Topologie Des Espaces Vectoriels Normes 1
Topologie Des Espaces Vectoriels Normes 1
Topologie Des Espaces Vectoriels Normes 1
Fares Maalouf
January 2, 2021
Contents
1 Distances — Espaces Métriques: Définition et Exemples 2
6 Normes équivalentes 5
8 Une boule ouverte (resp. fermée) est un ensemble ouvert (resp. fermé) 6
13 Compacité 9
17 Exercice: GLn (C) est connexe par arcs, GLn (R) ne l’est pas 10
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Dans tout ce document, K désigne le corps R ou C.
pPn
• Distance Euclidienne sur Rn : d((x1 , · · · , xn ), (y1 , · · · , yn )) = i=1 (xi − yi )2
pPn
• Distance Euclidienne sur Cn : d((x1 , · · · , xn ), (y1 , · · · , yn )) = i=1 |xi − yi |2
2
Exemples de normes: Les fonctions définies ci-dessous sont des normes sur Rn :
P
1. ||x||1 := |xi |
pP
2. ||x||2 := x2i
3. ||x||∞ := max{xi , i = 1 · · · , n}
Les fonctions définies ci-dessous sont des normes sur C([0, 1], R):
Z 1
1. ||f ||1 := |f (t)| dt
0
s
Z 1
2. ||f ||2 := |f (t)|2 dt
0
Question: Lesquelles parmi les fonctions suivantes sont des normes sur R3 ?
1. f (x, y, z) = |x + y + z|
p
2. f (x, y, z) = x4 + y 4 + z 4
p
3. f (x, y, z) = 2x2 + 3y 2 + 4z 2
Exercice: Tracer les boules B(0, 1) de R2 muni respectivement des normes ||.||1 , ||.||2 et ||.||∞
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4 Distances et Boules: Exemples et Questions/Réponses
Question 1: L’ensemble des fonctions de C([0, 2], R) dont le graphe ne dépasse pas la région en bleu
est la boule fermée B 0 (f, 1) pour la norme:
||.||1 ||.||2 ||.||∞
Question 2: Dans R2 , le carré plein du plan de sommets A(−2, −3), B(0, −3), C(0, −1), A(−2, −1),
est:
1. La boule B 0 ((−1, −2), 1) pour la norme ||.||1 .
2. La boule B 0 ((−1, −2), 1) pour la norme ||.||2 .
3. La boule B 0 ((−1, −2), 1) pour la norme ||.||∞ .
4. Aucune des réponses précédentes
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Exemples:
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1. Dans (R2 , ||.||∞ ), la suite 1+ ,4 − 2 converge vers (1, 4).
n n
√
E(10n 2)
2. La suite 10n converge dans R mais pas dans Q.
3. Dans C([0, 1], R), la suite (fn )n définie par fn (x) = xn , converge vers la fonction nulle pour les
normes ||.||1 et ||.||2 , mais pas pour la norme ||.||∞
√
4. Dans C([0, 1], R), la suite (fn )n définie par fn (x) = n xn , converge vers la fonction nulle pour la
norme ||.||1 , mais pas pour la norme ||.||2
6 Normes équivalentes
Définition 6.1. Soit E un espace vectoriel, et N1 , N2 deux normes sur E. On dit que N1 et N2 sont
équivalentes si et seulement si, il existe deux constantes C, D > 0 telles que N1 < CN2 et N2 < DN1 .
Remarque: N1 ∼ N2 si et seulement si N1 /N2 et N2 /N1 sont des fonctions bornées sur E \ {0}.
Remarque: Sur un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes
Exemple: Sur C([0, 1], R), ||.||1 , ||.||2 et ||.||∞ sont deux à deux non équivalentes.
Proposition 6.2. Soit E un espace vectoriel et N , N 0 deux normes sur E. Alors N et N 0 sont
équivalentes si et seulement si toute suite qui converge pour l’une converge pour l’autre.
Exercice: On définit sur R[x] les normes d’un polynôme
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2. On dit que A est un sous-ensemble fermé de E si et seulement si E \ A est ouvert.
Remarque 7.2. • Un ensemble peut être ni ouvert ni fermé.
• Un ensemble peut être à la fois ouvert et fermé.
Exemples:
• Z est un sous-ensemble fermé, non ouvert de R.
• Toute réunion d’ouverts est un ouvert.
Propriétés:
• Toute reunion d’ouverts est un ouvert.
• Toute intersection de fermés est un fermé.
Proposition 8.2. Soit (E, d) un espace métrique. Toute boule fermée de E est sous-ensemble fermé de
E.
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9 Continuité de fonctions entre deux espaces vectoriels normés
/ espaces métriques
Définition 9.1. Soient (E, d) et (E 0 , d0 ) deux espaces métriques, f : E −→ E 0 , et a ∈ E.
Remarque 9.2. 1. L’identité d’un espace dans lui même est continue.
2. Si f et g sont continues, alors g ◦ f est continue.
3. Les projections de Kn dans K sont continues.
Exemples:
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11 Comment montrer qu’un ensemble n’est pas ouvert? ou pas
fermé?
Dans cette séquence, on expose une méthode pratique pour montrer qu’un sous-ensemble d’un espace
métrique n’est pas ouvert, ou qu’il n’est pas fermé. Cette méthode est basée sur la caractérisation
séquentielle des fermés, c’est à dire la caractérisation des fermés en termes de suites convergentes:
Théorème 11.1 (Caractérisation séquentielle des fermés). Soit (E, d) un espace métrique, et A ⊂ E.
Alors A est un fermé de E si et seulement si pour toute suite (an )n d’éléments de E, si (an )n est
convergente vers un élément a ∈ E, alors a ∈ A.
Remarque 11.2. 1. Le théorème précédent ne dit pas que toute suite déléments de A est convergente.
Il dit que si jamais elle converge, alors sa limite doit être dans A. Autrement dit, si A est fermé,
on ne peut pas avoir une suite d’éléments de A qui converge vers un élément qui n’est pas dans A.
2. Pour montrer qu’un ensemble A ⊂ E n’est pas fermé, il suffit de trouver une suite d’éléments de
A qui converge vers un élément de E \ A.
Exemple: Dans l’espace vectoriel normé R2 , on considère l’ensemble A des point strictement au dessous
de la parabole d’équation y = x2 :
A = {(x, y) ∈ R2 : y < x2 }.
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Alors A n’est pas fermé dans E, car la suite (0, − ) est une suite d’éléments de A, qui converge
n n∈N∗
vers le point (0, 0), qui lui n’est pas dans A.
Le critère précédent permet aussi de montrer que qu’un ensemble n’est pas ouvert, en montrant que sont
complémentaire n’est pas fermé. On a alors le résultat suivant:
Remarque 11.3. Pour montrer qu’un ensemble A ⊂ E n’est pas ouvert, il suffit de trouver une suite
d’éléments de E \ A qui converge vers un élément de A.
Exercice:
1. Soit A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 − y − xy 2 + z = 0}. Alors A n’est pas un ouvert de R3 .
2. Soit A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + xy 2 < 0}. Alors A n’est pas un ouvert de R2 .
3. Q n’est ni ouvert ni fermé de R.
Terminologie et notations:
• L’ensemble des point intérieurs à A s’appelle l’intérieur de A, et est noté par Å.
• L’ensemble des point adhérents à A s’appelle l’adhérence de A, et est noté par A.
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• La fontière de A, notée par F r(A), est l’ensemble des points adhérents et non intérieurs à A.
Proposition 12.2. Soit (E, d) un espace métrique et A ⊂ E.
• Å ⊂ A ⊂ A
3. Q̊
4. Q
5. ]a,˚b[
6. ]a, b[
13 Compacité
Définition 13.1. Soit (E, d) un espace métrique et A ⊂ E. On dit que A est compact si et seulement
si toute suite d’éléments de A admet une sous suite qui converge dans A.
Remarque 13.2. Ceci revient à dire que toute suite d’éléments de A admet une valeur d’adhérence
dans A
Exemples:
• Si A est fini, alors A est compact.
• R n’est pas compact.
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14 Compacité: Théorèmes de Bolzano-Weierstrass et Heine-
Borel
Théorème 14.1 (Bolzano-Weierstrass). Une suite bornée de R admet au moins une valeur d’adhérence.
Corollaire 14.2. Une suite bornée de Kn admet au moins une valeur d’adérence.
Théorème 14.3 (Heine-Borel). Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, et A ⊂ E.
Alors A est compact si et seulement si A est fermé borné.
Soit n ∈ N∗ . Montrer que le groupe linéaire GLn (C) est un ouvert dense de Mn (C).
17 Exercice: GLn (C) est connexe par arcs, GLn (R) ne l’est pas
Soit n ∈ N∗ . Montrer que GLn (R) n’est pas connexe par arcs, alors que GLn (C) l’est.
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19 Un théorème de point fixe
Soit K une partie compacte d’un espace métrique E, et f : E −→ E vérifiant
1. Montrer que f admet un unique point fixe. Indication: considérer la fonction g(x) := d(f (x), x)
2. Soit u0 ∈ K et un+1 = f (un ). Montrer que la suite (un )n converge vers le point fixe de f .
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