MATEMÁTICA BÁSICA

Fase 3 – Unidad 1 - Ecuaciones

Estudiantes
Omaira Muñoz Idrobo
Helder Flavio Guerrero
Harold Andrés Caicedo Ortega
Neysa Daniela Realpe

Numero de grupo colaborativo

551107_41

Tutor
Mónica Trigos Rodríguez

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN - ECEDU

LICENCIATURA EN MATEMATICAS

PASTO-NARIÑO

2021
INTRODUCCIÓN

En el siguiente documento encontrará las respuestas a todas las preguntas

asignadas en la rúbrica de evaluación, además está el aporte de todos los compañeros en
este documento, dando cumplimiento a lo establecido en la rúbrica de evaluación
trabajando con ecuaciones y el método de Polyá
Encuentra los números reales “X” que satisface las siguientes ecuaciones.

1.
5x−x+3=6x+2

4x+3=6x+2

3=2x+2

3-2=2x

1=2x

½=x

X= ½

2.

2/3 x + 13/6 = 3 (x-2).

2x/3 + 13/6 = 3 (x-2).

2x + 13/2 = 3.3 (x-2).

2x + 13/2 = 9 (x-2)

13/2 = 9x – 18 – 2x

13/2 + 18 = 9x – 2x

49/2 = 7x

49/2/7 = x

7/2 = x

X= 7/2

Prueba.

2/3.7/2+13/6=3(7/2-2)

⁷/3+13/6= 21/2-6

7/2 = 7/2
3.

X/2 -x+3/10=3x+1/5.

5x-x-3=2(3x+1).

4x-3=6x+2.

-3=6x+2-4x

-3-2=2x

-5=2x

-5/2=x

X=5/2

Prueba.

5/2/2-5/2+3/10=3.5/2+1/5

5/4-11/20= 17/2/5

7/10= 1 7/2

4.

3x/3x+5-10=5/5+3x.

3x−10(3x+5)=5

−27x−50=5

-27x=5+50

−27x=55

X=−27/55

Prueba

3.27/55/3.27/55+5-10=5/5+3.27/55

81/55/81/55+5-10=5/5+81/55

81/55/356/55-10=5/356/55
1-10=275/356

-9=275/356

Encuentra los números reales “X” que satisface las siguientes ecuaciones.

5.

2 5
=
3𝑥 − 4 6𝑥 − 7

(6𝑥 − 7) ∗ 2 = (3𝑥 − 4) ∗ 5

12𝑥 − 14 = (3𝑥 − 4) ∗ 5

12𝑥 − 14 = 15𝑥 − 20

12𝑥 − 14 − 15𝑥 = −20

−3𝑥 − 14 = −20

−3𝑥 = −20 + 14

−3𝑥 = −6

−6
𝑥=
−3

𝑥=2

Resuelve las siguientes ecuaciones empleando el método de Factorización:

6). 28𝑥 3 – 21 𝑥 2 + 14𝑥 =0

7x ( 4𝑥 2 – 3x + 2 )

1
7). - 𝑏2 = 0
9

(0.1111 – b) (0.1111 + b) = 0

8). 𝑎𝑥 2 + 3x – 7ax – 21 = 0

(ax + 3) (x - 7) = 0

Resolver las siguientes ecuaciones empleando el método de completar el cuadrado.

9.

3𝑥 2 + 15𝑥 − 3 =

3𝑥 2 + 15𝑥 − 3 − (−3) = −(−3)

3𝑥 2 + 15𝑥 = −(−3)

3𝑥 2 + 15 = 3

3𝑥 2 + 15𝑥 3
=
3 3

15 3
𝑥2 + 𝑥=
3 3

3
𝑥 2 + 5𝑥 =
3

𝑥 2 + 5𝑥 = 1

5 2 5 2
𝑥 2 + 5𝑥 + ( ) = 1 + ( )
2 2

25 25
𝑥 2 + 5𝑥 + =
4 4

25 29
𝑥 2 + 5𝑥 + =
4 4

5 2 29
(𝑥 + ) =
2 4

5 2 29
√(𝑥 + ) = √
2 4

5 √29
𝑥+ =
2 2

5 √29
𝑥+ =−
2 2
 √29 − 5
𝑥=
2

−√29 − 5
𝑥=
2

10.

4𝑥 2 − 𝑥 + 5 = 0

4𝑥 2 − 𝑥 + 5−= −5

4𝑥 2 − 𝑥 = −5

4𝑥 2 − 𝑥 −5
=
4 4

−1 −5
𝑥2 + 𝑥=
4 4

1 −5
𝑥2 − 𝑥 =
4 4

1 5
𝑥2 − 𝑥 = −
4 4

1 1 2 5 1 2
𝑥 2 − 𝑥 + (− ) = − + (− )
2 8 4 8

1 1 5 1
𝑥2 − 𝑥 + =− +
4 64 4 64

1 1 79
𝑥2 − 𝑥 + =−
4 64 64

1 2 79
(𝑥 ) = −
8 64

1 2 79
√(𝑥 ) = √−
8 64
 1 √79𝒾
𝑥− =
8 8

1 √79𝒾
𝑥− =−
8 8

1 + √79𝒾
𝑥=
8

−√79𝒾 +
𝑥=
8

11. Hallar todas las soluciones reales e imaginarias de la ecuación.

a) 𝑥 2 + 3𝑥 + 5 = 0

Resolvemos con la fórmula general de ecuaciones de segundo grado

−3 ± √32 − 4 ∗ 1 ∗ 5
𝑥1,2 =
2∗1

Simplificamos

√ 32 − 4 ∗ 1 ∗ 5

= √32 − 20

Aplicamos las propiedades de los números imaginarios

√−𝑎 = 𝑖 √𝑎

= 𝑖√20 − 32

= √− 32 + 20 = √11

= √11𝑖

Ahora
 −3 ± √11𝑖
𝑥1,2 =
2∗1

Separamos las soluciones

−3 + √11𝑖 −3 − √11𝑖
𝑥1 = , 𝑥2 =
2∗1 2∗1

−3 + √11𝑖 3 √11
𝑥= = − +𝑖
2∗1 2 2

−3 − √11𝑖 3 √11
𝑥= = − −𝑖
2∗1 2 2

Las soluciones a la ecuación son:

3 √11 3 √11
𝑥 = − +𝑖 , 𝑥=− − 𝑖
2 2 2 2

La ecuación no tiene solución real alguna.

Grafica

b) 2𝑥 2 − 24𝑥 + 72 = 0

Resolvemos con la fórmula general de ecuaciones de segundo grado

 −(−24) ± √(−24)2 − 4 ∗ 2 ∗ 72
𝑥1,2 =
2∗2

−(−24) ± √0
𝑥1,2 =
2∗2

−(−24)
𝑥=
2∗2

𝑥=6

La solución a la ecuación de segundo grado es:

𝑥=6

La ecuación tiene una única solución real.

Grafica

12. Utilizando el discriminante para determinar el número de soluciones reales de

la ecuación:

a) 3𝑥 2 − 24𝑥 + 48 = 0

De la ecuación, veos que:

 𝑎=3
  𝑏 = −24
 𝑐 = 48

Al sustituir estos valores en el discriminante, obtenemos:

𝑏2 − 4𝑎𝑐

= (−24)2 − 4 ∗ 3 ∗ 48

=0

El discriminante es cero, hay únicamente una solución.

−(−24) ± √(−24)2 − 4 ∗ 3 ∗ 48
𝑥1,2 =
2∗3

−(−24)
𝑥=
2∗3

𝑥=4

b) 4𝑥 2 + 20𝑥 + 5 = 0

De la ecuación, veos que:

 𝑎=4
 𝑏 = 20
 𝑐=5

Al sustituir estos valores en el discriminante, obtenemos:

𝑏2 − 4𝑎𝑐

= 202 − 4 ∗ 4 ∗ 5

= 8√5

El discriminante es positivo, así tenemos dos soluciones:

 −20 ± √202 − 4 ∗ 4 ∗ 5
𝑥1,2 =
2∗4

−20 + 8√5 −5 + 2√5

𝑥1 = =
2∗4 2

−20 − 8√5 5 + 2√5

𝑥2 = =−
2∗4 2

−20 ± √202 − 4 ∗ 4 ∗ 5
𝑥1,2 =
2∗4

13 Resolver las siguientes ecuaciones

a).

𝒙−𝟑
| |=𝟓
𝟐

𝟏 𝟑
| 𝒙− |=𝟓
𝟐 𝟐

𝟏 𝟑
𝒙− = 𝟓
𝟐 𝟐

𝟏 𝟑
𝒙 − = −𝟓
𝟐 𝟐

𝟏 𝟏𝟑
𝒙=
𝟐 𝟐

𝟏 𝟕
𝒙=− =
𝟐 𝟐

𝒙 = 𝟏𝟑

𝒙 = −𝟕
14.resolvee la siguiente ecuación radical, sustituya los resultados y revisar si es
solución.

A.

4√(3𝑥 − 5) − 5 = 11

4√3x-5=11+5

4√3x-3=16

(√3x-5)²=(16/4)²

3x-5=16

3x=16+5

3x=21

X=21/3

X=7

Prueba.

4√(3x-5)-5=11

4.√(3.7-5)-5=11

4√16-5=11

4.4-5=11

11=11

√𝑥 2 + 2 = 𝑥 − 2

X² +2=x²−4x+4

2=−4x+4

2−4=−4x
−2=−4x

-2/-4=x

2/4=x

X=2/4

Prueba.

√(x² )+2=x-2

√(2/4)²+2=2/4-2

√1/4+2=2/4-2

√5/4=-3/2

√5/2=-3/2

La ecuación no tiene solución por qué el valor de x no tiene solución

15. Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones o desigualdades

a)

𝟓𝒙 − 𝟏
𝟔𝒙 − 𝟏 <
𝟑

𝟏𝟖𝒙 − 𝟑 < 𝟓𝒙 − 𝟏

𝟏𝟖𝒙 − 𝟑 < 𝟓𝒙 < −𝟏

𝟏𝟑𝒙 − 𝟑 < −𝟏

𝟏𝟑𝒙 < −𝟏 + 𝟑

𝟏𝟑𝒙 < 𝟐

𝟐
𝒙<
𝟏𝟑
b).

𝟑𝒙 − 𝟖
>𝟒
𝟐𝒙 + 𝟑

𝟐𝒙 + 𝟑 > 𝟎

𝟐𝒙 + 𝟑 < 𝟎

𝟐𝒙 > −𝟑

𝟑
𝒙>−
𝟐

𝟑𝒙 − 𝟖 > 𝟒(𝟐𝒙 + 𝟑)

𝟑𝒙 − 𝟖 > 𝟖𝒙 + 𝟏𝟐

𝟑𝒙 − 𝟖𝒙 > 𝟖 + 𝟏𝟐

−𝟓𝒙 > 𝟐𝟎

𝒙 < −𝟒

𝒙∈∅

𝟐𝒙 < −𝟑

𝟑
𝒙<−
𝟐

𝟑𝒙 − 𝟖 < 𝟒(𝟐𝒙 + 𝟑)

𝟑𝒙 − 𝟖 < 𝟖𝒙 + 𝟏𝟐

𝟑𝒙 − 𝟖 < 𝟖 + 𝟏𝟐

−𝟓𝒙 < 𝟐𝟎

𝒙>𝟒

𝟑
𝒙 ∈ (−𝟒, − )
𝟐
PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Parte B

En la segunda parte del trabajo colaborativo es necesario revisar la estrategia de

resolución de problemas de Polyá. Problemas de aplicación

1) Encontrar las dimensiones de un rectángulo cuya área es 72 𝑚2 y cuyo

perímetro es 44 m.

Respuesta:

b=18 h=4

Explicación paso a paso:

p=2(b.h) 44=2b.2h lo simplificamos dividiendo por 2 ya que todos son múltiplos de 2,

22=b.h despejando h=22-b

a=b.h 72=b.h como sabemos que h=22-b reemplazamos

72=b(22-b) multiplicamos 72=22b-b𝑏2

b2-22b +72=0 realizamos factorización

(b-18)(b-4)=0 despejando cada termino b-18=0 b=18 así mismo el segundo término
b=4, como la base debe ser mayor a la altura tomamos b=18

ahora debemos encontrar altura (h)

h=22- b h=22-18 h=4

1. club organizó una fiesta a la que acuden 133de sus miembros. El ingreso
total por concepto de venta fue de $58450. El precio de la boleta fue de $300
por socio o $ 650 por socio y su pareja. ¿Cuántos de ellos asistieron con
pareja?

A=miembros
 P=parejas

A+p=133

300a+650p=58450

A=133-p

300(133p)+650p=58450

39900-300p+650p=58450

-300p+650=58450-39900

350p=18550

P=18550/350

P=53

Solución/ los miembros que fueron con parejas son 53.

3) Un niño dice a su amigo: Dame 5 de tus fichas y tendremos tanto el uno como el
otro; este le responde: Dame 10 de tus fichas y tendré dos veces más que las que te
quedan. ¿Cuántas fichas tiene cada niño?

𝑎+5 = 𝑏−5
𝑏 + 10 = 3(𝑎 − 10)

𝑎 = 𝑏−5−5
𝑎 = 𝑏 − 10

𝑏 + 10 = 3((𝑏 − 10) − 10)

𝑏 + 10 = 3𝑏 − 30 − 30
𝑏 + 10 = 3𝑏 − 60
10 + 60 = 3𝑏 − 𝑏
70 = 2𝑏
70
𝑏 =
2
𝑏 = 35
 𝑎 = 𝑏 − 10
𝑎 = 35 − 10
𝑎 = 25

Los niños tenían 35 y 25 fichas.

4) Encontrar el rectángulo de área máxima que se puede encerrar por una cerca
de alambre que tiene 362 m de largo.

362 m

2x + 2y = 362

y = 181 – x

A(x) = x. y

X (181 – x ) = 181 x - 𝑥 2

A (x) = 181 – 2x = 0

X = 90, 5

y = 181 – 90, 5

y = 90,5

A(x)= 90,5 x 90,5

A (x) = 8190,25

El rectángulo de área máxima es de 8190,25

5) Encontrar dos enteros pares consecutivos cuyo producto sea 288.

m*(m+1) =288

m^2+m=288

m^2+m-288=0

usando la formula general:

m= [ -1+- sqrt(1 + - sqrt(1 + 1152)) ]/2 = [ -1 +- 33.9558 ]/2

m1= 16.4779

m2=-17.4779

Por lo tanto, los únicos números que multiplicados sumen 288 y uno sea más grande
una unidad que otro son:

16.4779

17.4779

son consecutivos, pero no enteros y la VERDAD pues no hay dos números que cumplan
esas características.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Chacel, R. (2012). Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del
profesorado. Obtenido
de http://ficus.pntic.mec.es/fheb0005/Hojas_varias/Material_de_apoyo/Estr
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Soler, F. (2012). Matemáticas. Conceptos previos al cálculo: aplicaciones a ingeniería y

ciencias económicas. Recuperado de https://elibro-
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Stewart, J. (2012). Precálculo Matemáticas para el cálculo. Sexta Edición