República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Defensa

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada
Núcleo Anzoátegui – Sede San Tome
5to Semestre de Ingeniería en Sistemas

Algebra de Boole y Compuertas Lógicas

 Introducción
George Boole fue un lógico y matemático británico desarrolló la lógica Simbólica
mediante la cual las proposiciones pueden ser representadas mediante símbolos y la teoría
que permite trabajar con estos símbolos, sus entradas (variables o proposiciones) y sus
salidas (respuestas). Dicha lógica cuenta con operaciones lógicas que siguen el
comportamiento de reglas algebraicas. Consideró que las proposiciones lógicas podían ser
tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o
predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden tomar valores
Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles sean Sí/No. Según Boole, al
conjunto de reglas de la Lógica Simbólica se le denomina Álgebra Booleana. Todas las
variables y constantes del Álgebra Booleana, admiten sólo uno de dos valores en sus
entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores bivalentes y opuestos
pueden ser representados por números binarios de un dígito denominado bit, por lo cual el
Álgebra Booleana se puede entender cómo el Álgebra del Sistema Binario.
 Desarrollo
¿Qué es el Algebra Booleana?

El nombre de álgebra booleana se dio en memoria a su descubridor George Boole.

Mucho antes que Shannon, E. V. Huntington en 1904 ya había establecido la definición de
“álgebra booleana” como un sistema axiomático consistente, completo e independiente que
comprende un conjunto B con mínimo dos elementos digamos w, x, y, z (entradas), Q
(salidas); dos operaciones binarias (suma +, producto •); una operación unitaria (negación ‾)
y que cumplen los siguientes axiomas:

 Modulativa: x+0=0+x=x x.1=1.x=x

 Conmutativa: x+y=y+x x.y=y.x
 Distributiva: x.(y+z)=x.y+x.z x+(y.z)=(x+y).(x+z)

Mediante el álgebra booleana se puede diseñar un circuito digital y simplificarlo hasta

expresarlo como la mínima expresión booleana que por tanto contendría el menor número
de compuertas lógicas posible al momento de implementarle físicamente, utilizando las
entradas del circuito como variables y las cantidades 0 y 1 como sus únicos valores posibles
para dichas entradas booleanas.

_Compuertas Lógicas:

Una compuerta lógica es un dispositivo físico conformado por elementos eléctricos o

electrónicos que realizan una función lógica, cuyo resultado puede hallarse de acuerdo a los
distintos valores de las variables de entrada.

Las compuertas lógicas básicas son: AND, OR, NOT (o inversor) y las compuertas negadas
o invertidas de éstas, NAND, NOR, YES o BUFFER. Otro tipo de compuerta es XOR y su
negación XNOR (o comparadora). En este texto, las entradas de las compuertas se
denotarán con letras minúsculas del alfabeto como w, x, y, z; de manera similar se tomará
la salida con la letra mayúscula Q. Cada entrada toma los valores lógicos 0 ó 1 e
igualmente, en la salida se produce 0 ó 1. Con los valores que toman las entradas y el
respectivo resultado de la salida se construyen las tablas de verdad correspondientes a una
función lógica.

_Teoremas importantes:

Derivados de las propiedades fundamentales, existe una serie de teoremas muy interesantes

e importantes que usaremos a lo largo de todo el curso. Algunos los utilizaremos en la
teoría y otros para los problemas.

-Asociatividad:
-Idempotencia:

-Ley de absorción:

Este teorema es muy importante puesto que nos permite realizar simplificaciones en las
expresiones.

-Leyes de De Morgan:

Este teorema es también muy importante y lo usaremos constantemente. Vamos a hacer

algunos ejemplos para aprender a utilizarlo:

-Teorema de Shannon:

Este teorema es una generalización de las leyes de DeMorgan. Lo que nos dice es que si
tenemos cualquier expresión booleana negada, es igual a la misma expresión en la que
todas las variables estén negadas y en la que se sustituyan las operaciones + por • y
viceversa.

-Veamos algunos ejemplos:

En este ejemplo se podrían haber aplicado las leyes de DeMorgan sucesivas veces, como
hemos hecho en ejemplos anteriores, sin embargo, podemos aplicar el teorema de Shannon.

-Teorema de expansión:

Este teorema es más teórico y no tiene aplicación directa en los problemas.

_Las propiedades del álgebra de Boole:

Las operaciones del álgebra de Boole las podemos definir utilizando tablas de verdad:

-Operación +

-Operación •

Las propiedades del álgebra de Boole son las siguientes:

1. Las operaciones + y • son conmutativas:

2. Elemento neutro.

A+0=A
A•1=A
3. Distributiva.

4. Elemento inverso

_Formas canónicas y normalizada:

Se llama forma canónica suma de productos (FCSP) a una sumatoria de productos, en la

que en cada producto intervienen todas las variables de la función.
Se llama minitérmino a un término de la FCSP, por lo que en cada minitérmino
intervienen todas las variables de la función.

Se llama forma canónica productos de sumas (FCPS) al producto de sumas, en el que en

cada suma intervienen todas las variables de la función.

Se llama maxitérmino a una sumatoria de la FCPS, por lo que en cada maxitérmino

intervienen todas las variables de la función.

A continuación se presenta una tabla con tres variables, en donde se muestra la notación
deminitérminos y maxitérminos.

Observa que tanto los minitérminos como los maxitérminos son todas las combinaciones
que puede haber con las variables.

-Formas Normalizadas: Son formas que responden al esquema de suma de productos o

producto de sumas. Suelen tener menor número de operaciones que las formas canónicas.
Para una función algebraica concreta, es de menos operaciones siguiendo esos mismos
esquemas.

-Pueden existir varias formas normalizadas para una misma función:

1. Literal: Unidad que se refiere a una variable o su inversa

2. Suma de productos: Es una suma de distintos términos, donde en todos ellos se
realizan exclusivamente el producto de distintos literales: F1= XY + X´YZ + XY´
Z
3. Producto de suma: Es un producto de distintos términos, donde en cada uno de
ellos se realiza exclusivamente la suma de distintos literales: F2= (X´ + Y´) (X + Y´
+ Z´) (X´ + Y + Z´)
-Se puede obtener:

Tomando como referencia una forma canónica y combinada términos que se distingan en
un único literal:

 F1 = XYZ + XYZ´ + XY´Z + X´YZ

 = XYZ + XYZ´ + XYZ + XY´Z + XYZ + X´YZ
 = XY (Z + Z´) + X (Y + Y´) Z + (X + X´) YZ
 = XY + XZ + YZ

_Compuertas Lógicas Digitales:

-Puerta AND

La puerta lógica Y, más conocida por su nombre en inglés AND, realiza la función

booleana de producto lógico. Su símbolo es un punto (·), aunque se suele omitir. Así, el
producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A
AND B.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta AND es:

F=AB

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad compuerta AND

Entrada Entrada B Salida AB
A
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Su definición se puede dar, como una compuerta que entrega un 1 lógico sólo si todas las
entradas están a nivel alto 1.

-Compuerta OR:

La compuerta lógica OR, realiza la operación de suma lógica.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta OR es:

 F=A+B

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad compuerta OR

Entrada Entrada B Salida A + B
A
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Podemos definir la compuerta OR como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico si

al menos una de sus entradas es 1.

-Compuerta OR exclusiva (XOR):

La puerta lógica O-exclusiva, más conocida por su nombre en inglés XOR, realiza la

función booleana A'B+AB'. Su símbolo es el más (+) inscrito en un círculo.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta XOR es:

    

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta XOR

Entrada A Entrada Salida
B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Se puede definir esta puerta como aquella que da por resultado 1, cuando los unos en las
entradas son impares. Ejemplos: 1 y 0, 0 y 1 (en una compuerta de dos entradas).

-Lógica negada NOT:

La puerta lógica NOT (NO en español) realiza la función booleana de inversión o
negación de una variable lógica.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NOT es:

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta NOT

Entrada A Salida
0 1
1 0

Se puede definir como una puerta que proporciona el estado inverso del que esté en su
entrada.

-Simbología:

Actualmente se usan dos tipos de símbolos, ambos definidos por el IEEE en la norma
ANSI.

El símbolo tradicional es el más usado al ser el más simple para dibujarlo a mano, a la vez
que es más visual.

El símbolo rectangular está basado en la IEC 60617-12. Esta simbología ha sido

ampliamente aceptada por grandes estándares.
Estas compuertas se encuentran físicamente encapsuladas en circuitos integrados.

_Familias Lógicas:

En ingeniería electrónica, se puede referir a uno de dos conceptos relacionados: una familia
lógica de dispositivos circuitos integrados digitales monolíticos, es un grupo de puertas
lógicas (o compuertas) construidas usando uno de varios diseños diferentes, usualmente con
niveles lógicos compatibles y características de fuente de poder dentro de una familia.
Muchas familias lógicas fueron producidas como componentes individuales, cada uno
conteniendo una o algunas funciones básicas relacionadas, las cuales podrían ser utilizadas
como “construcción de bloques” para crear sistemas o como por así llamarlo “pegamento”
para interconectar circuitos integrados más complejos.

También puede referirse a un conjunto de técnicas usadas para la implementación de la

lógica dentro de una larga escala de circuitos integrados tal como un procesador central,
memoria, u otra función compleja; estas familias usan técnicas dinámicas registradas para
minimizar el consumo de energía y el retraso.

 CMOS: Estas familias, son aquellas que basan su funcionamiento en los

transistores de efecto de campo o MOSFET. Aquí una de las clasificaciones, según
el canal utilizado: Se basa únicamente en el empleo de transistores CMOS para
obtener una función lógica. Su funcionamiento de la puerta lógica es el siguiente:
cuando la entrada se encuentra en el caso de un nivel bajo, el transistor CMOS
estará en su zona de corte, por lo tanto, la intensidad que circulará por el circuito
será nula y la salida estará la tensión de polarización (un nivel alto); y cuando la
entrada se encuentra en el caso de que está en un nivel alto, entonces el transistor
estará conduciendo y se comportará como interruptor, y en la salida será un nivel
 bajo. El transistor CMOS se puede identificar como un interruptor controlado por la
tensión de la puerta, V_G, que es la que determinará cuándo conduce y cuando no.
 TTL: Es la sigla en inglés de transistor-transistor logic, es decir, «lógica transistor a
transistor». Es una tecnología de construcción de circuitos electrónicos digitales. En
los componentes fabricados con tecnología TTL los elementos de entrada y salida
del dispositivo son transistores bipolares
 RTL: Es el acrónimo inglés de resistor transistor logic o lógica de resistencia-
transistor. Fue la primera familia lógica en aparecer antes de la tecnología de
integración.
 DTL: Es una categoría de circuitos digitales está compuesta por diodos y
transistores básicamente. La función lógica es realizada por la combinación de
diodos a la entrada y el transistorinversor a la salida, de ahí su nombre (Diodo,
Transistor, Lógica).
 ECL: Es la más rápida disponible dentro de los circuitos de tipo MSI, pertenece a la
familia de circuitos MSI implementada con tecnología bipolar.
 IIL: Es una familia de circuitos digitales construidos con transistores de juntura
bipolar de colector múltiple (BJT)
 NMOS: Es un tipo de semiconductor que se carga negativamente de modo que los
transistores se enciendan o apaguen con el movimiento de los electrones. En
contraste, los PMOS (Positive-channel MOS) funcionan moviendo las valencias de
electrones. El NMOS es más veloz que el PMOS, pero también es más costosa su
fabricación. Actualmente es el tipo de tecnología que más se usa en la fabricación
de circuitos integrados.
 BiCMOS :(Contracción de Bipolar-CMOS) es el nombre de una tecnología de
fabricación de circuitos integrados que combina las ventajas de las tecnologías
bipolar y CMOS integrándolas juntas en un mismo wafer. Se usa en analógica para
la fabricación de amplificadores y en digital para algunos componentes discretos.
 Conclusión
El trabajo de Boole ha llegado a ser como un paso fundamental en la revolución de
los computadores hoy en día. El álgebra Booleana tiene una amplia aplicación en el switch
telefónico y en el diseño de computadores modernos.

A mediados del siglo XX el Álgebra Booleana se utilizó en el manejo de información

digital llamada Lógica Digital. En efecto, Shannon (1930) la pudo formular en su teoría de
la codificación y John Von Neumann la pudo enunciar en el modelo de arquitectura que
define la estructura interna de los ordenadores desde la primera generación..

El desarrollo de este capítulo tiene como finalidad iniciar a sus lectores en la comprensión
de las funciones lógicas de un circuito digital como una aplicación tecnológica de la lógica
de proposiciones. No se desarrollarán sistemas complejos, pero si se realizarán las
operaciones básicas de un sistema digital combinatorio.
 Bibliografía
 https://www.monografias.com/trabajos14/algebra-booleana/algebra-
booleana.shtml#bi
 https://www.mecatronicalatam.com/es/tutoriales/teoria/algebra-booleana/
 https://sites.google.com/site/electronicadigitalml/home/compuertas-logicas-y-
algebra-booleana
 https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boole
Anexos