétique

(𝐸⃗ , 𝐵
⃗ ), dans un milieu ayant les même propriétés que le vide.
𝑛𝜋𝑧
𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) = 𝐸0 𝑠𝑖𝑛 ⁡⁡𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)𝑒𝑦
𝑎
1. L’onde est-elle plane, monochromatique, progressive ?
2. Déterminer la relation dite de Dispersion
3. Discuter les cas : 𝜔 > 𝜔𝑛𝑐 ; 𝜔 = 𝜔𝑛𝑐 ; 𝜔 < 𝜔𝑛𝑐
4. Calculer le champ magnétique 𝐵 ⃗
5. Déterminer le vecteur de Poynting 𝜋 ⃗ , la densité de l'énergie
électromagnétique 𝑢𝑒𝑚 et calculer leur valeur moyenne temporelle.
Ex6. Bilan d’énergie électromagnétique
Soit une onde plane, progressive, monochromatique, polarisée rectilignement, se

propageant dans le vide ; on note 𝐸𝑚 l’amplitude de son champ électrique
1. Exprimer la puissance moyenne rayonnée à travers une surface d’air S

perpendiculaire à la direction de propagation.
2. Exprimer par ailleurs la densité volumique d’énergie électromagnétique
localisée en tout point, puis sa moyenne temporelle. Commenter
l’importance relative des contributions électrique et magnétique.
3. En effectuant un bilan dans un cylindre de section S et de longueur 𝑣𝑑𝑡,
déterminer la vitesse de propagation de l’énergie. Commenter.
Pr. CHAHID EL HADI

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TD1- Propagation d'une onde électromagnétique dans le vide

1.Rappeler les équations de MAXWELL dans le vide en absence de charges et de courants.

3.1. Montrer qu'une fonction de la forme :

est solution de l'équation de propagation, c'est à dire qu'elle vérifie l'équation de

3.2. Interpréter la solution précédente en termes d'ondes planes progressives.

Montrer que 𝐸⃗ vérifie l'équation de propagation dans le vide.

6. En déduire la structure de l'onde.

⃗ , 𝑘⃗), où 𝑘⃗ est le vecteur d'onde, dont on précisera la

Pr. CHAHID EL HADI

12. Soit 𝑢𝑒𝑚 la densité volumique de l'énergie électromagnétique et 𝜋

Ex2. Propagation d’une onde plane

1. Rappeler les équations de MAXWELL dans le vide en absence de charges et

3. Interpréter la solution précédente en termes d’ondes planes progressives et

Ex3. Structure et propriétés d’une onde plane progressive

1. Récrie les équations de MAXWELL en absence de charges et de courants, en les

Pr. CHAHID EL HADI

Ex4. Transport d’énergie par l’onde

1. Soit 𝑢(𝑀, 𝑡) est la densité volumique d’énergie électromagnétique et 𝑅⃗(𝑀, 𝑡) le

2. A quelle expression pour 𝑢 et 𝑅⃗ conduisent les équations de MAXWELL ?

3. Caculer 𝑢 et 𝑅⃗ pour l’onde plane progressive précédente en fonction du seul champ

Ex5. OPPM électromagnétique

On étudie la propagation d’une onde électromagnétique dans le vide.

1. Rappeler l’équation aux dérivées partielles à laquelle satisfont les champs

On suppose que le champ électrique est de la forme : 𝐸⃗ = ⁡ 𝐸0 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑧)⁡𝑢

Ex6. OPPM électromagnétique de direction quelconque

On étudie une onde électromagnétique dans le vide, dont le champ électrique

L’onde se propage dans le vide et sa longueur d’onde est 𝜆 = 600⁡𝑛𝑚.

Pr. CHAHID EL HADI

On cherche les conditions pour faire propager une onde électromagnétique

Ex6. Bilan d’énergie électromagnétique

Soit une onde plane, progressive, monochromatique, polarisée rectilignement, se

1. Exprimer la puissance moyenne rayonnée à travers une surface d’air S

Pr. CHAHID EL HADI

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