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    Algebra de Boole-1

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    Thefa Timana
    Este documento describe el álgebra de Boole, incluyendo sus operadores lógicos como AND, OR y NOT. El álgebra de Boole se utiliza para simplificar circuitos lógicos digitales y tiene propiedades como la conmutatividad, asociatividad y distribución.

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    Algebra de Boole-1

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    Este documento describe el álgebra de Boole, incluyendo sus operadores lógicos como AND, OR y NOT. El álgebra de Boole se utiliza para simplificar circuitos lógicos digitales y tiene propiedades como la conmutatividad, asociatividad y distribución.

    Descripción original:

    Algebra de boole

    Título original

    ALGEBRA DE BOOLE-1

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    de 17

    Integrantes :

    MERINO CRISANTO PATRICIA MERCEDES


     
    SILVA AGUIRRE JOSÉ ALBERTO
     
    TIMANÁ CRUZ INGRID ESTEFANY
     
    MANCHAY CRUZ MARICIELO
     
    SILVA BARCO JESUS PAUL
    algebra de
    boole
    el álgebra de boole son las matemáticas de los sistemas
    digitales, esta álgebra fue inventada en el año 1847 por el
    matemático ingles george boole, utilizado para simplificar los
    circuitos lógicos o circuitos de conmutación lógica.
    acá solo se permite dos estados del circuito como son verdad
    y falso representados por 1 y 0 respectivamente.
    puede tener operadores lógicos: and or not nor nand xor

    Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos


    aspectos al álgebra convencional), pero que tienen la virtud de
    corresponder al comportamiento de circuitos basados en dispositivos de
    conmutación (interruptores, re levadores, transistores, etc). 
    CARACTERISTIC
    AS
    1) Se han definido dos funciones binarias (necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva
    (representada por x+ y) y multiplicativa (representada por xy) y una función monaria (un
    solo parámetro) que representaremos por x'.

    2) Se han definido dos elementos (representada por 0 y 1)

    3) Tiene las siguientes propiedades:

     Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x


     Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
     Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
     Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
     Distributiva respecto a la primera función: (x +y) z = xz + yz
     Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z) (y + z)
     Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
     Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
     Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
     Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0

    PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE BOOLE:


     Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
     Idempotente respecto a la segunda función: xx = x
     Maximalidad del 1: x + 1 = 1
     Minimalidad del 0: x0 = 0
     Involución: x'' = x
     Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
     Inmersión respecto a la segunda función: x (x + y) = x
     Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'
     Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'
    Otras operaciones

    Además de todo lo expuesto, podemos señalar que también se realizan otras operaciones tales
    como las siguientes:

    -OPERACIONES NULARIAS:
    Donde cobran protagonismo tanto la contradicción como la tautología. Podemos establecer que las
    mismas se caracterizan por el hecho de que vienen a devolver un valor sin necesidad de que exista
    ningún tipo de argumentos.

    -OPERACIONES UNARIAS:
    Estas otras son las que vienen a definirse por el hecho de que necesitan un único argumento para
    presentar un resultado. Además de esto también hay que subrayar que pueden ser de dos tipos: de
    negación o de identidad.
    Así como en las matemáticas (+, -, x, / y más) los
    operadores lógicos son los que interrelacionan las
    variables lógicas de entrada entre sí.
    OPERADORE AND, cuyo símbolo es: “●”, “∧”, “&”
    OR, cuyo símbolo es: “+”, “∨”, “#”
    S LÓGICOS NOT, cuyo símbolo es: “-”, “/”, “!”

    Una puerta lógica es un elemento que toma una o más ­


    señales binarias de entrada y produce una salida
    binaria función de estas entradas. Cada puerta lógica PUERTAS
    se representa mediante un símbolo lógico. Hay tres
    tipos elementales de puertas: AND, OR y NOT. A partir
    LÓGICAS
    de ellas se pueden construir otras más complejas, ELEMENTALES
    como las puertas: NAND, NOR y XOR.
    Puerta AND.
    En la siguiente figura observaremos el equivalente a un circuito con dos conmutadores en serie. Es
    necesario que los dos conmutadores estén cerrados para que se encienda la lámpara.

    La relación es la siguiente: la lámpara se enciende sólo si el conmutador A y el conmutador B están a


    “1”, es decir: L = A (AND) B. Esta relación se conoce como AND.

    Puerta OR.
    Acá los conmutadores están en paralelo, se encenderá la lámpara si cualquiera de los dos
    conmutadores se cierra.

    La salida de una puerta OR es verdadera (“1”) si, y sólo si, al menos una de las entradas es verdadera.
    Esta relación corresponde a una suma lógica binaria: L= A + B.
    La salida de una puerta NOT es siempre el complementario de la
    Puerta NOT entrada, de tal manera que si la entrada es “0” la salida es “1” y
    viceversa. Se conoce también como INVERSOR y posee una única
    entrada.

    Puerta NAND
    Equivale a una puerta AND seguida de un INVERSOR. Su nombre viene de Not-AND. El
    símbolo lógico es una puerta AND con un círculo en la salida. La tabla de verdad es igual al
    de la puerta AND con el estado de salida negado. Una puerta NAND puede tener más de
    dos entradas.  
    Equivale a una puerta OR seguida de un INVERSOR. Su nombre viene de Not-
    Puerta NOr OR . El símbolo lógico es una puerta OR con un círculo en la salida. La tabla de
    verdad es igual al de la puerta OR con el estado de salida negado. También
    puede tener más de dos entradas.

    Puerta OR Exclusiva El circuito equivalente de la figura se deriva de considerar


    (XOR) el funcionamiento de la puerta XOR como combinación de
    dos condiciones X e Y. X representa la condición de que
    cualquiera de las entradas: A o (OR) B sea “1”, e Y la
    condición de que A y (AND) B no (NOT) sean “1” (NAND).
    Puerta NOR Exclusiva

    Es la negación de la puerta OR exclusiva (puerta OR seguida de un INVERSOR).


    Propiedades


      Propiedad conmutativa de la suma y del producto.

     Propiedad Asociativa de la suma y producto.


      Propiedad Distributiva.
    LEYES Y TEOREMAS
    BÁSICOS DEL ÁLGEBRA DE
    BOOLE

    LEYES FUNDAMENTALES

    El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema
    booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.

     Ley de idempotencia: A + A = A y A • A = A
     Ley de involución: (A')' = A
     Ley conmutativa: A + B = B + A y A • B = B • A
     Ley asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C y A • (B • C) = (A • B) • C
     Ley distributiva: A + B • C = (A + B) • (A + C) y A • (B + C) = A • B + A • C
     Ley de absorción: A + A • B = A y A • (A + B) = A
     Ley de De Morgan: (A + B)' = A' • B' y (A • B)' = A' + B'
    El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a
    toda relación o ley lógica le corresponderá su dual,
    formada mediante el intercambio de los operadores unión Principio de dualidad
    con los de intersección, y de los 1 con los 0.

    Adición Producto

    1 A + A' = 1 A • A' = 0

    2 A+0=A A•1=A

    3 A+1=1 A•0=0

    4 A+A=A A•A=A

    5 A+B=B+A A•B =B•A

    6 A + (B + C) = (A + B) + C A • (B • C) = (A • B) • C

    7 A + B • C = (A + B) • (A + C) A • (B + C) = A • B + A • C

    8 A+A•B=A A • (A + B) = A

    9 (A + B)' = A' • B' (A • B)' = A' + B'


    El conjunto formado por todos los subconjuntos del
    espacio muestral (P(E)) con la unión y la Propiedades de la unión e
    intersección, por verificar estas propiedades tiene
    estructura de algebra de Boole, a ésta se la llama:
    intersección de sucesos:
    "Álgebra de Boole de los sucesos".

      UNION INTERSECCIÓN

    Conmutativa AUB = BUA An B= B nA

    Asociativa A U (B U C) = (A U B) U C A n (B n C) = (A n B) n C

    Idempotente A U A=A AnA=A

    Simplificación A U (B U A) = A A n (B U A) = A

    Distributiva A U (B Ç C) = (A U B) n (A U C) A n (B U C) = (A n B) U (A n C)

    Ǝ el. Neutro A U Ø=A AnE=A

    Ǝ el. complemento    
    A U A =E AnA =Ø

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