Exercice de Topologie
Exercice de Topologie
Exercice de Topologie
Filière: MP 1
ET − TAHRI FOUAD
N.B. Il sera tenu compte de la rédaction et de la rigueur mathématique.
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On se donne n ∈ N∗ , K = R, C et E = Mn (K)
(
E→E
Exercice 1 ¬ Vérifier que l’application f : est continue.
A 7→ A −t A
En déduire que Sn (K) le sous espace de E formé des matrices symétriques est un fermé de E.
Exercice 2 Compacité du groupe(orthogonal On (R)
E→E
¬ Montrer que l’application f : est continue.
A 7→t AA
Montrer alors que On (R) est un compact de E.
Exercice 3 Densité de GLn (K) (
E→K
¬ Justifier que l’application det : est continue.
A 7→ det(A)
En déduire que GLn (K) est un ouvert de E.
® Soit A ∈ E, λ1 , λ2 , ..., λr ses valeurs propres complexes.
(a) Montrer qu’il existe p0 ∈ N∗ tel que ∀p ≥ p0 p1 < |λi | pour tout λi 6= 0.
(b) Montrer alors que GLn (K) est dense dans E.