TMS 1/8

FONCTION LOGARITHME
A la fin du16i ème siècle les calculs pour la navigation les banques ou l’astronomie sont très lourds ,car fondés
essentiellement sur la multiplication de nombres aux très nombreux chiffres avant et après la virgule
En 1614 Jean Neper (1550-1617) mathématicien écossais ,publie un traité dans lequel il introduit la notion
de logarithme (du grec « logo »et arithmos « nombre ») à partir d’un exemple cinématique .Il y écrit des tables
numériques à 2 colonnes où il remplace des multiplications et divisions par des additions et des soustractions
En 1617 Henry Briggs (1561-1630) mathématicien anglais publie la première table de logarithmes
décimaux :1000 valeurs sont données avec 14 décimales
Vers 1905 Bouvart et Ratinet publient une table de logarithmes qui donne le logarithme décimal des nombres
de 1 à 10000.Cette table est utilisée dans les lycées avant d’être remplacée par la calculatrice

I-FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

II-PROPRIETES DE LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

III-ETUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

Séries Pages 330 à 345 Pour le :

Série 1 32,36,46,49 a,50,59
Série 2 64,72,85,102
85 : lire f (x) = 0
Série 3 127,130
Série 4 147,148
TP 137 page 340
TMS 2/8

ANALYSE 4 -FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

I-FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

A-Définition

La fonction exponentielle étudiée l’année dernière est dérivable (donc continue)et croissante sur R
De plus lim e x = +∞ et lim e x = 0+
x→+∞ x→−∞
Il en résulte d’après l’extension du théorème des valeurs intermédiaires que :
-L’image de R par la fonction x −→ e x est ]0; +∞[
-Pour tout nombre x > 0 ,il existe un nombre y et un seul tel que e y = x
A chaque nombre réel x > 0 on peut associer un unique réel y
On définit ainsi une fonction de ]0; +∞[ dans R
Définition 1:
La fonction logarithme népérien ,notée ln,est définie sur ]0; +∞[
Elle associe à tout nombre réel x strictement positif le nombre y noté ln (x) dont l’exponentielle est x
Conséquences immédiates :

1. Pour tout nombre réel x > 0,e ln x = x

2. Pour tout nombre réel x, ln e x = x
3. ln(1)=0
4. ln(e)=1

Théorème 1:
Pour tout nombre réel a strictement positif et pour tout nombre b :

ln a = b ⇔ a = e b

DEMONSTRATION

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Conséquences graphiques :
8

Les courbes de x 7−→ ln x et de x 7−→ e x 3 y = ex

sont symétriques par rapport à la première
bissectrice M
2
y =x

M0
1 2

−1 y = l n(x)

−2

−3
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B-Sens de variation

Théorème 2:
La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[
DEMONSTRATION

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Conséquence :
Pour tous nombres réels a et b strictement positifs :
1. ln a = ln b ⇔ a = b
2. ln a < ln b ⇔ a < b

PROPRIETES DE LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

Propriété fondamentale

Théorème 3:
Pour tous nombres a et b strictement positifs ,ln (ab) = ln a + ln b
DEMONSTRATION

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Conséquences de la propriété fondamentale

Théorème 4: ³a´
Pour tous nombres a et b strictement positifs ,ln = ln a − ln b
µ ¶ b
1
En particulier ln = − ln b
b
DEMONSTRATION

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Théorème 5:
Pour tout entier relatif n et pour tout nombre réel a > 0 ,ln a n = n ln a
DEMONSTRATION

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Théorème 6:
p 1
Pour tout a > 0 ,ln a = ln a
2
DEMONSTRATION

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TMS 4/8

EXEMPLE

1. Simplifier ln 4−3 + 5 ln 2 =
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p 1 5
2. Simplifier ln 3 + ln =
2 3
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3. Trouver le plus petit entier n tel que 3(0.75)n ≤ 10−4

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EXERCICE
p
5 1
1. Exprimer en fonction de ln 5 l’expression ln 125 + ln − 2 ln
5 125
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p
1 p e
2. Calculer 5 − ln 2 + 2 ln 2 e 3 − ln ( −2 )
e e
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3. Trouver le plus petit entier n tel que 2(1.75)n ≥ 106

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EXEMPLE
Résoudre l’équation ln (3x − 4) = ln (x 2 − 4)
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TMS 5/8

EXERCICE

1 p
1. Résoudre l’équation ln (2x) = ln (3 − x) − ln x + 1
2
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2. Résoudre l’inéquation ln x ≤ ln (x 2 − 2x)

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3. Résoudre dans R e 2x − 2e x − 8 > 0

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III-Etude de la fonction logarithme népérien

A-Dérivée de la fonction ln

Théorème 7:
1
La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ et sa dérivée est égale à
x
DEMONSTRATION

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Corollaire:
u st une fonction dérivable sur un intervalle I strictement positive sur I alors la fonction f définie par :
u 0 (x)
f (x) = ln (u(x)) est dérivable sur I et f 0 (x) =
u(x)
EXEMPLE
Donner la dérivée de
f (x) = ln (x 2 − 1) sur ]−∞; −1[ U ]1; +∞[
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Propriété:
La fonction ln est concave
x
Conséquence : Pour tout x > 0, ln x <
e
DEMONSTRATION

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B-Limites et courbe de la fonction ln

Théorème 8:
• lim ln x = +∞
x→+∞
• lim ln x = −∞
x→0+
DEMONSTRATION

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TMS 7/8

5
x 0 1 +∞

4
f 0 (x) +

+∞ 3

ln 0 2
−∞

La fonction l n est donc dérivable ,strictement croissante 1

et admet l’axe des ordonnées comme asymptote verticale

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

C-Des limites importantes

Théorème 9:
ln (x + 1) ln x
• lim = 1 • lim =0 • lim x × ln x = 0
x→0 x x→+∞ x x→0
DEMONSTRATION

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EXEMPLE
Calculer les limites de f (x) = ln (e x + 1) − x sur R
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TMS 8/8

EXERCICE
Donner les limites aux bornes du domaine de définition des fonctions suivantes
x − ln x
1. f (x) = sur I=]0; +∞[
x
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1
2. f (x) = + ln x sur I=]0; +∞[
x
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ln x
3. f (x) = + x sur I=]0; +∞[
x
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EXERCICE
Soit f la fonction définie sur I=]1; +∞[ par f (x) = x + ln (x 2 − 1)
1. Etablir le tableau de variations de f sur I=]1; +∞[
2. Montrer que f (x) = 0 admet une solution unique α sur I=]1; +∞[ et donner une valeur approchée de α à 10−3 près
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