Exercice 1 1. Montrer que les équations x2 + y 2 + z 2 = 14 et x3 + y 3 + z 3 = 36
définissent une sous-variété L de R3 dont on déterminera la dimension.
a b 2 2. Soit N = M = , M 6= 0, M = 0 . c d (a) Montrer que M ∈ N si et seulement si (det M, tr(M )) = (0, 0). (b) Montrer que N est une sous-variété de M2 (R) de dimension 2.
Exercice 2 Motrer que les ensembles suivants sont des sous-variétés d’un certain Rn et déterminer leur espaces tangents :
{(x, y, z) ∈ R3 /x3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 1};
{(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 = 1 et x2 + y 2 − x = 0}.
a b 2 Exercice 3 1. Soit N = M = , M 6= 0, M = 0 . c d (a) Montrer que M ∈ N si et seulement si (det M, tr(M )) = (0, 0). (b) Montrer que N est une sous-variété de M2 (R) de dimension 2 et déterminer TM N for M ∈ N .
Exercice 4 Soit N = (0, . . . , 0, 1) le pôle nord dans S n ⊂ Rn+1 et soit S = −N le pôle
sud. Définissons la projection stéréographique σ : S n \ {N } −→ Rn par
Soit σ 1. Montrer que, pour tout x ∈ S n \ {N }, σ(x) est le point où la droite passant par N et x rencontre l’hyperplan xn+1 = 0 identifié à Rn . D’une manière similaire, montrer que σ e(x) est le point où la droite passant par S et x rencontre le même hyperplan. 2. Montrer que σ est bijective et
(2u1 , . . . , 2un , |u|2 − 1)
σ −1 (u1 , . . . , un ) = . |u|2 + 1
c) Calculer le changement de cartes σ e ◦ σ −1 et vérifier que l’atlas contenant les
deux cartes (S n \ {N }, σ) et (S n \ {S}, σ e) munit S n d’une structure de variété différentiable de dimension n. Exercice 5 Soit M n ⊂ Rn+k une sous-variété et p ∈ M n . On définit
Tp M = {c0 (0) : c :] − , [−→ M n , C 1 , c(0) = p}.
Montrer que Tp M est un sous-espace vectoriel de Rn+k de dimension n.
Exercice 6 Grassmaniennes
On note Vk,n le sous-ensemble de (Rn )k des k−tuples (v1 , . . . , vk ) de vecteurs dans Rn
linéairement indépendants. Soit Gk,n le quotient de Vk,n par la relation d’équivalence qui consiste deux k−tuples qui engendrent le même sous-espace vectoriel. Gk,n est l’ensemble des sous-espaces vectoriels Rn de dimension k. G1,n est égal au projectif réel de dimension n − 1. 1. Montrer que Vk,n est un ouvert de (Rn )k . 2. Montrer que Gk,n est un espace topologique (pour la topologie quotient) qui est de Hausdorff et compact. 3. Soit X un élément de Gk,n . On note UX l’ensemble des Y dans Gk,n tel que Y ∩ X ⊥ = 0. On définit TX : UX −→ L(X, X ⊥ )de la manière suivante : pour tout Y ∈ UX et tout x ∈ X, il existe un unique vecteur z(x) ∈ Y qui se projette orthogonalement sur x , TX (Y ) est la projection orthogonale de z(x) sur X ⊥ . Montrer que (UX , TX ))X∈Gk,n est un atlas C ∞ qui munit Gn,k d’une structure de variété différentiable de dimension k(n − k).
Exercice 7 On considère F : S 3 −→ S 2 définie par
F (z, w) = (z w̄ + z̄w, −ız w̄ + ız̄w, z z̄ − ww̄).
Monter que F est bien définie, de classe C ∞ et calculer son rang en tout point (z, w) ∈ S 3 = {(z, w) ∈ C2 , |z|2 + |w|2 = 1}.
Exercice 8 Une surjection du projectif sur la sphère de même dimension
1. (a) Montrer que le sous-ensemble des points de P n R dont une coordonnées homgène (la première par exemple) est nulle est une sous-variété difféomorphe à P n−1 R. (b) On considère l’application de Rn+1 \ {0} dans Rn+1 définie par
−t2 + ||x||2
2tx1 2txn (t, x1 , . . . , xn ) 7→ 2 ,..., 2 , , t + ||x||2 t + ||x||2 t2 + ||x||2 n X 2 où ||x|| = x2i . Montrer que cette application définit par passage au quo- i=1 tient une application p : P n R −→ S n qui est différentiable. Quelle est l’image réciproque du pôle nord N = (0, . . . , 0, 1) et du pôle sud S = (0, . . . , 0, −1) ? (c) En utilisant la projection stéréographique du pôle N , montrer que p induit un difféomorphisme de P n R \ p−1 (N ) sur S n \ {N }. (d) Que peut-on dire de p pour n = 1.
Page 2 (e) Montrer que le sous-ensemble des points de P n R dont une coordonnées homgène ( la première par exemple) est nulle est connexe. En admettant le fait que le complémentaire dans S 2 d’une courbe fermée simple a deux composantes connexes, déduire que P 2 R n’est pas homéomorphe à S 2 . 2. On considère l’application de Cn+1 \ {0} dans Cn × R définie par
||z||2 − |u|2
2uz1 2uzn (u, z1 , . . . , zn ) 7→ ,..., 2 , , |u|2 + ||z||2 |u| + ||z||2 |u|2 + ||z||2 n X où ||z||2 = zi2 . En imitant ce qui précède, montrer qu’on peut définir ainsi une i=1 application lisse q de P n C dans S 2n qui induit un difféomorphisme entre P n C \ P n−1 C et S 2n \ {N }. Que se passe-t-il pour n = 1 ?
