Este documento describe varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas: factorización, completar cuadrados, fórmula general y método gráfico. La factorización funciona cuando el lado derecho es cero. Completar cuadrados suma términos para formar un cuadrado perfecto. La fórmula general es x=(-b±√(b2-4ac))/2a. El método gráfico grafica la función para visualizar las soluciones.
0 calificaciones0% encontró este documento útil (0 votos)
238 vistas14 páginas
Este documento describe varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas: factorización, completar cuadrados, fórmula general y método gráfico. La factorización funciona cuando el lado derecho es cero. Completar cuadrados suma términos para formar un cuadrado perfecto. La fórmula general es x=(-b±√(b2-4ac))/2a. El método gráfico grafica la función para visualizar las soluciones.
Este documento describe varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas: factorización, completar cuadrados, fórmula general y método gráfico. La factorización funciona cuando el lado derecho es cero. Completar cuadrados suma términos para formar un cuadrado perfecto. La fórmula general es x=(-b±√(b2-4ac))/2a. El método gráfico grafica la función para visualizar las soluciones.
Este documento describe varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas: factorización, completar cuadrados, fórmula general y método gráfico. La factorización funciona cuando el lado derecho es cero. Completar cuadrados suma términos para formar un cuadrado perfecto. La fórmula general es x=(-b±√(b2-4ac))/2a. El método gráfico grafica la función para visualizar las soluciones.
Descargue como DOCX, PDF, TXT o lea en línea desde Scribd
Descargar como docx, pdf o txt
Está en la página 1/ 14
Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas.
Para poder comenzar con el tema es necesario poder definir las ecuaciones, en algebra existen las ecuaciones lineales o de primer grado, y las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado que son en las que nos centraremos en esta actividad.
“Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 +bx +c=0 donde a, b y c son números reales con a ≠ 0.” (Stewart,2012,p.46).
Para poder resolverlas existen diferentes métodos los cuales definiremos a continuación.
Factorización.
Algunas ecuaciones cuadráticas pueden resolverse por el método de Factorización y utilizar
propiedades básicas de los números reales.
Propiedad de producto Cero AB =0 si y sólo si A =0 o B= 0, esto significa que si podemos
factorizar el lado izquierdo de una ecuación cuadrática podemos resolverla igualando a 0 cada factor a la vez. Este método funciona sólo cuando el lado derecho de la ecuación es 0. (Stewart,2012,p.46).
Ejemplo retomado de (Stewart,2012,p.46).
Resuelva la ecuación x 2+ 5 x=24
SOLUCIÓN Primero debemos reescribir la ecuación de modo que el lado derecho sea 0
x 2+ 5 x=24
x 2+ 5 x−24=0 Resta 24
( x−3)( x +8)=0 Factorice
x−3=0 o x +8=0 Propiedad de producto cero
x=3 o x=−8 Resuelva
Las soluciones son x=3 o x=−8
Completando cuadrados
Otra forma de resolver las ecuaciones cuadráticas es a través del método de completar el cuadrado trabajando con números reales. El cual se describe a continuación. Retomado de (Swokowski, 2011, p. 77) Para completar el cuadrado para x 2+ kx o k 2 x 2−kx , sumamos ( ¿ ¿ ; esto es, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente 2 de x.
(1) x 2+ kx +¿ (2) x 2−kx +¿ Ejemplo retomado de (Swokowski, 2011, p. 77). Resuelva la ecuación x 2−5 x+ 3=0 SOLUCIÓN: Es conveniente primero reescribir la ecuación para que los únicos términos que contengan a x se encuentren en el lado izquierdo, como sigue:
x 2−5 x+ 3=0 original
x 2−5 x=−3 reste 3
x 2−5 x+ ¿ complete el cuadrado, sume ¿
ambos lados ¿ ecuación equivalente 5 13
5 x− =± 2 √ 4 13 5 ± √ 13 tome la raíz cuadrada
5 x= ± 2 √ 2 = 2 sume 2
Las soluciones de la ecuación son (5+ √13)/2≈ 4.3 y
(5−√ 13)/2 ≈ 0.7
Formula general La solución de ecuaciones cuadráticas por formula general es el método más conocido y más utilizado de ahí que también reciba el nombre de la fórmula del chicharronero. A continuación se describe este método. Retomado de (Baldor, 1980, p. 448) Deducción de la fórmula para resolver la ecuación general de 2º. Grado ax 2 +bx +c=0 La ecuación es: __________________________ ax 2 +bx +c=0 Multiplicando por 4a: _____________________ 4 a2 x2 + 4 abx +4 ac=0 Sumando b2____________________________ 4 a2 x2 + 4 abx +4 ac+ b2=b 2 Pasando 4ac al 2º. Miembro:_______________ 4 a2 x2 + 4 abx +b2=b2−4 ac Descomponiendo el primer miembro, es un trinomio Cuadrado perfecto: ______________________ ¿ Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros: 2 ax+ b=± √ b2 −4 ac Transponiendo b: ________________________ 2 ax=−b ± √ b2−4 ac
−b ± √ b2−4 ac Despejando x: ___________________________ x= 2a
Ejercicio retomado de (Baldor, 1980, p. 449)
Resolver la ecuación: 3 x 2−7 x+ 2=0
−b ± √ b2−4 ac Aplicamos la formula x= 2a Aquí a=3, b=7, c=2, luego sustituyendo y teniendo presente que al sustituir b se pone con signo cambiado, tendremos:
7 ± √72 −4 (3)(2) 7 ± √ 49−24 7 ± √ 25 7 ± 5
x= = = = 2(3) 6 6 6
Entonces: 7+5 12 x 1= = =2 6 6 7−5 2 1 x 2= = = 6 6 3 1 Las soluciones de la ecuación es x 1=2 x2 = 3 Método gráfico. Por último tenemos el método gráfico para la solución de ecuaciones cuadráticas a través del plano cartesiano y es una forma visual en la cual podemos observar a través de una gráfica los resultados. Ejemplo retomado de (Soto, Romero, 2018, p. 1) Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: x 2−4 x+1=0
Empezamos graficando la función y= x 2−4 x+1=0
x x 2−4 x+1=0 0 1 1 -2 2 -3 3 -2 4 1
Imagen retomada de (Soto, Romero, 2018, p. 1)
Solución x 1=2+ √ 3 x2=¿ 2+√ 3 ¿
Ejercicios: i. Completando Cuadrados− x2 +6 x +4=0
−x 2+ 6 x+ 4=0 Multiplicamos por (-1) cada término
x 2−6 x−4=0 x 2−6 x=4 Sume 4 2 6 2 6 2 6 2 x −6 x +( ) =4+( ) Se completa el cuadrado ( ) en ambos lados 2 2 2
36 36 x 2−6 x + =4 + Se eleva al cuadrado 4 4
x 2−6 x +9=4+ 9 Se simplifica
x 2−6 x +9=13 Ecuación resultante
( x−3)2=13 Se factoriza
x−3=± √13 Raíz cuadrada
x=± √ 13 +3 Se suma 3
Solución x 1=3+ √ 13 x2=¿ 3−√13 ¿
Decimal x 1=6.6055512754639 x 2=¿−6.6055512754639¿
√ 2 x +1=(−x +5) Restar x al otro lado de la ecuación. ¿ Elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar el radical 1 (2 x+1 ¿ 2 )2=(−x +5)2 Multiplicar los exponentes
1 (2 x+1 ¿ ) =(−x +5)2 Cancelar el factor común 2 2
2 x+1=x 2−10 x +25 Expandir la expresión
x 2−10 x+ 25−2 x−1=0 Igualar a cero
x 2−12 x+24=0 Reducción términos semejantes
x 2−12 x=−24 Reste 24
12 2 12 2 12 2 x 2−12 x+ 2( )=−24+( ) 2 Se completa el cuadrado ( 2 ) en ambos lados
144 144 x 2−12 x+ =−24+ Se eleva al cuadrado 4 4
x 2−12 x+36=−24 +36 Se simplifica
x 2−12 x+36=12 Ecuación resultante
( x−6)2=12 Se factoriza
x−6=± √12 Raíz cuadrada
x−6=± √3. 22 Reducir radicales
x=± 2 √3+6 Se suma 6 Solución Formaexacta x 1=¿ 6−2 √3 ¿
Decimal x 1=¿2.5358983848622¿ Comprobación x + √ 2 x +1=5 2.5358983848622+ √ 2(2.5358983848622)+1=5 5=5
6. Se tiene la ecuación x 2+ bx+5=0 . Donde el valor de 𝑏 puede ser cualquier número
real. Elige 5 valores de b (positivos y negativos) y llena la siguiente tabla: Valor de b Ecuación generada 0 1. x 2+ 0 x+5=0 2 2. x 2+ 2 x +5=0 4 3. x 2+ 6 x+5=0 -2 4. x 2−2 x+5=0 -4 5. x 2−6 x +5=0
¿Qué pasa con el valor 𝑏 = 0?
Cuando el valor de b=0 el eje de simetría no pasa por el eje de las abscisas, únicamente pasa por el eje de las ordenadas.
¿Cómo son las gráficas cuándo 𝑏 > 0 y cuándo 𝑏 < 0?
“De las gráficas se observa que cuando b > 0, el desplazamiento de las parábolas es a la
izquierda, y cuando el valor de b < 0 el desplazamiento es a la derecha” , en ambas situaciones a medida que el valor absoluto de "b" aumenta la ordenada del vértice de la parábola se hace más negativa (Aguirre, 2008, p. 19)
¿Tienen algo en común las gráficas?
. En los dos casos las parábolas coinciden en el origen.”(Aguirre, 2008, p. 19)
¿Cómo se comportan las raíces de la ecuación cuando cambia b?
Si se disminuye el valor de b tanto positivo como negativo no tiene raíces es decir no toca el eje x y cuando se incrementa el valor a partir de 4.5 o -4.55 tiene dos raíces.
Explica con tus propias palabras que representa el parámetro 𝑏 en una ecuación cuadrática. “bx es el término lineal” (Perez, 2017)
Es decir que b tiene un valor numérico y que acompaña una incógnita con exponente 1 a diferencia de a que la incógnita va al cuadrado y nos indica que es una ecuación cuadrática. Su valor puede ser igual a cero o mayor o menor que cero.
Problemas de aplicación
1. Se resolverá el ejercicio 64 y 65 que no trae solución del Libro Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica de EARL W. SWOKOWSKI • JEFFERY A. COLE . (2011). 1.- Diseño de un cartel. Una hoja de papel de 24 por 36 pulgadas se va a usar para un cartel, con el lado más corto en la parte inferior. Los márgenes de los lados y la parte superior van a tener el mismo ancho, y el margen de abajo va a tener el doble de ancho que los otros márgenes. Encuentre el ancho de los márgenes si el área impresa va a ser de 661.5 pulg2. Desarrollo. Hoja de papel: 24 por 36 pulg . Lado más corto o ancho = 24 pulg. Alto= 36 pulgadas x= Margen Solución completando el cuadrado ( 24−2 x ) ( 36−3 x ) =661.5 Ecuación resultant e
864−661.5−144 x+ 6 x2 Desarrollar la ecuación
6 x 2−144 x +202.5=0 Simplifica
6 x2 144 x 202.5 − + =0 Se divide entre 6 para dejar x 2 6 6 6
x 2−24 x +33.7 5=0 Resultado de la división
x 2−2 4 x=−33.75 Reste 33.75
24 2 24 2 2
( )=−33.75+( ) Se completa el cuadrado ( 2 4 ) en ambos lados
2 x −2 4 x + 2 2 2 576 576 x 2−2 4 x + =−33.75+ Se eleva al cuadrado 4 4
x 2−2 4 x +144=−33.75+144 Se simplifica
x 2−2 4 x +144=110.25 Ecuación resultante
( x−12)2=110. Se factoriza
x−12=± √ 110.25 Raíz cuadrada
x=± √ 110.25 +12 Se suma 3
Solución x 1=12+ √ 110.25 x 2=¿ 12−√ 110.25¿
Decimal x 1=22.5 x 2=¿ 1.5 ¿
Respuesta los Márgenes de los lados y la parte superior deben medir 1.5 pulgadas. Y el Margen de la parte inferior 3 pulgadas. 2. Instalación de una cerca en un jardín. Un jardín cuadrado se va a cultivar y luego a cerrar con una cerca. Si ésta cuesta $1 por pie y el costo de preparar el suelo es de 0.50 por ft2, determine el tamaño del jardín que puede encerrarse a un costo de $120.
Desarrollo. Lado = $1x
Costo preparar = 0.50 por ft2
Tamaño de jardín a encerrarse costo =$120
Ecuación resultante de los 4 lados.
0.5 x 2+ 4 x=120
Solución con formula general
0.5 x 2+ 4 x=120 Igualamos a 0
0.5 x 2+ 4 x−120=0 a= 0.5 b=4 c=-120
−b ± √ b2−4 ac Aplicamos la formula x= 2a x=−( 4 ) ± √ ¿ ¿ ¿ Sustituyendo valores
−4 ± √16+240=−4 ± √256=−4 ±1 6 Resolviendo la ecuación
Solución x 1=12 x 2=−20
El tamaño del jardín que puede encerrarse a un costo de $120 es 12ft por 12 ft.
Referencias bibliográficas. Libro: 1. James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson. (2012). Precalculo. Estados Unidos: Cengage Learning. 2. EARL W. SWOKOWSKI • JEFFERY A. COLE . (2011). ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA CON GEOMETRÍA ANALITICA. USA: CENGAJE. 3. Dr. Aurelio Baldor. (1980). Algebra. Habana, Cuba: CODICE. Página web: 1. Efraín Soto Apolinar, Jorge Abel Romero Ortiz. (2018). Solución de ecuaciones cuadráticas método gráfico. 2018, de Aprende Matemáticas Sitio web: https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/metodo-grafico/. 2. Luis Javier Aguirre. ( 2008). Enseñanza y aprendizaje de la función cuadrática utilizando un simulador geométrico desde el enfoque de la teoría de los conceptos nucleares . Junio del 2008, de monografias.com Sitio web: https://www.monografias.com/trabajos60/funcion-cuadratica- simulador/funcion-cuadratica-simulador3.shtml. 3. Julián Pérez Porto y María Merino. Publicado: 2017. Actualizado: 2019. Definicion.de: Definición de función cuadrática (https://definicion.de/funcion- cuadratica/)
