DESARROLLO TEMÁTICO

ÁLGEBRA BOOLEANA

CONCEPTOS.- El matemático Británico GEORGE BOOLE(siglo 19), elaboró

el Álgebra Booleana, la cual es fundamental en el diseño de
los modernos ordenadores y se entiende como el álgebra del sistema
numérico binario.

Boole desarrolló el concepto de que aseveraciones lógicas pueden ser

evaluadas mediante herramientas matemáticas con verdadero o falso y
pueden ser representadas por símbolos y además todas las operaciones
representadas por símbolos pueden ser implementadas por elementos físicos
de tipo mecánico, eléctrico, electrónico que admiten entradas (binarias lógicas)
y que en respuesta a estos valores de entrada, toman uno de dos estados, los
cuales pueden ser, según el elemento utilizado:
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ELEMENTOS UTILIZADOS SITUACIÓN DEL ELEMENTO

“1” “0”
Lámpara Encendida Apagada
Línea Con tensión Sin tensión
Relé Activado Desactivado
Contacto Abierto Cerrado
Condensador Cargado Descargado

El Álgebra Booleana es un ciencia que trata de los símbolos y sus

combinaciones y se utiliza para representar operaciones matemáticas de
acuerdo con las reglas de la lógica.

En álgebra Booleana la expresión : A + B = C se define, no como expresión

matemática, sino como una expresión lógica
NOTA.- El álgebra común sigue las reglas aritméticas, el Álgebra
Booleana obedece a las reglas de la lógica.
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Cantidades y operaciones del Álgebra Booleana.- Son diferentes a las del
álgebra común.
El Álgebra Booleana sólo considera dos cantidades o valores diferentes: 0 y 1;
dos operaciones binarias:
Adición o suma lógica.- También llamada operación OR, correspondiente a
la disyunción de proposiciones lógicas y a la
unión de conjuntos.
Su símbolo es + (el signo más).

Multiplicación o producto lógico.- También llamada operación AND,

correspondiente a la conjunción de
proposiciones lógicas y a la intersección de conjuntos.

Su símbolo es . (el punto).

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Y una operación unitaria:

El complemento o inversión lógica.- Denominada también, operación NOT,

correspondiente a la negación de una
proposición lógica y a la operación de complemento en conjuntos.

,
Su símbolo es el apóstrofo ( ) en la variable complementada (o también la
raya vertical en la variable complementada).

LEYES , AXIOMAS O PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA BOOLEANA

Se utilizan en los procesos de simplificación de expresiones booleanas o en

las demostraciones. Estas propiedades se presentan en pares, ya que cada
propiedad tiene un dual o equivalente, que es también verdad.
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LEYES, AXIOMAS O PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA BOOLEANA

NOMBRE DE LA LEY FORMA AND FORMA OR

Idempotencia x.x = x x+x =x
Identidad o modulativa o x.1 = x x+0 = x
neutro
Acotación x.0 = 0 x + 1 = 1
Conmutativa xy = yx x + y = y + x
Asociativa (x y) z = x (y z) (x + y) + z = x + (y + z)
Distributiva x + (y z) = (x + y)(x + z) x (y + z) = (x y) + (x z)
Absorción
x (x + y) = x x + xy = x
D” Morgan (x . y)” = x ” + y” (x + y)” = x” . Y”

Del complemento o inversa x . x” = 0 x + x” = 1

Involución o doble negación o doble
complemento
(x”)” = x (1”)” = 1 (0”)” = 0
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La posibilidad de expresar problemas lógicos en forma matemática por medio
de símbolos, puede permitirle al técnico alcanzar una mayor comprensión del
funcionamiento de los circuitos lógicos de la computadora. La secuencia lógica
de una computadora puede resultar más clara si se emplean expresiones
booleanas.

De allí que el objetivo del Álgebra de Boole tenga en este campo una de sus
principales aplicaciones al emplear compuertas para implementar y
simplificar circuitos lógicos.

El componente principal de un circuito digital es la compuerta lógica, de la que

existen varios tipos, las que combinándolas y uniéndolas mediante cables
permiten construir circuitos.

Las principales compuertas lógicas son:

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COMPUERTA AND.- Es el dispositivo que ejecuta la operación de
multiplicación o producto lógico
Símbolo estándar:
A
AND
B Y = A.B

Expresión Booleana : Y = A . B

TABLA DE VERDAD
A B Y= A.B
0 0 0
0 1 0
1 0 0 Nota: En la compuerta AND
pueden emplearse más de dos
1 1 1 entradas.
 DESARROLLO TEMÁTICO
COMPUERTA NAND.- Es la compuerta (NO-Y) y se concibe como la
negación de la compuerta AND. (Si un inversor o una
función negación se conecta a la salida de una compuerta AND, el resultado
será una compuerta NAND.
Símbolo estándar:
A NAND
B
Y = A.B
Expresión Booleana : Y=A.B
TABLA DE VERDAD
A B Y= A.B
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
 DESARROLLO TEMÁTICO
COMPUERTA OR.- Es el dispositivo electrónico que ejecuta la operación de
adición o suma lógica.
Símbolo estándar:
A OR
B Y=A+B

Expresión Booleana : Y = A + B

TABLA DE VERDAD
A B Y= A+B
0 0 0
0 1 1 Nota: En la compuerta OR
1 0 1 pueden emplearse más de dos
1 1 1 entradas.
 DESARROLLO TEMÁTICO
COMPUERTA NOR.- Es la compuerta (NO-O) y se concibe como la negación
de la compuerta OR. Una compuerta NOR es
equivalente a una compuerta OR con un inversor conectado a su salida.
Símbolo estándar:

A NOR
B
Y=A+B

Expresión Booleana : Y = A + B

TABLA DE VERDAD
A B Y= A+B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
 DESARROLLO TEMÁTICO
COMPUERTA NOT.- Es el dispositivo electrónico que ejecuta la operación de
complementación o inversión lógica.
Símbolo estándar:

NOT
A
Y= A
Expresión Booleana : Y = A

TABLA DE VERDAD
A Y= A
0 1
1 0

NOTA.- La compuerta NOT corresponde a la negación de una

proposición en lógica.
 DESARROLLO TEMÁTICO
Cuadro de correspondencia entre la lógica, la teoría de conjuntos, el álgebra de
Boole y las compuertas
Lógica Disyunción Conjunción Negación
p V q p Λ q ~p

Conjuntos Unión Intersección Complemento

A U B A ∩ B A

Álgebra de Boole Suma Producto Inversor

x + y x.y x
Compuertas OR AND NOT

OR AND NOT
 2n
DESARROLLO TEMÁTICO
IMPLEMENTACIÓN DE CIRCUITOS LÓGICOS

Un circuito combinacional es aquel que está formado por funciones lógicas

elementales ( AND, OR, NAND, NOR…etc.) interconectadas cuya salida en un
momento dado, es función solamente de la entrada en ese instante.
En general, un circuito combinacional consiste en n entradas binarias y en m
salidas binarias
Un circuito combinacional puede definirse de tres formas:
Tabla de verdad o tabla lógica (para cada una de las 2n combinaciones
posibles de las n señales de entrada, se enumera el valor binario de cada una
de las m señales de salida).
Símbolo gráfico (describe la organización de las interconexiones entre
puertas).
Ecuación Booleana (cada señal de salida se expresa como una función
Booleana de las señales de entrada).
 2n
DESARROLLO TEMÁTICO
Implementación de un circuito lógico.- Para implementar un circuito lógico,
se recomienda:

* Una línea de entrada puede separarse para servir de entrada a más de una
compuerta.

* Las líneas de entrada y salida sólo se juntan en alguna compuerta.

* No se permite retroceder, es decir, la salida de una compuerta lógica m , no

puede usarse como entrada para la misma compuerta .

* La salida de una serie de compuertas representa una función lógica o función

Booleana o expresión Booleana.
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Ejemplo 1.
Escribir una expresión (función, ecuación) Booleana, para la salida p(x, y, z)
del siguiente circuito, además determinar el valor de p para todas las posibles
entradas y realizar la tabla de verdad correspondiente.
x
p = x(y + z)
y
z y+z

Nota.- Este circuito tiene tres entradas x, y, z y una sola salida que
corresponde a la expresión booleana. Para cada compuerta, podemos
determinar con facilidad la expresión para la salida.
La expresión para la salida de la compuerta OR se escribe (y + z); esta salida
OR se conecta como entrada a una compuerta AND, junto con x, otra entrada.
La compuerta AND opera con sus entradas de forma tal que su salida sea el
producto AND de las entradas. Así se puede expresar la salida AND como
x(y + z) o también (y + z)x.
 DESARROLLO TEMÁTICO
La tabla de verdad que corresponde a este circuito es:
TABLA DE VERDAD
X Y Z Y+Z X (Y + Z)
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
1 0 1 0
0
0 1 1 1 0

1 0 0 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 1 1
1 1 1 1 1

NOTA.-En ocasiones puede existir confusión con respecto de cual operación se efectúa
primero, la AND u OR. Se entiende que si una expresión contiene las operaciones AND
y OR , la operación AND se realiza primero, a menos que haya paréntesis en la
expresión, en cuyo caso, la operación dentro del paréntesis se realiza primero.
 DESARROLLO TEMÁTICO
Ejemplo 2.
Escribir una expresión (función, ecuación) Booleana, para la salida q(x, y, z)
del siguiente circuito, además determinar el valor de q para todas las posibles
entradas y realizar la tabla de verdad correspondiente.
x xy
y xy + z Q = xy + z
z xy + z
Ejemplo 3.
Escribir una expresión (función, ecuación) booleana para la salida
t(x,y,z) del siguiente circuito, además determinar el valor de t para
todas las posibles entradas y hacer la tabla de verdad correspondiente.
x xy
y T=xyz
y
z
 DESARROLLO TEMÁTICO
La tabla de verdad que corresponde a este circuito es:
TABLA DE VERDAD
X Y Z XY XY+Z X Y + Z)
0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0

0 1 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0
1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 1 0

1 1 1 1 1 0
 DESARROLLO TEMÁTICO
La tabla de verdad que corresponde a este circuito es:
TABLA DE VERDAD
X Y Z Y XY XYZ
0 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0

1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0
 DESARROLLO TEMÁTICO
Ejemplo 4.
Dibujar el circuito lógico para la siguiente expresión booleana:

p = [ x ( y + z )] + y ; y escribir la tabla de verdad del circuito obtenido.

Nota.- Para dibujar este circuito, comenzamos con la expresión ( y + z)
de los paréntesis más internos, utilizamos un inversor para la entrada
de Y con salida Y, la que entra a una compuerta OR con Z, luego se
forma el AND de salida con entradas X, Y + Z; por último se forma el
OR con Y para obtener el circuito deseado.
x x (y + z)

y
y y+z
z

P =[x (y + z)]+ y
 DESARROLLO TEMÁTICO
La tabla de verdad que corresponde a este circuito es:
TABLA DE VERDAD
X Y Z Y Y+ X ( Y + Z) X ( Y + Z) + Y
0 0 0 1 Z 1 0 0
0 0 1 1 1 0 0

0 1 0 0 0 0 1

0 1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 1
1
1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 1

1 1 1 0 1 1 1
 DESARROLLO TEMÁTICO
Ejemplo 5.

Dibuje el circuito lógico que satisface la siguiente expresión booleana y escriba

su tabla de verdad:

D=A.B.C

A A

B
D=A.B.C
C
 DESARROLLO TEMÁTICO
La tabla de verdad que corresponde a este circuito es:
TABLA DE VERDAD
A B C A A B C
0 0 0 1 0
0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 1 1
1 0 0 0
0
1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 0 0
 DESARROLLO TEMÁTICO
Ejemplo 6.

Dibuje el circuito lógico para proporcionar la salida E, si la expresión lógica es

la siguiente:

E=A B C D

A A

B E=A B C D
C

D D
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Ejemplo 7.

Dada la expresión F = (A + B) C + D E; dibujar el circuito lógico en función

de los valores de entrada.

A A
(A + B)

B B (A + B)C

C
D
DE

E
F=(A + B)C + DE
 DESARROLLO TEMÁTICO
Ejemplo 8.

Dibuje el circuito lógico que satisface la siguiente expresión booleana.

Y=1.0.1

1
0
Y=1.0.1
1
 DESARROLLO TEMÁTICO
Ejemplo 9.

Dibuje el circuito lógico que satisfaga la expresión lógica booleana:

D=A + B + C

A A

D=A + B + C
B
C
C
 DESARROLLO TEMÁTICO
EQUIVALENCIA ENTRE CIRCUITOS

Los diseñadores de circuitos actualmente intentan reducir el número de

compuertas con el propósito de disminuir los costos de los componentes, el
espacio del circuito y hasta el consumo de energía.

Para ello se procura encontrar otro circuito que calcule la misma expresión
(función booleana o función lógica) que el original con menos compuertas, o
quizás, con compuertas más simples.

El álgebra booleana puede ser una herramienta bastante útil en la

transformación de un circuito en otro equivalente.

NOTA.- Dos circuitos combinatorios, cada uno con n entradas y una única
salida, son equivalentes si, cada vez que los circuitos reciben las
mismas entradas, producen la misma salida.
 DESARROLLO TEMÁTICO
Ejemplo.
Demostrar que los dos circuitos siguientes ( a , b) son equivalentes:
a). Tabla de verdad
x x + y A= x+y x y x + y x + y
y 0 0 0 1
0 1 1 0
b). 1 0 1 0
1 1 1 0
x x
B= x y
Tabla de verdad
y y x y x y x y
0 0 1 1 1
0 1 1 0 0
NOTA.- La equivalencia entre estos dos circuitos se
1 0 0 1 0
demuestra a través de las tablas de verdad. Y 1 1 0 0 0
como vemos las tablas de verdad de los circuitos a y
b son idénticas, por lo tanto los circuitos son
equivalentes(por tener los mismos valores en su
función de salida). ( x + y) = ( x . y )

Otra forma de demostrarlo es aplicando la propiedad de Morgan a la función de salida del circuito A = x + y,
obteniendo B = x . y , con lo cual se demuestra que son expresiones equivalentes.
 DESARROLLO TEMÁTICO
EXPRESIONES BOOLEANAS

Una expresión booleana(función booleana o función lógica) es un conjunto

finito de símbolos. Cada uno representa una constante o una variable,
combinadas mediante operaciones de suma, producto o complementación.

Las expresiones booleanas pueden adoptar dos formas útiles para las
aplicaciones tecnológicas, tales expresiones están conformadas por una
suma de productos o por un producto de sumas denominadas,
respectivamente, la forma normal Disyuntiva y la forma normal
Conjuntiva.
 DESARROLLO TEMÁTICO
FORMA NORMAL DISYUNTIVA.- La función o expresión booleana adopta
una forma normal Disyuntiva, si está
escrita como una suma de términos en la cual cada término es un producto
que involucra todas las n variables, con negación o sin ella. Cada término se
llama Minimal o Miniterm y la función o expresión se denomina Función
Polinomial de Términos Minimales o Miniterms .
Ejemplo: X + X ; (X Y Z) + (X Y Z) + (X Y Z)
NOTA.- La forma normal disyuntiva en n variables, que tiene 2n términos, se
llama Forma Normal Disyuntiva Completa en n variables y es
idénticamente igual a la unidad.
Ejemplo: Para el caso de dos variables (n = 2), la forma normal disyuntiva
completa es la siguiente:
X Y + X Y + X Y + XY = 1
 DESARROLLO TEMÁTICO
FORMA NORMAL CONJUNTIVA.- La función o expresión booleana adopta
una forma normal Conjuntiva, si está
escrita como un producto de términos en el cual cada término es una suma
que involucra todas las n variables, con complementación o sin ella. Cada
término se denomina Maximal o Maxterm y la función o expresión se
denomina Función Polinomial de Términos Maximales o Maxterms .
Ejemplo: ( X + Y + Z ) ( X + Y + Z ) (X + Y + Z )
NOTA.- La forma normal conjuntiva en n variables, que tiene 2n términos, se
llama Forma Normal Conjuntiva Completa en n variables y es igual
a cero (0).
Ejemplo: Para el caso de dos variables (n = 2), la forma normal conjuntiva
completa es la siguiente:
(X+Y) (X+Y) (X+Y) (X+Y) = 0
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SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES BOOLEANAS
Debemos tener presente que la simplificación de expresiones y circuitos
lógicos(reducir el número de compuertas), incide en una economía de costos
de componentes, de espacio del circuito y hasta de consumo de energía.
Cada circuito minimizado reduce el costo total de los circuitos.
Por ejemplo, al minimizar, podemos reducir la utilización de diodos y
transistores , ya que cada entrada a una compuerta AND u OR emplea un
diodo, y cada inversor (NOT) , emplea un transistor.
Por lo tanto, en la práctica, para los constructores de circuitos, se hace
necesario examinar individualmente cada circuito, desde el punto de vista del
costo de sus componentes.
Diodo .- componente electrónico utilizado como rectificador que conduce
corriente en un sólo sentido.
Transistor .- Dispositivo semiconductor que al igual que un tubo electrónico,
puede amplificar corrientes eléctricas.
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EJEMPLOS DE SIMPLIFICACIONES DE EXPRESIONES BOOLEANAS

1. Simplificar el circuito dado a continuación:

A
Y = A + A (Utiliza 2 diodos)
A

Simplificado queda : A A Y = A (Utiliza un diodo)

2. Simplificar el circuito dado a continuación :

A A +
A A (Utiliza 4 diodos)
B Y = (A + A) B

Simplificado queda :

A
B Y = AB (Utiliza 2 Diodos)
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EJEMPLOS DE SIMPLIFICACIONES DE EXPRESIONES BOOLEANAS
3. Dibujar el circuito lógico para la siguiente expresión booleana y luego
simplificarlo: Y = (A + 0)B + 0

A A + 0
0 (A+0)B
B

0
Y=(A+ 0)B + 0
(Utiliza 6 diodos)
Simplificado queda :

A
B Y = AB (Utiliza 2 Diodos)
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EJEMPLOS DE SIMPLIFICACIONES DE EXPRESIONES BOOLEANAS
4. Dibujar el circuito lógico para la siguiente expresión booleana y luego
simplificarlo: Y = [(A + A) 0] + B C + D 0

A A+A
A (A+A)0
0 (A+A)0 + BC
B BC
C

D0
Y=[(A+ A)0]+BC+D0
D
(Utiliza 12 diodos)
Simplificado queda :
[(A + A) 0] + B C + (D
0)
B [A . 0] + B C + 0
C
Y = BC
(Utiliza 2 Diodos) 0 + B C + 0
BC