Topologie 2
Topologie 2
Topologie 2
Licence de Mathématiques
Université de Rennes 1
Francis Nier
Dragoş Iftimie
Introduction
Ce cours s’adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour
objectif de donner les bases en topologie indispensables à toute formation en
mathématiques. Il ne s’agit pas d’un traité complet sur le sujet, qui n’est pas
neuf. De nombreux livres parfois très fournis (ceux donnés dans la bibliographie
par exemple) existent déjà. Nous avons cherché, compte tenu des contraintes de
volume horaire, d’acquis des étudiants en premier cycle et d’exigences pour la
suite du cursus, à dégager les points clés permettant de structurer le travail per-
sonnel de l’étudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Par exemple,
il nous a semblé important de ne pas nous limiter aux espaces métriques de
façon à ce que le langage de la topologie générale ne soit plus un nouvel obstacle
à franchir (de plus les topologies non métrisables arrivent très vite : conver-
gence simple, topologies produit, quotient, de Zariski. . .). Nous avons laissé de
côté, en le signalant, la notion de filtre qui à ce niveau introduirait plus de
confusion qu’autre chose mais qui après coup ne présentera pas de difficulté
majeure pour l’étudiant ayant assimilé ce cours. De la même façon, nous avons
évité les discussions autour de l’axiome du choix, nous limitant au niveau de
la théorie des ensembles aux opérations ensemblistes rappelées dans le premier
exercice. Ainsi le théorème de Tychonoff est démontré dans le cas métrisable.
De même, on ne parle pas du théorème de Hahn-Banach qui s’intégre plus
naturellement dans un cours d’Analyse Fonctionnelle, mais il y a un ou deux
exercices sur la séparation des convexes en dimension finie.
Nous avons inclus dans ce texte une liste d’exercices. Ceux-ci de difficulté variée
répondent à une double nécessité. Il est important de jongler avec les différents
concepts introduits en cours et même de faire certaines erreurs une fois pour
bien identifier les pièges. Les exercices permettent d’orienter les raisonnements
vers d’autres domaines des mathématiques (algèbre, analyse, géométrie), cela
afin d’exhiber l’intérêt et l’omniprésence des arguments topologiques.
Les choses supposées connues correspondent au programme du premier cycle.
Elles interviennent dans les démonstrations et dans les exemples qui donnent
corps aux nouvelles définitions. Il s’agit de
1) Techniques ensemblistes : opérations ensemblistes, relations, fonctions, no-
tion de dénombrabilité.
2) Analyse élémentaire sur la droite réelle R : Le corps des réels défini comme
corps archimédien contenant Q et vérifiant la propriété de la borne
supérieure, suites réelles, intervalles, fonctions continues de R dans R,
dérivation.
3) Algèbre linéaire et bilinéaire : Espaces vectoriels, bases, applications linéaires,
calcul matriciel, déterminants, produit scalaire.
4) Fonctions de plusieurs variables, dérivées partielles.
5) Convexité d’un ensemble, d’une fonction.
1 Espaces métriques,
Espaces topologiques. 1
1.1 Espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Propriétés de la distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Parties bornées, fonctions bornées . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.6 Distance entre deux parties, diamètre . . . . . . . . . . . 5
1.1.7 Norme, espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Définition, ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Topologie des espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Exemples d’espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.6 Bases d’ouverts, bases de voisinages . . . . . . . . . . . . 10
1.2.7 Sous-espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Adhérence, intérieur, extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Frontière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Espace topologique séparé, unicité de la limite . . . . . . 17
1.4.3 Limite et adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Limite d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 Continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.4 Homéomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.5 Uniforme continuité et Lipschitz continuité . . . . . . . . 24
2 Connexité 41
2.1 Définition, exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.2 Exemple fondamental : les connexes de R. . . . . . . . . 42
2.2 Fonctions continues et connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Union, adhérence et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 ”Union” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.2 Adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Compacité 47
3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Compacité des espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Propriétés des compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 Compacts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Union, intersection, produit . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Fonctions continues et compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.1 Image d’un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.2 Compact et uniforme continuité . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 Espaces de Hilbert 91
7.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.1.1 Espaces préhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.1.2 Espaces hilbertiens, Théorème de la projection . . . . . . 93
7.2 Applications du Théorème de la projection . . . . . . . . . . . . 96
7.2.1 Sous-espace orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2.2 Théorème de représentation de Riesz . . . . . . . . . . . 98
7.2.3 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8 Exercices 103
8.1 Espaces métriques. Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . 103
8.2 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.4 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.5 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Espaces métriques,
Espaces topologiques.
1.1.1 Définitions
Définition 1.1.1. Soit X un ensemble. Une distance sur X est une application
d : X × X → R vérifiant 2 pour tout x, y, z ∈ X :
i) (d(x, y) = 0) ⇔ (x = y) ;
ii) d(y, x) = d(x, y) (symétrie) ;
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire).
Définition 1.1.2. Un espace métrique est un couple (X, d) où X est un en-
semble et d est une distance sur X.
1
En topologie, on préfère parler de points plutôt que d’éléments d’un ensemble. Cette
nuance traduit mieux l’intuition “géométrique”.
2
Il n’est pas nécessaire de mettre dans la définition de la distance d(x, y) ∈ R+ . C’est
une conséquences des axiomes i), ii) et iii) comme le montre la Proposition 1.1.4.
∀x, y ∈ X, d(x, y) ≥ 0.
b) ”La distance entre les distances est plus petite que la distance” :
1.1.3 Boules
Définition 1.1.5. Soit (X, d) un espace métrique, soit x ∈ X et soit r ∈
R∗+ . On appelle boule ouverte (resp. boule fermée) de centre x et de rayon r
l’ensemble
Pour 0 < r < r0 les inclusions B(x, r) ⊂ Bf (x, r) ⊂ B(x, r0 ) sont des conséquen-
ces directes de la définition. Dans les exemples ci-dessous on peut voir que ces
inclusions sont souvent strictes mais pas toujours (Voir l’exemple f) ci-dessous).
∀x ∈ A, d(x0 , x) ≤ r.
Compte tenu de la remarque ci-dessus sur les inclusions des boules, il est clair
que l’on peut remplacer l’ adjectif “fermée” par “ouverte”. De plus l’inégalité
triangulaire entraı̂ne que le caractère borné de A ne dépend pas du choix de
x0 (avec un x00 il suffit de remplacer r par r0 = r + d(x0 , x00 )).
Définition 1.1.7. Soit X un ensemble et (Y, d) un espace métrique. Si X
est un ensemble on dit qu’une fonction f : X → Y est bornée si son image
f (X) est bornée. On note Fb (X; Y ) le sous-ensemble de F(X; Y ) = Y X des
fonctions bornées.
1.1.5 Exemples
a) R : La distance usuelle est donnée par d(x, y) = |x − y|. Les boules sont
des intervalles. Pour x ∈ R et r ∈ R∗+ , on a B(x, r) =]x − r, x + r[ et
Bf (x, r) = [x − r, x + r].
b) C : On remplace la valeur absolue par le module d(x, y) = |x − y|. La boule
ouverte de centre x ∈ C et de rayon r > 0, B(x, r), est le disque ouvert
de centre x et de rayon r et Bf (x, r) est le disque fermé.
c) Kn avec K = R ou C : On peut alors définir plusieurs distances faisant in-
tervenir les distances entre les composantes. Pour deux éléments arbi-
traires de Kn , x = (x1 , . . . , xn ) et y = (y1 , . . . , yn ), on pose :
n n
X X 21
d1 (x, y) = |yi − xi |, d2 (x, y) = |yi − xi |2
i=1 i=1
et d∞ (x, y) = max |yi − xi |.
i∈{1,...,n}
On vérifie aisément que d1 et d∞ sont des distances (i.e. vérifient les pro-
priétés i),ii) et iii)) tandis que d2 n’est rien d’autre que la distance eucli-
dienne (On rappelle qu’alors l’inégalité triangulaire iii) est une conséquen-
ce de l’ inégalité de Cauchy-Schwarz). Dans R2 les boules de centre 0 et
de rayon 1 ont la forme suivante :
+1 +1 +1
−1 +1 −1 +1 −1 +1
−1 −1 −1
d1 d2 d∞
d) Produit fini d’espaces métriques : Si pour i ∈ {1, . . . , n}, (Xi , δi ) est un
espace métrique, on peut mettre comme précédemment les distances d1 ,
où x =
Qn(x1 , . . . , xn ) et y = (y1 , . . . , yn ) sont deux éléments arbitraires de
X = i=1 Xi .
e) Distance de la convergence uniforme sur Fb (X, Y ) : Si (Y, δ) est un espace
métrique et X est un ensemble. L’ensemble Fb (X; Y ) peut être muni de
la distance
a b x
La boule de centre f et de rayon r est l’ensemble des fonctions dont
le graphe se trouve entre les 2 courbes en pointillés (déduites de f par
translation parallèlement à l’axe des ordonnées). Ici, on a d∞ (f, g) ≤ r.
f ) Distance triviale : Sur un ensemble X quelconque on peut mettre la dis-
tance triviale donnée par
0 si x = y
∀x, y ∈ X, d(x, y) =
1 sinon.
(ϕ(u) = 0) ⇔ (u = 0)
∀u, v ∈ R+ , ϕ(u) ≤ ϕ(u + v) ≤ ϕ(u) + ϕ(v)
croissante sous−additive
Alors ϕ ◦ d est une distance sur X (cf. Exercice 5). Deux cas particu-
u
liers sont intéressants : ϕ(u) = min{1, u} et ϕ(u) = 1+u . Les distances
d(x,y)
min{1, d(x, y)} et 1+d(x,y) ont la propriété d’être bornées par 1 sur X
et (on le verra plus loin) d’être topologiquement équivalentes à la dis-
tance d (cf. Paragraphe 1.6.2). Quand on regardera les propriétés to-
pologiques d’un espace métrique on pourra donc toujours supposer la
distance bornée.
1.2.3 Fermés
Définition 1.2.5. Dans un espace topologique (X, O) on appelle fermé toute
partie de X dont le complémentaire est un ouvert. On note F la famille de
tous les fermés. En résumé on a
(f ∈ F) ⇔ {X F ∈ O .
1.2.5 Voisinages
Définition 1.2.11. Soit (X, T ) un espace topologique et soit x ∈ X. On ap-
pelle voisinage de x dans X, toute partie de X contenant un ouvert contenant
x. On note V(x) l’ensemble des voisinages de x :
V(x) = {V ∈ P(X), ∃O ∈ O, x ∈ O ⊂ V }.
Proposition 1.2.12. Si (X, d) est un espace métrique et x ∈ X, on a
V(x) = {V ∈ P(X), ∃r > 0, B(x, r) ⊂ V }.
(O ∈ O) ⇔ (∀x ∈ O, O ∈ V(x)) .
ωx = ∪ ω.
x∈ω⊂O
ω ouvert
On a alors
O = ∪ {x} ⊂ ∪ ωx ⊂ O
x∈O x∈O
tout ouvert s’écrit comme union de boules ouvertes. Cette situation est en fait
générale. Il est souvent plus facile de décrire certains ouverts particuliers qui
engendrent l’ensemble de tous les ouverts par union quelconque et intersection
finie (les opérations permises par (O1) et (O2)). D’où la définition suivante.
Définition 1.2.16. Soit (X, T ) un espace topologique. On dit qu’une famille B
d’ouverts est une base d’ouverts de (X, T ) si tout ouvert O ∈ O s’écrit comme
réunion quelconque d’intersections finies d’éléments de B.
REMARQUE 1.2.17. On notera qu’au niveau ensembliste une intersection finie
d’unions peut s’écrire comme union d’intersections finies (cf. Exercice 1).
Pour les mêmes raisons, on introduit la notion de base de voisinages.
Définition 1.2.18. Soit (X, T ) un espace topologique et soit x ∈ X. On dit
que BV(x) ⊂ V(x) est une base de voisinages de x si tout voisinage V de x
contient un élément W de BV(x).
On vérifie facilement la
Proposition 1.2.19. Si (X, d) est un espace métrique alors on a
i) Tout point x ∈ X admet une base dénombrable de voisinages
1
BV(x) = B x, n+1 , n∈N .
1
ii) B = {B(x, n+1 ), n ∈ N, x ∈ X} est une base d’ouverts de (X, d).
REMARQUE 1.2.20. La propriété i) est une propriété très importante des
espaces métriques. Elle n’est pas vraie en général. Sous certaines hypothèses
supplémentaires, il s’agit même d’une propriété caractéristique des espaces
métriques.
Enfin les bases de voisinages sont très utiles pour exprimer que des propriétés
sont vraies localement dans un espace topologique.
Définition 1.2.21. On dit qu’un espace topologique est localement truc si il
admet en tout point une base de voisinages truc.
Ainsi on peut dire que R et même tout espace métrique est localement borné.
On parle de même de localement fermé, localement connexe, localement com-
pact, localement convexe (dans les espaces vectoriels ou affines)... Ces deux
dernières notions étant les plus utiles.
FA = {F ∩ A, F ∈ F}.
VA (x) = {V ∩ A, V ∈ V(x)} , x ∈ A.
Preuve : Il suffit de vérifier que les ouverts de (A, dA ) sont les traces des
ouverts de (X, d) et même il suffit de le faire avec les bases d’ouverts que sont
les ensembles de boules ouvertes. En fait il est clair que pour x ∈ A et r > 0,
on a BdA (x, r) = Bd (x, r) ∩ A.
1.3.1 Adhérence
Définition 1.3.1. Soit A une partie de X et soit x un élément de X. On dit
que
a) x est adhérent à A si tout voisinage V de x dans X contient un point de
A.
b) x est un point d’accumulation de A si tout voisinage V de x dans X
contient un point de A différent de x.
c) x est un point isolé de A si il existe un voisinage V de x tel que V ∩A = {x}.
1
EXEMPLE 1.3.2. Dans R on considère l’ensemble A = { n+1 , n ∈ N}. Le
1
point 2 est un point isolé de A, il est adhérent à A mais n’est pas point
d’accumulation. Le point 0 n’appartient pas à A mais il est adhérent à A.
C’est un point d’accumulation de A.
Définition 1.3.3. Pour une partie A de X on appelle adhérence de A et on
note A l’ensemble de tous les points adhérents à A.
Proposition 1.3.4. L’adhérence A d’une partie A de X est le plus petit fermé
de X contenant A.
A ⊂ A, A = A, A∪B =A∪B et A ∩ B ⊂ A ∩ B.
1.3.2 Intérieur
Définition 1.3.12. Soit A une partie de X. On dit qu’un point x de A est
intérieur à A si A est un voisinage de x dans X, A ∈ V(x).
◦
Définition 1.3.13. On appelle intérieur d’une partie A de X, et on note A,
l’ensemble des points intérieurs à A.
Proposition 1.3.14. L’intérieur d’une partie A de X est le plus grand ouvert
◦
contenu dans A, A = ∪ O.
O∈O, O∈A
◦
Corollaire 1.3.15. Une partie A de X est ouverte si et seulement si A = A.
EXEMPLE 1.3.18. Là encore, la dernière inclusion peut être stricte. Par exemple
◦ ◦
dans R avec A = [0, 1] et B = [1, 2] on a A ∪ B =]0; 1[∪]1, 2[ tandis que
◦
_
A ∪ B =]0, 2[.
1.3.3 Frontière
Définition 1.3.19. On appelle frontière d’une partie A de X l’ensemble F r(A) =
A ∩ {X A.
◦
Proposition 1.3.20. Pour toute partie A de X on a F r(A) = A \ A et
◦
◦ _
(A, F r(A), {X A) forme une partition de X.
Preuve : Pour une partie A de X on a
◦ ◦
F r(A) = A ∩ {X A = A ∩ {X A = A \ A.
◦
◦ _
Ainsi (A, F r(A)) forme une partition de A tandis que (A, {X A = {X A) est une
partition de X.
1.4 Limites
Dans ce paragraphe et les suivants nous travaillerons tantôt dans un espace to-
pologique (X, T ) tantôt dans un espace métrique (X, d). Pour les définitions et
propriétés générales on peut se placer dans un espace topologique quelconque.
En revanche certaines propriétés sont particulières aux espaces métriques. On
précisera bien à chaque fois dans quel cadre on se place et les propriétés des
espaces métriques nécessaires.
La traduction dans les espaces métriques est plus quantitative (On a une dis-
tance pour mesurer comment les termes de la suite s’approchent de la limite).
Proposition 1.4.2. Soit (X, d) un espace métrique. On dit que l ∈ X est une
limite de la suite (xn )n∈N si et seulement si
Preuve : ⇒ Supposons que l est une limite de (xn )n∈N . Pour tout ε > 0
la boule Bf (l, ε) est un voisinage de l et d’après la Définition 1.4.1 ci-dessus il
existe Nε ∈ N tel que : ∀n ≥ Nε , xn ∈ Bf (l, ε). C’est à dire
∀n ≥ NV , xn ∈ Bf (l, εV ) ⊂ B(l, rV ) ⊂ V,
Preuve : Par l’absurde, supposons que la suite (xn )n∈N ait deux limites
6 l2 . Comme (X, T ) est séparé, il existe V1 ∈ V(l1 ) et V2 ∈ V(l2 )
distinctes l1 =
(∀n ≥ n1 , xn ∈ V1 ) et (∀n ≥ n2 , xn ∈ V2 ) .
Nous énonçons un résultat ci-dessous pour les espaces métriques qui admet
diverses généralisations (voir la remarque ci-dessous).
Proposition 1.4.8. Soit (X, d) un espace métrique. Pour toute partie A de
X et tout point x de X on a l’équivalence entre :
i) x ∈ A.
ii) Il existe une suite (xn )n∈N d’éléments de A dont x est limite (x = limn→+∞ xn ).
Preuve : i)⇒ ii) : La propriété des espaces métriques que l’on utilise est
que tout point x ∈ X admet une base dénombrable de voisinages BV(x) =
1
{Bn = B(x, n+1 ), n ∈ N}. Soit x un élément de A. Pour tout n ∈ N, il existe
xn ∈ Bn ∩ A. La suite (xn )n∈N ainsi définie est une suite de A et elle converge
vers x. En effet si V est un voisinage de x dans X il existe nV ∈ N tel que
BnV ⊂ V et on a alors
∀n ≥ nV , xn ∈ Bn ⊂ VnV ⊂ V.
ii) ⇒ i) : Si x = limn→+∞ xn où (xn )n∈N est une suite d’éléments de A, alors
pour tout V ∈ V(x) il existe nV tel que : ∀n ≥ nV , xn ∈ V . Pour tout voisinage
V de x dans X on a trouvé un élément xnV appartenant à A ∩ V .
REMARQUE 1.4.9. L’implication ii)⇒ i) est vraie dans tout espace topo-
logique (X, T ) (il n’est même pas nécessaire de le supposer séparé). En re-
vanche, pour la première implication i) ⇒ ii) on a besoin que tout point
admette une base dénombrable de voisinages, ce qui est le cas dans les es-
paces métriques. On remarque que si on a une base dénombrable de voisinages
BV(x) = {Vn , n ∈ N}, on peut toujours la supposer décroissante, Vn+1 ⊂ Vn
quitte à remplacer Vn par ∩np=0 Vp .
Attention : Cela est général, dans un espace métrique on peut caractériser les
propriétés topologiques en utilisant des suites. Ce n’est plus le cas avec un
espace topologique général.
On peut toutefois donner un critère d’appartenance à l’adhérence d’une partie
A de X muni d’une topologie T en généralisant la notion de suite convergente
à celle de filtre convergent.3
∀V 0 ∈ V(l), ∃V ∈ V (a), f (A ∩ V ) ⊂ V 0 .
+∞.
c) Pour la fonction f : [0, 1] ∪ {2} → R donnée par f (x) = x2 pour x ≤ 1 et
f (2) = 5, on a lim f (x) = 5.
x→2
x∈[0,1]∪{2}
3
On rencontre dans la littérature deux variantes : la notion bourbakiste de base de filtre
et la notion anglo-saxonne de famille filtrée (“net” en anglais). Le lecteur intéressé pourra
consulter [2], p 83, pour une discussion de ce point.
ii) Pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que pour tout x ∈ A on a l’implication
(d(x, a) ≤ α) ⇒ (d0 (f (x), l) ≤ ε) .
REMARQUE 1.4.15. Là encore (cf. Remarque 1.4.9) l’implication i)⇒ii) est
vraie pour des espaces topologiques généraux (X, T ) et (X, T 0 ). En revanche
la réciproque demande l’existence d’une base dénombrable de voisinages pour
a (vrai si (X, d) est un espace métrique).
La notion de filtre convergent permet de donner une version générale de ce
résultat. Cette notion englobe la notion de limite de suite et de limite de
fonction en un point.
1.5 Continuité
1.5.2 Propriétés
Théorème 1.5.6. (Transitivité de la continuité) Soit (X, T ), (X 0 , T 0 ) et
(X 00 , T 00 ) trois espaces topologiques. Si la fonction f : X → X 0 est continue en
a ∈ X et si la fonction g : X 0 → X 00 est continue en f (a) ∈ X 0 alors g ◦ f est
continue en a.
Preuve : Soit V 00 un voisinage de g [f (a)] dans X 00 , alors comme g est continue
en f (a), g −1 (V 00 ) est un voisinage de f (a). Mais comme f est continue en a,
(g ◦ f )−1 (V 00 ) = f −1 (g −1 (V 00 )) est un voisinage de a.
Proposition 1.5.7. (Rappels sur les fonctions numériques) Soit (X, T )
un espace topologique, soit f, g ∈ F(X; K) avec K = R ou C et soit λ ∈ K. Si
f et g sont continues en a ∈ X alors f + g, λf , f g sont continues en a et si
g(a) 6= 0 alors fg est continue en a.
∀O0 ∈ O0 , f −1 (O0 ) ∈ O.
∀F 0 ∈ F 0 , f −1 (F 0 ) ∈ F
.
Preuve : a) ⇒ b) : Si O0 ∈ O0 , alors O0 est un voisinage de chacun de ses
points. Si f est continue il s’ensuit que f −1 (O0 ) est un voisinage de chacun de
ses points. C’est un ouvert.
b)⇒ a) : Montrons que pour tout point x ∈ X, V 0 ∈ V(f (x)) entraı̂ne
f −1 (V 0 ) ∈ V(x). Si V 0 ∈ V(f (x)), il existe O0 ∈ O0 tel que f (x) ∈ O0 ⊂ V 0 . On
a alors x ∈ f −1 (O0 ) ⊂ f −1 (V 0 ) et par hypothèse f −1 (O0 ) est un ouvert de X.
Donc f −1 (V 0 ) est un voisinage de x.
b)⇔ c) : On a les équivalences :
⇔ ∀F 0 ∈ F 0 , f −1 (F ) ∈ F .
1.5.4 Homéomorphismes
Définition 1.5.12. Soit (X, T ) et (X 0 , T 0 ) deux espaces topologiques. On ap-
pelle homéomorphisme toute bijection f de X sur X 0 bicontinue, i.e. telle que
f et f −1 soient continues.
Si f est un homéomorphisme, l’image réciproque et l’image (puisque f (O) =
(f −1 )−1 (O)) de tout ouvert (resp. fermé) est un ouvert (resp. fermé). Ainsi un
homéomorphisme établit une bijection entre O et O0 (resp. entre F et F 0 ).
Les homéomorphismes sont les isomorphismes associés à la structure ”espace
topologique”.
Définition 1.5.13. Si il existe un homéomorphisme de (X, T ) sur (X 0 , T 0 ) on
dit que (X, T ) et (X 0 , T 0 ) sont homéomorphes.
Proposition 1.5.14. Deux topologies T et T 0 sur un même ensemble X sont
égales si et seulement si l’application identité Id : X → X est un homéomorphis-
me de (X, T ) sur (X, T 0 ).
Preuve : L’image réciproque Id−1 donne une bijection entre les éléments de
O0 et les éléments de O. Comme Id−1 (O0 ) = O0 cela signifie que les ouverts de
T 0 sont des ouverts de T et inversement. Les deux topologies ont les mêmes
ouverts, elles sont égales.
EXEMPLE 1.5.15. a) On prend X = [0, 1[∪[2, 3[ et on considère l’application
f : X → [0, 2] donnée par f (x) = x si x < 1 et f (x) = x−1 si x ≥ 2. Cette
fonction f est continue bijective mais n’est pas un homéomorphisme de
X sur f (X) = [0, 2] (limx→1− f −1 (x) = 1 6= f −1 (1) = 2).
b) R est homéomorphe à tout intervalle ouvert ]a, b[, a, b ∈ R, a < b. Il suffit
de considérer f (x) = a+b2
+ b−a
π
arctan(x). La même fonction définie sur
R = R ∪ {−∞, +∞} prolongée par f (−∞) = a et f (+∞) = b donne un
homéomorphisme de R sur [a, b].
c) Un résultat de topologie algébrique qui sort du cadre de ce cours établit que
la sphère S 2 n’est homéomorphe à aucune partie du plan. Ceci exprime
l’impossibilité de faire une carte plane de la terre sans ”tricher”.
revenant sur la continuité sur les espaces métriques. La continuité globale d’une
fonction f : X → X 0 s’écrit précisément
D’une certaine façon les applications Lipschitziennes sont les morphismes d’es-
paces métriques d’où l’intérêt des notions suivantes.
Définition 1.5.19. a) On dit que f est bilipschitzienne si c’est une bijection
telle que f et f −1 sont Lipschitziennes.
b) On dit que f est une isométrie si pour tout x, y ∈ X on a d0 (f (x), f (y)) =
d(x, y). (Une isométrie est toujours injective. Si de plus elle est surjective
alors elle est bilipschitzienne avec rapport 1 dans les deux sens.)
EXEMPLE 1.5.20. a) Sur R l’application x → x2 n’est pas uniformément
continue et n’est pas Lipschitzienne :
Autrement dit, on doit avoir fi (a) = lim f (x) pour i = 1, 2 et pour tout a ∈ A.
x→a
x∈A
EXEMPLE 1.5.22. Si on prend une fonction continue f :]0, 1[→ R telle que
les limites
lim+ f (x) = f0 et lim− f (x) = f1
x→0 x→1
existent dans R, alors il n’y a qu’une façon d’obtenir une fonction f continue
sur [0, 1] dont la restriction à ]0, 1[ est f : on pose f (0) = f0 et f (1) = f1 . Il se
trouve que f ainsi définie est bien continue.
Définition 1.5.23. Avec les hypothèses et notations de la Proposition 1.5.21,
si il existe une application f ∈ C 0 (A, X 0 ) dont la restriction à A est f , on
appelle f le prolongement par continuité de f à A.
La question de l’existence du prolongement par continuité est un petit peu
plus délicate. Dans l’Exemple 1.5.22 cela ne pose pas vraiment de difficulté.
Si on considère la situation en dimension 2 où A est le disque unité ouvert,
on voit qu’il faut vérifier que la fonction f , définie sur le disque unité fermé
par passage à la limite, est bien continue sur le cercle unité. Toutefois, on peut
montrer sous des hypothèses assez générales que la condition nécessaire de la
Proposition 1.5.21 est en fait suffisante. Par souci de simplicité, on se limitera
au cas où l’espace d’arrivée est métrique (voir la remarque ci-dessous pour une
généralisation possible).
Proposition 1.5.24. Soit (X, T ) un espace topologique et soit (X 0 , d0 ) un
espace métrique. Soit A une partie de X et f une fonction continue de A dans
X 0 telle que pour tout a ∈ A \ A la limite lim f (x) existe. Alors f admet un
x→a
x∈A
Preuve : Par hypothèse la fonction f est bien définie sur A. Il reste à vérifier
qu’elle est continue en tout point de A.
∀y ∈ V, d0 (f (y), f (x)) ≤ d0 f (y), fNε (y) +d0 (fNε (y), fNε (x))+d0 f (x), fNε (x)
ε
≤ 2d∞ (f ; fNε ) + ≤ ε,
3
et pour tout ε > 0 on sait trouver un tel voisinage V de x. La limite f est
continue en tout point x de X.
Corollaire 1.6.4. Si T est plus fine que T 0 et si T 0 est plus fine que T alors
T = T 0.
1.7.1 Définition
On considère une famille (Xi , Ti )i∈I d’espaces topologiques où I est un ensemble
quelconque (non nécessairement fini, non nécessairement dénombrable).
Définition 1.7.1. Pour un sous-ensemble {i1 , . . . , in } de I fini (n ∈ N∗ ) et
pour une suite d’ouverts ωik de Xik , k ∈ {1, Q. . . , n}, on appelle cylindre ouvert
de base (ωik )k∈{1,...,n} le sous-ensemble de i∈I Xi donné par
Y ωi si i ∈ {i1 , . . . , in },
CylXi (ωi1 , . . . , ωin ) = Yi , avec Yi =
Xi si i ∈ I \ {i1 , . . . , in }.
i∈I
Q
Définition 1.7.2. On appelle topologie produit sur i∈I Xi , la topologie donnée
par la base d’ouverts faite de tous les cylindres ouverts
B = CylXi (ωi1 , . . . , ωin ), n ∈ N∗ ; ik ∈ I, ωik ∈ Oik , pour k = 1 . . . n .
Q
On note i∈I Ti cette topologie.
REMARQUE 1.7.3. a) Dans la définition ci-dessus de la base B, on peut se
limiter à n = 1 puisque pour un n ∈ N∗ le cylindre CylXi (ωi1 , . . . , ωin )
peut s’écrire comme l’intersection finie CylXi (ωi1 ) ∩ . . . ∩ CylXi (ωin ).
Et on sait que les ouverts de TAi sont les les traces ωi ∩ Ai des ouverts de Ti .
T . Cette image réciproque est le cylindre ouvert CylXi (ωi0 ). Mais les cylindres
CylXi (ωj ) pour j ∈ I forment une base d’ouverts de la topologie produit. Ainsi
Qproduit sont des ouverts de T . La topologie T
tous les ouverts de la topologie
est plus fine que la topologie i∈I Ti .
EXEMPLE 1.7.8. Dans Mn (K) le produit des matrices définit une appli-
cation continue de Mn (K) × Mn (K) → Mn (K), K = R ou C. En effet
Pn (A, B) ∈ Mn (K) × Mn (K) les composantes du produit AB s’écrivent
pour
k=1 aik bkj . Il s’agit de sommes et de produits de fonctions continues puisque
les composantes aik et bjk dépendent continûment de (A, B). Toutes les com-
posantes sont continues , donc l’application (A, B) → AB est continue.
Compte tenu de la Remarque 1.5.5, on déduit de la proposition précédente la
caractérisation de la convergence d’une suite dans un produit.
n
Corollaire
Q 1.7.9. Une Q suite (x )n∈N dans espace topologique produit (X, T ),
X = i∈I Xi et T = i∈I Ti , a pour limite x ∈ X si et seulement si toutes ses
composantes (xni )n∈N ont pour limite xi ∈ Xi pour la topologie Ti .
Preuve : On applique la Proposition 1.7.7 ci-dessus en remplaçant X par N
et i∈I Xi0 par i∈I Xi .
Q Q
Le résultat suivant donne une relation entre la continuité d’une fonction définie
sur un produit et la continuité des applications partielles.
Définition 1.7.10. Soit X = i∈I Xi un produit d’ensembles et X 0 un en-
Q
semble et soit f ∈ F(X; X 0 ). Pour a = (ai )∈I et J ⊂ I, on note faJ l’application
partielle définie par
0
Q
faJ : i∈I\J Xi → X
xi si i 6∈ J
x = (xi )i∈I\J → faJ (x) = f (y) avec yi =
ai si i ∈ J.
Q
Proposition 1.7.11. On munit X = i∈I Xi de la topologie Q produit et soit
(X 0 , T 0 ) un espace topologique. Si l’application f : X = i∈I Xi → X 0 est
continue au point a = (ai )i∈I ∈ X alors pour tout J ⊂ I l’application partielle
faJ est continue au point (ai )i∈I\J .
Preuve : Pour i ∈ I, on pose Yi = Xi si i 6∈ J et Yi = {ai } si i ∈ J. Alors
l’application
Q Q
Φ : i∈I\J Xi → i∈I Yi
xi si i 6∈ J
x = (xi )i∈I\J → y = (yi )i∈I avec yi =
ai si i ∈ J
qui ne tend pas vers 0 quand x tend vers 0. La fonction f n’est pas continue
en 0.
xy
z y z= x2 +y 2
0.5
x
Représentation dans le 1er cadran (x > 0, y > 0) du graphe de la fonction f .
REMARQUE 1.7.14. De façon plus rapide, on peut dire que la topologie pro-
duit est dans le cas fini la topologie des boı̂tes qui est associée à la distance
d∞ . La démonstration en deux étapes se généralise au cas dénombrable.
Proposition 1.7.15. La topologie produit d’un produit dénombrable d’espaces
métriques est métrisable.
On vérifie avec la même démarche que précédemment que cette distance donne
la topologie produit (la dernière partie est un peu plus délicate). Les détails
sont laissés au lecteur (cf. Exercice 29).
composante (enk )n∈N converge vers (et même stationne à) 0. Comme pour tout
n ∈ N, on a d∞ (0, en ) = 1, la topologie produit ne peut être associée à cette
distance.
BV(f ) = {V (f ; ε, n, x1 , . . . , xn ), ε > 0, n ∈ N∗ , x1 , . . . , xn ∈ X}
V (f ; ε, n, x1 , . . . , xn ) = g ∈ Y X , |g(xi ) − f (xi )| < ε, ∀i ∈ {1, . . . , n} .
avec
1 2
0 n+1 n+1 1 x
Graphe de la fonction fn , n ∈ N.
Enfin sur [0, 1], on peut considérer un dernier exemple qui montre que l’hy-
pothèse d’uniforme convergence dans le Théorème 1.5.26 joue son rôle.
1
1
0 n+1 1 x
Graphe d’une fonction gn , n ∈ N.
La suite de fonctions continues (gn )n∈N converge simplement vers la fonction
g qui vaut 1 en 0 et 0 sur ]0, 1] et qui n’est pas continue.
De la même façon, il ne suffit pas que la topologie de départ soit métrique pour
que la topologie quotient soit métrisable (cf. Exercice 41).
Connexité
D’un point de vue intuitif, un espace topologique connexe est un espace topolo-
gique fait d’un seul morceau. On commence par la présentation d’une situation
modèle sur laquelle nous reviendrons : Supposons connu le théorème des va-
leurs intermédiaires pour les fonctions continues de R dans R (ce sera dans ce
cours une conséquence d’un résultat plus général). On se demande quelles sont
les parties à la fois ouvertes et fermées de R, ou de manière équivalente, quelles
sont les parties ouvertes A de R telles que (A, {R A) forme une partition d’ou-
verts de R. Soit A un tel sous-ensemble de R. Alors la fonction caractéristique
1A : R → {0, 1} ⊂ R est continue puisque pour tout ouvert O de {0, 1} l’image
réciproque f −1 (O) = ∅, R,A ou {R A est un ouvert de R. Le théorème des
valeurs intermédiaires impose alors que 1A est constante sur R, c’est à dire
A = R ou A = ∅.
2.1.1 Définition
Définition 2.1.1. On dit qu’un espace topologique (X, T ) est connexe si les
seules parties de X à la fois ouvertes et fermées sont X et ∅.
Il revient au même de dire que X n’admet pas de partition non triviale d’ou-
verts (ou de fermés).
Définition 2.1.2. On dit qu’une partie A de X est connexe si (A, TA ) est
connexe(TA topologie induite).
Proposition 2.1.3. Une partie A de X est connexe si et seulement si l’exis-
tence de deux ouverts disjoints O1 et O2 de (X, T ) tels que A ⊂ O1 ∪ O2
entraı̂ne A ⊂ O1 ou A ⊂ O2 .
2.3.1 ”Union”
Théorème 2.3.1. Toute famille (Ai )i∈I de parties connexes d’un espace to-
pologique (X, T ) ayant deux à deux une intersection non vide a une réunion
connexe.
Preuve : Soit (Ai )i∈I une famille de parties connexes telle que pour tout
i, j ∈ I, Ai ∩ Aj 6= ∅. Supposons qu’il existe deux ouverts disjoints O1 et O2
tels que A = ∪i∈I Ai ⊂ O1 ∪ O2 . Pour un i0 ∈ I fixé, Ai0 est connexe et
R
Dans la figure ci-dessus l’union des quatre intervalles A1 , A2 , A3 et A4 est un
intervalle sans qu’aucun des Ai n’intersecte tous les autres.
Une application du résultat précédent est que pour tout point x d’un espace
topologique (X, T ), l’union de toutes les parties connexes de X contenant x
est connexe. C’est le plus grand connexe contenant x.
Définition 2.3.3. Soit (X, T ) un espace topologique quelconque. Pour tout
point x de X, on appelle composante connexe de x et on note C(x) le plus
grand connexe contenant x :
C(x) = ∪ C.
x∈C⊂X
C connexe
Avec cette notation il est clair que deux points x et y appartiennent à un même
connexe si et seulement si C(x) = C(y).
Proposition 2.3.4. La relation ”appartenir à un même connexe” qui se tra-
duit par C(x) = C(y) est un relation d’équivalence dont les classes d’équivalence
sont les composantes connexes de X. Ainsi les composantes connexes de X
forment une partition de X.
REMARQUE 2.3.5. D’un point de vue intuitif, les composantes connexes de
X sont les morceaux d’un seul tenant de X. Par exemple les composantes
connexes de X = [0, 1] ∪ [2, 3] sont [0, 1] et [2, 3].
2.3.2 Adhérence
Théorème 2.3.6. Si une partie A d’un espace topologique (X, T ) est connexe
alors son adhérence A est connexe.
Preuve : Soit f ∈ C 0 (A; {0, 1}). Comme A est connexe et f est continue sur
A on a A ⊂ f −1 ({0}) ou A ⊂ f −1 ({1}) d’après la Proposition 2.2.3. Comme
f −1 ({0}) ou f −1 ({1}) sont fermés, on doit avoir A = f −1 ({0}) ou f −1 ({1})
et f est constante.
2.3.3 Produit
Or pour tout γ ∈ C 0 ([0, 1]; X) l’image γ ([0, 1]) de l’intervalle [0, 1] est connexe.
Comme dans l’union ci-dessus tous les chemins considérés contiennent le point
x, l’union qui vaut X est connexe.
0, 4 x
−1
Compacité
3.1 Définitions
Définition 3.1.1. (Borel-Lebesgue) On dit qu’un espace topologique (X, T )
est compact s’il est séparé et si de tout recouvrement d’ouverts on peut extraire
un sous-recouvrement fini :
X = ∪ Oi ⇒ ∃J ⊂ I, J fini, X = ∪ Oi .
i∈I i∈J
Le résultat suivant est une conséquence utile dans le cas ou les fermés sont
emboı̂tés.
REMARQUE 3.2.2. Notons que l’on peut exprimer la propriété ii) d’une autre
manière en disant que toute suite de A admet une valeur d’adhérence dans A.
Une valeur d’adhérence d’une suite (xn )n∈N est un point x tel que pour tout
voisinage V ∈ V(x) la suite prennent une infinité de fois sa valeur dans V .
Cela correspond aux deux possibilités : a) L’ensemble {xn , n ∈ N} est fini et
dans ce cas il y a nécessairement une valeur qui est prise une infinité de fois ;
b) L’ensemble {xn , n ∈ N} est infini et on est sous l’hypothèse de ii).
Nous aurons besoin d’un résultat intermédiaire pour les espaces métriques qui
est souvent utile.
Lemme 3.2.3. (Lemme de la maille) Si une partie A d’un espace métrique
vérifie iii) et si ∪i∈I Oi est un recouvrement d’ouverts de A, alors il existe une
constante ρ > 0 tel que pour tout x ∈ A la boule B(x, ρ) est incluse dans un
des Oi :
∀x ∈ X, ∃ix ∈ I, B(x, ρ) ⊂ Oix .
Preuve : Elle se fait par l’absurde. Supposons que pour tout n ∈ N, il existe
1
xn ∈ A tel que B(xn , n+1 ) n’est incluse dans aucun des Oi . Par l’hypothèse
iii), on peut extraire une sous-suite (xnk )k∈N convergeant dans A. Posons l =
limk∈N xnk . Comme l appartient à A, il existe i ∈ I tel que l ∈ Oi et comme
Oi est ouvert, il existe ε > 0 tel que B(l, ε) ⊂ Oi . Par définition de la limite
on peut trouver kε tel que d(l, xnk ) ≤ 3ε pour k ≥ kε et on peut donc supposer
kε assez grand pour que nk 1+1 ≤ 3ε . Mais dans ce cas, on a B(xnkε , nk 1+1 ) ⊂
ε ε
B(l, ε) ⊂ Oi , ce qui contredit la définition de la suite (xn )n∈N . En conclusion,
il existe n0 ∈ N tel que pour tout x ∈ A la boule B(x, n01+1 ) est incluse dans
un des Oi et on prend ρ = n01+1 .
1
{B(l, k+1 ), k ∈ N} forme une base de voisinages de l.
REMARQUE 3.2.4. a) Pour i)⇒ ii), on n’a pas besoin de la structure métrique.
La propriété de Bolzano-Weierstrass est vraie pour tout espace topolo-
gique compact. En revanche ii)⇒iii) nécessite l’existence d’une base de
voisinages dénombrable : Pour que le point d’accumulation soit effective-
ment la limite d’une sous-suite, on a besoin de cette propriété des espaces
métriques. Enfin l’implication iii)⇒i) repose sur le Lemme de la maille
(3.2.3) qui se formule explicitement avec une distance.
b) Une conséquence du Théorème est que le Lemme de la maille s’applique à
tout espace métrique compact.
c) Ce théorème a une généralisation complète pour des espaces topologiques
quelconques reposant encore sur la notion de filtre.
Corollaire 3.2.5. Tout espace métrique compact est séparable.
Preuve : Soit (X, d) un espace métrique compact. Pour tout n ∈ N, l’union
1
∪x∈X B(x, n+1 ) est un recouvrement d’ouverts de X. On peut donc en extraire
un sous recouvrement fini ∪N 1
k=0 B(xk,n , n+1 ). L’ensemble
n
{xk,n , k ∈ {0, . . . , Nn }, n ∈ N}
Nous terminons ce paragraphe par l’exemple sans lequel toutes ces notions
n’auraient pas vraiment d’intérêt.
Preuve : On utilise la propriété iii) du Théorème 3.2.1. Soit (xn )n∈N une
suite de [a, b], on va extraire une sous-suite convergente par une méthode de
dichotomie. On construit la suite de couple ((ak , bk ))k∈N par récurrence :
– a0 = a et b0 = b
– On pose ck = ak +b 2
k
. Si il existe un nombre infini d’indices n tels que xn ∈
[ak , ck ] on prend ak+1 = ak et bk+1 = ck . Sinon on prend ak+1 = ck et
bk+1 = bk .
On a formé ainsi deux suites adjacentes (ak )k∈N et (bk )k∈N telles que pour
tout k ∈ N il existe xnk ∈ [ak , bk ]. Une conséquence de la propriété de la borne
supérieure est que deux suites adjacentes convergent et ont même limite. Cette
limite est aussi limite de la sous-suite (xnk )k∈N .
Preuve : Si (Fi )i∈I est une famille de fermés telle que F ∩ (∩i∈I Fi ) = ∅
alors la famille (F ∩ Fi )i∈I est une famille de fermés d’intersection vide de X.
Comme (X, T ) est compact il existe une partie finie J de I telle que
∅ = ∩ (F ∩ Fi ) = F ∩ ∩ Fi .
i∈J i∈J
Corollaire 3.3.3. Dans un espace topologique compact, les compacts sont les
fermés.
Nous terminons par une notion parfois utile quand on veut utiliser des argu-
ments de compacité pour des ensembles qui ne sont pas fermés.
Définition 3.3.5. On dit qu’une partie A d’un espace topologique séparé (X, T )
est relativement compacte si sont adhérence est compacte.
N (xl2 )
N N
X1 × X2 = X1 × ∪ ω(xl2 ) = ∪ 1
∪ ω(x k ,xl ) × ω(xl2 )
l=1 l=1 k=1 1 2
l
N N (x2 ) N N (x2 )
1 2
⊂ ∪ ∪ ω(x k ,xl ) × ω(xk ,xl ) ⊂ ∪ ∪ Oi(xk ,xl ) .
l=1 k=1 1 2 1 2 l=1 k=1 1 2
On peut Q dons appliquer le critère iii) du Théorème 3.2.1. Soit (xk )k∈N une
suite de n∈N Xn (suite de suites xkn ∈ Xn ). On va construire une sous-suite
convergente par procédé diagonal (cf. la figure ci-dessous). La suite (xk0 )k∈N est
une suite du métrique compact (X0 , d0 ). On peut donc extraire une sous-suite
k (l)
(x00 )l∈N convergeant vers une limite c0 ∈ X0 . On construit la suite de fonc-
tions (kn )n∈N , kn : N → N, par récurrence. La fonction kn étant fixée telle que
k (l)
(xj n )l∈N converge vers lj ∈ Xj , pour 0 ≤ j ≤ n, la compacité de Xn+1 permet
kn (l) kn+1 (l)
d’extraire de (xn+1 )l∈N une sous-suite (xn+1 )l∈N qui converge vers une limite
cn+1 ∈ Xn+1 .
kl (l)
Q
On considèremaintenant
la suite (x )l∈N de n∈N Xn. Pour j ∈ N, la suite
k (l) k (l)
composante xj l est une suite extraite de xj j et converge donc
l≥j l∈N
vers cj ∈ Xj . Autrement ditQla sous-suite xkl (l) l∈N de (xk )k∈N converge sim-
plement
Q vers c = (cn )n∈N ∈ n∈N Xn , c’est à dire pour la topologie produit sur
n∈N Xn .
k
...
...
...
n ...
.. .. .. ..
. . . .
k0 (0) = 1k1 (1) = 4 k2 (2) = 9 k3 (3) = 14
Illustration du procédé diagonal. Les termes des suites extraites sont pointés
en noir. Les crochets verticaux indiquent l’extraction finale.
Corollaire 3.3.9. Les pavés ni=1 [ai , bi ], ai , bi ∈ R, de (Rn , k k∞ ), sont com-
Q
pacts.
Preuve : Les pavés sont tout simplement des produits d’intervalles fermés
bornés et la norme k k∞ donne la topologie produit.
Il est bien sûr faux de dire que l’image réciproque d’un compact par une
application continue est un compact. Par exemple l’image réciproque de [0, 1]
par la projection sur l’axe des abscisses dans R2 est [0, 1] × R qui n’est pas
compact. En revanche, c’est toujours un fermé. Le fait que l’image réciproque
d’un compact soit un compact est une propriété que l’on rencontre et qui est
parfois bien utile. Il y a un mot pour identifier cette propriété.
Dans ce chapitre, nous allons étudier plus en détails les espaces vectoriels
normés sur K = R ou C. On verra qu’il y a une différence fondamentale entre
les espaces vectoriels normés de dimension finie et ceux de dimension infinie,
ces derniers intervenant la plupart du temps comme espaces de fonctions. Les
résultats de ce chapitre portant sur la dimension infinie peuvent être vu comme
les premiers rudiments d’analyse fonctionnelle. Dans tout ce chapitre, on tra-
vaillera sur des espaces vectoriels réels ou complexes, i.e. ayant pour corps de
base le corps K = R ou C.
4.1 Généralités
4.1.1 Définitions
4.1.2 Exemples
a) Sur Kn les normes
n
! p1
X
kxkp = |xi |p , 1 ≤ p < ∞, et kxk∞ = max |xi |.
i∈{1,...,n}
i=1
P
p1
k
(i)
p
(i)
d) Les quantités maxi∈{1,...,k} f ∞ et
i=1 f ∞
, 1 ≤ p < ∞, sont
des normes toutes équivalentes sur C k ([0, 1]; K).
R1
e) La quantité kf k1 = 0 |f (t)| dt est une norme sur C 0 ([0, 1]; K) qui n’est
pas équivalente à la norme de la convergence uniforme k k∞ . En effet,
considérons la suite de fonctions (fn )n∈N définie par fn (x) = 1 − (n + 1)x
1 1
pour x ≤ 2(n+1) et fn (x) = 0 pour x ≥ n+1 :
1
0 n+1 1 x
1
On a kfn k∞ = 1 tandis que kfn k1 = n+1
de telle sorte que le rapport
k k1
k k∞
n’est pas uniformément minoré.
f ) Pour 1 ≤ p < ∞ on considère l’espace de suites
( )
X
lp (N; K) = x = (xn )n∈N , |xn |p < ∞
n∈N
∀x ∈ E, kf (x)kF ≤ M kxkE .
ρ
ρ
kf (x)kF =
f
x
≤ 1.
kxkE kxkE
F
Il suffit de prendre M = ρ1 .
⇐ Si on a la constante M alors on a
≤ kf k + kgk .
De plus cette dernière inégalité dit également que Id est continue de (E, k k∞ )
dans (E, k k). Par conséquent la norme k k : (E, k k∞ ) → R+ est continue.
Comme la sphère de rayon 1, S∞ (0, 1) = {x ∈ E, kxk∞ = 1} est un compact
de (E, k k∞ ) (partie fermée du compact Bf (0, 1)) et comme la fonction continue
k k y est strictement positive, il existe δ > 0 tel que
∀x ∈ S∞ (0, 1), kxk ≥ δ.
x
Pour x ∈ E non nul on a
kxk
≥ δ et on en déduit
∞
Preuve : L’espace vectoriel normé (F, k kE ) est de dimension finie. Ses fermés
bornés sont donc compacts. Si (xn )n∈N est une suite de F qui converge dans E,
limn→∞ xn = lE ∈ E, elle est bornée dans (E, k kE ) et donc dans (F, k kE ). On
peut donc extraire une sous-suite (xnk )k∈N qui converge dans F , limk→∞ xnk =
lF ∈ F . Et comme E est séparé, on lE = limn→∞ xn = limk→∞ xnk = lF ∈ F
et ce pour tout suite de F ayant une limite lE dans E. F est fermé.
Le résultat suivant dit que la boule unité fermée d’un espace vectoriel normé
n’est jamais compacte en dimension infinie.
Théorème 4.2.8. (Riesz) Si (E, k kE ) est un K-espace vectoriel normé, on
a équivalence entre :
a) Bf (0, 1) est compacte.
b) E est de dimension finie.
Preuve : Il s’agit de vérifier que la projection ΠF,G est continue. Par l’absurde,
supposons que pour tout n ∈ N, il existe xn ∈ E tel que kxn kE = 1 et
kxnF kE ≥ n avec xn = xnF +xnG , xnF ∈ F et xnG ∈ G. On pose alors f n = xn1 xnF
k F kE
1
et g n = xnG . On a
kxnF kE
1 kxn kE 1
kg n k = kxn − xnF kE ≤ +1= n + 1 ≤ 2.
kxnF kE n
kxF kE kxF kE
La suite (g n )n∈N est une suite bornée de G qui est de dimension finie (c’est
un fermé et ses fermés bornés sont compacts). On peut donc extraire une
sous-suite qui converge dans G, limk→∞ g nk = g ∈ G. On a alors
nk 1 nk
lim f = lim x−g = −g.
k→∞ k→∞ kxnFk kE
Comme F est fermé par hypothèse, on doit avoir −g ∈ F . Mais dans ce cas
g ∈ F ∩ G = {0} et limk→∞ f nk = 0, ce qui contredit kf nk kE = 1.
Proposition 4.2.11. Une forme linéaire sur un espace vectoriel normé (E, k kE )
est continue si et seulement si son noyau est fermé.
Preuve : Soit ϕ une forme linéaire sur E.
⇒ Si ϕ est continue alors Ker ϕ = ϕ−1 ({0}) est un sous-espace vectoriel
fermé de E.
⇐ Si Ker ϕ est un sous espace vectoriel fermé, on a deux cas :
a) Ker ϕ = E et alors ϕ ≡ 0 est continue sur E.
b) Il existe u ∈ E tel que ϕ(u) 6= 0. On a alors E = Ker ϕ ⊕ Ku (en effet
ϕ(x)
si x ∈ E, le vecteur x − ϕ(u) u ∈ Ker ϕ). On est dans la situation de la
Proposition 4.2.10 et la projection Π = ΠKu,Ker ϕ est continue tandis que
l’application linéaire θ : Ku → K donnée par θ(λu) = λ est continue
(Ku est de dimension 1). En conséquence la forme linéaire ϕ est égale à
ϕ(u)θ ◦ Π. Elle est continue.
définit une norme sur E/F . De plus la topologie associée à cette norme est la
topologie quotient.
i) Pour x ∈ E et λ ∈ K∗ , on a
_˙
1
λ x
= d(λx, F ) = inf kλx − f k = |λ| inf
λx − f
E/F f ∈F f ∈F λ
1
_˙
= |λ| d x, F = |λ|
x
.
λ E/F
_
˙ _
˙
Pour λ = 0, on rappelle que 0. x = 0 .
ii) La distance d(x, F ) est nulle si et seulement si x appartient à F = F (cf.
_
˙ _
˙
Exercice 16), autrement dit si et seulement si x = 0 .
iii) Pour l’inégalité triangulaire, on prend deux vecteurs x1 et x2 de E et on
sait, par définition de k kE/F , trouver pour ε > 0 arbitraire deux vecteurs
f1 ∈ F et f2 ∈ F tels que
_˙
kxi − fi k ≤
xi
+ ε.
E/F
_
˙
de telle sorte que V est un aussi voisinage de x pour la topologie de la norme
k kE/F . La topologie quotient est moins fine que la topologie associée à la
norme k kE/F . Les deux topologies coı̈ncident.
Preuve : Soit (xn )n∈N une suite de Cauchy de (X, d) telle que limk→∞ xnk =
l ∈ X. Pour ε > 0 il existe Nε ∈ N et kε ∈ N tels que
ε ε
∀m, n ≥ Nε , d(xm , xn ) ≤ et ∀k ≥ kε , d(xnk , l) ≤ .
2 2
On prend Nε0 = max{Nε , nkε } et on a pour n ≥ Nε0
d(xn , l) ≤ d(xn , xnkε ) + d(xnkε , l) ≤ ε.
Ainsi limn→∞ xn = l.
et f ∈ Fb (X; X 0 ).
Vérifions enfin que la suite (fn )n∈N converge vers f dans Fb (X; X 0 ) pour la
distance de la convergence uniforme d∞ . Pour ε > 0 et x ∈ X, on a l’inégalité
d0 (fn (x), fm (x)) ≤ ε pour m, n ≥ Nε . On prend la limite m → ∞ à x ∈ X fixé
et on obtient
∀x ∈ X, ∀n ≥ Nε , d0 (fn (x), f (x)) ≤ ε,
Preuve : Soit F une partie d’un espace métrique complet (X, d).
⇐ Supposons F fermé. Si (xn )n∈N est une suite de Cauchy de (F, d), c’est une
suite de Cauchy de (X, d). Elle admet donc une limite dans X. Mais comme
F est fermé cette limite appartient à F .
⇒ Supposons (F, d) complet. Si une suite (xn )n∈N de F admet une limite
l ∈ X, alors elle est de Cauchy dans (X, d) et donc dans (F, d). Comme (F, d)
est complet elle converge dans F et comme (X, d) est séparé cela entraı̂ne
l ∈ F . F est fermé.
Preuve : Soit (Ai )i∈{1,...,N } une famille finie de parties complètes de (X, d).
Si (xn )n∈N est une suite de Cauchy de (X, d), il existe i0 ∈ {1, . . . , N } et une
sous-suite (xnk )k∈N telle que xnk ∈ AiO pour tout k ∈ N. Dans ce cas la sous-
suite (xnk )k∈N est une suite de Cauchy de (Ai0 , d) qui est complet. On a trouvé
une sous-suite convergente et on conclut avec la Proposition 5.1.3.
Preuve : Soit (xn )n∈N une suite de Cauchy d’un espace métrique compact
(X, d). On peut en extraire une sous-suite qui converge dans (X, d) et on
conclut avec la Proposition 5.1.3.
Preuve : Le cas fini a déjà été traité dans le Théorème 5.1.9 puisque pour les
produits finis convergence simple (topologie produit) et convergence uniforme
coı̈ncident. Il reste à traiter le cas dénombrable. Soit (X Qn , dn )n∈N une suite
d’espaces métriques complets. On note d la distance sur n∈N Xn donnée par
X dn (xn , yn )
d(x, y) = 2−n
n∈N
1 + dn (xn , yn )
k
pour laquelle la topologie Q associée
est la topologie produit. Soit (x )k∈N une
suite de Cauchy de n∈N Xn , d . Pour n ∈ N fixé et k, l ∈ N assez grands, on
2 n d(xk ,xl )
a dn (xkn , xln ) ≤ 1−2n d(xk ,xl ) . Ainsi la suite (xkn )k∈N est de Cauchy dans (Xn , dn )
k
et donc converge dans Xn . Ainsi Q la suite (x )k∈N converge pour la topologie de
la convergence simple dans n∈N Xn , mais cette topologie n’est rien d’autre
que la topologie associée à d.
1
1 n+1 1 x
On a alors
Z 1
1 1
kfn − fm k1 = |fn (x) − fm (x)| dx ≤ + ≤ε
−1 2(n + 1) 2(m + 1)
pour m, n ≥ ε−1 . La suite (fn )n∈N est de Cauchy mais ne peut pas converger
dans C 0 ([−1, 1]; R) pour la norme k k1 . Une fonction qui vaut 1 sur [−1, 0[ et
0 sur ]0, 1] n’est pas continue.
La complétude d’un espace vectoriel normé est très utile pour étudier la conver-
gence des séries.
Définition
P 5.3.5. Dans un K-espace vectoriel normé (E, k kE ) on dit qu’une
série n∈N xn est absolument convergente (ou normalement convergente) si
P
n∈N kxn kE < +∞.
Dans la définition ci-dessus on ne dit pas que la série converge mais que la
série des normes converge. La convergence de la série est éventuellement une
conséquence du
Théorème 5.3.6. Un K-espace vectoriel normé (E, k kE ) est un espace de
Banach si et seulement si toute série absolument convergente converge dans
E, ! !
X X
kxn kE < ∞ ⇒ xn ∈ E .
n∈N n∈N
M ≥N
M
X
M
X
kSM − SN kE =
xn
≤ kxn kE .
n=N +1 E n=N +1
EXEMPLE 5.4.2. Pour A ∈ Mn (K) on peut définir etA , eitA , cos(tA),. . .et
pour kAk < 1 (k k norme d’algèbre), (Id +A)−1 et ln(Id +A).
5.4.2 Prolongement
Théorème 5.4.3. (Théorème de prolongement) Soit (X, d), (X 0 , d0 ) deux
espaces métriques, avec (X 0 , d0 ) complet et soit Y ⊂ X. Si une application
f : Y → X 0 est uniformément continue et si Y est dense dans X, alors f
admet un unique prolongement par continuité f˜ : X → X 0 .
peut utiliser les suites (yn )n∈N de Y telles que lim yn = x ∈ X. Une telle suite
n→∞
est nécessairement de Cauchy dans (X, d) et donc dans(Y, d). Comme f est
uniformément continue, la suite image (f (yn ))n∈N est de Cauchy dans (X 0 , d0 )
qui est complet. Par conséquent cette suite image (f (yn ))n∈N converge dans
(X 0 , d0 ) et ce pour toute suite (yn )n∈N de Y convergeant vers x. La Proposition
1.4.14 assure l’indépendance de la limite par rapport au choix de la suite et
nous dit que la limite lim f (y) existe.
y→x
y∈Y
puis
n−1
X αm
d(xn , xm ) ≤ αk d(x1 , x0 ) ≤ d(x1 , x0 ).
k=m
1−α
ln((1−α)ε/d(x0 ,x1 ))
Pour ε > 0, on prend Nε > ln(α)
et on a pour m, n ≥ ε, d(xm , xn ) ≤
ε. La suite (xn )n∈N est de Cauchy dans (X, d). Elle admet une limite x ∈ X
qui doit vérifier puisque f est continue f (x) = x.
3) Convergence géométrique : Pour une suite récurrente donnée par xn+1 =
f (xn ) et x0 ∈ X on a
∀n ∈ N, d(xn , x) = d [f n (x0 ), f n (x)] ≤ αn d(x0 , x)
et la convergence vers x est géométrique de raison α.
5.5 Complété
Théorème 5.5.1. Si (X, d) est un espace métrique, il existe un espace métrique
˜ complet dont (X, d) est un sous-espace dense. Cet espace est unique à
(X̃, d)
isométrie près. On l’appelle le complété de (X, d).
Preuve : 1) Unicité : Supposons que (X, d) soit un sous-espace dense de
deux espaces métriques (X̃1 , d˜1 ) (X̃2 , d˜2 ) dont les distances d1 et d2 prolongent
d. Le plongement i2 : (X, d) → (X̃2 , d˜2 ) est une isométrie. En particulier elle
est uniformément continue tandis que X est dense dans (X̃1 , d˜1 ) et tandis que
(X̃2 , d˜2 ) est complet. Elle se prolonge donc de façon unique en une isométrie de
i2 : (X̃1 , d˜1 ) → (X̃2 , d2).
˜ De même l’isométrie i1 : (X, d) → (X̃1 , d˜1 ) a un unique
prolongement isométrique i1 de X̃2 dans X̃1 . Enfin comme ĩ1 ◦ ĩ2 = IdX , on a
X
par unicité du prolongement continu i˜1 ◦ i˜2 = IdX̃1 L’isométrie ĩ1 est surjective
donc une bijection isométrique de X̃2 sur X̃1 . Les espaces (X̃1 , d˜1 ) et (X̃2 , d˜2 )
sont identiques.
2) Existence : On considère CX l’ensemble des suites de Cauchy de (X, d). Si
x = (xn )n∈N et y = (yn )n∈N sont deux suites de Cauchy de X alors l’écart
|d(xn , yn ) − d(xm , ym )| ≤ |d(xn , yn ) − d(xn , ym )| + |d(xn , ym ) − d(xm , ym )|
≤ d(yn , ym ) + d(xn , xm )
est plus petit que ε > 0 pour m, n ≥ Nε avec Nε assez grand puisque x et y
sont deux suites de Cauchy. Ainsi la suite (d(xn , yn ))n∈N est de Cauchy dans
R et donc converge. On pose alors
∀x, y ∈ CX , δ(x, y) = lim d(xn , yn ).
n→∞
d˜ : X̃ × X̃ → R+
_˙ _˙
˜_
( x, y ) → d(
˙ _˙
x, y ) = δ(x, y).
d(xn , xm ) = d xnkn , xm n n n m m m
km ≤ d(xkn , xk ) + d(xk , xk ) + d(xk , xkm )
et en prenant k ≥ max{kn , km },
1 1
d(xn , xm ) ≤ + + d(xnk , xm
k ).
n+1 m+1
_
˙ _
˙
pour tout ε > 0 et n ≥ Nε . On a donc limn→∞ xn = limn→∞ x[xn ] = x
˜
dans (X̃, d).
REMARQUE 6.1.7. Le résultat ci-dessus dit tout simplement que toute fonc-
tion continue périodique sur R à valeurs dans C (ou R) peut s’approcher de
façon uniforme par une suite de polynômes trigonométriques. En effet les fonc-
tions continues sur le cercle unité ne sont rien d’autre que les fonctions conti-
nues sur R périodiques de période 2π (cf. Exemple 1.8.6).
1
Preuve : Pour n ∈ N on pose ε = 6(n+1)
et on a
1 ε2
∀x ∈ [−1, 1] , 0 ≤ (x2 + ε2 ) 2 − |x| = ≤ ε.
(x2 + ε2 )1/2 + |x|
2 −1 √ p
On pose ensuite u = x1+ε 2 de telle sorte que x2 + ε2 = 1 + ε2 + (x2 − 1) =
√ √ 1
√
1 + ε2 1 + u avec |u| ≤ 1+ε 2 . On sait que la fonction u → 1 + u admet
k
P
un développement en série entière k∈N αk u qui a pour rayon de convergence
1
1. En particulier on a convergence uniforme dans le disque de rayon 1+ε 2 . Il
PNε k
existe donc Nε ∈ N tel que QNε (u) = k=0 αk u vérifie
√ 1
1 + u − QNε (u) ≤ ε, pour |u| ≤ .
1 + ε2
On a alors
√ √ √
2
x − 1
∀x ∈ [−1, 1] , x2 + ε2 − 1 + ε2 QNε ≤ 1 + ε2 ε ≤ 2ε.
1 + ε2
√ −1
En particulier pour x = 0, on en déduit 1 + ε2 QNε 1+ε2
≤ 2ε + ε = 3ε.
1
En rappelant que l’on a choisi ε = 6(n+1) , on prend
√
2
x −1 −1
Pn (x) = 1+ ε2 QNε − QNε .
1 + ε2 1 + ε2
1
∀x ∈ [−1, 1] , ||x| − Pn (x)| ≤ ε + 2ε + 3ε = .
n+1
Preuve : En remarquant que par hypothèse A est une algèbre et que max {f, g} =
1
2
(|f + g| + |f − g|) et min {f, g} = 21 (|f + g| − |f − g|), il suffit de vérifier que
pour f ∈ A la fonction |f | appartient aussi à A. De plus, quitte à prendre kffk
∞
on peut supposer kf k∞ ≤ 1.
Dans ce cas (kf k∞ ≤ 1), le Lemme 6.1.8 nous donne pour tout n ∈ N un
polynôme Pn (t) = dk=1 ak tk , a0 = 0, tel que
Pn
1
sup ||f | (x) − Pn (f )(x)| = sup ||f (x)| − Pn [f (x)]| ≤ sup ||t| − Pn (t)| ≤
x∈X x∈X t∈[−1,1] n+1
dn fois
où Pn (f ) = a1 f + a2 f × f + · · · + adn f × . . . × f est un élément de l’algèbre A.
Ainsi la fonction |f | = limn→∞ Pn [f ] s’écrit comme une limite uniforme d’une
suite d’éléments de A. Comme A est par hypothèse fermée, on en conclut que
|f | appartient à A.
Posons ωxy = {z ∈ X, g(z) − ε < fxy (z) < g(z) + ε}. Comme fxy − g est conti-
nue ωx,y est un ouvert (qui contient x et y). Pour x fixé, l’union ∪y∈X ωxy est
un recouvrement fini de X et on peut en extraire un sous-recouvrement fini
∪ni=1 ωxyi . Mais alors la fonction fx = mini∈{1,...,n} fxyi appartient à R puisque
R est réticulée. On a de plus
où iz ∈ {1, . . . , n} désigne un indice où le minimum définissant fx (z) est atteint.
On pose ωx = {z ∈ X, fx (z) = g(z) − ε}. C’est un ouvert qui contient x. Du
recouvrement ∪x∈X ωx , on peut extraire un sous-recouvrement fini ∪m i=1 ωxi .
On prend alors l’élément de R, f = maxi∈{1,...,m} fxi , et on a
∀x, y ∈ X, d(x, y) ≤ αi ,
d0 (f (x), f (y)) ≤ d0 (f (x), f (xi )) + d0 (fi (x), fi (y)) + d0 (fi (y), f (y)) ≤ ε.
qui est uniforme par rapport à f ∈ K (le α ne dépend plus de f ). Cela nous
conduit à la définition suivante.
Définition 6.2.2. Pour deux espaces métriques (X, d) et (X 0 , d0 ), on dit qu’une
partie E de C 0 (X; X 0 ) est équicontinue sur X, (ou encore également uni-
formément continue sur X) si
et on obtient
∀l, l0 ≥ Lε,k , d0 (f nl (x), f nl0 (x)) ≤ ε.
Ainsi la sous-suite (f nl (x))l∈N converge dans (X 0 , d0 ) pour tout x ∈ X. On note
f (x) sa limite.
Il reste à vérifier que la convergence de (f nl )l∈N vers f a lieu uniformément
∀l ≥ Lε , d∞ (f nl , f ) ≤ ε.
Preuve : Soit E un borné de C 1 ([0, 1]; R), E ⊂ Bf,C 1 (0, M ). Comme la norme
kf k∞ est majorée par la norme kf kC 1 , il est clair qu’un borné de C 1 ([0, 1]; R)
est ponctuellement relativement compact. L’équicontinuité vient de l’inégalité
des accroissement finis
Espaces de Hilbert
7.1 Généralités
Nous allons définir en premier lieu l’extension purement algébrique de la notion
d’espace euclidien ou hermitien à la dimension infinie, puis nous donnerons la
bonne généralisation qui inclut une hypothèse topologique.
iv) ∀x ∈ H, (x, x) ≥ 0.
REMARQUE 7.1.2. Les conditions i). . .iv) ont été écrites ci-dessus pour le
cas K = C avec antilinéarité par rapport à gauche. Certains auteurs mettent
l’antilinéarité à droite. C’est simplement une question de convention. Dans le
cas K = R, on a λ = λ de telle sorte que la sesquilinéarité se réduit à la
bilinéarité et de même le caractère hermitien ii) se ramène à la symétrie.
Définition 7.1.3. On appelle espace préhilbertien un K-espace vectoriel H
muni d’un produit scalaire ( , ).
Proposition 7.1.4. (Cauchy-Schwarz) Dans un espace préhilbertien H,
on a
∀x, y ∈ H, |(x, y)| ≤ kxk kyk ,
en posant kxk = (x, x)1/2 et kyk = (y, y)1/2 .
Preuve : Soit x, y ∈ H. Pour λ ∈ K, on a
0 x
REMARQUE 7.1.7. Interprétation géométrique de l’identité ci-dessus pour le
parallélogramme de sommets (0, x, x+y, y) : la somme des carrés des diagonales
est égale à la somme des carrés des côtés. Une autre version appelée identité
de la médiane dit que la somme des carrés des médianes des deux triangles
(0, x, y) et (0, x, x + y) est égales à la médiane (moyenne) des carrés
x + y
2
x − y
2 1
2
2
2
= 2 kxk + y
+
.
2
Définition 7.1.8. On dit qu’une famille de vecteurs (xi )i∈I de H est orthogonale
(resp. orthonormée) si
∀i, j ∈ I, i 6= j, (xi , xj ) = 0
resp. ∀i, j ∈ I, (xi , xj ) = δi,j .
kx − xC k = inf kx − yk .
y∈C
∀y ∈ C, Re (x − xC , y − xC ) ≤ 0.
y Angle obtus
C
xC x
∀y ∈ C, (x − xC , y) = 0 (x − xC orthogonal à C).
xC ∈ C et kx − xC k = lim kx − yn k = inf kx − yk .
n→∞ y∈C
∀t ∈ [0, 1], kx − yt k2 ≥ kx − xC k2
2
tk
et en particulier la dérivée en t = 0, dkx−ydt , doit être positive ou nulle.
t=0
Cela se traduit par
Re (x − xC , y − xC ) ≤ 0.
⇐ Si l’inégalité ci-dessus est vérifiée alors l’expression (7.1.1) de kx − yk2 =
kx − y1 k2 donne
kx − xC k2 ≤ kx − yk2 .
c) Si C est un sous-espace vectoriel alors xC ± y et xC ± iy (cas K = C)
appartiennent à C quand y ∈ C. Le critère du b) donne alors
∀y ∈ C, ± Re (x − xC , y) ≤ 0 et ± Re (x − xC , iy) ≤ 0.
Pour terminer nous insistons encore sur le fait que la structure d’espace de Hil-
bert comme celle d’espace de Banach, combine des structures algébriques et to-
pologiques. Par exemple, on a vu qu’un sous-espace de Hilbert est nécessairement
fermé. Ainsi si on considère une famille de vecteurs (xi )i∈I d’un espace de Hil-
bert H, le sous-espace de Hilbert engendré, i.e. le plus petit sous-espace de
Hilbert contenant tous les xi , doit contenir l’espace vectoriel engendré et être
fermé. C’est en fait l’adhérence de l’espace vectoriel engendré. On rappelle que
Vect(xi , i ∈ I) est l’ensemble des combinaisons linéaires finies des vecteurs xi
n X o
Vect(xi , i ∈ I) = αi xi ,
i∈I
finie
tandis que le sous-espace de Hilbert engendré peut contenir des séries (sommes
ou combinaisons linéaires infinies) convergentes. Cela nous amène à distinguer
ces deux notions par les notations.
Définition 7.1.14. Si (xi )i∈I est une famille de vecteur d’un espace de Hilbert
H, on note Vect(xi , i ∈ I) l’espace vectoriel engendré et Hilb (xi , i ∈ I) le
sous-espace de Hilbert engendré.
A⊥ = {x ∈ H, ∀a ∈ A, (a, x) = 0} .
1) (A ⊂ B) ⇒ B ⊥ ⊂ A⊥ .
⊥
2) A⊥ = A = (Vect A)⊥ = (Hilb A)⊥ .
Preuve : 1) Pour A ⊂ B, on a tout simplement
B ⊥ = ∩ a ⊥ ⊂ ∩ a ⊥ = A⊥ .
a∈B a∈A
On en déduit x = PF (x) ∈ F .
Corollaire 7.2.5. Pour une partie A de H, on a (A⊥ )⊥ = Hilb A.
Preuve : On a vu dans la Proposition 7.2.3, l’égalité A⊥ = (Hilb A)⊥ . Comme
Hilb A est un sous-espace vectoriel fermé on a
⊥ ⊥
A⊥ = (Hilb A)⊥ = Hilb A.
Preuve : Soit l une forme linéaire continue sur H. On note F = Ker l. C’est
un sous-espace fermé puisque l est continue.
Existence : On distingue 2 cas : 1) Si F ⊥ = {0} alors on a F = (F ⊥ )⊥ = H,
l = 0 et on prend f = 0. 2) Si F ⊥ 6= {0} alors on prend u ∈ F ⊥ de norme 1.
l(x)
On a l(u) 6= 0 et pour x ∈ H on a x − l(u) u ∈ Ker l = F . Le produit scalaire
l(x)
(u, x − l(u)
u) est donc nul, ce qui donne
∀x ∈ H, l(x) = l(x)(u, u) = l(u)(u, x) = (f, x)
en prenant f = l(u)u.
Unicité : Soit f1 et f2 deux vecteurs de H qui vérifient : ∀x ∈ H, (f1 , x) =
l(x) = (f2 , x). On obtient en prenant x = f1 − f2 ,
(f1 − f2 , f1 − f2 ) = l(f1 − f2 ) − l(f1 − f2 ) = 0
d’où l’on tire f1 = f2 .
REMARQUE 7.2.8. Ce théorème nous dit entre autre que le dual topologique
H 0 d’un espace de Hilbert H s’identifie à H. Attention : l’identification dépend
du choix du produit scalaire.
Preuve : ⇒ Si H est séparable une suite (xn )n∈N dense dans H vérifie
H = Hilb (xn , n ∈ N)
⇐ Supposons Hilb (xn , n ∈ N) = H c’est à dire Vect (xn , n ∈ N) dense dans
H. On définit par récurrence la sous-suite (xnk )k∈N et les sous-espaces vectoriels
Vk = Vect (x0 , x1 , . . . , xnk ) tels que dim Vk = k +1 et xnk ∈ Vk \Vk−1 . Pour tout
k ∈ N, le sous-ensemble +ni=0 k
QK xi est dénombrable (QK 1 est dénombrable)
et dense dans Vk . On prend alors D = ∪k∈N (+ni=0 k
QK xi ). Il est dénombrable
comme union dénombrable d’ensembles dénombrables et il reste à vérifier qu’il
est dense. Soit x ∈ H et soit ε > 0. Comme Vect (xn , n ∈ N) = ∪k∈N Vk est
dense dans H il existe gε appartenant à un certain Vkε telle que kf − gε k ≤ ε/2.
nkε nkε
Maintenant comme +i=0 Qxi est dense dans Vkε , on peut trouver hε ∈ +i=0 Qxi
tel que kgε − hε k ≤ ε/2. On a trouvé hε ∈ D tel que kf − hε k ≤ ε.
P
muni du produit scalaire (x, y) = k∈N xk yk est un espace de Hilbert
séparable. (Il en est de même de l2 (Z; K).) En effet on considère la fa-
mille (en )n∈N de l2 (N; K) donnée par en,k = δnk . Alors l’espace vectoriel
engendré Vect (en , n ∈ N) n’est autre que l’espace des suites nulles en
dehors d’un nombre fini d’indices ( ici ce n’est rien d’autre que K[X]). Il
est dense dans l2 (N; K) et donc Hilb (en , n ∈ N) = l2 (N; K) est séparable.
En fait, comme le système (en )n∈N est orthonormé, c’est même une base
hilbertienne de l2 (N; K).
1
On désigne par QK l’ensemble des rationnels pour K = R et l’ensemble des complexes à
partie réelle et imaginaire rationnelles pour K = C.
et on a l’identité de Parseval
X
(x, y) = xn yn .
n∈N
Avec la convergence de la série n∈N |xn |2 , on peut trouver pour tout ε > 0
P
Nε , tel que kSN − SM k ≤ ε pour N, M ≥ Nε . Ainsi la suite (SN )N ∈N est de
Cauchy dans HPqui est complet. Elle admet une limite que l’on note pour
l’instant S = n∈N xn en . En utilisant la continuité du produit scalaire on
obtient pour tout m ∈ N,
!
X
(em , x − S) = (em , x) − em , xn en = xm − xm = 0.
n∈N
la limite.
Exercices
S T
d) Ecrire i∈I j∈J A i,j comme une intersection d’unions. En déduire
qu’une union finie d’intersections s’écrit comme une intersection d’unions
finies.
Exercice 4. Soit (E, d) tel que E contient au moins deux points. Est-il possible
que les seuls ouverts soient E et ∅ ?
1 1
a) Montrer que pour a, b ∈ R+ et p
+ q
= 1 on a
1 1
ab ≤ ap + bq .
p q
(Indication : On pourra utiliser la convexité de la fonction x → ex . )
b) Inégalité de Hölder : Pour (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . bn ) ∈ Rn , montrer
n
n
! p1 n
! 1q
X X X 1 1
ai b i ≤ |ai |p |bi |q avec + = 1.
p q
i=1 i=1 i=1
Pn
(Indication
Pn on pourra d’abord montrer l’inégalité dans le cas où i |ai |p =
q
i=1 |bi | = 1.)
c) Inégalité de Minkowski : Pour (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn montrer
n
! p1 n
! p1 n
! p1
X X X
|ai + bi |p ≤ |ai |p + |bi |p .
i=1 i=1 i=1
Exercice 7. Pour un corps K on note K[[X]] l’espace vectoriel des séries for-
melles c’est à dire l’ensemble des suites à valeurs dans K et on rappelle que
l’ensemble K[X] des polynômes est le sous-espace vectoriel des suites s’annu-
lant à partir d’un certain rang. Pour une série formelle a = (an )n∈N , on note
v(a) le plus petit entier k tel que ak 6= 0 (v(a) s’appelle la valuation de a).
a) Montrer que la quantité d(a, b) = e−v(b−a) (où l’on convient que e−∞ =
0) définit une distance sur K[[X]]. On vérifiera en fait l’inégalité ul-
tramétrique
Exercice 9. Montrer que si l’espace topologique (X, T ) est séparé alors tout
singleton {x} est fermé et peut s’écrire comme l’intersection de tous les voisi-
nages de x.
Exercice 10. Sur Rn , on considère la topologie Tf dont une base de fermés est
formée des singletons de Rn . Décrivez tous les fermés de (Tf ), tous les ouverts,
tous les voisinages. La topologie Tf est-elle séparée ?
Exercice 13. Soit (X, d) un espace métrique. Montrer que diam(A) = diam(A).
Donner un exemple pour lequel diam (B(x, 1)) < diam (Bf (x, 1)).
Exercice 14. Montrer que dans un espace vectoriel normé, l’adhérence d’une
boule ouverte B(x0 , ρ), ρ > 0, est Bf (x0 , ρ).
Exercice 15. Montrer que toute boule ouverte d’un espace vectoriel normé E
ρx
est homéomorphe à E (Indication : considérer l’application x → 1+kxk .)
Exercice 17. Soit U un ouvert d’un espace métrique (X, d). Montrer l’inclu-
◦
sion U ⊂U et donner un exemple d’inclusion stricte.
Exercice 20. Soit (X, T ) un espace topologique séparé et soit f une appli-
cation continue de X dans X. Montrer que si une suite récurrente définie par
xk+1 = f (xk ) converge vers l ∈ X alors cette limite est solution de l = f (l). Ap-
plication : Vérifiez qu’une suite (Ak )k∈N de Mn (C) vérifiant Ak+1 = A∗k Ak + Id
ne converge pas.
Exercice 21. Moyenne de Cesaro : Soit (xn )n ∈ N une suite de réels telle que
limn→∞ xn = l ∈ R.
x1 +···+xn
a) Montrer que la suite donnée par yn = n
converge vers l.
b) Plus généralementP∞ si (cn )n∈N est une suite de réels strictement posi-
tifs telle que n=1 cn = +∞, montrer que la suite donnée par zn =
c1 x1 +···+cn xn
c1 +···+cn
converge vers l.
Exercice 23.
a) Soit r un réel irrationnel. Montrer que l’ensemble Z + Nr est dense
dans R. Indication : On considèrera la suite des parties fractionnaires
(f rac(nr))n∈N . On rappelle (ce qui sera revu au Chapitre 3) que toute
suite bornée de R admet une valeur d’adhérence.
b) En déduire que si a et b sont deux réels, a 6= 0, tels que ab 6∈ Q alors
l’ensemble Na + Zb est dense dans R.
c) En déduire que einθ , n ∈ N est dense dans le cercle unité S 1 dès que
θ
π
6∈ Q (on utilisera la continuité et la surjectivité de ei. : R → S 1 .)
d) En déduire que {sin(nθ), n ∈ N} est dense dans [−1, 1].
n−1 n n−1
Exercice 25. On note
n
PnS 2 la sphère de dimension n − 1 dans R , S =
{(x1 , . . . , xn ) ∈ R , x
i=1 i = 1}. Montrer que la sphère moins 1 point est
homéomorphe à Rn−1 . (On pourra considérer en premier lieu les cas n = 2 et
n = 3).
Exercice 26. Soit f une application continue d’un espace topologique (X, T )
dans un espace topologique (Y, T 0 ). Montrer que le graphe Γ = {(x, f (x)), x ∈ X}
est homéomorphe à X.
Exercice 28. Soit (Xi , Ti )i∈I une famille d’espaces topologiques. Montrer que
la topologie produit sur Πi∈I Xi est la topologie la moins fine qui rende les
projections pj : Πi∈I Xi → Xj continues.
Exercice 29. Soit (Xn , dn )n∈N une famille dénombrable d’espaces métriques.
Montrer que la topologie produit sur Πn∈N Xn est métrisable (on étudiera la
dn (xn ,yn )
quantité d(x, y) = n∈N 2−n 1+d
P
n (xn ,yn )
.)
Exercice 31.
On munit X = {0, 1} de la topologie discrète. Montrer que la topologie produit
sur X I est strictement moins fine que la topologie discrète dès que I est infini.
Exercice 33. Soit A une partie d’un espace métrique E muni de la distance
d.
a) Démontrer que d(x, A) = 0 ⇔ x ∈ A;
Exercice 36. Soit U et V deux ouverts d’un espace métrique E tels que
o o
U ∩ V = ∅. Prouver que U ∩ V = ∅.
o
Exercice 37. Soit A une partie d’un espace métrique E. On note u(A) =A et
o
v(A) = A. Montrer que u et v sont des applications qui respectent l’inclusion,
o
que u2 = u et v 2 = v. Comparer A, u(A), v(A), A.
Exercice 40.
a) Avec les métriques usuelles, vérifiez que la sphère de dimension n − 1 S n−1
peut s’écrire comme quotient topologique de Rn \ {0} par la relation
d’équivalence (xRy) ⇔ (∃λ > 0, y = λx).
Exercice 42. Sur R, on note O la famille des ouverts pour la topologie usuelle
et D la famille des parties dénombrables de R. On considère alors la famille
O0 = {O0 ⊂ R, O0 = O \ D, O ∈ O, D ∈ D}. Vérifier que cette famille définit
bien une topologie T 0 sur R. Cette topologie est-elle séparée ? Admet-elle en
tout point une base de voisinages fermés ?
Un théorème dû à Hilbert assure que tout idéal de C[X1 , . . . , Xn ] est de cette
forme (on dit que l’anneau C[X1 , . . . , Xn ] est noethérien). On appelle ensemble
algébrique de Cn , un ensemble sur lequel s’annulent tous les polynômes d’un
idéal de C[X1 , . . . , Xn ] :
FI = {x ∈ Cn , ∀P ∈ I, P (x) = 0} .
FI = {x ∈ Cn , P1 (x) = · · · = Pm (x) = 0} .
8.2 Connexité
Exercice 47. Donner un exemple de partie connexe, dont l’intérieur n’est pas
connexe.
Exercice 49. Montrer que si A et B sont deux parties connexes d’un espace
topologique (X, T ) telles que A ∩ B 6= ∅ alors A ∪ B est connexe. Est-ce encore
vrai en supposant seulement A ∩ B 6= ∅ ?
Exercice 51. Dans le plan euclidien R2 , on fixe un repère orthonormé (O;~i, ~j).
Les cercles du plan sont alors les courbes d’équation x2 + y 2 + ax + by + c = 0
avec
(a, b, c) ∈ F = (α, β, γ) ∈ R3 , γ ≤ α2 + β 2 .
O(n) = A ∈ Mn (R), t AA = Id .
Exercice 54. On admettra que les valeurs propres d’une matrice symétrique
A ∈ Mn (R), t A = A dépendent continûment de A (voir le résultat de conti-
nuité des racines d’un polynôme dans l’exercice 114). Montrer que l’ensemble
des matrices symétriques définies a n + 1 composantes connexes (On fera in-
tervenir la composante connexe par arcs de Id dans GLn (R).).
8.3 Compacité
Exercice 62. Soit A compact métrique. Montrer qu’il existe deux points x et
y tels que d(x, y) = diam(A).
Exercice 66. Soit A un compact d’un e.v.n., (xn ) une suite de A et L l’en-
semble des valeurs d’adhérence de cette suite. Calculer lim d(xn , L).
n→∞
n→∞
On définit la suite (xn ) de A par x0 ∈ A, xn+1 = f (xn ). Montrer que xn −→ a.
En déduire que a est un point fixe de f .
Montrer que f possède un unique point fixe. Peut-on toujours trouver 0 < k <
1 tel que d(f (x), f (y)) < kd(x, y) ?
Exercice 69.
a) Soit F un fermé de Rn . Montrer que pour tout x ∈ Rn , d(x, F ) est
atteinte.
b) On suppose que U est un ouvert de Rn tel que
Exercice 70. Soit f : Rn → Rn une bijection continue telle que lim kf (x)k =
kxk→∞
∞. Montrer que f est un homéomorphisme.
Exercice 76. Expliquez pourquoi d(f, g) = supx∈[0,1] |f (x) − g(x)| définit une
distance sur C 0 ([0, 1]; R). Les fermés bornés de C 0 ([0, 1]; R) sont-ils compacts
les bases de voisinages des points de X restant inchangées. Vérifier que (X, T )
est un sous-espace topologique de (X 0 , T 0 ) et que (X 0 , T 0 ) est compact. Que
donne la compactification par un point de R2 .
C définie par φ(P ) = P (x0 ). Déterminer les x0 pour lesquels φ est continue et
calculer alors sa norme.
Exercice 91. Pour quelles valeurs du réel λ définit-on une norme sur R2 par
p
Nλ (x, y) = x2 + 2λxy + y 2 ?
Exercice 92. Soit A une partie non vide d’un espace normé E et f : A → R
une fonction k-Lipschitzienne. Montrer que la fonction
est bien définie. Vérifier que g prolonge f et que g est aussi k-Lipschitzienne.
Exercice 93. Soit A une partie non vide et bornée d’un espace normé E.
Montrer que toute demi-droite d’origine a dans A rencontre la frontière de A.
En déduire que A et F r(A) ont le même diamètre.
P → sup |P (x)| = kP k
x∈[0,1]
∀P ∈ En kP k ≥ a(n).
|f (y) − f (x)|
f → N (f ) = |f (0)| + sup .
0≤x≤y≤1 |y − x|
Exercice 96. Montrer que l’on définit une norme sur R2 par
|x + ty|
N (x, y) = sup .
t∈R 1 + t2
Déterminer et dessiner la sphère unité.
Exercice 97. Dans l’espace des fonctions continues définies sur [0, 1] à valeurs
dans R, muni de la norme k · k∞ , on considère une famille (f1 , . . . , fp ) ∈ E p et
on définit l’application N : Rp → R par
p
X
N (x1 , . . . , xp ) = k xi fi kL∞ .
i=1
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que N soit une norme sur
Rp .
P P
En déduire que supj i |aij | et supi j |aij | définissent des normes d’algèbre
sur Mn (K).
Exercice 101. Calculer les normes des formes linéaires suivantes sur C([−1, 1])
muni de la norme de la convergence uniforme.
R1
a) 0 f (x) dx
R1
b) −1 sign(x)f (x) dx
R1
c) −1 f (x) dx − f (0)
f (a)+f (−a)−2f (0)
d) a2
, où a ∈]0, 1] est une constante.
P∞ (−1)n 1
e) n=1 n2 f ( n ).
Exercice 102.
Pn
a) Montrer que sur Rn [X], kP kn = k=0 |P (k)| définit une norme.
b) Déterminer la norme de l’application linéaire f de R2 [X] dans R3 [X] qui
au polynôme P (X) associe le polynôme XP (X), quand ces espaces sont
munis respectivement des normes k · k2 et k · k3 .
qR
1
Exercice 105. Montrer que |f |2 = 0
|f (t)|2 dt définit une norme sur
C 0 ([0, 1]).
Montrer que la forme linéaire f → f (0) n’est pas continue pour cette norme.
En déduire que {f ∈ C 0 ([0, 1]), f (0)
= 0} n’est pas fermé.
Montrer que les sous-espaces F1 = f ∈ C 0 ([0, 1]), ∀x ∈ [0, 12 ], f (x) = 0 et
F2 = {f ∈ C 0 ([0, 1]), ∀x ∈ [ 12 , 1], f (x) = 0 sont fermés dans C 0 ([0, 1]) avec
Exercice 107. Pour A et B deux parties d’un espace vectoriel normé (E, k k),
on note A + B = {x + y, x ∈ A, y ∈ B}.
a) Montrer que si A ou B est ouvert alors A + B est ouvert.
b) Vérifier que si A et B sont convexes, A + B est convexe.
c) Montrer que si A est compact et B est fermé, A + B est fermé.
d) Donner un contre-exemple en dimension infinie où la somme de deux
espaces vectoriels fermés n’est pas
fermée. Dans le cas de R2 considérer
1
l’exemple A = R− × {0} et B = (x, y), y ≥ x , x > 0 .
e) Montrer que si A et B sont fermés et si de plus la somme S : (x, y) ∈
A × B → S(x, y) = x + y ∈ E est propre (au sens où S −1 (K) est compact
si K est compact) alors A + B est fermé.
Exercice 108. Soit (E, k k) un espace vectoriel normé. Montrer que s’il existe
un convexe compact d’intérieur non vide dans E alors E est de dimension finie.
Exercice 109. On note l0∞ (R) l’ensemble des suites réelles qui tendent vers 0
à l’infini. Vérifier que c’est un fermé de l∞ (R) pour la norme k k∞ .
On note E = {x = (xn )n∈N , ((n + 1)xn )n∈N ∈ l∞ (R)}. Montrer que E est un
sous-espace vectoriel dense de l0∞ (R).
Sur E on met la norme kxkE = supn∈N |(n + 1)xn |. Montrer que les boules
fermées de (E, k kE ) sont des convexes compacts de (l0∞ (R), k k∞ ). Que peut-
on dire de leur intérieur pour la norme kk∞ ? Peut-on trouver une boule de
(E, k kE ) qui est dense dans la boule unité de (l0∞ (R), k k∞ ) ?
Montrer que ce sup est en fait un maximum quand E est de dimension finie.
Est-ce encore vrai en dimension infinie ?
Exercice 111. On note C[X] l’ensemble des polynômes sur C et Cn [X] l’en-
semble des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Pour N ∈ N ∪ {∞}, on
se donne une suite de points distincts (zk )k∈{0,1,...,N } du disque unité ouvert
D(0, 1).
a) Montrer que pour N < ∞, la quantité supk∈{0,...,N } |P (zk )| définit k une
norme sur CN [X] et que cette norme est équivalente à supk∈{0,...,N } P (z0 )
et à supz∈D(0,2) |P (z)|.
b) Pour N = +∞, montrer que la quantité supk∈N |P (zk )| définit une norme
d’algèbre sur C[X]. Est-elle équivalente à la norme supz∈D(0,2) |P (z)| ?
u ◦ v − v ◦ u = Id .
f 0 (z)
Z
1
dz.
2πi |z−z0 |=ρ f (z)
2
question subsidiaire qui demande d’avoir fair l’exercice 43
Exercice 116. Soit (En , k kn ) une suite d’espaces vectoriels normés de dimen-
sion finie. Rappeler pourquoi la topologie produit sur Πn∈N En est métrisable.
Est-ce que une distance donnant cette topologie est associée à une norme ?
8.5 Complétude
Montrer que l’on définit ainsi trois normes non équivalentes et que l’espace
(C[X], k · k∞ ) n’est pas complet.
Exercice 123. Soit E l’ensemble des suites de nombres réels (xn ) telles que
xn ∈ [0, 1] ∀n. On pose d(x, y) = supn |xn −y
n
n|
. Montrer que d est une distance
et que E est un espace complet et compact. Ceci reste-t-il vrai si l’on prend
sur E la distance supn |xn − yn | ?
R1
Exercice 124. Montrer que l’espace C([0, 1]; R) normé par kf k1 = 0 |f (x)| dx
n’est pas complet. (on pourra considérer la suite de fonctions fn (t) = inf(n, √1t ))
Exercice 126. On désigne par E = C([0, 1]; R) l’e.v. des applications conti-
nues de [0, 1] dans R normé par la norme de la convergence uniforme. A tout
x ∈ E on associe la fonction
h Z 1 i
y(t) = 1/2 1 + test x(s) ds .
0
Exercice 127. Soit λ ∈]0, 1[, a ∈ R et g une fonction continue et bornée sur
R. Montrer qu’il existe une unique fonction f continue et bornée sur R telle
que pour tout x réel f (x) = λf (x + a) + g(x). Calculer f si g = cos.
Exercice 128. Soit (X, d) et (Y, d0 ) deux espaces métriques complets, D une
partie dense de X et (gn ) une suite d’applications 1-Lipschitzienne de X dans
Y telle que pour chaque x ∈ D, la suite gn (x) converge dans Y . Montrer que
gn converge simplement sur X vers une application g de X dans Y et que g
est continue.
kf k = sup |tf (t)|. Montrer que E est complet et qu’il existe un unique f ∈ E
tel que, pour tout t ∈]0, 1[ :
t t cos t
6f (t) = f ( ) + f ( ) + .
3 2 t
Exercice 132. Démontrer que si f est continue sur [a, b], à valeurs réelles ou
Rb
complexes et telle que pour tout n ∈ N, a xn f (x) dx = 0 on a f = 0. (utiliser
un raisonnement de densité).
(On utilisera une suite (yn )n∈N de C minimisant la quantité inf y∈C kx − yk et
on montrera qu’elle est de Cauchy).
Donner une norme sur R2 (non uniformément convexe) pour laquelle la conclu-
sion est fausse.
qP
n 2
Exercice 135. On munit Rn de la norme euclidienne kxk = i=1 |xi |
a) Vérifier que l’on a
x + y
2
x − y
2 1
n
∀x, y ∈ R ,
+
= kxk2 + 1 kyk2 .
2
2
2 2
∀y ∈ C, (y − PC (x), x − PC (x)) ≤ 0.
Vérifiez que la suite (fn )n∈N est de Cauchy pour la norme N1 . En déduire que
C 0 ([0, 1]; R) n’est pas complet pour la norme N1 .
Exercice 139. Montrer que le dual topologique E 0 d’un espace vectoriel normé
(E, k k) sur K = R ou C muni de la norme
Exercice 140. Montrer que pour une norme quelconque sur Mn (K), K =
R ou C, Id +A est inversible et log(Id +A) est bien défini dès que la norme de
A est assez petite. (On vérifiera que c’est vrai en particulier pour kAk < 1 si
k k est une norme d’algèbre).
Exercice 142. On rappelle que les matrices diagonalisables forment une partie
dense dans Mn (C). Montrer que l’on a pour tout A ∈ Mn (C)
∞
X
(1 − zA)−1 = (zA)k .
k=0
Exercice 145. On rappelle qu’un espace métrique (X, d) est dit ultramétrique
si la distance vérifie
∀x, y, z ∈ N, d(x, z) ≤ max {d(x, y), d(y, z)} .
a) Montrer qu’une suite (xn )n∈N d’un espace ultramétrique est de Cauchy
si et seulement si la distance d(xn , xn+1 ) tend vers 0 quand n → ∞.
b) Pour un corps K, on note K((X)) l’ensemble des séries formelles ”avec
pôle en 0”, i.e. l’ensemble des suites de K indexées par n ∈ Z nulles en
dessous d’un certain rang.
K((X)) = {S = (sn )n∈Z , ∃n0 ∈ Z, ∀n ≤ n0 , sn = 0} .
Comme pour K[[X]] (cf exercice 7), on écrit S = +∞ k
P
k=v(S) sk X et on
définit une distance ultramétrique sur K((X)) à l’aide de la valuation en
posant d(S, T ) = e−v(S−T ) .
∀y1 , y2 ∈ Rd ,
((t, y1 ) ∈ Vty et (t, y2 ) ∈ Vty ) ⇒ (kf (t, y2 ) − f (t, y1 )k ≤ Cty ky2 − y1 k) .
a) Montrer que pour α > 0 et r > 0 assez petit l’application Φ définie sur
Fαr = C 0 (Bfn (0, α); Bfm (0, r)) par
S ◦
ii) En appliquant le a), en déduire que On = p∈N Fn,p est un ouvert
dense de [0,
T 1]. A l’aide du théorème de Baire à nouveau, en déduire
que G = n∈N On est un Gδ -dense de [0, 1].
iii) Expliciter ce que signifie x ∈ G et en conclure que la limite simple
f est continue en tout point de G.
b) Montrer que la fonction 1Q ne peut être limite simple d’une suite de
fonctions continues.
c) Montrer que la dérivée de toute fonction dérivable sur [0, 1] est continue
sur un Gδ -dense de [0, 1]. (On écrira la dérivée comme une limite simple
de fonctions continues).
et n
X
2 n−2
n(n − 1)X (X + Y ) = p(p − 1)Cnp X p Y n−p .
p=0
nx−p 2
Vérifier que si x − np ≥ α alors
nα
≥ 1. En remarquant que
n
X p
f (x) − Pn (x) = Cnp f (x) − f xp (1 − x)n−p
p=0
n
montrer que
2 kf k∞
|f (x) − Pn (x)| ≤ ε + .
nα2
Conclure que lim Pn (x) = f (x) uniformément sur [0, 1].
n→∞
d) Comment obtient-on en général le résultat pour C 0 ([a, b]; R) ?
Exercice 151. Soit (X, d) un espace métrique compact. Vérifier que C 0 (X; R)
sépare les points : i) Pour tout x ∈ X il existe f ∈ C 0 (X; R) tel que f (x) 6= 0 ;
ii) pour tout x, y ∈ X, x 6= y, il existe f ∈ C 0 (X; R) telle que f (x) 6= f (y).
(On utilisera la distance pour construire de telles fonctions).
Vérifier que la suite (xN )n∈N∗ est équicontinue. En déduire qu’il existe
une fonction x continue sur [t0 , t0 + γ] et une sous-suite (xNk )k∈N qui
converge uniformément vers x sur [t0 , t0 + γ].
c) Vérifier que pour N ∈ N∗ la fonction xN vérifie
Z t X
∀t ∈ [t0 , t0 + γ], xn (t) = x0 + 1[tN,i ,tN,i+1 ] (s)f (tN,i , xN (tN,i )) ds.
0 t <t
N,i
x(t0 ) = x0 .
p
e) A-t-on unicité de la solution (On pourra considérer f (x) = |x|, x0 = t0 =
0) ? Comparer au théorème de Cauchy-Lipschitz (Exercice 146).
note C 0 (S 1 ; C).
dθ dθ
a) Expliquez pourquoi on peut identifier L2 (S 1 , 2π ) avec L2 [0, 2π], 2π ,
2 1 dθ
pourquoi L (S , 2π ) muni du produit scalaire
Z 2π
dθ
(f, g) = f (θ)g(θ)
0 2π
est un espace de Hilbert et pourquoi C 0 (S 1 ) est dense dans L2 (S 1 ) (Cf
cours d’intégration).
b) Vérifier que (einθ )n∈Z est un système orthonormé de L2 (S 1 ).
c) En appliquant un corollaire de Stone-Weierstrass, inθ montrer
que l’espace
des polynômes trigonométriques que V ect e , n ∈ Z est dense dans
L2 (S 1 ). En déduire que (einθ )n∈Z est une base hilbertienne de L2 (S 1 ).
d) En déduire que pour tout f ∈ L2 (S 1 ), on a f = n∈Z fn einθ dans L2 (S 1 )
P
R 2π
en posant fn = 0 e−inθ f (θ) 2π dθ
. Montrer de plus l’identité de Parseval
Z 2π
dθ X
|f (θ)|2 = |fn |2 .
0 2π n∈Z
Adhérence, 13 équi-, 87
Algèbre des racines, 123
normée, 61 globale, 23
Application partielle, 34 ponctuelle, 21
Application propre, 55 uniforme, 25
Arc, 46 Convergence
Axiomes de Kuratowski, 106 absolue, 74
normale, 74
Base simple, 36
algébrique, 99 uniforme, 4, 28
hilbertienne, 99 Convexe(s)
Bilipschitzienne, 25 jauge d’un, 124
Borel-Lebesgue normes et, 124
propriété de, 47 séparation des, 128
Bornée fonctions, 124
fonction, 3 uniformément, 127
partie, 2 Corps p-adique, 131
Boules, 2 Cylindre ouvert, 31
Théorème
d’Ascoli, 88
de Baire, 132
de Bolzano-Weierstrass, 48
de Cauchy-Arzelà :, 136
de Cayley-Hamilton, 123
de d’Alembert, 117
de Dini, 117
de Heine, 55
de Heine-Borel-Lebesgue, 51
de la projection, 94
de Picard, 76
de prolongement, 75
de représentation de Riesz, 98
de Riesz, 64
de Stone-Weierstrass, 82
de Tychonoff, 52
des fonctions implicites, 131
de Cauchy-Lipschitz, 131
Topologie, 7
discrète, 9
métrisable, 9
de Zariski, 110
grossière, 9
induite, 12
métrisable, 9
plus fine, 29
produit, 31
quotient, 37
Topologique
dual, 60
somme directe, 64
Tore, 110
Trace
d’un fermé, 12
d’un ouvert, 12
d’un voisinage, 12
Valeur d’adhérence, 49
Voisinages, 9
base de, 11