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Feuille dexercices Espaces vectoriels norms e

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Feuille dexercices:

Espaces vectoriels norms e

Blague du jour Quest-ce qui est jaune, norm et complet ? e Rponse : Un espace de Bananach. e Quest-ce qui est jaune, norm, complet et meilleur avec de la chantilly ? e Rponse : Un Bananach Split. e Mathmaticen du jour e Banach Stefan Banach (1892-1945) est un mathmaticien polonais. Il est un des e fondateurs de lanalyse fonctionnelle. Il est ` lorigine, avec Alfred Tarski, a du Paradoxe de Banach-Tarski qui par la simplicit apparente de son e nonc est trange dans sa conclusion. Ses autres travaux touchent ` la e e e a thorie de la mesure de lintgration, de la thorie des ensembles et des e e e sries orthogonales. e

` Remerciements : A Monsieur Basso Had (MP-Casa) pour la source latex des exercices.

Exercice 1 Exercice 2

. N : (x, y) |5x + 3y| est-elle une norme sur R2 ? . On dnit sur R2 les 3 applications suivantes : e N1 ((x, y)) = |x| + |y|, N2 ((x, y)) = x2 + y 2 , N ((x, y)) = max(|x|, |y|).

1) Prouver que N1 , N2 , N3 dnissent 3 normes sur R2 . e 3) N1 , N2 et N3 sont-elles quivalentes ? e 2) Prouver que lon a : R2 , N () N2 () N1 () 2N ().

4) Dessiner les boules units fermes associes ` ces normes. e e e a

Exercice 3

. Soit E = R3 [X]. Pour P lment de E, on pose : ee P = |P (0)| + |P (1)| + |P (2)| + |P (3)| 1) Dmontrer que . est une norme. e 2) Soit lapplication de E dans E dnie par : (P )(X) = P (X + 2). Vrier que e e est linaire, continue et calculer sa norme subordonne. e e

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Exercice 4

1) Montrer que lensemble des matrices diagonalisables de Mp (C) est dense dans cet espace. p 1 Indication : Pour toute matrice A Mn (C), montrer que A + diag n , , n soit ` racines simples. a 2) Soit P = X p + ap1 X p1 + + a1 X + a0 C[X] un polynme unitaire de degr p. o e Montrer que les racines de P sont toutes dans le disque ferm D de centre 0 et e de rayon R = max{1, pM }, avec M = max0ip1 |ai |.
(n) (n) (n)

3) On se propose de montrer dans cette question que lensemble des polynmes de o degr p unitaires et scinds sur R est un ferm de Rp [X]. e e e Soit Pn = X p + ap1 X p1 + + a1 X + a0 une suite de polynmes unitaires de o
p

degr p scinds sur R qui vers un certain polynme P = e e o

ai X i .

a) Montrer que :

(n) lim ai

= ai pour tout i 0, p .
(n) (n)

b) Dire pourquoi ap = 1. e c) Pour tout entier naturel n, notons Zn = (z1 , , zp ) une liste des zros (supposs rels) du polynme Pn pris dans un ordre arbitraire, mais bien e e o s r compts avec leurs multiplicits. u e e Montrer que la suite (Zn ) admet une suite extraite (Z(n) ) convergente, de limite Z = (z1 , , zp ).
p

d) En dduire que e e) Conclure

i=1

(X zi ).

4) Montrer que dans Mp (R), de lensemble des matrices diagonalisables est dense dans celui des matrices trigonalisables.

Exercice 5

. Soit a, b > 0. On pose, pour tout (x, y) R2 , N (x, y) =

a2 x2 + b2 y 2 .
2

1) Prouver que N est une norme. Dessiner sa boule unit. e 2) Dterminer le plus petit nombre p > 0 tel que N p . e q tel que q . 2 N . et le plus grand nombre

. Soit E lespace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] ` valeurs dans R. On dnit a e pour f E
1

Exercice 6

f Vrier que . e

= sup {|f (x)|; x [0, 1]} ,

=
0

|f (t)|dt.

et .

sont deux normes sur E. Montrer que f E, f

En utilisant la suite de fonctions fn (x) = xn , prouver que ces deux normes ne sont pas quivalentes. e

Exercice 7

|x + ty| . . Soit N lapplication de R2 dans R : (x, y) suptR 1 + t2 1) Montrer que N est une norme sur R2 .

2) La comparer ` la norme euclidienne. Expliquer. a

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. Soit E lespace vectoriel des fonctions ` valeurs dans R, dnies, continues et a e drivables sur [0,1] et vriant f (0) = 0. On dnit sur cet espace les deux normes e e e suivantes : N1 (f ) = f et N2 (f ) = f . 1) Montrer que N1 (f ) N2 (f ). En dduire que lapplication identique de (E, N2 ) e vers (E, N1 ) est continue. xn , montrer que lapplication identique de (E, N1 ) 2) A laide de la fonction fn (x) = n vers (E, N2 ) nest pas continue. . On dnit E = {f C 2 ([0, 1], R) telle que f (0) = f (1) = 0}. Soient . et N les deux e applications dnies sur E par e f = sup |f (x)| et N (f ) = sup |f (x)|
x[0,1] x[0,1]

Exercice 8

Exercice 9

1) Montrer que ces deux applications sont des normes sur E. 2) Sont-elles quivalentes ? e . Soit E le R espace vectoriel des applications de classe C 2 de [0, 1] dans R et N1 , N2 N3 les applications de E dans R dnies par : N1 (f ) = supx[0,1] |f (x)|, e N2 (f ) = |f (0)| + supx[0,1] |f (x)|, N3 (f ) = |f (0)| + |f (0)| + supx[0,1] |f (x)|. Montrer que N1 , N2 et N3 sont des normes sur E et les comparer.

Exercice 10

Exercice 11

. On dnit sur lespace vectoriel E = C 0 ([0; 1], R) les applications 1 et 2 par e

1 (f ) = sup |f (x)| et 2 (f ) =
x[0;1]

ex |f (x)| dx fn (x) = 1 nx si 0 x 1 fn (x) = 0 si n < x 1. dans (E, 1 ) dans (E, 2 ). Conclusion ?

1) Montrer que 1 et 2 sont des normes sur E. 2) Soit (fn )nN la suite de fonctions dnie par e Etudier la suite (fn )nN .

Exercice 12

. On dnit une application sur Mn (R) en posant e N (A) = n max |ai,j | si A = (ai,j ).
i,j

Vrier que lon dnit bien une norme sur Mn (R), puis quil sagit dune norme e e dalg`bre, cest-`-dire que e a N (AB) N (A)N (B) pour toutes matrices A, B Mn (R).

Exercice 13

. 1 0 . 1

4 2 2 1 0 Soit A = 1 3 1 et P = 1 1 1 1 5 0 1

1) Que peut-on dire de la suite 6n An ? (on commencera par calculer P 1 AP ). 6n n A . 2) Etudier la convergence de la srie e n 0 n

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Exercice 14
p

. Soit E = R[X] lespace vectoriel des polynmes. On dnit sur E trois normes par, si o e P =
i=0

ai X i : N1 (P ) =

p i=0

|ai |, N2 (P ) =

p i=0

|ai |2

1/2

, N (P ) = maxi |ai |.

1) Vrier quil sagit de 3 normes sur R[X]. e 2) Sont-elles quivalentes deux ` deux ? e a

Exercice 15

.
+ k=0

E = R[X] et si P = 1) Montrer que (E,

ak X k R[X], on pose ) est un evn.

P =
k=0

| ak |

2) On pose Pn =

Xk . Montrer que la suite Pn est de Cauchy dans E. k=0 k!

3) Converge-t-elle dans E ?

Exercice 16

. E = R[X] et si P R[X], on pose 1) Montrer que (E,

P = sup | P (t) P (t) |

) est un evn.

2) On pose Pn =

Xk . Montrer que la suite P est de Cauchy dans E. k=0 k!

3) Converge-t-elle dans E ?

Exercice 17

. Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou ferms : e A = {(x, y) R2 | 0 < |x 1| < 1}, C = {(x, y) R2 | |x| < 1, |y| 1}, G = (x, y) R2 ; x2 exp(sin y) 12 , E = {(x, y) R2 | x Q, y Q}, B = {(x, y) R2 | 0 x y}, F = {(x, y) R2 | x2 + y 2 < 4}, D = {(x, y) R2 | x Q, y Q}, H = {(x, y) R2 ; ln |x2 + 1| > 0}.

Exercice 18

. On dnit un sous-ensemble A de R2 en posant e A = {(x, y) R2 | x2 + y 2 2} \ {(x, y) R2 | (x 1)2 + y 2 < 1}. Dterminer lintrieur, ladhrence et la fronti`re de A. e e e e

Exercice 19 Exercice 20

. Soit C une partie convexe de Rn . Prouver que C est aussi convexe. . Soit E un espace vectoriel norm, et V un sous-espace vectoriel de E. e 1) Montrer que V est un sous-espace vectoriel de E. 2) Montrer que si V = , alors V = E.

Exercice 21

. Soit E un espace vectoriel norm de dimension nie. Montrer que tout sous-espace e vectoriel de E est ferm e

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Exercice 22

. Soit E un espace vectoriel norm. Montrer que ladhrence dune boule ouverte est e e la boule ferme de mme rayon e e

Exercice 23

. Donner un exemple densemble A tels que : A, ladhrence de A, lintrieur de A, e e ladhrence de lintrieur de A et lintrieur de ladhrence de A sont des ensembles e e e e distincts deux ` deux. a

Exercice 24

. Soit A une partie dun espace vectoriel norm E. On rappelle que la fronti`re de A e e est lensemble F r(A) = A A. Montrer que :
A 2) F r(A) = F r(CE ) A 1) F r(A) = {x E | > 0, B(x, ) A = et B(x, ) CE = }

3) A est ferm si et seulement si F r(A) est inclus dans A. e 4) A est ouvert si et seulement si F r(A) A = .

Exercice 25

. Soit E un espace vectoriel norm. Soit A une partie non vide et borne de E. e e On dnit diam(A) = sup{ y x , x, y A}. e 1) Montrer que si A est borne, alors A et F r(A) sont borns. e e

2) Comparer diam(A), diam(A) et diam(A) lorsque A est non vide. 3) a) Montrer que diam(F r(A)) diam(A).

b) Soit x un lment de A, et u un lment de E avec u = 0. On consid`re ee ee e lensemble X = {t 0 | x + tu A}. Montrer que sup X existe. c) En dduire que toute demi-droite issue dun point x de A coupe F r(A). e d) En dduire que diam(F r(A)) = diam(A). e

. Soit E un espace vectoriel norm. On munit Lc (E) de la norme des applications e linaires. Soit f Lc (E), et C une valeur propre de f . Montrer que || f . e . Montrer que lensemble GLn (R) des matrices inversibles est un ouvert dense dans Mn (R).

Exercice 26

Exercice 27

Exercice 28 Exercice 29

. Montrer que lensemble des matrices diagonalisables est dense dans Mn (C). . Montrer que lensemble des matrices orthogonales On (R) (celles qui vrient t M M = e In ) est un compact.

Exercice 30

. Soient A et B deux matrices relles dordre n. e 1) On suppose A inversible. Montrer que PAB = PBA , o` PM est le polynme cau o ractristique de M . e 2) Montrer que ce rsultat subsiste si on se suppose plus A inversible. e

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Exercice 31

. Soit E un evn, et A et B deux parties de E. On dnit : e A + B = {z E; x A, y B, z = x + y} . Montrer que si A est ouvert, alors A + B est ouvert.

Exercice 32

. Soit F un ferm, et C un compact de Rn . On note G = F + C = {x + y; x F et y C}. e Montrer que G est ferm. Que dire si C est suppos simplement ferm ? e e e

Exercice 33

. Soit E un Respace vectoriel norm de dimension nie, et K un compact de E tel e que 0 K . On note H lensemble des u L(E) tels que u(K) K. Montrer que pour tout u H, on a | det u| 1

Exercice 34

. Dterminer si les ensembles suivants sont, ou ne sont pas, compacts : e A = {(x, y) R2 , x2 + y 4 = 1} C = {(x, y) R2 , x2 + xy + y 2 1} E = {(x, y) R2 , y 2 = x(1 2x)}. B = {(x, y) R2 , x2 + y 5 = 2} D = {(x, y) R2 , x2 + 8xy + y 2 1}

Exercice 35

. Soit (E, . ) un espace vectoriel norm. Soit (xn ) une suite convergente de E et soit x e sa limite. Montrer que lensemble : A = {x} {xn , n N} est compact.

Exercice 36

. Soit (un ) une suite de Rd . Pour n 1, on pose An = {up ; p n} .

1) Dmontrer que lensemble des valeurs dadhrence de (un ) est : V = e e

n1

An .

2) En dduire que si la suite est borne, V (lensemble des valeurs dadhrence) e e e est compact.

Exercice 37

. Soit A une partie compacte dun espace vectoriel norm, et (xn ) une suite de A e nadmettant quune seule valeur dadhrence. Montrer que (xn ) converge. e

Exercice 38

. Soit f : Rd R une fonction continue telle que admet un minimum.

lim

f (x) = +. Montrer que f

. Soit f : Rn R une fonction continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont quivalentes : e 1) M > 0, R > 0 tel que x > R = |f (x)| > M. 2) Pour toute partie borne B de R, f 1 (B) est une partie borne de Rn . e e

Exercice 39

3) Pour toute partie compacte K de R, f 1 (K) est une partie compacte de Rn . . Soit (E, ) un espace vectoriel norm et (xn )nN une suite dlments de E. On e ee suppose que (xn ) est de Cauchy. Montrer quelle converge si et seulement si elle admet une sous-suite convergente.

Exercice 40

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. Soit E = Rd muni dune norme , et A une partie non vide de E. On dnit la e distance dun lment x0 de E ` une partie A de E, note d(x0 , A), par la formule ee a e d(x0 , A) = inf x x0 .
xA

Exercice 41

1) Supposons A compact. Montrer que pour tout x0 E il existe y A tel que d(x0 , A) = y x0 .

3) Montrer que lapplication qui ` x0 associe d(x0 , A) est continue sur E (sans aucune a hypoth`se sur A). e 4) En dduire que si A est un ferm de E et B un compact de E tels que A et B e e sont disjoints, alors il existe une constante > 0 telle que ab (a, b) A B.

2) Montrer que le rsultat est encore vrai si on suppose seulement que A est ferm. e e (On remarquera que pour toute partie B de A on a d(x0 , B) d(x0 , A).)

5) Montrer par un contre-exemple que le rsultat est faux si on suppose seulement e que A et B sont deux ferms disjoints. e

Exercice 42

. Soit E un espace vectoriel norm. e Montrer que (E est complet) (toute suite (un )nN dlments de E vriant n ee e N, ||un+1 un || 21 est convergente). n

Exercice 43

. Soit X un ensemble. On note B(X, R) lespace vectoriel des fonctions bornes de X e dans R. On munit B(X, R) en posant f B(X, R), f = sup |f (x)|.
xX

Muni de cette norme, montrer que B(X, R) est un espace de Banach. . Soit E un espace vectoriel norm, F un espace de Banach, et Lc (E, F ) lespace vece toriel norm des applications linaires continues de E dans F , muni de la norme des e e applications linaires : f = sup f (x) . e
x =1

Exercice 44

Montrer que Lc (E, F ) est un espace de Banach.

Exercice 45
On note
1

. lespace vectoriel des suites x = (x(k))kN relles vriant : e e

x =
k=0

|x(k)| < +.

On admettra que lon dnit ainsi une norme sur 1 . On cherche ` prouver que 1 est e a un espace de Banach. Soit donc (xn )nN une suite de Cauchy dlments de 1 . Etant ee donn > 0, il existe donc N () N tel que, si n, l N (), alors : xn xl . e 1) Montrer quon a alors, pour tout k N, et pour tous n, l N () |xn (k) xl (k)| . 2) Montrer que
n+

lim xn (k) existe pour tout k N.

3) Montrer quil existe K N tel que 5) En dduire que lon a x e

4) Montrer que pour tout L K, on a :

|xN () (k)| .

, et que : limn+ xn x = 0. Page 7 / 10

|x(k)| 2.

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Exercice 46

. Soit E lespace vectoriel des fonctions continues de [1, 1] ` valeurs dans R. On dnit a e une norme sur E en posant
1

=
1

|f (t)| dt.

On va montrer que E muni de cette norme nest pas complet. Pour cela, on dnit e une suite (fn )nN par 1 1 si 1 t n 1 1 fn (t) = nt si n t n 1 1 si n t 1. 2) Montrer que 1) Vrier que fn E pour tout n 1. e 2 2 fn fp sup( , ) n p et en dduire que (fn ) est de Cauchy. e 3) Supposons quil existe une fonction f E telle que (fn ) converge vers f dans (E, 1 ). Montrer qualors on a
n+ 1

lim

|fn (t) f (t)| dt = 0

et

n+

lim

|fn (t) f (t)| dt = 0

pour tout 0 < < 1. 4) Montrer quon a

lim

|fn (t) + 1| dt = 0

et

n+

lim

|fn (t) 1| dt = 0

pour tout 0 < < 1. En dduire que e f (t) = 1, f (t) = 1, Conclure. . Soit E = Rd muni dune norme . On rappelle quune application g de E dans E est dite contractante sil existe K ]0, 1[ tel que g(x) g(y) K x y x, y E. t [1, 0[ t ]0, 1].

Exercice 47

1) Montrer que toute application contractante admet un unique point xe. Soit f une application de E dans E telle quil existe un entier n tel que f n soit contractante. On note x0 le point xe de f n . 2) Montrer que tout point xe de f est un point xe de f n . 3) Montrer que si x est un point xe de f n , il en est de mme pour f (x). e 4) En dduire que x0 est lunique point xe de f . e

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. Une fonction f dnie sur une partie A Rn est dite localement lipschitzienne si, e pour tout x A, il existe un voisinage Vx de x et une constante C > 0 telle que : (y, z) A Vx , f (y) f (z) C y z .

Exercice 48

Montrer quune fonction localement lipschitzienne sur une partie compacte K de Rn est en fait lipschitzienne . Soit E une partie compacte dun espace vectoriel norm, et f : E E une fonction e continue vriant : e (x, y) E 2 , x = y = f (x) f (y) < x y .

Exercice 49

1) Montrer que f admet un unique point xe (que lon notera ). 2) Ces rsultats subsistent-ils si on suppose simplement E complet ? e

Exercice 50

. R2 est muni dune norme quelconque. Soit f : R2 R2 telle que 1 ]0; [, (x, y) R2 , 2 f (x) f (y) ( f (x) x + f (y) y )

1) Montrer que f admet au plus un point xe. 2) On consid`re la suite dnie par un+1 = f (un ) et u0 R2 . e e a) Montrer que n 0, un+2 un+1 un+1 un . 1 b) Montrer que la suite u est de Cauchy. Conclure.

Exercice 51

. x 1 = 1 (2 sin x1 + cos x2 ) 5 1 = (cos x1 + 3 sin x2 ) 5 admet une solution unique

Montrer que le syst`me e (x1 , x2 ) R2 .

x2

Exercice 52

. Soit X et F deux parties dun espace vectoriel norm, F tant une partie compl`te. On e e e consid`re une application F : X E E, (, x) F (, x) continue, et k-contractante e en la seconde variable, cest-`-dire quelle existe k ]0, 1[ tel que : a X, (x, y) E 2 , F (, x) F (, y) k x y .

Montrer que, pour tout X, il existe un unique x E tel que F (, x ) = x . Montrer ensuite que lapplication X E, x est continue.

Exercice 53

. Thor`me des ferms embo es e e e t Soit E un espace vectoriel norm complet. Montrer que lintersection dune suite e dcroissante (Fn ) de parties fermes non vides et bornes de E dont le diam`tre tend e e e e vers 0 a une intersection non vide.

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Exercice 54

. Thor`me de Baire e e Soit E une partie compl`te dun espace vectoriel norm. e e 1) Montrer quune intersection dnombrable douverts denses dans E est dense e dans E. Attention, ce nest pas ncessairement un ouvert ! e 2) Que dire de la runion dnombrable de ferms dintrieur vide ? e e e e

Exercice 55

. On note E lespace des fonctions continues de [1, 1] ` valeurs dans C. On dnit sur a e E les deux normes suivantes :
1 1/2

=
1

|f (x)| dx

et et .
2

= sup {|f (x)|; x [1, 1]} .

1) Montrer que les normes .

ne sont pas quivalentes. e

2) Montrer que lespace vectoriel norm (E, . e

est complet.

3) Le but de cette question est de dmontrer que (E, . 2 ) nest pas complet. Pour e cela, on dnit la suite de fonctions (fn ) en posant : e 1 1 si 1 t n 1 1 fn (t) = nt si n t n 1 1 si n t 1. a) Faire un dessin et vrier que fn E. e 2 . n

dont on va montrer que cest une suite de Cauchy de (E, . 2 ) sans que ce soit une suite convergente. b) Montrer que pour 1 n p, on a :

fn fp

En dduire que la suite (fn ) est de Cauchy dans (E, . 2 ). e c) Supposons que la suite (fn ) converge vers f dans (E, . 2 ). Montrer que pour tout t ]0, 1], on a f (t) = 1. Que doit valoir f sur [1, 0[ ? Conclure.

4) Lapplication linaire T : E C, f f (0) est elle continue si on munit E de e . ? si on munit E de . 2 ?

Fin a la prochaine `

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