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    Université Cadi Ayyad Année universitaire 2017/2018

    Faculté des Sciences Semlalia SMA/S4/Algèbre5


    Département de Mathématiques

    Contrôle final (Durée 2h)


    06 juin 2018

    Exercice 1
    Soit E = M2 (R) le R-espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2 et soit H un
    hyperplan de E. On pose
           
    1 0 0 1 0 0 0 0
    E11 = E12 = E21 = E22 =
    0 0 0 0 1 0 0 1
    1. Montrer que (E11 , E12 , E21 , E22 ) est une base de E.
    2. Montrer qu’il existe (α11 , α12 , α21 , α22 ) ∈ R4 tel que
      
    a11 a12
    H= ∈ E : α11 a11 + α12 a12 + α21 a21 + α22 a22 = 0
    a21 a22
    3. Supposons αij 6= 0 pour (i, j) = (1, 2) ou (i, j) = (2, 1). Posons
    α11 + α22
    Aij = E11 + E22 − Eij .
    αij
    Montrer que Aij ∈ H ∩ GL2 (R).
    4. Supposons que α12 = α21 = 0 et soit A = E12 + E21 . Montrer que A ∈ H ∩ GL2 (R).
    5. Conclure.

    Exercice 2
    Soit q la forme quadratique sur R4 donnée par :
    q((x, y, z, t)) = 2x2 + 2y 2 − z 2 + t2 − 4xy + 4xt − 4yt + 2zt, ∀(x, y, z, t) ∈ R4
    1. Donner la matrice de q dans la base canonique de R4 .
    2. Décomposer la forme quadratique q en somme de carrés de formes linéaires linéaire-
    ment indépendantes.
    3. En déduire le rang et la signature de q.
    4. La forme quadratique q est-elle dégénérée ? Justifier votre réponse.
    5. La forme quadratique q est-elle positive ? Justifier votre réponse.
    6. Déterminer une base q-orthogonale de R4 .
    7. Déterminer le noyau de q.
    8. Déterminer le cône isotrope de q.

    1
    Exercice 3
    Soit E un espace euclidien de dimension n ≥ 1. Un endomorphisme f de E est dit normal
    (resp. antisymétrique) si f ◦ f ∗ = f ∗ ◦ f (resp. f ∗ = −f ). On note S(E) (resp. A(E)) le
    sous-espace vectoriel de L(E) des endomorphismes symétriques (resp. antisymétriques) de
    E.
    1. Montrer que L(E) = S(E) ⊕ A(E).
    2. Soit f ∈ L(E) et f = g + h, avec g ∈ S(E) et h ∈ A(E).
    Montrer que f est normal si, et seulement si g ◦ h = h ◦ g.
    3. Soit f un endomorphisme normal de E. Montrer que

    ||f (u)|| = ||f ∗ (u)||, ∀u ∈ E.

    4. Soit f ∈ L(E) tel que ||f (u)|| = ||f ∗ (u)||, ∀u ∈ E. Montrer que f est normal.
    5. Soit f ∈ L(E).
    Montrer que f est antisymétrique si, et seulement si hf (u), ui = 0, ∀u ∈ E.
    6. Montrer que si f est un endomorphisme normal de E alors Ker(f ) = Im(f )⊥ .
    7. Soit f une projection vectorielle de E.
    Montrer que f est normal si, et seulement si f est une projection orthogonale.
    8. Soit f ∈ L(E) tel que f ◦ f = IdE (f est une symétrie vectorielle).
    Montrer que f est normal si, et seulement si f est une symétrie orthogonale.

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