Aritmética 3 Actividades PDF
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Actividades
Tercer grado
de Secundaria
Editorial
La Colección Intelectum Evolución
para Secundaria ha sido concebida a
partir de los lineamientos pedagógicos
Aritmética establecidos en el Diseño Curricular
Libro de actividades Nacional de la Educación Básica Regular,
Tercer grado de Secundaria además se alinea a los patrones y
Colección Intelectum Evolución estándares de calidad aprobados en la
Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED.
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al estudiante en el debido uso de la obra.
Responsable de edición:
Yisela Rojas Tacuri
Diseño de portada:
Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente
Retoque fotográfico:
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Composición de interiores:
Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí
Roger Urbano Lima
Gráficos e Ilustraciones:
Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado
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Contenido
Temas Páginas
Lógica proposicional
Aplicamos lo aprendido 6
Practiquemos 8
Teoría de conjuntos
Aplicamos lo aprendido 11
Practiquemos 13
PRIMERA Numeración
UNIDAD Aplicamos lo aprendido 16
Practiquemos 18
Maratón matemática 26
Teoría de la divisibilidad
Aplicamos lo aprendido 29
Practiquemos 31
Números primos
Aplicamos lo aprendido 34
Practiquemos 36
SEGUNDA Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
UNIDAD Aplicamos lo aprendido 39
Practiquemos 41
Maratón matemática 49
Potenciación y radicación en Z+
Aplicamos lo aprendido 52
Practiquemos 54
Razones y proporciones
Aplicamos lo aprendido 57
Practiquemos 59
TERCERA Magnitudes proporcionales
UNIDAD Aplicamos lo aprendido 62
Practiquemos 64
Regla de tres
Aplicamos lo aprendido 67
Practiquemos 69
Maratón matemática 72
Estadística
Aplicamos lo aprendido 80
Practiquemos 82
Probabilidades
Aplicamos lo aprendido 89
Practiquemos 91
Maratón matemática 93
Sudoku 94
Unidad 1
Recuerda
Un descubrimiento matemático
Aunque el final del período medieval fue testigo de
importantes estudios matemáticos sobre problemas del infinito
por autores como Nicole Oresme, no fue hasta principios del Reflexiona
siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matemático de
trascendencia en Occidente. Era una fórmula algebraica • Ser excelente es levantarse cada vez que se
para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto
fracasa con un espíritu de aprendizaje y
grado, y fue publicado en 1545 por el matemático italiano
superación. Recuerda que es el desafío lo
Gerolamo Cardano en sus Ars magna. Este hallazgo llevó a
los matemáticos a interesarse por los números complejos y que hace al líder de excelencia y no hay
estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones desafío sin riesgo al fracaso.
de quinto grado y superior. Fue esta búsqueda la que a su
vez generó los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a • Hay dos tipos de hombres: los que nunca
finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático fracasan y los que tienen éxito. Por
francés Évariste Galois a principios del XIX. supuesto los primeros nunca fracasan
porque nunca se arriesgan a nada,
También durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los en cambio los segundos acumulan tal
modernos signos matemáticos y algebraicos. El matemático cantidad de fracasos, que a través de ellos
francés François Viète llevó a cabo importantes estudios
aseguran el éxito.
sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos ejercieron
gran influencia en muchos matemáticos del siglo posterior,
incluyendo a Pierre de Fermat en Francia e Isaac Newton en
• Si usted intenta solo lo que está seguro que
Inglaterra. le va a salir bien, logrará pocas cosas en
la vida; pero si intenta muchas y algunas
le salen bien, será un triunfador.
¡Razona...!
Observa la secuencia de cuerpos formados con cubos:
1 De los siguientes enunciados, ¿cuáles son proposiciones? 2 Dadas las siguientes proposiciones compuestas:
I. 5 es un número par. I. 3 2 2 y 3 1 10
II. ¡No vayan! II. Si 12 = 1; entonces 12 - 1 2 0.
III. ¿Cuánto te debo? III. 27 = (-3)3 o (-2)4 = 16
IV. Juan estudia de noche. Indica los valores de verdad.
A) Tautológico B) Contingente
A) 0 B) 1 C) 2 C) Contradictorio D) No contradictorio
D) 3 E) 4 E) N. A.
6 Intelectum 3.°
7 Sean las proposiciones: 8 Se define el conectivo lógico y mediante la siguiente tabla de
p: 19 es un número primo verdad:
q: (22)3 = 28 p q pyq
Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: V V F
I. a[a(ap 0 q)] V F F
II. a(p T aq) T ap F V V
F F V
Evalúa el siguiente esquema molecular: (ap y q) y aq
Da como respuesta los valores de verdad de la matriz principal.
A) t B) ar C) r A) aq - t B) aq - r C) ap - r
D) r 0 t E) at / r D) p - q
Claves
▪▪ Hoy día es domingo, pero no iremos de paseo. 10. Se define el conectivo lógico a mediante la siguiente tabla de
verdad:
▪▪ Esta persona viajará a Cuba, si es estudiante y tiene una Evalúa el esquema molecular:
visa de estudios.
(p a aq) & ap
Da como respuesta los valores de verdad de la matriz principal.
8 Intelectum 3.°
V. ¿Dónde estudias? 17. Al construir la tabla de verdad de:
VI. ¡Gol! (ap & q) + (p 0 aq)
A) 3 B) 4 C) 1 D) 2 E) 6 Se afirma que el esquema molecular es:
A) Tautológico B) Contradictorio
12. Representa simbólicamente cada una de las siguientes
C) Contingente D) Equipotente
proposiciones:
E) N. A.
▪▪ Iré al cine o al teatro si me invitas.
18. Si (p / aq) & r, es falsa, determina los valores de verdad de p,
q y r, respectivamente.
▪▪ S
i las estrellas emiten luz, entonces los planetas la reflejan y
giran alrededor de ellas. A) VVV B) VFF C) VVV
D) VFV E) FFF
▪▪ S
i una persona es sincera, entonces dice la verdad. Si la 19. La siguiente proposición compuesta:
persona dice la verdad, entonces es valorada. [(p & aq) T (ap / aq)] & p
es una:
A) Tautología
▪▪ El grupo de canto no viajará a Italia, pues no es cierto que
tengan permiso oficial. B) Contingencia
C) Contradicción
D) No es una Tautología
Razonamiento y demostración E) N. A.
13. Si (ap & q) 0 r es falso, halla el valor de verdad de las siguientes 20. Se define el conectivo lógico q mediante la siguiente tabla de
proposiciones. verdad:
I. (p & aq) / (aq & r) p q pqq
II. (aq & ar) 0 (p + r) V V F
V F V
A) VV B) VF C) FV F V V
D) FF E) Faltan datos F F F
II. 9 es mayor que 5 ó 4 es menor que 3. Da como respuesta los valores de verdad de la matriz principal.
29. Si:
p q / ap 0 q
(aq / ar) & (as / t):
Simplifica:
[(p p) / p] a(q p)
A) p B) ap C) q D) p / q E) aq
Resolución de problemas
10 Intelectum 3.°
Aplicamos lo aprendido
tema 2: TEORÍA DE CONJUNTOS
A) 7 B) 8 C) 9 A) 12 B) 18 C) 28
D) 6 E) 4 D) 58 E) 54
A) 2 B) 3 C) 4 A) 6 B) 8 C) 15
D) 5 E) 6 D) 11 E) 10
A) 1 B) 2 C) 3 A) 19 B) 22 C) 34
D) 4 E) 5 D) 20 E) 11
A) 7 B) 8 C) 9 A) 7 B) 6 C) 8
D) 10 E) 12 D) 9 E) 10
D) ' 2x + 1 ! Z / x ! Z+ 1
2
E) ' + 1 ! Z / x ! Z+ 1
2 x
3
A) 2a B) 2b C) 3a
D) 3a + 2 E) 2a + b
13 En un aula, 50 alumnos estudian portugués, 70 francés y 10 14 Una chica durante todas las mañanas del mes de enero
estudian ambos idiomas. Si todos los alumnos estudian por lo desayuna café y/o leche. Si durante 25 mañanas desayuna
menos un idioma, ¿cuántos alumnos hay en total? café y 18 mañanas desayuna leche, ¿cuántas mañanas
desayuna café con leche?
A) 110 B) 130 C) 40 A) 12 B) 13 C) 14
D) 100 E) 60 D) 15 E) 11
Claves
12 Intelectum 3.°
Practiquemos
¿Cuál o cuáles de los conjuntos tendrán 31 subconjuntos
NIVEL 1 propios?
A) Determina por comprensión el conjunto A: 9. Se tienen 3 conjuntos A, B y C cuyos cardinales son consecutivos,
además, se sabe que:
A = nQP(A)U + nQP(B)U + nQP(C)U = 448
B) n(A , B) = Halla el número de elementos que puede tener como máximo el
C) n(B) = conjunto potencia de A , B , C.
D) B - A = A) 85 B) 89 C) 87 D) 84 E) 810
10. Si:
Razonamiento y demostración A1B1C
n(B) = n(A) + 5
4. Sean los conjuntos: n(C) = 2 # n(B)
A = {x / x es una vocal} n(A) + n (B) + n(C) = 27
Halla: n[P(C - B)]
B = {y; u; v; i; t; h; z; a}
C = {f; i; s; i; c; a} A) 48 B) 8 C) 256 D) 16 E) 32
14 Intelectum 3.°
Nivel 3 viajarían a Francia y Suiza, y tres de ellos visitarán también
Inglaterra, 5 solo van a Suiza y 8 solo a Inglaterra. ¿Cuántas
Comunicación matemática personas visitarán solo Francia?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
21. Sean los conjuntos:
M N 26. De 81 personas que leen por lo menos dos de las tres revistas
siguientes: Hola; Vanidades y Selecciones, se sabe que 31 leen las
{Q} a
Q revistas Hola y Vanidades; 44 leen las revistas Hola y Selecciones
mientras que 22 leen las revistas Vanidades y Selecciones.
1 {b}
R ¿Cuántas personas leen las tres revistas que se mencionan?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 7 E) 11
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
27. Se realiza una encuesta a 300 personas de las cuales se obtienen
I. n(M + N) = 2 los siguientes datos:
II. {a} ! N ▪▪ 160 consumen el producto A.
III. b " N ▪▪ 110 consumen el producto B.
▪▪ 130 consumen el producto C.
IV. {Q; {Q}} 1 M
▪▪ 20 consumen los tres productos mencionados.
22. Sea el conjunto: ¿Cuántos prefieren solo el producto C, si los que no consumen
C = {4x - 1 / x ! N / 1 # x # 7} ningún producto son tantos como los que prefieren solo el pro-
I. El número de subconjuntos propios de C es igual a ducto A y B y estos mismos son la mitad de los que prefieren A?
1 Calcula m. 2 Calcula x.
Si: m38(12) = 356(7) Si: 6x4(8) = 259(13)
A) 2 B) 3 C) 5 A) 5 B) 4 C) 2
D) 6 E) 1 D) 3 E) 1
3 Halla (x3 - 1), si: 4x0(8) = 1200(6) 4 Halla a, si: 25a = a75(8)
A) 65 B) 63 C) 64 A) 1 B) 3 C) 2
D) 67 E) 68 D) 4 E) 5
16 Intelectum 3.°
7 Si los numerales están correctamente escritos, halla a + b. 8 Si: a(a + 2)(a + 4)(6) = xyz(a + 4)
143(b); 23b(a); 6a3(7) Halla: x + y + z
A) 10 B) 11 C) 12 A) 5 B) 7 C) 9
D) 13 E) 9 D) 4 E) 6
A) 6 B) 5 C) 4 A) 104 B) 82 C) 64
D) 7 E) 8 D) 144 E) 96
A) 12 B) 11 C) 9 A) 20 B) 21 C) 19
D) 7 E) 15 D) 15 E) 28
Claves
34(5) 8. Halla x.
Si: 63(x) - 27(x) = 35(x)
11(7)
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
31
9. Siendo: a3 = 110a(2)
2. Observa y marca con un aspa los numerales que están mal
escritos. Halla: M = 2a2 + 3a + 1
18 Intelectum 3.°
13. Coloca 2; 1; o = según corresponda. 21. Expresa M en base once y da la suma de sus cifras.
75(9) 352(6) M = 4 # 113 + 7 # 112 + 90
310(4) 222(3) A) 19 B) 20 C) 21
D) 23 E) 25
52(7) 211(4)
22. Calcula el valor de x si:
999(11) 878(9)
x4(5) + 12(x) =132(x)
Razonamiento y demostración
A) 1 B) 4 C) 5
14. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: D) 3 E) 2
I. Si a (2a) a = 4; entonces a + n = 4.
(n)
NIVEL 3
II. Si los numerales ab(n); a(b + c)(n); 10c(n) están bien escritos,
entonces: Comunicación matemática
ab(n) 1 a(b + c)(n) 1 10c(n)
23. Determina el área de la siguiente región rectángular en base 10.
III. Si aa0(2) = (b - 4)(b - 4)(b); entonces b 2 5.
12(11)
15. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. 101(2)
19. Si: abcd = 41 # ab + 70 # cd 25. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.
Halla: a + b + c + d I. Si abb - xy(3) = 117 entonces a = 1.
A) 26 B) 27 C) 28 2 2
D) 29 E) 30 II. Si c (c2) (n) = 42, entonces n - c # ab(n).
n
20. Determina el valor de x en base 2, si: III. Si mn(3)1n(m) = 343; entonces mn + 1 = 4.
^ x - 2h^ x - 1h 3 = 83
(8)
26. Si:
A) 11(2) B) 101(2) C) 111(2) n m n
` m j` m + 1 j^2m + 1h(6) = 5 (ab) (cc)
-
D) 100(2) E) 1101(2)
Resolución de problemas A) 6 B) 5 C) 2
D) 7 E) 3
27. Si:
ababa(4) = 477 (mn + 1) 3
35. Si: 13(a) + 16(c) + 35(b) = (5p)(p + 1) -
3
Calcula ba(5) + ab(4) en base 10. Halla: a2 + b2 + c2
A) 17 B) 18 C) 21 A) 98 B) 99 C) 100
D) 15 E) 23 D) 101 E) 102
28. Convierte N en base 6 y da como respuesta la suma de sus 36. Si: 2a = 1m(9)
ab
cifras, si: ab (3)
N = 15 + 5 . 62 + 3 . 64 + 11 . 63 Halla el mayor valor de a2 + b2 + c2, si se sabe que
A) 13 B) 15 C) 17 (a + 1)(b + 1)(c + 1) es un numeral de cifras diferentes, donde
D) 19 E) 21 {a; b; c} 1 Z+.
Si: 1a = 57
1a
1a
33. d
34. D
35. D
30. b
31. B
32. a
36. b
a veces 1a (a + 1)
Nivel 3
A) 5 B) 7 C) 8
23. d
28. d
29. c
27. e
24.
25.
26.
D) 10 E) 11
C l a ve s
18. D
19. D
17. E
20. A
21. B
22. B
A) 5 B) 6 C) 7
Nivel 2
D) 8 E) 9
8. d
9. c
10. B
12.
13.
14.
11.
5. D
6. a
7. B
1.
2.
3.
4.
Calcula a.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 6 E) 5
20 Intelectum 3.°
Aplicamos lo aprendido
tema 4: operaciones básicas en el conjunto z+
A) 5 B) 8 C) 27 A) 25 B) 36 C) 64
D) 0 E) 1 D) 81 E) 49
5 El dividendo de una cierta división es 111. Si el cociente es el 6 Si: abcd # 999 = ...6012
doble del residuo y el divisor el triple del cociente. ¿Cuál es el Halla: a + b + c + d
divisor?
A) 13 B) 17 C) 18 A) 27 B) 15 C) 26
D) 22 E) 25 D) 32 E) 24
A) 12 B) 13 C) 14 A) 81 B) 64 C) 144
D) 15 E) 11 D) 121 E) 196
A) 12 B) 15 C) 19 A) 22 B) 24 C) 26
D) 21 E) 26 D) 30 E) 14
11 Halla
la suma de las 3 últimas cifras de: 12 El cociente de una división entera es 17 y el resto es 30.
7 + 77 + 777 + ... + 7777...777 Halla el dividendo si es menor que 600. Da como respuesta el
número de soluciones posibles.
43 cifras
A) 14 B) 15 C) 16 A) 1 B) 3 C) 2
D) 17 E) 18 D) 4 E) 5
13 ¿Cuántos números de tres cifras todas distintas entre sí 14 Si los numerales ab1 y ab4 son dos términos consecutivos de
existen en el sistema de numeración heptanario? una progresión aritmética, además el primer y el último término
son 11 y 902 respectivamente. Halla el número de términos.
Claves
22 Intelectum 3.°
Practiquemos
Nivel 1 Resolución de problemas
Comunicación matemática
6. Sabiendo que: a8b + bb9 + cc3 = 2428
1. Sea la sucesión: 23; 26, 49; 62; ...; 283 Halla: a + b + c
Completa: A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30
Razón =
Cantidad de términos = 7. Si: abc - cba = mn(m + 1)
Término enésimo = Halla: m + n + a - c
17. La suma de los términos de una resta es 15 684 y si restamos II. El producto de las cifras del cociente es:
la diferencia del sustraendo nos da 4788. Halla la suma de las
cifras de la diferencia. III. La suma de cifras del divisor es:
A) 11 B) 13 C) 15
D) 17 E) 19 23. Sean:
18. Si: abc # a = 978 a: la cantidad de cifras usadas en la numeración de un libro de
85 páginas.
abc # b = 652
b: la cantidad de cifras usadas en la numeración de un libro de
Halla: abc # aab
195 páginas.
A) 108 232 B) 104 063 C) 108 240 Entonces:
D) 108 324 E) 201 018
I. C. A. (a + b) =
19. En una división el cociente es 24, el resto la tercera parte del
divisor y la suma de los términos es 4644.
II. a # b + a + b =
Halla el divisor.
A) 20 B) 24 C) 58 III. C. A. (a) + C. A. (b) =
D) 47 E) 60
24 Intelectum 3.°
30. Si: R # 375 = ...625;
Razonamiento y demostración R # 427 = ...021
24. Si: Halla la suma de las 3 últimas cifras de R # 216.
3m8 # pq = 2500(pq) A) 16 B) 17 C) 18
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. D) 19 E) 20
I. Si 9mn es un numeral de cifras significativas y diferentes 32. La diferencia de dos números es 191 y su cociente es 6, además
entre sí, entonces: el residuo es máximo. Halla la suma de las cifras del número
mayor.
C. A.[C. A. (9mn)] = mn
A) 9 B) 6 C) 8
II. Si m3 # pq = ab3, entonces q D) 10 E) 7
siempre va a ser igual a 1.
33. Si se ha empleado 883 cifras para escribir todos los números
III. Si ab # 10(a) - pq = 19 y naturales de ab hasta ab0. ¿Cuántos cifras utilizaremos desde
ba hasta a0b?
ab # 10(b) + pq = 96;
A) 345 B) 194 C) 253
entonces: ab2 = 484
D) 177 E) 234
Resolución de problemas
26. ¿Cuántos enteros positivos existen, tales que divididos entre 64
dejan un residuo que es el triple del cociente?
A) 20 B) 22 C) 23
D) 21 E) 27
30. d
31. d
33. c
32. e
29. c
28. a
37 cifras
22.
23.
24.
25.
C l a ve s
A) 38 B) 40 C) 42
Nivel 3
D) 44 E) 46
15. c
16. d
17. c
20. d
21. c
18. a
19. e
10. b
13. a
12.
14.
11.
A) 16 B) 10 C) 20
D) 30 E) 35
Nivel 1
7. c
6. A
1.
2.
3.
4.
5.
Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones: II. Como A , B = {9; 11; 456}, se cumple: n[p(A , B)] = 23 = 8,
I. n(A + B) < 2 y n[p(C)] = p además C + A = Q, se tiene:
II. Si n[p(A , B)] = 4, entonces C + A = Q. Si n[P(A , B)] = 4, entonces C + A = Q.
III. C , B = A ó A + C ! Q F & V
Resolución: V
En el numeral 7(n - 7)(8 - n)(n), se observa que n > 7 y III. Se tiene: C , B = {456; 11} = B, también: A + C = Q, se tiene:
8 - n $ 0, entonces: n = 8 C,B=A ó A+C!Q
En el numeral (2 - p)p, se observa que 0 # p < 2, entonces p puede F 0 F
F
ser 0 ó 1, pero, como en el numeral d n n 56 , p es denominador Por lo tanto:
2p
(diferente de cero), entonces p = 1. I. F
II. V
Luego: III. F
A = {710(8); 9} = {456; 9} y B = {456; 11}
4 5 3 2 # A) 8 B) 27 C) 64 D) 125 E) 216
6. Si b (3 - b 2) (b + 2) = xyzt(4), calcula: x + y + z + t + b
3 2 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
1 3
7. Si la proposición compuesta:
3 9 (p 0 q) / (p , q)
es verdadera, halla el valor de verdad de p y q respectivamente.
La suma de cifras del producto es:
A) VV B) VF C) FV D) FF E) N. A.
2. Halla la suma de cifras de:
8. De las siguientes proposiciones:
7 # 333 ... 333
I. Si 6 < 7, entonces 4 + 1 = 2.
50 cifras
II. 1 es igual a 1 y 2 es mayor que 2.
A) 147 B) 148 C) 149 D) 150 E) 151 III. 7 # 2 = 14 ó 5 < 2
IV. 1 + 2 < 3 + 4 si y solo si 5 > 3
3. Si: Indica sus valores de verdad respectivamente.
N # a = 4710
N # b = 1570 A) VVVV B) VFVF C) FFVV
D) VVFF E) VVVF
Halla el producto del menor número capicúa formado por las
cifras a y b; y el número N. Da como respuesta la suma de cifras 9. Indica cuál de los siguientes conjuntos es unitario.
de dicho resultado.
M = {x ! R / x3 - x + 1 = 1}
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 N = {x / x ! Z; 5 < x < 7}
P = {x / x ! Z; x < 0}
4. Si:
A) Solo M B) solo N C) M y N
x11 + x22 + x33 + ... + x99 = 4nny
D) M y P E) N y P
Halla: n + x + y
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 10. S
ean A y B dos conjuntos tales que n(A) = 8; n(B) = 6 y
n(A , B) = 9. ¿Cuántos elementos tiene ATB?
5. Si: 1100(n) - 11(n) = 41(12) # (n - 1)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
26 Intelectum 3.°
Unidad 2
Recuerda
Cantor George (1845-1918)
Matemático alemán nacido en San Petersburgo (ahora
Leningrado, Rusia) y fallecido en Halle. Ya en la escuela Cantor
mostró talento por las matemáticas, haciendo posteriormente
de ellas su profesión, obteniendo el puesto de profesor en
Reflexiona
la Universidad de Halle en 1872. En 1874 Cantor empezó a
introducir conceptos extraños de lo infinito, estableciendo que • Quererse uno mismo es valorar, ser
para tratar el infinito se debe establecer correspondencia entre consciente, apreciar y agradecer los
dos series, más aun, esta correspondencia debe ser biunívoca. talentos, dones, características, atributos
De este modo se puede razonar que la cantidad de números y capacidades que cada uno tiene, sean
pares es igual a la de los números naturales, diferenciando entre pocos o muchos.
la aritmética de lo infinito y la aritmética familiar de los números
finitos. Cantor construyó una estructura lógica completa, • Para aprender a caminar solamente hay
en la cual se postulaba que una serie completa de números un camino: intentarlo, y gracias a la
transfinitos, representaba diferentes ordenes de infinitos. De perseverancia lo lograremos finalmente.
esta manera todos los números racionales podían establecer
una igualdad a la serie de números enteros, pero no así a los
• El líder debe entender que cada fracaso
números racionales más los irracionales. Estos eran los números
reales y representaban números transfinitos más elevados que
le acarreará sabiduría en la medida
los números enteros. Así la definición de Cantor de número que pueda asimilarlo en su experiencia,
real identifica a este último con una sucesión convergente de identificando las acciones equivocadas en
números racionales. que incurre y por supuesto, en el siguiente
intento tendrá más posibilidades de éxito.
Demócrito de Abdera
(470 a. C.-380 a. C.)
Nació en Abdera y murió en la misma población con casi
cien años de edad. Es el principal representante del atomismo
antiguo. Creía que toda la materia, está compuesta de
diminutas partículas, indivisibles y sobre las que era imposible
concebir una estructura menor. Con él la filosofía, aunque en ¡Razona...!
su aspecto de ciencia universal de la naturaleza y del hombre,
aparece dividida en varias partes bien determinadas: obras
físicas, matemáticas (incluyendo en estas las astronómicas),
técnicas filosóficas y éticas. ¿Cuántos asteriscos pertenecen a la vez al
triángulo y al círculo, pero no al rectángulo?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Aplicamos lo aprendido
TEMA 1: TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD
° + 8
A) 17 ° + 3
B) 17 ° +9
C) 17 A) 3 B) 7 C) 1
°
D) 17 ° +5
E) 17 D) 2 E) 0
3 El triple de la edad de Christian es múltiplo de 7. ¿Cuál es la 4 Halla el menor múltiplo positivo de 2, que toma "m" en:
edad de Christian si es el menor número de 2 cifras? 7(m - 2) = 3°
A) 21 B) 12 C) 28 A) 2 B) 8 C) 6
D) 35 E) 14 D) 4 E) 5
A) 5 B) 6 C) 7 A) 14 B) 15 C) 8
D) 8 E) 9 D) 12 E) 10
A) 6 B) 7 C) 8 A) 1 B) 2 C) 3
D) 9 E) 10 D) 4 E) 5
9 ¿Cuántos números de la forma 7ab6a5 son divisibles por 7? 10 En un salón de clases donde hay 61 alumnos se observa que:
- La séptima parte de los hombres usan reloj.
- La décima parte de las mujeres usan lentes.
- El número de hombres se encuentra entre 20 y 27.
¿Cuántas mujeres no usan lentes?
A) 8 B) 10 C) 12 A) 12 B) 20 C) 40
D) 14 E) 16 D) 36 E) 30
11 Si xy6yz es divisible por 1375, entonces xyz es múltiplo de: 12 Calcula el residuo al dividir:
E = 11 +13 + 21 + 23 + 31 + 33 + … + 111 + 113
por 5.
A) 11 B) 13 C) 17 A) 0 B) 1 C) 2
D) 19 E) 23 D) 3 E) 4
A) 5 B) 4 C) 3 A) 1 B) 2 C) 3
D) 2 E) 1 D) 4 E) 5
Claves
30 Intelectum 3.°
Practiquemos
Nivel 1 Resolución de problemas
Comunicación matemática
6. Halla la suma de los tres primeros valores positivos de a.
1. Coloca un aspa (X) en el recuadro según corresponda. Si: 8a + 4 = 5°
Número A) 20 B) 21 C) 22
4 6 7 12 14 21 24 84 D) 23 E) 24
Divisor
2 7. Calcula la suma de los cuadrados de los divisores positivos de 8.
A) 85 B) 82 C) 76
3 D) 78 E) 91
7
8. Es un número comprendido entre 10 y 40, es múltiplo de seis y
no es múltiplo de cuatro ni de nueve.
2. Analiza la siguiente pirámide aditiva y calcula: a + b + c + d + e A) 32 B) 30 C) 24
D) 36 E) 37
9° + e
9. Calcula el residuo por defecto al dividir aaa5 entre 3.
9° + d 9° A) 2 B) 0 C) 1
D) 3 E) 4
NIVEL 2
Respuesta:
III. 8°275 - 8° = 8
° ° °
III. Si A = aa0(2) y B = 2, entonces A + B = 2.
°
IV. 1517 = 7 + 4
32 Intelectum 3.°
26. Si: A) 4 B) 3 C) 5
°
C. A. (5x2x3) = 11 D) 1 E) 0
Calcula: x
A) 7 B) 5 C) 3 ° y pq = mn ; halla el valor de m + n + p + q.
34. Si mnpq = 33
D) 1 E) 0 3
A) 18 B) 21 C) 26
27. Si: D) 27 E) 32
517m(9) + 41m34(9) = 9°
Calcula: m 35. Si a un número de cuatro cifras consecutivas crecientes se le
suma 988, resulta un múltiplo de 44. Halla la suma de cifras de
A) 7 B) 4 C) 6 dicho número.
D) 3 E) 5
A) 18 B) 19 C) 20
D) 21 E) 22
28. Christian perdió su carné de ingreso a la Universidad y no se
acordaba su código; pero sí que era un número capicúa de 7
cifras divisible por 5; 9 y 11. Además, la cifra central era 9. ¿Cuál 36. Para qué valor de a, el numeral
es la suma de cifras del código del carné de Christian? N = 176a04176a04 ... 6a040
A) 45 B) 36 C) 30
D) 48 E) 54 97 cifras
es múltiplo de 13.
29. Halla el residuo de dividir A) 6 B) 7 C) 9
(1843abcabc ... abc) abc
entre 7. D) 2 E) 1
1 4444 2 4444 3
2014 cifras
A) 5 B) 2 C) 4
D) 1 E) 3
33. c
34. d
36. c
35. a
abc = 9° + 5
b
abc = 9° - 1
c
29. d
32. d
26. e
27. e
28. a
30. a
31. e
abc
Calcula el residuo de dividir abc entre 9.
A) 2 B) 4 C) 5
D) 3 E) 1
Nivel 3
C l a ve s
20. c
24. a
25. b
21.
22.
23.
A) 11 B) 12 C) 13
13.
D) 14 E) 9
Nivel 2
12.
11.
A) 5 B) 4 C) 7
4. d
6. b
D) 2 E) 1
1.
2.
3.
5.
1 Halla x, si A = 72x tiene 117 divisores. 2 ¿Cuántos ceros son necesarios colocar a la derecha del
número 75 para que el número resultante tenga 96 divisores?
A) 2 B) 3 C) 4 A) 4 B) 5 C) 6
D) 5 E) 6 D) 7 E) 8
3 Halla la cantidad de divisores compuestos de 31 500. 4 Halla un número N = 12n . 15n, sabiendo que tiene 75 divisores.
Da como respuesta la suma de las cifras de N.
A) 72 B) 69 C) 67 A) 18 B) 15 C) 9
D) 70 E) 75 D) 27 E) 21
5 Halla el producto de los divisores de 540. 6 Halla x, si 15x # 75 tiene (17x + 34) divisores.
34 Intelectum 3.°
7 ¿Cuántos rectángulos existen cuya superficie sea 720 m2 si 8 Si A = 13n + 2 - 13n tiene 75 divisores compuestos. Halla "n".
sus lados están expresados en cantidades enteras?
A) 10 B) 13 C) 14 A) 3 B) 4 C) 5
D) 15 E) 16 D) 6 E) 7
9 Sabiendo que A = 2 # (400)n y B = (100)n, halla n, si la suma 10 Halla "n" si 36 # 10n tiene 12 divisores múltiplos de 2, pero
de divisores de A es igual a 129 veces la suma de divisores no de 5.
de B.
A) 2 B) 9 C) 7 A) 1 B) 3 C) 2
D) 3 E) 5 D) 5 E) 6
A) 18 B) 19 C) 20 A) 6 B) 7 C) 8
D) 21 E) 22 D) 9 E) 5
A) 2 B) 5 C) 6 A) 56 B) 728 C) 654
D) 4 E) 3 D) 104 E) 130
Claves
31 8 12 23 #
48 13 14 24
4 26 19 36
Razonamiento y demostración
Razonamiento y demostración
4. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
I. 97 no es un número primo. 13. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
II. CD(13) 1 3 I. PD(2925) = 292518
A) 10 B) 11 C) 12 Resolución de problemas
D) 13 E) 15
15. ¿Cuántos divisores que son múltiplos de 6 pero no de 5 tiene el
7. Si 42n tiene 81 divisores, halla n.
número 18 000?
A) 20 B) 10 C) 15
A) 6 B) 8 C) 9
D) 25 E) 30
D) 10 E) 12
36 Intelectum 3.°
16. Si: abcd = a2 # (a + 4)3
Razonamiento y demostración
Descomposición canónica.
Calcula: a + b + c + d 23. De las siguientes proposiciones:
n
A) 15 B) 16 C) 17 I. 2 2 - 1 es un número primo para todo n ! N.
D) 18 E) 19 II. Si pq es un número primo, entonces pq + q no puede ser un
número primo.
17. Si 4n + 1 + 4n + 4n-1 tiene 36 divisores. Halla el valor de n.
III. Si a y b son PESÍ, entonces a + b y b no son PESÍ.
A) 3 B) 6 C) 5
D) 2 E) 4 Son verdaderas:
A) Solo I B) I y II C) Solo II
18. ¿Cuántos rectángulos de lados enteros (en metros) tienen un D) II y III E) Todas
área igual a 420 m2?
A) 8 B) 10 C) 12 24. Si: b + N = (n - a) b + an
D) 14 E) 6 Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
19. Se tiene los números N1 = 14 # 30n y N2 = 21 # 15n. Si la suma I. Si n es par, entonces CD(N) 2 4 siempre.
del número de divisores que tiene cada uno de los dos números II. Si n es impar, entonces CD(N) puede ser igual a 6.
es 96, halla el menor de los dos números.
A) 6475 B) 4725 C) 3675 III. Si n 1 8 y es impar entonces PD(N) puede ser igual
D) 6125 E) 6350 a N.
12 Además: ab = 4c + 3; ac = 8b + 1
SID(315)
A) 72 B) 60 C) 84
PD(128) CD(360) D) 90 E) 126
CD(1780 7581
29. Si 2m, m(m + 3) y 3m(m - 1) son PESÍ 2 a 2, calcula la cantidad
SD(5929) 208 de divisores de la suma de los valores de m.
105
A) 4 B) 5 C) 6
CD(540) D) 8 E) 10
16
31. Si N = Aa # Bb # Cc está descompuesto canonicamente, al 40. Si: N = 24 # 36 # 73 # 54 # 112, ¿cuántos de los divisores de N
dividir N entre A se eliminan 42 divisores, al dividir N entre B acaban en 1, 3, 7 ó 9?
se suprimen 35 y si N se divide entre C se eliminan 30. Halla:
a+b+c A) 120 B) 96 C) 700
D) 168 E) 84
A) 15 B) 18 C) 12
D) 21 E) 9
41. Si el número N = 4n-1 # 6n-1 # 72n posee 70 divisores 2° pero no
° ¿cuántos de sus divisores son 49?
8, °
32. Si ab es un número primo absoluto. ¿Cuántos divisores como
mínimo tiene ab0ab? (0 = cero) A) 225 B) 304 C) 700
D) 240 E) 245
A) 8 B) 10 C) 12
D) 15 E) 16
42. Si se sabe que M = 313 # (21)k # 134 tiene 120 divisores que no
° ¿cuántos divisores de M son 637?
son 21, °
33. Halla a + b, sabiendo que el número ab(2a)(2b) tiene 30
divisores.
A) 303 B) 304 C) 305
D) 306 E) 307
A) 10 B) 8 C) 6
D) 12 E) 15
A) 1 B) 2 C) 3
39. c
40. e
41. a
42. b
D) 4 E) N. A.
35. c
31. a
34. a
36. e
37. a
38. b
A) 128 B) 306 C) 612
D) 448 E) 529
23. c
26. c
27. c
29. c
25. e
28. b
30. b
24.
20. c
19. b
D) 1500 E) 1400
21.
22.
valores de n.
10. c
9. b
14. a
15. b
12.
13.
11.
A) 12 B) 13 C) 14
D) 15 E) 16
Nivel 1
6. d
5. b
7. a
8. b
A) 12 B) 13 C) 14
D) 15 E) 16
38 Intelectum 3.°
Aplicamos lo aprendido
TEMA 3: MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
1 Halla el valor de x en los números A = 12 # 225x y 2 El MCD de dos números es 8. ¿Cuál es su MCM si el producto
B = 12x # 225 para que el MCM tenga 392 divisores (x ! Z+). de dichos números es 4032?
3 Halla la diferencia de dos números enteros positivos sabiendo 4 El MCM de 2 números impares consecutivos es 195. Halla la
que su MCD es 48 y su suma es 192. suma de dichos números.
A) 94 B) 95 C) 96 A) 24 B) 25 C) 26
D) 97 E) 98 D) 27 E) 28
5 ¿En cuántos ceros termina el MCD de 150150; 160160; 170170 6 Calcula el MCD de los numerales:S 77...77 (8) . Da
33...33 (4) y S
y 180180? 462 cifras 378 cifras
la suma de cifras en base 16.
9 Halla la suma de dos números cuyo MCD sea 18 y que el 10 Dos números A y B tienen 16 múltiplos comunes menores que
primero tenga 10 divisores y el segundo 15 divisores. 10 000. Sabiendo que el MCM de A y B tiene 18 divisores y
que es divisible entre 34, calcula (A + B), si se sabe que A y B
tienen 9 divisores comunes.
11 Se desea dividir 3 barras de acero de longitudes 165; 225 y 12 Mario sale con Ana cada 22 días, con Betty cada 45 días y con
345 cm en trozos de igual longitud, ¿cuál es el menor número Claudia cada 15 días, si sale con las tres un lunes. ¿Qué día
de trozos que se pueden obtener? caerá cuando vuelva a salir con las tres por cuarta vez?
Claves
40 Intelectum 3.°
Practiquemos
NIVEL 1 7. El MCD de dos números es 12. ¿Cuál es su MCM si el producto
de dichos números es 888?
Comunicación matemática A) 62 B) 72 C) 83
D) 68 E) 74
1. Marca los divisores comunes de los siguientes números y luego
8. Halla el valor de n en los números A = 12 # 45n y B = 12n # 45
completa.
para que el MCM tenga 90 divisores.
Divisores de A " 1 2 4 8 16 32 64 A) 1 B) 2 C) 5
D) 4 E) 6
Divisores de B " 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 72
9. Halla el valor de n de los números N1 = 45 # 60 n y
N2 = 45 n # 60, sabiendo que el MCM de dichos números es
MCD(A; B) = 12 veces su MCD.
2. Relaciona los siguientes números descompuestos canónicamente A) 4 B) 1 C) 2
con su mínimo común múltiplo. D) 3 E) 6
14. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Comunicación matemática
a) MCM(A + B + C; 1) = A + B + C
21. Dos trompos de diferente tamaño, se muestran a continuación
en la siguiente posición mostrada:
b) MCD[BA - 1; B # (BA + 1) - (B + 1)] = B - 1
c) MCD(k; kA + kB) = kA A
B
Resolución de problemas
Si comienzan a girar a razón de π y π radianes por segundo,
120 130 140 150 4 2
15. ¿Cuántas cifras tiene el MCD de 120 ; 130 ; 140 ; 150 ? respectivamente.
A) 125 B) 124 C) 123 Responde:
D) 122 E) 121 a) ¿Después de cuánto tiempo volverán a estar en la misma
posición por primera vez?
16. Si A = 2n + 2 # 3n + 3 y B = 2n - 1 # 3n; además, la cantidad de b) ¿Cuántas vueltas deberán dar ambos trompos para volver a
divisores del MCM(A; B) es 110, halla n. estar en la misma posición por primera vez?
A) 7 B) 8 C) 15 n.° de vueltas de A:
D) 14 E) 16 n.° de vueltas de B:
Tener en cuenta: 1 vuelta 1 2 2p
17. Calcula el MCD de:
111...11
A =S 22. Se desea construir un aviso luminoso con las siguientes
(2)
20 cifras
características:
B =S
777...77 (8)
10 cifras
D) 511 E) 1023
0 cm
360 cm
18. Halla el número N, sabiendo que tiene 10 divisores y su MCD
con 2205 es 245. Si se requiere colocar focos equidistantes de modo que estos
deben ir en los lugares indicados (puntos de color rojo).
A) 2401 B) 12 005 C) 4375
Responde:
D) 1225 E) 452
a) ¿Cuál debe ser la mayor distancia entre cada foco?
19. Si: b) ¿Cuál debe ser el menor número de focos que deben
usarse?
MCD(10A; 15B) = 625
MCM(14A; 21B) = 31 500
Razonamiento y demostración
Halla el valor de: A # B
23. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
A) 56 250 B) 93 750 C) 87 250
° entonces MCD(A + B; A + 2B) = A.
a) Si A = B,
D) 93 700 E) 90 072
° entonces
b) Si m, n ! Z+, con m = n,
20. El MCD de dos números es 72. Además uno de ellos tiene 33 MCD(12m - 1; 12n - 1) = 12n - 1.
divisores y el otro 28. Calcula el número de divisores del MCM c) Si p y q son números primos diferentes tal que
de ambos. MCM(A; B) = 8pq y p2 + q = 7; entonces A + B = 40.
42 Intelectum 3.°
24. Indica la validez en cada proposición. 30. A un terreno de forma rectangular cuyas dimensiones son 1288 m
3 3 y 851 m se le quiere dividir en parcelas cuadradas, todas iguales,
I. MCD(A ; B ) = MCD(A; B)
sin que sobre terreno, luego se quiere cercarlas de tal manera
II. En toda división entera positiva inexacta se cumple que el que en cada esquina de las parcelas haya un poste. Determina
MCD del dividendo y el divisor es igual al MCD del divisor y la menor cantidad de parcelas y postes que se necesitan.
el residuo.
A) 2072; 2166 B) 2170; 3260 C) 2016; 2072
III. Si el MCD(a + b; a)=MCD(a - b; b), entonces MCD(a; b) = 1
tal que {a; b} 1 Z+ D) 2072; 2170 E) 3260; 2166
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
27. d
28. d
29. c
32. d
26. b
30. a
31. a
A) 7 B) 3 C) 13
D) 21 E) 23
Nivel 3
28. Al calcular el MCD de los números (a + 1)bcd y aa(a + 6)(a + 6)
20. c
24. c
25. d
mediante el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes
21.
22.
1; 1; 2 y 3. Halla el mayor de los números, si la tercera división 23.
C l a ve s
A) 13 B) 15 C) 17
13. c
15. b
16. a
17. e
18. b
19. b
14.
D) 19 E) 21
10. a
A) 4 de septiembre
Nivel 1
B) 13 de septiembre
6. A
1.
2.
3.
4.
5.
C) 14 de septiembre
D) 15 de septiembre
E) 5 de septiembre
1 Calcula: 2 Efectúa:
2 0, 00328
R = ^ 1, 47 - 0, 27 h M= 1 -
0, 01 0, 4 # 0, 00004 + 0, 002 # 0, 0125
!
5 Efectúa: S = 0,037 + 0,074 + 0,111 + ... + 1,259 6 Si 5 + a = 0, a09 , calcula: a
37 27
! ! !
A) 22,037 B) 22,012 C) 21,912 A) 1 B) 2 C) 3
D) 23 E) 24 D) 4 E) 5
44 Intelectum 3.°
7 A cada término de una fracción irreductible se le suma el 8 ¿Cuántas fracciones irreductibles e impropias con
cuádruple del denominador y al resultado se le resta la fracción denominador 40 existen entre 3/4 y 11/8?
inicial, dando como resultado la misma fracción. Halla la suma
de los términos de dicha fracción.
A) 13 B) 14 C) 15 A) 6 B) 5 C) 3
D) 16 E) 17 D) 4 E) 1
9 ¿Cuántas fracciones irreductibles y propias con denominador 10 Halla la suma del numerador más el denominador de la
12 existen entre 1/3 y 7/4? fracción que debo sumar a la fracción periódica 0,8787... para
ser igual a la fracción periódica 1,2121...
A) 8 B) 5 C) 3 A) 6 B) 2 C) 4
D) 4 E) 1 D) 3 E) 5
11 Suma a 1/4 la tercera parte de 63/4. Resta de esta suma la 12 Se vende un televisor al contado, con los 2/3 del importe se
tercera parte de 5/8. Divide esta diferencia por el resultado de compra una plancha y con los 3/7 del resto un juguete; lo que
sumar a 1/5 los 7/6 de 2/3 y el cociente resultante multiplícalo queda se deposita en el banco. Si la plancha y el juguete
por el resultado de sumar a 2/5 las 2/9 partes de 3/7. El juntos costaron S/.765, ¿cuánto se depositó?
resultado final obtenido es:
A) 20 B) 35 C) 1651
21 63 616
A) S/.150 B) S/.160 C) S/.180
D) 11 E) 5
D) S/.185 E) S/.196
24 4
13 Se llena un recipiente de 8 litros con 5 litros de alcohol y el 14 En la mitad de un terreno de una finca se siembra pasto, en
resto con agua. Se utiliza una cuarta parte de la mezcla y se la tercera parte de lo que queda se siembra café y en las tres
reemplaza con agua, luego se utiliza la tercera parte y se quintas partes del resto se siembra maíz. Determina qué parte
reemplaza con agua. ¿Cuántos litros de alcohol queda en el de la finca no sembrada con maíz, queda sin sembrar.
recipiente?
Claves
=
5. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
• •
Resolución de problemas
A) 7 B) 5 C) 9
• • 11 11 31
D) 22 E) 17
99 99
3. Observa y compara.
!
8. Calcula: R = 36 # (0, 38) + 8 # (0, 25)
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
9. Calcula:
!
A= 12 # (5, 83) + 20 # (0, 5) + 1
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
46 Intelectum 3.°
NIVEL 2 A) 12 B) 13 C) 11
D) 14 E) 9
A) 25 B) 16 C) 15
Razonamiento y demostración
D) 12 E) 10
13. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
A) 25 B) 5 C) 100
4 2 9
D) 100 E) 100
333 99
23. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. A) 320 B) 350 C) 160
540 510 700
I. Las raíces de la ecuación cuadrática
3x2 - 2x + 2 = 3x son D) 360 E) 260
500 600
números fraccionarios.
A
Resolución de problemas
B
25. Sea: H
H/4
A = c1+ 1 m # c1+ 1 m # c1+ 1 m # ... # c1+ 1 m
2 3 4 100
Halla A. A) 30 h B) 20 h C) 35 h
D) 28 h E) 25 h
A) 100/2 B) 101/2 C) 99/2
D) 98/2 E) 103/2
1 + 1 + 1 + ... + 1 = 0, 15
x1 x2 x3 xm
Nivel 2
A) 15 B) 14 C) 19
20. A
21. a
24. b
25. b
D) 17 E) 18
22.
23.
C l a ve s
18. c
19. c
15. b
16. e
17. e
13.
6. c
A) 21 B) 70 C) 49
1.
2.
3.
4.
5.
D) 14 E) 16
48 Intelectum 3.°
Matemática
▪▪ Si: Entonces:
° +8
11
MCD(3x33y; 1925) = 77
y-x= ° +8
& y - x = 77
MCD(3x33y; 200 ... 00(4)) = (n + 5)m
7° + 8 y = 8 + x ... (1)
27 cifras
Además, se tiene:
Donde {m; n} 1 N y m2 # 0, halla: x3 + y2 MCD(3x33y; 200 ... 00(4)) = MCD(3x33y; 2 # 426) = (n + 5)m
Resolución: 27 cifras
° entonces: = MCD(3x33y; 253) = (n + 5)m
Del enunciado 3x33y = 77;
° Como {m; n} 1 N y m2 # 0; entonces: m = 0
7
3x33y = Luego: MCD(3x33y; 253) = 1
°
11
Es decir, 3x33y y 2 son PESÍ, entonces: y ! 2° / y > 0
Por criterios de divisibilidad, se cumple: En (1) se tiene:
▪▪ 3 - x + 3 - 3 + y = 11 ° y = 8 + x
° +8 . .
y - x = 11 9 1
▪▪ -3(3) - x + 2(3) + 3(3) + y = 7° & y - x = 7° + 1 Piden: x3 + y2 = 1 + 81 = 82
¡Razona...!
La figura está formada de láminas cuadradas de lado 1 cm. ¿Cuál es el
menor número de láminas que debes agregar a la figura para obtener
una figura 16 cm de perímetro? Las láminas que agregues deben tener
en común con la figura al menos un lado.
A) 4 B) 5 C) 2 D) 3 E) 6
Aplicamos lo aprendido
tema 1: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN en z+
1 ¿Cuál es el menor número que multiplicado por 204 resulta un 2 Si 2ab5 = K2, calcula a + b.
número cuadrado perfecto?
A) 3 B) 28 C) 6 A) 2 B) 4 C) 6
D) 68 E) 51 D) 8 E) 10
3 Entre 17 y 119, ¿cuántos cuadrados perfectos hay? 4 La raíz cuadrada de abab es 2(ab) y el residuo ab.
Calcula: 2a + b
A) 2 B) 3 C) 4 A) 1 B) 2 C) 3
D) 5 E) 6 D) 4 E) 5
A) 10 B) 17 C) 18 A) 25 B) 36 C) 49
D) 19 E) 24 D) 64 E) 16
52 Intelectum 3.°
7 Si: abc2 = K3. 8 En un cuartel forman 1225 soldados de tal modo que
Calcula: a + b + c + K construyen un cuadrado perfecto. Si se retiran los soldados
que forman el perímetro exterior de manera que se conserve
el cuadrado, ¿cuántos soldados quedarán?
9 Encuentre el menor número tal que al aumentarle sus 5/7 10 ¿Cuál es el menor número múltiplo de 42 tal que la suma de
dé como resultado un número cuadrado y cubo perfecto. Da su tercera y séptima parte dé como resultado un cuadrado
como respuesta la suma de sus cifras. perfecto?
A) 23 B) 21 C) 18 A) 200 B) 50 C) 210
D) 25 E) 28 D) 84 E) 42
13 Halla la suma de cifras del residuo por exceso que se obtiene 14 Al extraer la raíz cuadrada de un número se tomó por error al
al sacar la raíz cuadrada de 111...11, sabiendo que tiene 2n residuo como raíz y a esta como residuo, resultando un número
cifras (n ! N). que es inferior en 372 unidades al original. Si la diferencia de la
raíz menos el residuo es 3, calcula el número original.
Claves
3 = 11 137 = 3
+ 12 8. Si 7ab5 = K2, calcula: a + b
A) 2 B) 4 C) 8
3 D) 12 E) 15
= 17 225 = +
2
529 = 19 = + 3 9. Si: a + b = 10
3 2
ab = K2
343 = 56 = + Calcula K.
3. Relaciona. A) 8 B) 27 C) 9
D) 2 E) 1
52 9
10. ¿Cuántos cuadrados perfectos existen entre 3200 y 8600?
3 4
64
A) 35 B) 36 C) 37
64 25 D) 38 E) 34
3 8
729 NIVEL 2
132 169 Comunicación matemática
Razonamiento y demostración 11. En el siguiente cuadro, marca con un aspa los posibles valores
de la raíz cuadrada de los siguientes números cuadrados
perfectos ubicados en la columna izquierda de la tabla.
4. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
2
a) Si p5 = abcd, entonces c + d = 6. N N
b) Si N = a(a + 2)(a + 1) es un cuadrado perfecto, entonces mn25 14 45 60 65
°
N = 9. ab1 11 22 29 31
c) Si 1ab es un cubo perfecto, entonces a + b = 5. m9 9 6 4 7
54 Intelectum 3.°
Razonamiento y demostración NIVEL 3
Comunicación matemática
13. Sea el numeral: N = ab
De las proposiciones:
21. Calcula el ancho del campo de fútbol.
I. Si CD(N) = 5, entonces a + b = 10.
II. Si CD(N) = 2, entonces N es un cuadrado perfecto.
III. Si CD(N) = 7, entonces a # b = 24 xm
Son verdaderas:
A) Solo I B) Solo III C) I y II
105 m
D) II y III E) Todas
14. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: si se sabe que el séxtuplo del área del campo es el menor
número cuadrado perfecto.
a) La cifra de 1.er lugar de la raíz entera de 6ab es 1.
A) 69 m B) 70 m C) 71 m
b) Si 2mp # 3p1 es un cubo perfecto, entonces el mayor D) 72 m E) 73 m
valor de m + p es 15.
22. Cuántos cubos con las siguientes medidas:
c) Si el número a(2a)b0 es un cuadrado perfecto,
entonces a + b = 4.
2 cm
Resolución de problemas
15. Al extraer la raíz cúbica del numeral 103aab el residuo fue b3.
Calcula a + b. se necesitan para formar un cubo compacto cuyo volumen es
512 cm3.
A) 10 B) 12 C) 13
D) 15 E) 14 A) 216 B) 218 C) 220
D) 222 E) 224
16. Si xxx = 37k2, calcula: x + k
A) 10 B) 6 C) 1 Razonamiento y demostración
D) 35 E) 3
23. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
17. Determina la fracción de menores términos positivos equivalente
a 5/9, sabiendo que la suma de sus términos es un cubo perfecto. a) Existe un número cuadrado perfecto entre 144 y 169.
Da como respuesta la diferencia de sus términos.
A) 694 B) 784 C) 748 b) Si al extraer la raíz cúbica al número 50xyz se obtiene
D) 286 E) 478 como residuo z3, entonces x + y = 8.
18. Sabiendo que si al numeral ababab(5) se le multiplica por 272(8), c) Si xxxy1 es un cuadrado perfecto y x1y es un numeral de
se convierte en un cuadrado perfecto. Halla a + b. cifras diferentes entre sí, donde x + y 1 5, entonces
xy = 4.
A) 5 B) 7 C) 8
D) 9 E) 6
24. Demuestra:
19. Si el número por el que se debe multiplicar al numeral abc5 para Si N = K3 + r, entonces:
que resulte un cuadrado y cubo perfecto es 2025. Halla:
a) rmín. = 1 b) rmáx. = 3K(K + 1)
a + b + c.
A) 26 B) 15 C) 14
D) 13 E) 12 Resolución de problemas
A) 8 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
34. C
35. C
36. C
37. C
38. B
39. B
A) 0 B) 9 C) 21
28. A
29. B
30. E
31. E
32. B
33. A
D) 18 E) 15
C l a ve s
NIVEL 3
20. A
21. B
22. A
aritmético.
NIVEL 2
13. B
15. E
16. B
D) 120 E) 125
9. A
12.
14.
11.
7. C
6. B
8. B
1.
2.
3.
4.
A) 56 B) 59 C) 60
D) 64 E) 65
56 Intelectum 3.°
Aplicamos lo aprendido
tema 2: RAZONES Y PROPORCIONES
1 Halla la cuarta proporcional, si se sabe que es un número 2 Determina la tercera proporcional entre la media proporcional
entero, determinado para 4; 7 y 12. Da como respuesta la de 9 y 16, y la cuarta proporcional de 10; 15 y 14.
suma de cifras de dicho número.
A) 4 B) 5 C) 3 A) 38 B) 36,25 C) 36,75
D) 6 E) 1 D) 34,25 E) 25,2
3 En una proporción geométrica continua de razón entera, la 4 Las edades de Patricia y Zulema son 19 y 25 años,
suma de los términos extremos es 200. Calcula el mínimo respectivamente. ¿Dentro de cuántos años sus edades
valor de la tercera proporcional. estarán en la relación de 4 a 5?
A) 4 B) 3 C) 5 A) 4 B) 2 C) 3
D) 6 E) 2 D) 5 E) 1
5 La razón geométrica de dos números es 3/4 y los 2/3 de su 6 Las edades de dos personas están en la misma relación que
producto es 1152. Calcula la suma de cifras del mayor de los los números 5 y 7. Halla la edad de la persona menor, si se
números. sabe que la diferencia de sus edades hace 3 años fue de 4
años.
A) 21 B) 20 C) 18
A) 5 B) 7 C) 3 D) 9 E) 11
2 2 2 2 D) 24 E) 27
11 En una fiesta hay 220 personas. Si por cada 2 varones hay 3 12 En una reunión hay 231 personas. Si por cada 4 varones hay
mujeres y por cada 8 personas que están bailando 3 no bailan. 3 mujeres, y por cada 2 personas que están bailando 9 no
¿Cuántos varones no están bailando? bailan. ¿Cuántas mujeres no están bailando?
A) 20 B) 80 C) 52 A) 111 B) 37 C) 26
D) 8 E) 28 D) 78 E) 52
13 En una competencia ciclista, A le ganó a B por 400 m y B le 14 Las velocidades de dos personas están en la relación de 11 a
ganó a C por 100 m, ¿por cuántos metros le ganó A a C si el 4. Si están separadas 300 m y va una al encuentro de la otra.
circuito tenía una longitud de 1600 m? ¿Cuánto recorre cada una hasta el momento de encontrarse?
Claves
58 Intelectum 3.°
Practiquemos
Nivel 1 Resolución de problemas
Comunicación matemática 6. En una proporción geométrica continua, el primer término es
1/9 del cuarto término. Si la suma de los medios es 72, halla la
1. Observa la figura y responde:
diferencia de los extremos.
A) 60 B) 90 C) 72
D) 96 E) 84
4. Se tiene: ab - b = cd - ef Nivel 2
De las proposiciones:
I. Si a = 3, entonces d = f y c = e + 3. Comunicación matemática
II. a puede ser igual a 9. 11. Completa los recuadros si las siguientes proporciones son
III. Si a = 1, entonces d = f y c - e = 2. continuas.
Son verdaderas:
4 =
a) b) 21 - = - 11
A) Solo I B) Solo II C) Solo III 36
D) I y II E) Todas
2n
5. Sea la proporción aritmética: a - b = c - d c) 2 = d) 22 - 15 = -
24m
De las proposiciones:
I. Si a = d, entonces c es la tercera diferencial de a y b.
12. Completa los recuadros si las series de razones geométricas
II. Si a > b > c > d, entonces d es la cuarta diferencial de a, equivalentes son continuas.
b y c.
III. Si {b; c} 1 Z+ y b + c = 2, entonces la media diferencial de a) = = = 16
a y d es 1. 32
Son verdaderas:
A) Solo I B) Solo II C) Solo III b) 81 = = =
16
D) II y III E) Todas
III. Si b ! M, c ! M + N y b # c, entonces a # d = 2.
110°
Son verdaderas: 135°
A) Solo I B) I y II C) II y III
D) I y III E) Todas Respuesta:
Resolución de problemas
22. Se tienen las siguientes figuras con sus respectivas medidas:
15. Hace 8 años la razón de las edades de dos hermanos era 2/5 3 cm 3 cm 3 cm
y dentro de 12 años la razón sería 4/5. Halla la edad del menor
de los hermanos. 3 cm A 3 cm 3 cm
A) 9 B) 14 C) 10
D) 16 E) 12
Razonamiento y demostración
23. Dada la serie de razones geométricas equivalentes continuas:
18. El número de soles de A es al de B como 2 es a 3; el de B es
b
al de C como 3 es a 4. ¿Cuántos soles tiene C, si entre los tres c mb 110(b)
bc = 2 =
juntos tienen 135 soles? ab ab(c) 3
2 3
A) 20 B) 50 C) 30 Demuestra que: c - b ! Z+
D) 60 E) 40 8a
60 Intelectum 3.°
24. Dada la serie de razones geométricas equivalentes: 34. En una carrera sobre una pista de x m, Ana puede vencer a
a1 a a a + Beariz por 30 m, Beatriz puede vencer a Carla por 15 m y Ana
= 2 = 3 = ... = 2n = k ; n ! Z
b1 b2 b3 b2n puede vencer a Carla por 42 m. Halla x.
a # a2 + a3 # a4 + ... + a2n - 1 # a2n
Demuestra que: 1 = k2 A) 150 m B) 180 m C) 200 m D) 210 m E) 300 m
b1 # b2 + b3 # b4 + ... + b2n - 1 # b2n
35. Si a los cuatro términos de una proporción geométrica se le
Resolución de problemas suma una misma cantidad, se obtienen los números: 23; 27; 93
y 132, respectivamente. Halla la suma de dichos números.
25. En una urna se tienen 400 bolas, de los cuales 160 son blancas
y las restantes, negras. ¿Cuántas bolas blancas se deben añadir A) 210 B) 212 C) 215 D) 218 E) 220
para que por cada 2 bolas negras haya 3 bolas blancas?
36. La suma de los cuatro términos de una proporción aritmética
A) 200 B) 240 C) 100 D) 120 E) 130 continua es 100. Si el producto de los términos es 375 000, halla
la tercera diferencial.
26. La anchura de una alfombra rectangular es a su largo como 2 es
a 3. Si se le corta por los 4 costados pedazos de 10 # 10 cm la A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20
superficie disminuye en 86 cm2. Calcula el largo de la alfombra.
37. En una proporción geométrica de términos enteros, la suma de
A) 21 cm B) 12 cm C) 15 cm D) 18 cm E) 27 cm
los cubos de estos es 315. Halla la suma de los cuatro términos,
si el valor de la razón es un número entero positivo.
27. La media proporcional de dos números es 15. Si la proporción
geométrica que se forma tiene por razón 3/5. Calcula la media A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
diferencial de los extremos.
A) 20 B) 17 C) 9 D) 15 E) 19 38. Si se cumple: a # b = a # c = b # c = 2 3 2
m#n n#p m#p
28. Una liebre va al alcance de una tortuga, estando sus velocidades Además: a # b # c = 24
en la relación de 7 a 3; además, inicialmente estaban separadas Halla: m # n # p
48 m. Calcula la suma de los espacios recorridos.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
A) 80 m B) 150 m C) 120 m D) 100 m E) 130 m
39. La suma, diferencia y el producto de dos números, están en la
29. Para envasar 15 000 litros de aceite se dispone de botellas de relación de 25; 9 y 136, respectivamente. ¿Cuál es el mayor de
1/2 litro, 1 litro y 5 litros. Por cada botella de 5 litros hay 10 de un ellos?
litro y 20 de medio litro. Al terminar de envasar el aceite, no sobra
ninguna botella vacía. ¿Cuántas botellas había en total? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
A) 18 000 B) 30 000 C) 27 000
D) 240 E) 18 600 40. Sabiendo que se cumple: a = c = e = 24
b d 3 f
1 Las magnitudes A2 y B son IP. Si cuando A vale 20, A es a B 2 Si S es la suma de dos cantidades, siendo una de ellas IP a
como 10 es a 9. ¿Qué valor toma A cuando B vale 72? D2 y la otra DP a D2. Halla x si el siguiente cuadro indica sus
valores correspondientes.
D 2 3 1
S 20 15 x
A) 10 B) 20 C) 44 A) 25 B) 36 C) 37
D) 3 E) 11 D) 30 E) 35
3 Se reparte una cantidad N en partes directamente 4 Si A es DP a B, averigua cómo varía A cuando B aumenta en
proporcionales a 383; 572 y 762. Si a la menor parte le ha su tercera parte.
tocado 729, halla N.
5 Se reparte 29 700 DP a todos los números impares de dos 6 Reparte 13 310 en tres partes DP a 2; 1 y 3; IP a 5; 3 y 2; y DP
cifras. ¿Cuánto le toca a 51? a 3; 4 y 1. Indica la menor de las partes.
62 Intelectum 3.°
7 Dos ruedas de 48 y 32 dientes engranadas están girando. Si la 8 ¿Cuál es el peso de un diamante que vale 55 000 dólares,
primera rueda da 200 rpm, ¿cuántas vueltas dará la segunda si uno de 6 gramos cuesta 19 800 dólares y el precio es
rueda en 4 minutos? proporcional al cuadrado de su peso?
A) A IP B2 B) A DP B C) A DP B3
A) 64 B) 19 C) 25 D) 361 E) 16
49 5 9 25 9 D) A IP B3 E) A2 DP B5
Claves
C
Resolución de problemas
64 Intelectum 3.°
A) 1250 B) 1100 C) 1200
Razonamiento y demostración D) 1300 E) 1248
13. Si: 3 A IP B .
De las proposiciones:
NIVEL 3
I. A2 DP B6 II. 6
A IP 4
B III. A2 DP 13 Comunicación matemática
B
Son verdaderas:
21. En la figura se muestra una bicicleta y sus partes. Si sus
A) Solo I B) I y II C) I y III ruedas, tanto la rueda trasera como delantera, son de igual
D) II y III E) Todas tamaño; completa los recuadros con los signos >; < o =, según
corresponda:
14. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: Tren
delantero
a) Si M DP N , entonces ^M + N h DP N . Asiento
3
b) Si M3 IP 13 , entonces (M2 - MN + N2) DP N . Rueda
N M + N Cuadro
Piñón
c) Si 1 IP N, entonces (M + N) IP 1 .
M M-N
Resolución de problemas
A) 5000 B) 1620 C) 3000 D) 200 E) 170 a) n.° de vueltas del n.° de vueltas de la
piñón. rueda trasera.
16. Se sabe que A es DP a B, cuando C es constante y A es DP b) n.° de vueltas de la n.° de vueltas del
a C cuando B es constante. Encuentra el valor de A para rueda delantera. plato.
C = 18 y B = 32; sabiendo que cuando B = 24 y C = 16 el valor
de A es 25. c) n.° de vueltas de la n.° de vueltas de la
rueda trasera. rueda delantera.
A) 37,5 B) 37,3 C) 37 D) 36 E) 38
d) n.° de vueltas del n.° de vueltas del
17. Una magnitud A es DP a B y también a C, e inversamente piñón. plato.
proporcional a D2. ¿Qué variación experimenta A cuando B se 22. La energía potencial gravitatoria de un cuerpo (EPG) con respecto
duplica, C aumenta en su doble y D se reduce a su mitad? al piso; es directamente proporcional a su masa y a la altura en
que se encuentra.
A) Aumenta 16 veces su valor.
Un cartero se encuentra subiendo la escalera de un edificio tal
B) Aumenta 15 veces su valor.
como se muestra en la figura:
C) Aumenta 24 veces su valor.
D) Aumenta 23 veces su valor.
E) Aumenta 8 veces su valor.
A) 64 B) 72 C) 81 D) 90 E) 100
A) A DP 12 B) A DP C C) C IP 1
C A
Completa los recuadros con los signos 2; 1 o =, según
D) A2 IP C2 E) C IP A corresponda:
a) EPG EPG
20. Al repartir una cantidad en forma DP a 3A; 0,2A y 0,7A, se A B
obtiene que la menor de las partes es 64. Halla la cantidad b) EPG EPG
C A
repartida. c) EPG EPG
B C
I. Si m, n y p son números PESÍ dos a dos, entonces las partes Halla el valor de x.
son proporcionales a np, mp y mn.
A) 24 B) 96 C) 32 D) 48 E) 64
II. Si m, n y p son números primos, entonces a la mayor parte le
mN 30. Tres obreros se reparten una gratificación en partes DP a sus
corresponde . años de servicio que son 9; 11 y 16. No pareciéndoles justo el
m+n+p
reparto, acuerdan que sea en partes iguales, razón por la cual el
III. Si m, n y p son números primos tales que p < 58 y tercero entrega S/.1200 al segundo, y este una cierta cantidad al
3
m+p primero. ¿Cuál fue el importe de la gratificación?
n= , entonces a la menor parte le corresponde 5N .
5 71
A) S/.10 000 B) S/.12 000 C) S/.10 800
Son verdaderas: D) S/.15 000 E) S/.9000
A) Solo I B) Solo II C) I y II
D) II y III E) Todas
26. d
27. d
28. c
30. c
24. a
25. b
29. b
Resolución de problemas
NIVEL 3
21.
22.
23.
13. d
17. d
18. c
15. b
16. a
14.
D) S/.1610 E) S/.1330
NIVEL 2
9. b
11.
6. b
D) 325 cm E) 360 cm
1.
3.
4.
5.
66 Intelectum 3.°
Aplicamos lo aprendido
tema 4: rEGLA DE TRES
1 Se sabe que h hombres tienen víveres para d días. Si estos 2 Un tanque de petróleo tiene 5 salidas de igual diámetro.
víveres deben alcanzar para 4d días, ¿cuántos hombres Abiertas tres de ellas, el depósito se vacía en 5 horas y 20
deben retirarse? minutos; abiertas las cinco en qué tiempo se vaciaría.
3 Una persona pensó hacer una obra en 15 días; pero tardó 10 4 Para hacer 600 m de una obra, 30 obreros han trabajado 12
días más por trabajar 2 horas menos al día. ¿Cuántas horas días a razón de 10 horas diarias. ¿Cuántos días de 6 horas
trabajó al día? necesitarán 36 obreros de igual rendimiento para hacer 900 m
de la misma obra?
5 Un obrero demora 8 horas para construir un cubo compacto 6 Veinticuatro obreros pueden hacer una excavación en 60
de 4 cm de arista. Después de 100 horas de trabajo, ¿qué días. Luego de 20 días se les unieron 8 obreros más. ¿En qué
volumen habrá hecho? tiempo se hizo toda la excavación?
A) 600 cm3 B) 800 cm3 C) 1000 cm3 A) 40 días B) 42 días C) 50 días
D) 400 cm3 E) 680 cm3 D) 52 días E) 45 días
A) 12 h 15 min B) 10 h 15 min
C) 18 h 15 min D) 12 h 36 min A) 10 días B) 12 días C) 16 días
E) 15 h 18 min D) 20 días E) 30 diás
9 Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo en veinte 10 En 24 horas 15 obreros han hecho 1/4 de una obra. ¿Cuántas
días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros. horas empleará otra cuadrilla de 30 hombres doblemente
¿Cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que hábiles para terminar la obra?
quedan?
11 Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar 12 Una fábrica posee 16 máquinas cuyo rendimiento es como 90
un terreno cuadrado de 400 m de lado. ¿Cuántos agricultores y produce 4800 envases en 6 días trabajando 10 horas diarias.
de doble rendimiento serán necesarios para que en 6 días de Si se desea producir 1200 envases en 8 días trabajando 9
8 h/d aren otro terreno de 480 m de lado? horas diarias, ¿cuántas máquinas cuyo rendimiento es como
60 se requieren?
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
13 Si 6 leñadores pueden talar 8 árboles en 8 días, ¿en cuántos 14 Si 20 obreros se demoran 15 días de 7 horas diarias de trabajo
días talarán 16 leñadores 16 árboles si estos últimos son 1/4 en sembrar 50 m2 de terreno, ¿cuántos días de 8 horas diarias
menos eficientes que los anteriores? de trabajo se demorarán en sembrar 80 m2, 15 obreros
doblemente eficientes?
Claves
68 Intelectum 3.°
Practiquemos
NIVEL 1 5. Se piensa construir una pared en 20 días con 15 obreros.
Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
Comunicación matemática a) Para culminar la obra 5 días antes, se deben
contratar 8 obreros más.
1. En la figura se muestra un tanque que inicialmente se encontraba
b) Para culminar la obra 8 días antes, se deben
lleno. Si hasta el instante mostrado han transcurrido 33 minutos,
contratar 10 obreros más.
¿cuántos grifos deberán abrirse para terminar de vaciar el
tanque en 29 minutos? c) Para culminar la pared en 6 días, es necesario
contratar, 35 obreros más.
Resolución de problemas
A) 18 B) 20 C) 22 D) 26 E) 16
Respuesta:
7. Yisela pintó las caras de un cubo en 40 minutos. Si ahora está
2. Lucía cobra S/.18 por pintar un cubo como se muestra en la pintando otro cuyo lado en cada cara es el triple del anterior, ¿a
imagen: qué hora terminará si empezó a las 9:40 a. m.?
A) 21 B) 27 C) 18
D) 25 E) 24
NIVEL 2
Si se quiere terminar de pintar el resto de la fachada en una Comunicación matemática
hora, ¿cuántos pintores de igual eficiencia se deberán contratar?
Respuesta: 11. En la figura se muestra un ventilador girando a velocidad angular
constante. Completa el cuadro.
Razonamiento y demostración
Tiempo n.° de
4. 18 gatos comen 90 ratones en 150 segundos. (segundos) vueltas
Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
5 20
a) En 50 segundos 30 gatos comen 45 ratones.
3
b) 27 gatos pueden comer 45 ratones en 60 segundos.
c) En 50 segundos 45 gatos comen 70 ratones.
70 Intelectum 3.°
26. 15 máquinas pueden hacer un trabajo en 24 días. ¿Cuántas
1 cm
máquinas adicionales cuya eficiencia es el 60% de las
A
anteriores se necesitarán para hacer un trabajo que es el 80%
mayor en el mismo tiempo?
A) 20 B) 25 C) 30 D) 40 E) 35
27 cm
27. Una enfermera proporciona a un paciente una tableta cada 45
B O2
minutos. ¿Cuántas tabletas necesitará para 9 horas de turno si
O1 debe administrar una al inicio y al término del mismo?
R A) 12 B) 10 C) 14 D) 13 E) 11
28. Marco es 20% más eficiente que Jorge y Jennifer es 20% más
C eficiente que Marco. Si Jorge se demora 66 días en hacer un
trabajo, ¿en cuántos días lo harán Marco y Jennifer trabajando
Respuesta: juntos?
23. Una cuadrilla de x obreros es contratada para construir una obra 29. Catorce obreros deben construir una vía férrea en 18 días, pero
en y días. Si al cabo de z días se decide terminar la obra 10 días al cabo de 4 días se incorporan 6 obreros con un rendimiento de
antes, ¿cuántos obreros deben contratarse? (valor numérico) 50% menos que los anteriores. Si se quiere terminar la obra en
Información brindada: 3 días antes de lo fijado. ¿A los cuántos días de haber ingresado
los 6 obreros deben elevar su rendimiento al 100% para terminar
I. y - 4z ! N - Z+ / {y, z} 1 Z+
la obra?
II. z toma su menor valor entero.
A) 3 días B) 4 días C) 5 días
Para resolver el problema: D) 8 días E) 16 días
A) La información I es suficiente.
B) La información II es suficiente. 30. 30 obreros excavan una zanja de 6 m de largo, 5 m de ancho y
2 m de profundidad, con un rendimiento tal como 5, una actividad
C) Es necesario utilizar ambas informaciones. tal como 2 y en un terreno de resistencia tal como 5. ¿Cuántos
D) Cada una de las informaciones por separada es suficiente. obreros se necesitarán para hacer una zanja del mismo ancho,
E) Las informaciones dadas son insuficientes. doble de largo y de la mitad de profundidad, con un rendimiento
tal como 3, una actividad tal como 4 y un terreno de resistencia
24. Si se requieren de ab obreros para levantar 128 columnas en 15 tal como 2?
días, ¿cuántos obreros se requiere para levantar 60 columnas
en 10 días? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16
Información brindada:
I. CD[C. A. (ab)] = 9
II. MCD(ab; 140) = 4 / a = b + 2
27. d
28. c
29. d
25. e
26. a
30. b
A) La información I es suficiente.
20. C
24. d
23. e
21.
22.
B) La información II es suficiente.
C) Ambos datos son necesarios.
C l a ves
16. C
19. D
14. A
15. A
17. B
18. A
Resolución de problemas
10. E
7. E
8. B
9. A
12.
11.
D) 176 E) 226
1.
2.
3.
4.
5.
1. En una fiesta, por cada 5 varones hay 4 mujeres y por cada A) S/.290 B) S/.30 C) S/.390
6 personas que están bailando una no baila. ¿En qué relación D) S/.130 E) S/.360
están los varones y mujeres que no bailan?
8. Reparte S/.900 en forma DP a 2; 4; 6; ... ; 18. Da como respuesta
A) 10 a 1 B) 8 a 1 C) 4 a 3
la parte mayor.
D) 5 a 2 E) 10 a 3
A) S/.30 B) S/.60 C) S/.90
2. En una urna se tienen 400 bolas, de las cuales 160 son blancas D) S/.120 E) S/.180
y las restantes negras. ¿Cuántas blancas se deben añadir para
que por cada dos negras hayan tres bolas blancas? 9. Se tienen 2 ruedas engranadas A y B que tienen 30 y 50 dientes,
respectivamente, a la vez que B está unida mediante un eje con
A) 200 B) 100 C) 0
otra rueda C. Si esta última gira 27 vueltas, ¿cuántas vueltas da
D) 240 E) 120
la rueda A?
3. Las velocidades de dos personas están en la relación de 12 a A) 27 B) 36 C) 40
7. Si están separadas 570 m y va una al encuentro de la otra. D) 45 E) 54
¿Cuánto recorre cada una hasta el momento de encontrarse?
10. Un obrero demora 8 horas para construir un cubo compacto de
A) 240 y 330 m B) 260 y 310 m C) 360 y 210 m
5 dm de arista. Después de 108 horas de trabajo, ¿qué parte de
D) 300 y 270 m E) 480 y 110 m
un cubo de 15 dm de arista habrá construido?
4. ¿Cuántos números de tres cifras de la base 5 son cuadrados A) 1 B) 1 C) 1
perfectos? 4 3 2
1
D) E) 1
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 8 5
5. Calcula la suma de valores de a, si ab5 es un cuadrado perfecto. 11. El número de tubos circulares con un diámetro interior de 3 cm
que transportan el mismo caudal de agua que un tubo de 9 cm de
A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 10 diámetro interior, es:
72 Intelectum 3.°
Unidad 4
Recuerda
Karl Friedrich Gauss
3 Si el 25% de 8x es 80, halla x. 4 Si el precio de costo de una plancha es S/.40, ¿a qué precio
se debe vender la plancha si se desea ganar el 30% de su
precio de costo?
5 El 30% del 120% del 50% de un número es equivalente al 40% 6 Se vende un carro en S/.7200. Si el precio de costo representa
del 25% de otro número. Si los números suman 1400, calcula la suma del 125% de la ganancia más el 60% del precio de
el mayor. venta, ¿cuál es la ganancia, en soles?
A) S/.2430 B) S/.2490 C) S/.3240 A) S/.500 B) S/.460 C) S/.400
D) S/.3420 E) S/.2370 D) S/.480 E) S/.450
9 En una reunión hay 100 personas de las cuales 70% son 10 Al venderse un ipod se gana el 20% del precio de venta. ¿Qué
mujeres. ¿Cuántas parejas deben llegar a la reunión para que porcentaje del precio de costo se está ganando?
el número de hombres sea el 60% de las mujeres?
11 Se han vendido 2 corbatas a S/.72 cada una, en una gana el 12 Para fijar el precio de un artículo un comerciante aumentó
20% y en la otra pierde el 20%. ¿Ganó o perdió?¿Cuánto? su costo en un 60%, pero al venderlo hizo al cliente dos
descuentos sucesivos del 25% más el 25%. ¿Qué porcentaje
del costo resultó ganando o perdiendo?
13 Se vende un artículo recargándose el a% del precio de costo, 14 Javier tostó el 60% de la cantidad de café crudo que dispone,
pero al momento de comprarlo rebajaron el b%. Halla el valor dándose cuenta de que en este proceso pierde el 25%. ¿Qué
de b, si no se ganó ni perdió. tanto por ciento del café sin tostarse representa lo que se
perdió al tostarse?
A) 100a B) 100
a + 100 10a + 100
C) 10 D) 110a
100 - a a + 100
Claves
76 Intelectum 3.°
Practiquemos
Nivel 1 b) P%N = N%P
c) 42%413 > 41%492
Comunicación matemática
A) 8 B) 12 C) 16 D) 4 E) 6
17. Un comerciante vende 10 televisores del mismo tipo a $2500 Línea visual
de la persona
ganando en cada uno el 25% del costo. ¿Cuántos televisores
al automóvil
podrá adquirir cuyo costo sea 50% menor que los anteriores con
dicho monto?
A) 20 B) 25 C) 36 D) 24 E) 32 Respuesta:
78 Intelectum 3.°
Son verdaderas: 32. Una persona apostó todo su dinero ganando el 10%, luego
apostó lo que tenía perdiendo el 80% y por última vez apuesta
A) Solo I B) Solo II C) Solo III
todo el dinero que le queda perdiendo el 70% con la cual se
D) I y II E) Todas
retiró únicamente con S/.66. Calcula cuánto dinero perdió.
26. Los 2/5 de una mercancía se venden con un 6% de pérdida, la 34. El exceso de A sobre B equivale al 20% del dinero de C y el
mitad del resto con un 2% de ganancia. ¿Qué tanto por ciento se exceso de B sobre C equivale al 10% del dinero de A. Si A tiene
debe ganar en la venta de lo que queda para finalmente ganar el S/.200, ¿cuánto tiene B?
9% sobre el total de la mercancía? (A 2 B 2 C)
A) 36% B) 54% C) 24% D) 25% E) 30% A) S/.140 B) S/.170 C) S/.1150
D) S/.130 E) S/.160
27. Al desinflarse una pelota se observa que la sombra que proyecta
sobre el piso disminuye en 43,75%. Determina en qué tanto 35. La mano de obra y las indemnizaciones representan el 40% del
por ciento disminuye su volumen, si se desinfla de manera valor de una obra. Si las indemnizaciones representan el 60% del
homogénea. importe de la mano de obra, ¿qué tanto por ciento del valor de dicha
obra representa solamente la mano de obra?
A) 52,75% B) 62,5% C) 56,25%
D) 57,81% E) 37,5% A) 10,5% B) 30% C) 25%
D) 12,5% E) 16%
28. A una reunión asistieron 60 personas, si el 60% de los asistentes
está formado por varones y el 75% de ellos usa anteojos, mientras 36. En una granja el 20% son patos, el 45% gallinas y el resto
que el 25% de las mujeres que asistieron no usa anteojos. ¿Qué conejos. Si el número de gallinas fuera el doble y el número de
tanto por ciento del total de personas usa anteojos? conejos fuera el cuádruple, ¿qué tanto por ciento del nuevo total
serían los patos?
A) 45% B) 48% C) 50% D) 60% E) 75%
A) 7% B) 8% C) 9% D) 10% E) 15%
29. A una conferencia asistieron 200 personas de las cuales 60%
está constituida por mujeres y de estas el 80% vestían falda,
mientras que el 40% de los varones fueron con terno. ¿Qué tanto
por ciento de los varones que no usan terno son las mujeres que
no fueron con falda?
30. C
31. c
33. c
35. c
32. a
34. b
36. b
27. D
25. A
26. A
28. E
29. E
Nivel 3
18. C
20. C
15. B
17. B
19. A
21.
D) S/.301,4 E) S/.408,2
Nivel 2
6. E
7. E
D) S/.550 E) S/.480
1 Se tienen los promedios finales de 20 estudiantes del curso 2 De la siguiente tabla de frecuencias:
de Física II.
Ii fi hi
10 12,5 13 15 19,8 Q125; 135H 4/a
18,5 14,2 15,2 13,5 17,2 Q135; 145H a 5/a
16,4 12,2 17,6 15,8 13,2 Q145; 155H 7/a
11,8 15,5 15 16,8 11,5 Q155; 165H 6/a
3 Se tienen las estaturas (en metros) de 100 alumnos del nivel 4 La tabla de frecuencias corresponde al jornal diario (en S/.) de
secundaria de una I. E. los obreros de una empresa constructora.
Ii Fi Hi Ii fi Fi
[1,40; 1,50H [50; 70H 32
[1,50; 1,60H 0,58 [70; 90H 40
[1,60; 1,70H [90; 110H 120
[1,70; 1,80] [110; 130H
¿Cuántos alumnos poseen una estatura no menor de 1,60 m? [130; 150] 36 200
5 Se tiene la tabla de distribución de los salarios de 225 6 Halla la diferencia entre la mediana y la moda de los siguientes
personas. datos.
Ii fi 20 23 25 25 30
[600; 700H 15 23 25 20 20 23
[700; 800H 30 20 23 20 20 23
[800; 900H 65
[900; 1000H 70
[1000; 1100] 45
A) 70 B) 80 C) 95 A) 0 B) 1 C) 2
D) 100 E) 118 D) 3 E) 4
80 Intelectum 3.°
7 Calcula la diferencia entre la moda y la media de los siguientes 8 En una avícola se registra la siguiente tabla de distribución de
datos. pollos con respecto a sus pesos.
12 12 12 15 17 Peso (en gramos) n.° de pollos
18 17 15 12 15 [960; 980H 100
15 18 17 18 18 [980; 1000H 200
18 15 15 18 18 [1000; 1020H 280
[1020; 1040H 260
[1040; 1060] 160
¿Cuántos pollos pesan entre 1010 g y 1024 g?
A) 1 B) 1,55 C) 2,25 A) 190 B) 192 C) 194
D) 2,57 E) 3 D) 196 E) 198
[1,55; 1,60H 8 7
6
5
[1,60; 1,65H 12
3
[1,65; 1,70H 14
11 12 15 18 20 Xi
[1,70; 1,75H 9
Halla: X + Me
[1,75; 1,80U 7
13 Si el siguiente histograma corresponde a una distribución 14 El histograma muestra la distribución de los salarios semanales
clasificada en intervalos que tienen ancho de clase común: de los empleados de una empresa.
fi fi
13 64
10 44
7 40
6 32
4 20
58 66 Ii 250 300 350 400 450 500 Ii
Calcula: Mo - X Halla: Me + Mo
Claves
Comida favorita b) F2 $ 11
c) F4 = 3F2
[ ; H x+1
Razonamiento y demostración 4x
4. Al elaborar una tabla de distribución de frecuencias con 7 [ ; H x-1 6x
intervalos, se observa que hi es inversamente proporcional a i, 4x
además: f3 - f6 = 70. El número de observaciones es:
Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: A) 20 B) 80 C) 40 D) 60 E) 30
82 Intelectum 3.°
Nivel 2 Calcula la moda.
A) 65 B) 62 C) 60 D) 70 E) 50
Comunicación matemática
16. En el siguiente gráfico calcula la mayor moda si:
Enunciado para los problemas: 10 y 11
n.° de personas
Se tiene la siguiente ojiva de una distribución de un conjunto de datos.
Fi 20
A) 12
170 15
B) 13,5
C) 12,2 10
8
120 D) 14,5 5
100 E) 11,5 3
70 2 5 8 11 14 17 20 Notas
50
Hi % 120
A) 20% 100 110
B) 21%
C) 22%
55 90
D) 23% 45 85
E) 24% 25 80
10 75
7 12 17 22 27 Edades Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Meses
19. ¿Cuántas toneladas se produjeron en el primer trimestre del año
15. Si el siguiente cuadro de distribución tiene igual ancho de clase.
2013?
Ii xi fi Fi
Respuesta:
[ ; H 30 12 12
[ ; H 60 28 30 20. ¿En qué porcentaje disminuye la producción en el 2.° trimestre
[ ; H 15 45 respecto al 1.er trimestre?
[ ; H 15 60 Respuesta:
a) Me > Mo [ ; 56] 6
Resolución de problemas Ii fi
A) 141,9 y 11,9
[20; 30H 15
23. Dado el siguiente cuadro estadístico. Halla a + b + c, si los B) 152,7 y 12,4
intervalos de clase tienen ancho común. [30; 40H 22
C) 155,8 y 12,5
[40; 50H 48
D) 158,7 y 12,6
Ii xi fi Fi hi Hi [50; 60H 40
E) 167,8 y 12,9
20 [60; 70U 25
[20; H 30
a c 0,20
b 0,70
[32; H 60
23. d
24. A
19.
20.
21.
22.
Intervalos de
xi Fi hi Hi
salario
C l a ve s
[300; 360H
[360; 420H 0,30
14. C
16. C
17. D
15. A
18. A
12.
13.
[420; 480H
[480; 540H
Nivel 2
10.
11.
Además: f4 = 2f3
¿Cuántos empleados ganan menos de 480 soles?
Nivel 1
6. C
A) 50 B) 55 C) 61 D) 60 E) 57
1.
2.
3.
4.
5.
84 Intelectum 3.°
Aplicamos lo aprendido
tema 3: ANÁLISIS COMBINATORIO
1 ¿De cuántas maneras 5 parejas de esposos pueden ubicarse 2 Se tiene un estante con capacidad para 9 libros, si en él se
en una mesa circular para almorzar; si estas parejas siempre quiere ordenar 4 libros de Física; 3 libros de Química y 2 de
deben almorzar juntas? Aritmética; ¿De cuántas maneras se podrá realizar esto, si los
de Aritmética se ubican a los extremos?
3 Un estudiante tiene que resolver solamente 8 preguntas de 10 4 Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran 5 asientos
en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger las preguntas juntos, en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De
tiene el estudiante? cuántas maneras diferentes pueden sentarse, si las tres
chicas no quieren estar una al costado de otra?
A) 42 B) 43 C) 44 A) 12 B) 14 C) 16
D) 45 E) 46 D) 18 E) 20
5 Se tienen cuatro letras de cartón: A, B, C y D. ¿Cuántos 6 Álvaro desea comprar un pantalón y una camisa. Un
códigos pueden formarse con estas letras si cada código comerciante le muestra 8 pantalones y 7 camisas de colores
puede llevar indistintamente una, dos, tres o cuatro letras? diferentes con los modelos que a Álvaro le gusta. ¿De cuántas
maneras distintas puede escoger lo que desea comprar?
A) 60 B) 64 C) 80 A) 52 B) 53 C) 54
D) 84 E) 90 D) 55 E) 56
9 En una reunión hay 6 parejas de casados. ¿De cuántas 10 Con 7 médicos y 4 ingenieros se debe formar un comité de
maneras se pueden escoger un hombre y una mujer de modo 6 miembros. ¿De cuántas maneras se pueden formar dicho
que no sean esposos? comité si debe estar conformado por al menos dos ingenieros?
11 La selección peruana de vóleibol está conformada por 18 12 En el transcurso del mes de marzo un comerciante debe
chicas. ¿De cuántas maneras se puede conformar un equipo realizar 5 viajes a Ica y 3 viajes a Trujillo. ¿Cuántas maneras
de 6 si se sabe que 2 de ellas se niegan a jugar en el mismo diferentes en cuanto al orden hay, para realizar estos 8 viajes?
equipo?
13 ¿Cuántas palabras diferentes de 4 letras aunque no 14 ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una misma mesa
necesariamente tengan sentido se puede formar con las letras circular de 6 asientos un equipo de 6 personas, si dos de las
de la palabra GATO, de modo que tengan siempre la sílaba personas deben estar siempre juntas?
GA?
A) 5 B) 6 C) 7 A) 6 B) 12 C) 120
D) 8 E) 9 D) 48 E) 24
Claves
86 Intelectum 3.°
Practiquemos
Nivel 1 7. En una biblioteca hay 10 libros de Aritmética y 6 de Álgebra. ¿De
cuántas, maneras se pueden colocar 5 libros en un estante, de
Comunicación matemática los cuales 3 sean de Aritmética y 2 de Álgebra?
A) 30 000 B) 12 000 C) 18 000 D) 16 000 E) 60 000
1. Dado el siguiente tablero:
8. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 7 personas alrededor
de una mesa circular?
A) 6 B) 24 C) 120 D) 720 E) 5040
¿De cuántas maneras se pueden distribuir los números 1; 2; 3 y 9. Con 7 consonantes y 4 vocales, ¿cuántas palabras que
4 en dicho tablero? contengan cada una 3 consonantes y 2 vocales (todas distintas
entre sí) pueden formarse?
Respuesta:
A) 225 400 B) 325 000 C) 325 200
2. Se diseña el formato de numeración de los boletos de una lotería D) 302 400 E) 254 000
escolar de la siguiente manera:
10. En una reunión se contaron 15 estrechadas de mano. Si todos
fueron corteses con los demás, ¿cuántas personas asistieron a
dicha reunión?
Consonante Vocal Números
A) 5 B) 7 C) 6 D) 8 E) 15
Donde la vocal puede ser cualquiera de las conocidas, la
consonante puede ser cualquiera de 12 seleccionadas y el
Nivel 2
número puede ser de 01 a 99. Comunicación matemática
¿Cuántos boletos deberán fabricarse?
11. Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con las
Respuesta: siguientes letras:
A i E
3. De la figura:
C A
A B C R M T A
i T A i
¿De cuántas maneras se puede ir de A a C sin retroceder?
Respuesta:
Respuesta:
12. Luis tiene cierta cantidad de balones de fútbol, básquet y vóley,
Razonamiento y demostración tal como se muestra en la figura:
A) 288 B) 120 C) 72 D) 144 E) 160 26. Coco va a una tienda y encuentra 6 polos de su agrado. Si
solamente tiene dinero para 3 polos, ¿de cuántas formas podrá
17. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán sentar las 7 efectuar su compra sabiendo que va a invertir todo su dinero
personas, si Martín se sienta entre Pablo y Manuel? en polos?
A) 120 B) 48 C) 240 D) 60 E) 72 A) 36 B) 20 C) 18 D) 9 E) 12
18. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán sentar cinco de las
personas, si 2 son de la U y se sientan juntos? 27. Una persona tiene cuatro camisas y tres pantalones:
I. ¿De cuántas maneras diferentes podrá combinar las prendas?
A) 60 B) 144 C) 288 D) 120 E) 240 II. ¿De cuántas maneras se podrá vestir, si la camisa crema
siempre se la debe poner con su pantalón marrón?
19. Se tienen 6 parejas de casados los cuales asistieron a una III. ¿De cuántas maneras se podrá vestir, si el pantalón marrón
reunión social. ¿De cuántas maneras puede formarse una
pareja de baile, tal que no sean esposos? siempre se lo debe poner con su camisa crema?
IV. ¿De cuántas maneras se podrá vestir, si la camisa crema
A) 45 B) 30 C) 55 D) 58 E) 60 siempre se la debe poner con su pantalón marrón y
viceversa?
20. Con 5 frutas, ¿cuántos surtidos de 2 frutas puedo preparar?
a) 12 b) 6 c) 7
A) 10 B) 12 C) 5 D) 8 E) 15 d) 9 e) 10 f) 5
Relaciona correctamente:
Nivel 3
A) Ia, IIc, IIIe, IVc B) Ia, IId, IIIe, IVc
Comunicación matemática C) Ia, IIb, IIIc, IVb D) Ia, IIb, IIIb, IVf
E) Ia, IIe, IIId, IVc
En la figura:
Enunciado para los problemas: 28; 29 y 30
En la juguería Super Fruta, Ricardi prepara jugos a base de plátano,
manzana, mango, lúcuma, melón y piña.
88 Intelectum 3.°
Aplicamos lo aprendido
tema 4: Probabilidades
1 Halla la probabilidad de que al tirar 2 dados, la suma de puntos 2 Halla la probabilidad de que al lanzar una moneda dos veces,
en las caras aparecidas sea igual a cinco y el producto, cuatro. aparezca aunque sea una vez un sello.
A) 1 B) 1 C) 2 D) 1 E) 1 A) 1 B) 3 C) 1 D) 1 E) 2
2 16 11 18 20 2 4 3 4 3
3 Una caja contiene 10 piezas idénticas marcadas con los 4 Una caja contiene 100 piezas de las cuales 10 son defectuosas.
números 1; 2; 3; ...; 10. Se escogen al azar 6 piezas. Halla la Si se extraen al azar 4 piezas, ¿cuál es la probabilidad de que
probabilidad de que entre las piezas extraídas aparezcan las entre las piezas escogidas, no haya defectuosas?
piezas n.° 1 y n.° 2.
5 La probabilidad de que un estudiante apruebe Aritmética es 6 Ocho parejas de casados se encuentran en un salón. Si se
2/3 y la probabilidad de que apruebe Álgebra es 4/9. Si la escogen 4 personas al azar, halla la probabilidad de que se
probabilidad de aprobar al menos una de estas materias es escojan dos parejas de casados.
4/5, halla la probabilidad de que apruebe ambos cursos.
A) 13 B) 14 C) 16 D) 17 E) 19 A) 1 B) 7 C) 8 D) 9 E) 31
45 45 45 45 45 30 30 31 40 40
9 En 27 papeletas se escriben las letras del abecedario. Si 10 En una carrera intervienen los caballos A, B, C y D. Halla la
se eligen sucesivamente cuatro papeletas al azar, halla la probabilidad que gane A o gane B.
probabilidad de que se obtenga la palabra “dato”.
11 Halla la probabilidad de que un cartero que lleva tres cartas 12 Dos personas A y B se distribuyen al azar en 4 oficinas
para destinatarios distintos, entregue al menos una bien si numeradas: 1; 2; 3 y 4 respectivamente, pudiendo estar
realiza el reparto al azar. ambos en una misma oficina. ¿Cuál es la probabilidad de que
la oficina 3 se quede vacía?
A) 1 B) 2 C) 1 D) 1 E) 1 A) 4 B) 9 C) 8 D) 3 E) N. A.
2 3 3 4 8 9 16 9 16
13 Se tiene cuatro urnas numeradas del 1 al 4 y cuatro bolas 14 Se extraen 5 cartas al azar de una baraja de 52 naipes. ¿Cuál
también numeradas del 1 al 4. Si se coloca al azar una bola en es la probabilidad de extraer un “full” (3 cartas iguales y 2 de
cada urna, halla la probabilidad de que la bola 1 sea colocada otra también iguales)?
en la urna 1 y la bola 2 en la urna 2.
A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
2 4 8 10 12 4263 4267 4168 4165 4165
Claves
90 Intelectum 3.°
Practiquemos
Nivel 1 9. De entre 10 artefactos fabricados, 3 se encuentran defectuosos.
Si se escoge al azar un lote de 5 artefactos, ¿cuál es la
Comunicación matemática probabilidad de que ningún artefacto del lote seleccionado sea
defectuoso?
Alonso va a una tienda y decide comprar 2 libros al azar.
A) 1 B) 3 C) 5 D) 1 E) 11
4 8 9 12 12
10. Susan y cuatro amigas se ubican en una fila. ¿Cuál es la
probabilidad de que Susan se ubique en el centro de la fila?
A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) 1
2 3 5 6 8
Nivel 2
1. ¿Cuál es la probabilidad de que gaste S/.11?
Comunicación matemática
Respuesta: Al siguiente cubo de caras laterales pintadas se divide en 1000 cubitos
más pequeños de igual dimensión.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que gaste S/.13?
Respuesta:
Respuesta:
Si de los 1000 cubitos se toman 2 al azar, responde:
Razonamiento y demostración
11. ¿Cuál es la probabilidad de tomar 2 cubos con las caras
4. Si A es un evento del espacio muestral W, indica verdadero (V) pintadas?
o falso (F), según corresponda:
Respuesta:
A) Si P(A) = 1 , entonces P(AC) = 1 .
2 2 12. ¿Cuál es la probabilidad de tomar un cubo con las caras pintadas
C
B) P(A) + P(A ) = 1,3 y otro sin las caras pintadas?
C) 0 # P(A) # 1 Respuesta:
A) 5 B) 5 C) 7 D) 3 E) 5
27 42 43 126 126 Resolución de problemas
7. Si se lanzan 2 dados, halla la probabilidad de que la suma de los
15. En una caja hay 15 piezas idénticas marcadas con los números:
puntajes sea igual a 2.
2; 3; 4; 5; ...; 16. Si se escoge al azar una pieza, halla la
probabilidad de que la pieza extraída sea un número primo.
A) 1 B) 5 C) 1 D) 5 E) 7
18 18 36 36 36
A) 1 B) 2 C) 1 D) 2 E) 4
8. En una caja hay 5 fichas de las cuales 2 son de color rojo y 3 3 5 5 5
3 son de color amarillo. Si se extraen 3 fichas al azar, halla la 16. Elizabeth escribe un número de dos cifras al azar. ¿Cuál es la
probabilidad de que por lo menos una resulte de color rojo. probabilidad de que dicho número sea múltiplo de 6?
A) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) 9 A) 1 B) 13 C) 19 D) 2 E) 1
2 5 9 10 10 90 90 90 9 6
D) 2424 E) 2524
2 598 960 3 598 960
Respuesta:
Cl aves
Razonamiento y demostración Nivel 1 7. C 13. 20. D 26. E
1. 8. E 14. Nivel 3 27. E
23. Demuestra que si los eventos A1, A2, A3 son tales que A1 1 A2 1 A3, 2. 9. D 15. D 21. 28. E
entonces P(A1 + Ac2 + A3c ) = 0. 3. 10. C 16. E 22. 29. C
4. Nivel 2 17. E 23. 30. A
24. Demuestra que si A y B son dos eventos cualesquiera, entonces: 5. 11. 18. B 24.
6. B 12. 19. C 25. D
P(A , B) = P(A) + P(B) - P(A + B)
92 Intelectum 3.°
Matemática
▪▪ ¿De cuántas formas se pueden ubicar en un tablero de ajedrez, 8 Por ejemplo, en la siguiente figura se representa la distribución de las
torres idénticas, de modo que no se puedan “comer” una a la otra? torres correspondientes a la permutación 46132875.
Resolución:
Para que las 8 torres ubicadas en el tablero de ajedrez no se puedan
“comer” una a la otra, en cada línea horizontal y en cada línea vertical
deberá haber una sola torre.
Denotemos:
F1: la 1.a fila horizontal
F2: la 2.a fila horizontal
h
F8: la 8.a fila horizontal
Entonces, (F1; F2; ...; F8) será cierta permutación de los números 1; De esta manera, el número de distribuciones buscadas de las torres es
2; ...; 8. Debemos tener en cuenta que entre los números F1; F2; ...; igual al número de permutaciones de los números 1; 2; ...; 8, es decir,
F8 no hay dos iguales, puesto que de ser así, dos torres quedarían va a ser igual a P8.
en una misma vertical. Luego: P8 = 8! = 40 320
Luego, si F1; F2; ...; F8 es una permutación de los números 1; 2; ...; 8, Por lo tanto, las 8 torres idénticas pueden ubicarse de la forma requerida,
a esta le corresponderá cierta distribución de las torres en la cual no de 40 320 formas diferentes.
se podrán comer una a la otra.
A) 11 B) 12 C) 13 A) 1 B) 22 C) 5
35 35 7
D) 14 E) 16
D) 2 E) 4
35 7
4. Raúl se dispone a transportar en un camión, de Huancayo a
Lima, cierto número de vacas, caballos y asnos. Si dicho camión
9. Del enunciado anterior, ¿cuál es la probabilidad de que sea un
tiene una capacidad para 9 animales, ¿de cuántas maneras los
número múltiplo de 4 o múltiplo de 6?
puede transportar si tiene disponibles más de nueve animales
de cada especie? A) 13 B) 22 C) 11
35 35 35
A) 165 B) 166 C) 167
D) 1 E) 1
D) 168 E) 169 5 7
1. 5.
7 3 6 8 6 7 1 4
4 2 9 3 2 9 6 1
7 3 5 5 8 2 6
3 8 4 5 8 1 3
1 5 6 3 7 6 1 7 5
6 2 1 4 7 8 2
7 1 5 5 3 7 1
1 3 9 4 1 2 4 5
6 9 1 2 5 3 1 9
2. 6.
8 4 3 6 6 5 9 1 8
7 9 3 3 8 2 7
9 5 8 7 9 8 5
1 8 6 3 5 8 1 2
4 5 2 1 3 9
4 7 1 8 7 3 2 6
3 2 5 6 4 3 1
6 9 1 9 2 4 7
9 7 5 8 1 5 7 9 3
3. 7.
1 7 7 8 9 6 4
2 5 4 6 7 7 9
6 5 4 3 9 1 8 5
2 1 6 4 3 8 6
9 4 5 5 7 4 8 2
8 4 5 3 2 9 3
8 4 5 3 8 9 2 5
1 7 5 2 9 1 5
3 8 4 5 2 4 3 8
4. 8.
3 4 1 5 6 4 5
8 6 2 4 7 8
7 9 4 1 8 5 4 2 6
1 8 5 8 3 9 4
4 5 9 6 5 7 8
3 5 7 3 1 2 5
8 6 7 2 3 9 1 4 8
7 4 3 9 5 9
9 1 6 2 8 8 3
1. 5.
2 7 3 9 5 1 4 6 8 3 6 7 1 4 2 9 5 8
5 8 1 4 2 6 7 9 3 8 5 2 9 6 7 3 4 1
9 4 6 7 3 8 5 1 2 9 4 1 5 3 8 7 2 6
3 5 9 1 7 2 8 4 6 2 9 5 4 7 6 8 1 3
4 1 8 5 6 3 2 7 9 6 1 3 2 8 9 4 7 5
7 6 2 8 4 9 3 5 1 4 7 8 3 1 5 2 6 9
8 2 7 6 1 5 9 3 4 5 3 4 7 9 1 6 8 2
1 3 5 2 9 4 6 8 7 1 8 9 6 2 4 5 3 7
6 9 4 3 8 7 1 2 5 7 2 6 8 5 3 1 9 4
2. 6.
8 2 4 7 3 1 9 5 6 6 4 5 3 9 1 2 7 8
6 7 5 8 4 9 2 3 1 3 8 1 2 6 7 4 9 5
1 3 9 2 6 5 8 4 7 9 7 2 8 5 4 3 1 6
7 1 8 6 2 3 4 9 5 4 5 9 7 8 6 1 3 2
4 9 3 1 5 8 7 6 2 8 2 6 1 3 9 7 5 4
2 5 6 4 9 7 1 8 3 7 1 3 4 2 5 8 6 9
3 8 2 5 1 4 6 7 9 2 9 7 6 4 3 5 8 1
5 6 7 9 8 2 3 1 4 5 3 8 9 1 2 6 4 7
9 4 1 3 7 6 5 2 8 1 6 4 5 7 8 9 2 3
3. 7.
1 3 4 6 2 7 9 5 8 7 8 5 2 3 9 6 1 4
2 5 9 8 3 4 6 7 1 6 2 1 5 7 4 3 8 9
7 8 6 9 1 5 4 3 2 3 4 9 6 1 8 5 7 2
5 7 2 1 6 9 8 4 3 8 3 6 9 2 5 7 4 1
9 6 3 2 4 8 7 1 5 9 5 7 1 4 3 8 2 6
8 4 1 7 5 3 2 9 6 2 1 4 7 8 6 9 5 3
3 2 8 4 9 1 5 6 7 4 7 3 8 9 1 2 6 5
4 1 7 5 8 6 3 2 9 1 6 8 3 5 2 4 9 7
6 9 5 3 7 2 7 8 4 5 9 2 4 6 7 1 3 8
4. 8.
3 2 4 7 1 9 5 8 6 3 2 7 4 6 5 8 1 9
5 8 6 3 2 4 1 7 9 6 9 4 2 8 1 7 5 3
7 1 9 6 8 5 4 2 3 1 8 5 3 7 9 4 2 6
1 9 5 8 7 2 3 6 4 5 1 8 6 3 2 9 7 4
8 4 3 1 5 6 7 9 2 9 6 2 5 4 7 3 8 1
2 6 7 9 4 3 8 1 5 7 4 3 9 1 8 2 6 5
4 5 8 2 9 1 6 3 7 2 3 9 7 5 6 1 4 8
6 7 2 4 3 8 9 5 1 8 7 6 1 9 4 5 3 2
9 3 1 5 6 7 2 4 8 4 5 1 8 2 3 6 9 7
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