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MP5 Physique

plan du cours de propagation d'ondes électromagnétiques dans le vide

ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES PLANES

PROGRESSIVES MONOCHROMATIQUES DANS
LE VIDE ILLIMITÉ OU DANS UN MILIEU
ILLIMITÉ

I) DÉFINITIONS DE BASE :

1) Onde sinusoïdale :

définition : une onde (électromagnétique ou d'une autre nature) est sinusoïdale (ou, dans le cas de l'optique :
monochromatique) si, et seulement si, en un point fixé, les variations des champs définissant l'onde sont des
variations sinusoïdales du temps, ceci devant être vrai quel que soit le point considéré

2) Ondes transversales et longitudinales :

définition : une onde (électromagnétique ou d'une autre nature, mais caractérisée par un ou des champ(s)
vectoriel(s)) de direction de propagation donnée est transversale si, et seulement si, le ou les vecteurs
définissant l'onde est orthogonal ou sont orthogonaux à la direction de propagation

définition : une onde (électromagnétique ou d'une autre nature, mais caractérisée par un ou des champ(s)
vectoriel(s)) de direction de propagation donnée est longitudinale si, et seulement si, le ou les vecteurs
définissant l'onde est parallèle ou sont parallèles à la direction de propagation

3) Onde électromagnétique plane progressive sinusoïdale ou monochromatique :

définition : une onde électromagnétique plane progressive se propageant dans la direction et le sens du
vecteur u x est sinusoïdale ou monochromatique si, et seulement si le champ électrique E de cette onde est
de la forme :
Ex = E . cos(ωt − kx + ϕ )
x0 0x
Ey = E .cos(ωt − kx + ϕ )
y0 0y
E z = E . cos(ωt − kx + ϕ )
z0 0z

définition : une onde électromagnétique plane progressive se propageant, dans le vide illimité, dans la
direction et le sens du vecteur u x est sinusoïdale ou monochromatique si, et seulement si le champ
électrique E de cette onde est de la forme :
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Ex = 0
Ey = E . cos(ωt − kx + ϕ )
y0 0y
E z = E . cos(ωt − kx + ϕ )
z0 0z
cette définition est complètement générale : elle est valable dans le vide ou dans un milieu matériel
quelconque

définitions :
ω = pulsation de l'onde
ω
f= = fréquence (temporelle) de l'onde
2π
1
T = = période (temporelle) de l'onde
f
k = ku x = vecteur d'onde de l'onde
k
σ= = nombre d'onde de l' spatiale de l'onde
2π
1
λ = = longueur d'onde de l' spatiale de l'onde
σ

théorème : pour une onde plane progressive monochromatique se propageant dans la direction et le sens de
u x , la forme du champ magnétique B est analogue à celle du champ électrique E

4) Phase ; propagation de la phase :

définition : on appelle vitesse de phase vΦ d'une onde plane progressive monochromatique, de pulsation ω
ω
et de vecteur d'onde k , la vitesse de déplacement d'un plan d'onde ou plan équiphase, c'est-à-dire : v φ =
k

théorème : pour une onde plane progressive monochromatique se propageant dans le vide, infiniment loin
de toute matière, la vitesse de phase de l'onde est égale à la célérité C de la lumière dans le vide

II) ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE PLANE PROGRESSIVE MONOCHROMATIQUE

POLARISÉE RECTILIGNEMENT :

1) Définition :

définition : une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se propageant dans la direction
et le sens de u x est polarisée rectilignement si, et seulement si les deux composantes Ey et Ez du champ
électrique sont en phase :
Ex = 0
Ey = E . cos(ωt − kx + ϕ)
y0
E z = E . cos(ωt − kx + ϕ)
z0
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2) Structure des champs électrique E et magnétique B :

a) étude du champ électrique E :

expression de E : E = E 0 cos(ωt − kx + ϕ ) ( E 0 = vecteur fixe )

conséquence : E garde une direction fixe dans l'espace et dans le temps

b) étude du champ magnétique B :

expression de B : B = B 0 cos(ωt − kx + ϕ ) ( B 0 = vecteur fixe )

conséquences : 1) B garde une direction fixe dans l'espace et dans le temps

2) B est orthogonal à E et à k
3) B est en phase avec E

3)Visualisation de l'onde

III) ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE PLANE PROGRESSIVE MONOCHROMATIQUE

POLARISÉE ELLIPTIQUEMENT :

1) Définition :

définition : une onde plane progressive monochromatique se propageant dans la direction et le sens de u x
est polarisée elliptiquement si, et seulement si la différence entre les phases des composantes Ey et Ez du
champ électrique n'est pas un multiple de π :

Ex = 0
Ey = E . cos(ωt − kx )
y0
E z = E . cos(ωt − kx + ϕ), où : ϕ ≠ 0[π]
z0
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définition : la polarisation de l'onde est dite gauche ( respectivement: droite ) si, et seulement si, pour une
abscisse x fixée, le vecteur E (x , t ) tourne dans le sens direct ( respectivement: rétrograde ) autour du
vecteur k

2) Structure des champs électrique E et magnétique B :

la direction de E et la direction de B varient dans l'espace et dans le temps

3) Visualisation de l'onde

4) Cas particulier de la polarisation circulaire :

définition : une onde plane progressive monochromatique, se propageant dans la direction et le sens de u x ,
est polarisée circulairement si, et seulement si le déphasage entre les deux composantes Ey et Ez du champ
π
électrique est égal à ± et si les modules de ces deux composantes sont égaux :
2

Ex = 0
Ey = E . cos(ωt − kx )
y0
π
Ez = E . cos(ωt − kx ± ) = E . sin(ωt − kx )
z0 2 z0

IV) POLARISATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES ; POLARISEURS ET

ANALYSEURS :

1) Polariseurs et analyseurs :

définitions :

a) un polariseur est un instrument permettant de transformer une onde électromagnétique "non polarisée"
ou de polarisation elliptique quelconque en une onde polarisée rectilignement, parallèlement à un axe du
polariseur, appelé axe de transmission, l'axe orthogonal, situé dans le plan du polariseur étant appelé axe
d'extinction
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b) un analyseur est un instrument permettant la mesure de la composante sur un axe donné du champ
électrique E d'une onde polarisée rectilignement

2) Lames à retard :

définition : une lame à retard est un instrument modifiant l'état de polarisation d'une onde électromagnétique

théorème : une lame à retard d'épaisseur e et dont les indices des axes lent et rapide sont respectivement ny
et nz introduit une avance de Ez sur Ey (ou un retard de Ey sur Ez ) de:

Φ = 2 π .e.(n y − nz ) ( on suppose : ny > nz )

λ
où : ny = C où : vϕy = vitesse de phase d'une onde polarisée rectilignement parallèlement à u y
vϕy
nz = C où : vϕz = vitesse de phase d'une onde polarisée rectilignement parallèlement à uz
vϕz

définition : les axes u y et uz sont appelés axes neutres de la lame à retard

définition : on appelle lame demi-onde pour une onde électromagnétique de longueur d'onde dans le vide λ
une lame à retard telle que : φ = π c'est-à-dire : e.(ny - nz ) = λ/2

propriétés d'une lame demi-onde :

1) une onde incidente polarisée rectilignement est transformée en une onde polarisée rectilignement telle
que la direction de son champ électrique E s soit symétrique de celle du champ électrique Ei de l'onde
incidente par rapport aux axes de la lame
2) une onde incidente polarisée circulairement à gauche est transformée en une onde polarisée
circulairement à droite, et réciproquement

définition : on appelle lame quart d'onde pour une onde électromagnétique de longueur d'onde dans le vide
λ une lame à retard telle que : φ = π c'est-à-dire: e.(ny - nz ) = λ/4

propriété d'une lame quart d'onde :

une onde incidente polarisée circulairement est transformée en une onde polarisée rectilignement selon l'une
des bissectrices des axes de la lame, et réciproquement

V) NOTATION COMPLEXE POUR LES ONDES PLANES PROGRESSIVES

MONOCHROMATIQUES :

1) Ondes polarisées rectilignement :

méthode : à la grandeur réelle s = s0.cos(ω.t - k.x) on associe la grandeur complexe: s = s 0.exp[j(ω.t - k.x)]

étude de différents opérateurs :

∂s ∂s
= jω s rot s = − jk ∧ s
= jωs ou
∂t ∂t
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divs = − jk .s ∆s = −k 2 s ou ∆ s = −k 2 s
on peut faire agir sur E et B tous ces opérateurs, selon les règles indiquées ci-dessus, puis retrouver les
grandeurs réelles étudiées en prenant, à la fin des calculs, les parties réelles des grandeurs complexes qui
nous intéressent

2) Vecteur de Poynting :

ATTENTION : on n'a pas le droit d'utiliser la notation complexe pour le vecteur de Poynting: il faut
obligatoirement utiliser la notation réelle

VI) ONDE ÉLECTROMAGNETIQUE PLANE PROGRESSIVE MONOCHROMATIQUE DANS

UN MILIEU MATÉRIEL ; RELATION DE DISPERSION ; VITESSE DE GROUPE :

1) Propagation d'une onde électromagnétique plane progressive monochromatique dans un milieu matériel :

dans un milieu matériel, de façon générale, pour une onde plane progressive monochromatique de pulsation
ω
ω et de vecteur d'onde k , on n'a pas : = c ; la relation entre ω et k, appelée relation de dispersion du
k
ω
milieu, n'est d'ailleurs pas nécessairement linéaire : on peut avoir : = f (ω) = g(k )
k

2) Vitesse de groupe :

définition : la vitesse de groupe d'une onde plane progressive monochromatique, de pulsation ω et de

vecteur d'onde k , est : v g = dω

dk
interprétation : dans un milieu où il n'y a pas absorption de l'onde, la vitesse de groupe de l'onde représente
la vitesse de propagation de l'énergie associée à l'onde

remarque : la vitesse de groupe ne peut pas être supérieure à C, alors que la vitesse de phase vφ peut être
supérieure à C

théorème : dans le vide (infiniment loin de toute matière) : vφ = vg = c

3) Lien général entre E et B pour une OPPS (dans le vide ou dans un milieu matériel) :
u
Dans le vide illimité : B= ∧E
c
k
Dans tous les cas : B= ∧E
ω
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VII) ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS UN CONDUCTEUR RÉEL :

1) Equations de propagation :
∂j
E = µ . (EPE)
0 ∂t

B = −µ .rot( j)(EPB)
0
2) Onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement :

résultat : "effet de peau" : l'amplitude de l'onde décroît exponentiellement au fur et à mesure de la

2
propagation , avec une distance caractéristique δ appelée profondeur de pénétration : δ=
µ 0 γω

3) Bilan énergétique

4) Vitesses de phase et de groupe :

dans un bon conducteur : vφ, vg << C

VIII) ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS UN PLASMA :

1) Equations de propagation :

définition : un plasma est un gaz totalement ionisé

2) Onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement :

résultat : il existe une pulsation de coupure en-dessous de laquelle les ondes électromagnétiques ne peuvent
pas se propager dans le plasma

3) Vitesses de phase et de groupe

IX) EXEMPLES D'ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES CRÉÉES PAR UNE SOURCE

DONNÉE : RAYONNEMENT À GRANDE DISTANCE D'UN DIPÔLE ÉLECTRIQUE :

1) Position du problème : dipôle électrique oscillant :

on considère un dipôle électrique constitué par:

a) une charge (-q) fixe en O (q > 0)
b)une charge mobile (+q) animée d'un mouvement sinusoïdal non relativiste le long de Oz autour de O :
z = z0.cos(ω.t) (z0 > 0) (avec : z0.ω << C, c’est-à-dire : z0 << λ )
on étudie les champ électrique et magnétique « à grande distance » ou encore dans l’approximation
dipolaire, c’est-à-dire lorsque la distance r = OM à laquelle on étudie ces champs est très grande devant z0
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2) Champs électrique E et magnétique B rayonnés à grande distance par le dipôle oscillant :

définition : la zone de rayonnement d’un émetteur est l’ensemble des points de l’espace situés à des
distances grandes devant sa longueur d’onde, c’est-à-dire : r >> λ.

en coordonnées sphériques, à grande distance du dipôle :

µ p .sin θ r
2
E = −ω . 0 . 0 .cos ω( t − ).u
4π r c θ
µ p .sin θ
B = u r ∧ E = −ω 2 . 0 . 0 .cos ω( t − r ).u ϕ
C 4πc r c

théorème : le champ électromagnétique ( E , B ) rayonné à grande distance par un dipôle oscillant a, dans la
zone de rayonnement, localement une structure d'onde plane progressive polarisée rectilignement

3) Puissance rayonnée par le dipôle oscillant :

théorème : la valeur moyenne dans le temps <P> de la puissance rayonnée à travers une sphère S de centre

1 1 p 2 .ω4
O et de rayon r fixé est : < P >= . . 0
3 4πε c3
0
remarque : <P> est indépendant de r

généralisation : rayonnement d’accélération ( ou de freinage ! ) ou Bremsstrahlung :

1 q2. < a 2 >
a) cas du dipôle électrique oscillant : < P >= . 2
. où <a2> est la valeur
3 4πε c3
0
moyenne temporelle du carré de l’accélération de la charge q

b) généralisation : toute particule chargée accélérée rayonne des ondes électromagnétiques dont la
puissance moyenne temporelle totale ( sommée sur toutes les directions et toutes les fréquences ) est
proportionnelle au carré de sa charge et à la valeur moyenne temporelle du carré de son accélération.

4) Diffusion Rayleigh : modèle de l'électron élastiquement lié :

a) Définitions :
Définition : la diffusion d'une onde électromagnétique est la retransmission par les atomes ou les molécules
d'un milieu, dans toutes les directions, d'une onde électromagnétique reçue par ce milieu

Définition : la diffusion Rayleigh est l'interaction entre les molécules de l'atmosphère et la lumière du soleil

b) Modèle de l'électron élastiquement lié

c) Calcul de la puissance rayonnée pour chaque longueur d'onde

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X) EFFET DOPPLER-FIZEAU :

définition : l'effet Doppler est la différence de fréquence entre la fréquence fS d'une onde émise par une
source et la fréquence fR de l'onde perçue par un récepteur lorsque la source et la récepteur sont en
mouvement relatif

v
résultat : f R = f S (1 − )
c
où v est la vitesse algébrique relative de la source S par rapport au récepteur R, mesurée sur l'axe orienté
RS
et C est la célérité des ondes dans le milieu en question

remarque : l'effet Doppler existe pour tout type d'onde