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    TD 12020

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    sur 3

    Université Cadi-Ayyad 2020-2021

    F.S.T.G

    Master Géométrie, Analyse et Applications


    Module Géométrie différentielle, TD 1
    Mohamed Boucetta

    Exercice 1 1. Montrer que les équations x2 + y 2 + z 2 = 14 et x3 + y 3 + z 3 = 36


    définissent une sous-variété L de R3 dont on déterminera la dimension.
       
    a b 2
    2. Soit N = M = , M 6= 0, M = 0 .
    c d
    (a) Montrer que M ∈ N si et seulement si (det M, tr(M )) = (0, 0).
    (b) Montrer que N est une sous-variété de M2 (R) de dimension 2.

    Exercice 2 Motrer que les ensembles suivants sont des sous-variétés d’un certain Rn et
    déterminer leur espaces tangents :

    {(x, y, z) ∈ R3 /x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 1};


    {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 = 1 et x2 + y 2 − x = 0}.
       
    a b 2
    Exercice 3 1. Soit N = M = , M 6= 0, M = 0 .
    c d
    (a) Montrer que M ∈ N si et seulement si (det M, tr(M )) = (0, 0).
    (b) Montrer que N est une sous-variété de M2 (R) de dimension 2 et déterminer
    TM N for M ∈ N .

    Exercice 4 Soit N = (0, . . . , 0, 1) le pôle nord dans S n ⊂ Rn+1 et soit S = −N le pôle


    sud. Définissons la projection stéréographique σ : S n \ {N } −→ Rn par

    (x1 , . . . , xn )
    σ(x1 , . . . , xn+1 ) = .
    1 − xn+1

    e(x) = −σ(−x) pour x ∈ S n \ {S}.


    Soit σ
    1. Montrer que, pour tout x ∈ S n \ {N }, σ(x) est le point où la droite passant par N
    et x rencontre l’hyperplan xn+1 = 0 identifié à Rn .
    D’une manière similaire, montrer que σ e(x) est le point où la droite passant par S
    et x rencontre le même hyperplan.
    2. Montrer que σ est bijective et

    (2u1 , . . . , 2un , |u|2 − 1)


    σ −1 (u1 , . . . , un ) = .
    |u|2 + 1

    c) Calculer le changement de cartes σ e ◦ σ −1 et vérifier que l’atlas contenant les


    deux cartes (S n \ {N }, σ) et (S n \ {S}, σ
    e) munit S n d’une structure de variété
    différentiable de dimension n.
    Exercice 5 Soit M n ⊂ Rn+k une sous-variété et p ∈ M n . On définit

    Tp M = {c0 (0) : c :] − , [−→ M n , C 1 , c(0) = p}.

    Montrer que Tp M est un sous-espace vectoriel de Rn+k de dimension n.

    Exercice 6 Grassmaniennes

    On note Vk,n le sous-ensemble de (Rn )k des k−tuples (v1 , . . . , vk ) de vecteurs dans Rn


    linéairement indépendants. Soit Gk,n le quotient de Vk,n par la relation d’équivalence qui
    consiste deux k−tuples qui engendrent le même sous-espace vectoriel. Gk,n est l’ensemble
    des sous-espaces vectoriels Rn de dimension k. G1,n est égal au projectif réel de dimension
    n − 1.
    1. Montrer que Vk,n est un ouvert de (Rn )k .
    2. Montrer que Gk,n est un espace topologique (pour la topologie quotient) qui est de
    Hausdorff et compact.
    3. Soit X un élément de Gk,n . On note UX l’ensemble des Y dans Gk,n tel que Y ∩
    X ⊥ = 0. On définit TX : UX −→ L(X, X ⊥ )de la manière suivante : pour tout
    Y ∈ UX et tout x ∈ X, il existe un unique vecteur z(x) ∈ Y qui se projette
    orthogonalement sur x , TX (Y ) est la projection orthogonale de z(x) sur X ⊥ .
    Montrer que (UX , TX ))X∈Gk,n est un atlas C ∞ qui munit Gn,k d’une structure de
    variété différentiable de dimension k(n − k).

    Exercice 7 On considère F : S 3 −→ S 2 définie par

    F (z, w) = (z w̄ + z̄w, −ız w̄ + ız̄w, z z̄ − ww̄).

    Monter que F est bien définie, de classe C ∞ et calculer son rang en tout point (z, w) ∈
    S 3 = {(z, w) ∈ C2 , |z|2 + |w|2 = 1}.

    Exercice 8 Une surjection du projectif sur la sphère de même dimension

    1. (a) Montrer que le sous-ensemble des points de P n R dont une coordonnées homgène
    (la première par exemple) est nulle est une sous-variété difféomorphe à P n−1 R.
    (b) On considère l’application de Rn+1 \ {0} dans Rn+1 définie par

    −t2 + ||x||2
     
    2tx1 2txn
    (t, x1 , . . . , xn ) 7→ 2 ,..., 2 , ,
    t + ||x||2 t + ||x||2 t2 + ||x||2
    n
    X
    2
    où ||x|| = x2i . Montrer que cette application définit par passage au quo-
    i=1
    tient une application p : P n R −→ S n qui est différentiable. Quelle est l’image
    réciproque du pôle nord N = (0, . . . , 0, 1) et du pôle sud S = (0, . . . , 0, −1) ?
    (c) En utilisant la projection stéréographique du pôle N , montrer que p induit un
    difféomorphisme de P n R \ p−1 (N ) sur S n \ {N }.
    (d) Que peut-on dire de p pour n = 1.

    Page 2
    (e) Montrer que le sous-ensemble des points de P n R dont une coordonnées homgène
    ( la première par exemple) est nulle est connexe. En admettant le fait que
    le complémentaire dans S 2 d’une courbe fermée simple a deux composantes
    connexes, déduire que P 2 R n’est pas homéomorphe à S 2 .
    2. On considère l’application de Cn+1 \ {0} dans Cn × R définie par

    ||z||2 − |u|2
     
    2uz1 2uzn
    (u, z1 , . . . , zn ) 7→ ,..., 2 , ,
    |u|2 + ||z||2 |u| + ||z||2 |u|2 + ||z||2
    n
    X
    où ||z||2 = zi2 . En imitant ce qui précède, montrer qu’on peut définir ainsi une
    i=1
    application lisse q de P n C dans S 2n qui induit un difféomorphisme entre P n C \
    P n−1 C et S 2n \ {N }. Que se passe-t-il pour n = 1 ?

    Page 3

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