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    Matemáticas I Curso 2020-2021: A) B) C) D)

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    Este documento contiene las soluciones a 7 problemas de matemáticas sobre números reales, racionalización de expresiones, cálculo de logaritmos, resolución de ecuaciones y desigualdades. Los problemas abarcan temas como determinar si números son racionales u irracionales, simplificar expresiones, calcular logaritmos sin calculadora, resolver ecuaciones cuadráticas, bicuadradas y polinómicas, y determinar el conjunto solución de una desigualdad.

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    MATEMÁTICAS I CURSO 2020-2021

    Examen parcial 1ª Evaluación

    SOLUCIONES:

    1. (1 punto) Justifica si los siguientes números reales son racionales o irracionales:

    3
    a) π ∈II pues es cociente de racional entre irracional
    b) √ 729=9∈ℚ
    3

    c) √ √ 2= √ 2∈II por ser raíz no exacta


    4

    d)
    √ 3· √3 3 = 3 1/2 ·3 1/3 = 35 /6 =1∈ℚ
    5/ 6 5 /6 5 /6
    3 3 3

    2. (1,5 puntos) Racionaliza, opera y simplifica todo lo que sea posible la siguiente
    expresión:

    4+3 √ 2 2 · √ 2 (4+3 √ 2)·(2 √ 2−3) 2 · √ 22 3


    3 3
    − √ 4+ √
    8 2−12+6 · 2−9 √ 2
    2
    2 3 3
    −√ 4+ = − √ 4+ =
    √2
    3
    2 √ 2+3 √ 2· √ 2
    3 3 2
    (2 √ 2+3)·(2 √ 2−3) 2 4 · 2−9
    =

    =
    √ 2 = √3 4− √3 4+ √ 2= √ 2 ¿
    √3 22−√3 4+ −−1

    3. (1,5 puntos) Sin hacer uso de la calculadora y tomando log 2≃0,301 y log 3≃0,477 ,
    calcula log 5,625
    5625 45 2 3
    log 5,625=log =log =log 45−log 8=log (3 ·5)−log (2 ) =
    1000 8
    10
    = 2 log 3+log 5−3 log 2=2 log 3+log −3 log 2=2 log 3+log 10−log 2−3 log 2 =
    2

    = 2 log 3+log 10−4 log 2=2· 0,477+1−4 · 0,301=0,75

    4. (1,5 puntos) Resuelve la ecuación: √10+ x−√10−x=2


    2 2
    √ 10+x =√ 10−x+2⇒( √ 10+x) =(√ 10−x+2) ⇒ 10+ x=10−x+4+4 √ 10−x
    2
    ⇒2 x−4=4 √ 10−x ⇒(2 x−4) =(4 √ 10−x ) ⇒ 4 x +16−16 x=16·(10−x)⇒
    2 2

    2
    ⇒ 4 x =144 ⇒ x=±6

    Comprobamos las soluciones:


    √ 10+6− √ 10−6= √ 16− √ 4=4−2=2⇒ x=6 es una solución válida
    √ 10−6−√ 10+6= √ 4−√ 16=2−4=−2⇒ x=−6 no es una solución válida
    5. (1,5 puntos) Resuelve la ecuación: 54 x −100 ·5 2 x−1 −25=100· 52 x−2

    Utilizaremos el cambio de variable: t=5 x

    100 1
    t 4 −t 2 · −25=100 ·t 2 · ⇒ t 4 −20 t 2 −25−4 t 2 =0⇒ t 4 −24 t 2 −25=0
    5 25

    Ecuación bicuadrada. Utilizaremos el cambio de variable z=t2

    24± √ 24 2−4 ·(−25) 24±26


    z 2 −24 z−25=0 ⇒ z= = ⇒ z=−1 y z=25
    2 2

    Deshacemos el cambio de variable z = t2


    • Si z = -1, t no tiene soluciones, pues el radicando sería negativo
    • Si z = 25, t = 5 y t = - 5

    Deshacemos el cambio de variable t=5 x


    x
    • Si t = - 5 −5=5 , lo que es absurdo, es una solución falsa
    x
    • Si t =5 5=5 , luego x = 1 es la única solución de la ecuación

    3 x 5 x−1
    6. (1,5 puntos) Resuelve la ecuación: − = 2
    x x +2 x + x−2
    2
    3 x 5 x−1 3( x +2)·( x−1) x ·(x−1) (5 x−1)· x
    − = ⇒ − =
    x x +2 ( x +2)·( x−1) x·( x +2)·( x−1) x·( x+2)·( x−1) x·(x+2)·(x−1)

    3 x 2 +3 x −6−x 3 + x 2 =5 x 2 −x ⇒ 0=x 3 + x 2−4 x+6 factorizamos el polinomio usando la


    regla de Ruffini (x+3)·( x2 −2 x +2)=0

    x = - 3 es la única solución de la ecuación. No anula los denominadores, por tanto, es válida.

    x·( x+2)
    7. (1,5 puntos) Resuelve la inecuación: ≥o
    x −2

    x = 0 y x = -2 son raíces del numerador, y x = 2 es el valor que anula el denominador

    (-∞,-2) (-2,0) (0,2) (2,+∞)


    x - - + +
    x+2 - + + +
    x-2 - - - +
    x·(x+2) - + - +
    x−2

    Solución de la inecuación: [-2,0) U (2,+∞)

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