Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas.

Para poder comenzar con el tema es necesario poder definir las ecuaciones, en algebra
existen las ecuaciones lineales o de primer grado, y las ecuaciones cuadráticas o de
segundo grado que son en las que nos centraremos en esta actividad.

“Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 +bx +c=0 donde a, b y c son números
reales con a ≠ 0.” (Stewart,2012,p.46).

Para poder resolverlas existen diferentes métodos los cuales definiremos a continuación.

Factorización.

Algunas ecuaciones cuadráticas pueden resolverse por el método de Factorización y utilizar

propiedades básicas de los números reales.

Propiedad de producto Cero AB =0 si y sólo si A =0 o B= 0, esto significa que si podemos

factorizar el lado izquierdo de una ecuación cuadrática podemos resolverla igualando a 0
cada factor a la vez. Este método funciona sólo cuando el lado derecho de la ecuación es 0.
(Stewart,2012,p.46).

Ejemplo retomado de (Stewart,2012,p.46).

Resuelva la ecuación x 2+ 5 x=24

SOLUCIÓN Primero debemos reescribir la ecuación de modo que el lado derecho sea 0

x 2+ 5 x=24

x 2+ 5 x−24=0 Resta 24

( x−3)( x +8)=0 Factorice

x−3=0 o x +8=0 Propiedad de producto cero

x=3 o x=−8 Resuelva

Las soluciones son x=3 o x=−8

Completando cuadrados

Otra forma de resolver las ecuaciones cuadráticas es a través del método de completar el
cuadrado trabajando con números reales. El cual se describe a continuación.
Retomado de (Swokowski, 2011, p. 77) Para completar el cuadrado para x 2+ kx o
k 2
x 2−kx , sumamos ( ¿ ¿ ; esto es, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente
2
de x.

(1) x 2+ kx +¿
(2) x 2−kx +¿
Ejemplo retomado de (Swokowski, 2011, p. 77).
Resuelva la ecuación x 2−5 x+ 3=0
SOLUCIÓN: Es conveniente primero reescribir la ecuación para que los únicos
términos que contengan a x se encuentren en el lado izquierdo, como sigue:

x 2−5 x+ 3=0 original

x 2−5 x=−3 reste 3

x 2−5 x+ ¿ complete el cuadrado, sume ¿

ambos lados
¿ ecuación equivalente
5 13

5
x− =±
2 √ 4
13 5 ± √ 13
tome la raíz cuadrada

5
x= ±
2 √ 2
=
2
sume
2

Las soluciones de la ecuación son (5+ √13)/2≈ 4.3 y

(5−√ 13)/2 ≈ 0.7

Formula general
La solución de ecuaciones cuadráticas por formula general es el método más conocido y
más utilizado de ahí que también reciba el nombre de la fórmula del chicharronero. A
continuación se describe este método.
Retomado de (Baldor, 1980, p. 448)
Deducción de la fórmula para resolver la ecuación general de 2º. Grado
ax 2 +bx +c=0
La ecuación es: __________________________ ax 2 +bx +c=0
Multiplicando por 4a: _____________________ 4 a2 x2 + 4 abx +4 ac=0
Sumando b2____________________________ 4 a2 x2 + 4 abx +4 ac+ b2=b 2
Pasando 4ac al 2º. Miembro:_______________ 4 a2 x2 + 4 abx +b2=b2−4 ac
Descomponiendo el primer miembro, es un trinomio
Cuadrado perfecto: ______________________ ¿
Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros: 2 ax+ b=± √ b2 −4 ac
Transponiendo b: ________________________ 2 ax=−b ± √ b2−4 ac

−b ± √ b2−4 ac
Despejando x: ___________________________ x=
2a

Ejercicio retomado de (Baldor, 1980, p. 449)

Resolver la ecuación: 3 x 2−7 x+ 2=0

−b ± √ b2−4 ac
Aplicamos la formula x=
2a
Aquí a=3, b=7, c=2, luego sustituyendo y teniendo presente que al sustituir b se
pone con signo cambiado, tendremos:

7 ± √72 −4 (3)(2) 7 ± √ 49−24 7 ± √ 25 7 ± 5

x= = = =
2(3) 6 6 6

Entonces:
7+5 12
x 1= = =2
6 6
 7−5 2 1
x 2= = =
6 6 3
1
Las soluciones de la ecuación es x 1=2 x2 =
3
Método gráfico.
Por último tenemos el método gráfico para la solución de ecuaciones cuadráticas a través
del plano cartesiano y es una forma visual en la cual podemos observar a través de una
gráfica los resultados.
Ejemplo retomado de (Soto, Romero, 2018, p. 1)
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: x 2−4 x+1=0

Empezamos graficando la función y= x 2−4 x+1=0

x x 2−4 x+1=0
0 1
1 -2
2 -3
3 -2
4 1

Imagen retomada de (Soto, Romero, 2018, p. 1)

Solución x 1=2+ √ 3 x2=¿ 2+√ 3 ¿

Ejercicios:
i. Completando Cuadrados− x2 +6 x +4=0

−x 2+ 6 x+ 4=0 Multiplicamos por (-1) cada término

x 2−6 x−4=0
x 2−6 x=4 Sume 4
2 6 2 6 2 6 2
x −6 x +( ) =4+( ) Se completa el cuadrado ( ) en ambos lados
2 2 2

36 36
x 2−6 x + =4 + Se eleva al cuadrado
4 4

x 2−6 x +9=4+ 9 Se simplifica

x 2−6 x +9=13 Ecuación resultante

( x−3)2=13 Se factoriza

x−3=± √13 Raíz cuadrada

x=± √ 13 +3 Se suma 3

Solución x 1=3+ √ 13 x2=¿ 3−√13 ¿

Decimal x 1=6.6055512754639 x 2=¿−6.6055512754639¿

Comprobación −x 2+ 6 x+ 4=0
–¿
−( 43.6330765)+ 6 ( 6.6055512754639 )+ 4=0
−43.6330765+ 39.63330765+ 4=0
0=0
 5 2 7
ii. Método gráfico − =
x2 x 3

Tabla de valores
x 5 2 7
− =
x2 x 3

-4 -1.5208333333333
-3 -1.11111111111111
-2 -0.0833333333333
-1 4.66666666666667
0 ¿?
1 0.666666666667
2 -2.0833333333333
3 -2.4444444444444
4 -2.5208333333333

Gráfica

−1.95386832 1.09672546

Los puntos A, B son las soluciones de la ecuación.

 Solución x 1=1.09672546 x2=¿−1.95386832¿

iii. Factorización x 2 +7 x=18

x 2+ 7 x −18=0 Resta 18
( x−2)(x +9)=0 Factorice
x−2=0 x+ 9=0 Propiedad del producto cero
x=2 o x=−9 Resuelva
Solución x 1=2 x2=¿−9 ¿

Comprobación x 2+ 7 x −18=0

(−9)2 +7(−9)−18=0
81−63−18=0
0=0

iv. Formula General ¿

3 x 2−22 x +7=0
a=3 , b=−22, c=7

−b ± √ b2−4 ac
Aplicamos la formula x=
2a
x=−(−22 ) ± √¿ ¿ ¿ Sustituyendo valores

22± √ 484−84 22 ± √ 400 22± 20

= = Resolviendo la ecuación
6 6 6

Solución x 42 x 2 1
1= =7 2= =
6 6 3

Comprobación 3 x 2−22 x +7=0

3(7)2−22 ( 7 )+7=0
3 ( 49 )−154+7=0
147−154+7=0
 0=0

v. Completando cuadrados x + √ 2 x +1=5

√ 2 x +1=(−x +5) Restar x al otro lado de la ecuación.
¿ Elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar el radical
1
(2 x+1 ¿ 2 )2=(−x +5)2 Multiplicar los exponentes

1
(2 x+1 ¿ ) =(−x +5)2 Cancelar el factor común
2 2

2 x+1=x 2−10 x +25 Expandir la expresión

x 2−10 x+ 25−2 x−1=0 Igualar a cero

x 2−12 x+24=0 Reducción términos semejantes

x 2−12 x=−24 Reste 24

12 2 12 2 12 2
x 2−12 x+
2( )=−24+( )
2
Se completa el cuadrado (
2
) en ambos lados

144 144
x 2−12 x+ =−24+ Se eleva al cuadrado
4 4

x 2−12 x+36=−24 +36 Se simplifica

x 2−12 x+36=12 Ecuación resultante

( x−6)2=12 Se factoriza

x−6=± √12 Raíz cuadrada

x−6=± √3. 22 Reducir radicales

x=± 2 √3+6 Se suma 6
 Solución Formaexacta x 1=¿ 6−2 √3 ¿

Decimal x 1=¿2.5358983848622¿
Comprobación x + √ 2 x +1=5
2.5358983848622+ √ 2(2.5358983848622)+1=5
5=5

6. Se tiene la ecuación x 2+ bx+5=0 . Donde el valor de 𝑏 puede ser cualquier número

real. Elige 5 valores de b (positivos y negativos) y llena la siguiente tabla:
Valor de b Ecuación generada
0 1. x 2+ 0 x+5=0
2 2. x 2+ 2 x +5=0
4 3. x 2+ 6 x+5=0
-2 4. x 2−2 x+5=0
-4 5. x 2−6 x +5=0

¿Qué pasa con el valor 𝑏 = 0?

Cuando el valor de b=0 el eje de simetría no pasa por el eje de las abscisas, únicamente pasa por el
eje de las ordenadas.

¿Cómo son las gráficas cuándo 𝑏 > 0 y cuándo 𝑏 < 0?

“De las gráficas se observa que cuando b > 0, el desplazamiento de las parábolas es a la

izquierda, y cuando el valor de b < 0 el desplazamiento es a la derecha” , en ambas
situaciones a medida que el valor absoluto de "b" aumenta la ordenada del vértice de la
parábola se hace más negativa (Aguirre, 2008, p. 19)

¿Tienen algo en común las gráficas?

. En los dos casos las parábolas coinciden en el origen.”(Aguirre, 2008, p. 19)

¿Cómo se comportan las raíces de la ecuación cuando cambia b?

Si se disminuye el valor de b tanto positivo como negativo no tiene raíces es decir no toca el eje x
y cuando se incrementa el valor a partir de 4.5 o -4.55 tiene dos raíces.

Explica con tus propias palabras que representa el parámetro 𝑏 en una ecuación cuadrática.
“bx es el término lineal” (Perez, 2017)

Es decir que b tiene un valor numérico y que acompaña una incógnita con exponente 1 a
diferencia de a que la incógnita va al cuadrado y nos indica que es una ecuación cuadrática. Su
valor puede ser igual a cero o mayor o menor que cero.

Problemas de aplicación

1. Se resolverá el ejercicio 64 y 65 que no trae solución del Libro Algebra y Trigonometría con
Geometría Analítica de EARL W. SWOKOWSKI • JEFFERY A. COLE . (2011).
1.- Diseño de un cartel. Una hoja de papel de 24 por 36 pulgadas se va a usar para un
cartel, con el lado más corto en la parte inferior. Los márgenes de los lados y la parte
superior van a tener el mismo ancho, y el margen de abajo va a tener el doble de ancho que
los otros márgenes. Encuentre el ancho de los márgenes si el área impresa va a ser de 661.5
pulg2.
Desarrollo.
Hoja de papel: 24 por 36 pulg .
Lado más corto o ancho = 24 pulg.
Alto= 36 pulgadas
x= Margen
Solución completando el cuadrado
( 24−2 x ) ( 36−3 x ) =661.5 Ecuación resultant e

864−661.5−144 x+ 6 x2 Desarrollar la ecuación

6 x 2−144 x +202.5=0 Simplifica

6 x2 144 x 202.5
− + =0 Se divide entre 6 para dejar x 2
6 6 6

x 2−24 x +33.7 5=0 Resultado de la división

x 2−2 4 x=−33.75 Reste 33.75

24 2 24 2 2

( )=−33.75+( ) Se completa el cuadrado ( 2 4 ) en ambos lados

2
x −2 4 x +
2 2 2
576 576
x 2−2 4 x + =−33.75+ Se eleva al cuadrado
4 4

x 2−2 4 x +144=−33.75+144 Se simplifica

x 2−2 4 x +144=110.25 Ecuación resultante

( x−12)2=110. Se factoriza

x−12=± √ 110.25 Raíz cuadrada

x=± √ 110.25 +12 Se suma 3

Solución x 1=12+ √ 110.25 x 2=¿ 12−√ 110.25¿

Decimal x 1=22.5 x 2=¿ 1.5 ¿

Respuesta los Márgenes de los lados y la parte superior deben medir 1.5 pulgadas. Y
el Margen de la parte inferior 3 pulgadas.
2. Instalación de una cerca en un jardín. Un jardín cuadrado se va a cultivar y luego a cerrar
con una cerca. Si ésta cuesta $1 por pie y el costo de preparar el suelo es de 0.50 por ft2,
determine el tamaño del jardín que puede encerrarse a un costo de $120.

Desarrollo.
Lado = $1x

Costo preparar = 0.50 por ft2

Tamaño de jardín a encerrarse costo =$120

Ecuación resultante de los 4 lados.

0.5 x 2+ 4 x=120

Solución con formula general

0.5 x 2+ 4 x=120 Igualamos a 0

0.5 x 2+ 4 x−120=0
a= 0.5 b=4 c=-120

−b ± √ b2−4 ac
Aplicamos la formula x=
2a
x=−( 4 ) ± √ ¿ ¿ ¿ Sustituyendo valores

−4 ± √16+240=−4 ± √256=−4 ±1 6 Resolviendo la ecuación

Solución x 1=12 x 2=−20

El tamaño del jardín que puede encerrarse a un costo de $120 es 12ft por 12 ft.

Referencias bibliográficas.
Libro:
1. James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson. (2012). Precalculo. Estados Unidos:
Cengage Learning.
2. EARL W. SWOKOWSKI • JEFFERY A. COLE . (2011). ALGEBRA Y
TRIGONOMETRIA CON GEOMETRÍA ANALITICA. USA: CENGAJE.
3. Dr. Aurelio Baldor. (1980). Algebra. Habana, Cuba: CODICE.
Página web:
1. Efraín Soto Apolinar, Jorge Abel Romero Ortiz. (2018). Solución de ecuaciones
cuadráticas método gráfico. 2018, de Aprende Matemáticas Sitio web:
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/metodo-grafico/.
2. Luis Javier Aguirre. ( 2008). Enseñanza y aprendizaje de la función cuadrática
utilizando un simulador geométrico desde el enfoque de la teoría de los
conceptos nucleares . Junio del 2008, de monografias.com Sitio web:
https://www.monografias.com/trabajos60/funcion-cuadratica-
simulador/funcion-cuadratica-simulador3.shtml.
3. Julián Pérez Porto y María Merino. Publicado: 2017. Actualizado: 2019.
Definicion.de: Definición de función cuadrática (https://definicion.de/funcion-
cuadratica/)