Ejercicios Grupales Unidad 1

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
MATEMÁTICA NIVELACIÓN
UNIDAD 1
NUMEROS REALES
1. Elabore una línea de tiempo de los Números Reales (incluya ejemplos y simbología
de la clasificación de los números reales).
Resolver las siguientes operaciones con números reales
1 3 1
2. { [2,5 + 3 (2 − ) − 4(6 + 8)] + 6} − 2 + 2√2 ÷ 2√2
2 4 6
3 37
√1−
64 1 −2 3 8
[ 25 ]×(5) × √25÷5
(0,5−1)2 × ×1,022…×2,5−2
92
3. 1
×9
5−3
43 5 2 4
(9− 8 ) [412−4 ÷23+(0,3−0,5÷4) 7]
4. 1 1
24
+0,25÷133
−2 0,5 −4
[(−23 ) ] [(−0,5)0,75 ]
5.
𝑥𝑛 𝑦𝑛 +𝑦2𝑛 𝑥𝑛 𝑦−𝑛 +1
√ −𝑛 𝑛 ×√ 𝑛 𝑛 2𝑛
𝑥 𝑦 +1 𝑥 𝑦 +𝑥
1
(𝑎𝑏)𝑛 +(𝑏𝑐)𝑛 +(𝑎𝑐)𝑛 𝑛
6. [ −𝑛 −𝑛 −𝑛 ] [𝑐 2 𝑎𝑛+1 𝑎−2−𝑛 𝑏 −1 𝑐 −3 ]
𝑎 +𝑏 +𝑐
1 1
1 1.5 1 1+ ×
2 0.25
7. 6 + 3 − 0.8 ÷ 3 50 + √4 + 46
×0.4× 1 6−
2 1÷ 1+2.2×10
2
3 −8 3 1 1
√ × √ + ×2,044…−(0,8−1)÷3
9 3 46
8. 1 −2
× 5−1
0,55…−(1+ )
2
9. Aplicando las propiedades de los números reales, resolver el siguiente ejercicio:
MSc. Gustavo Hermosa

13
5 28
3 3 −
Si √𝑥 √𝑥 2 = [3
2 8
] , hallar 𝑥 4
𝑎−𝑏
10. Racionalizar: 4 4
√𝑎3 − √𝑎2 𝑏
√2
11. Racionalizar:
√3+√2−√5
14
12. Racionalizar 3 3 3
√4− √10+ √25
𝑥−16
13. Racionalizar 3 3
√𝑥
√4 2 5√𝑥− −0,2
𝑥
3 −1
14. [( √𝑥 2 )(𝑥1∕2 + 𝑦1∕2 )] (𝑥 2 − 𝑥𝑦)
Realizar las siguientes operaciones entre polinomios:

15. Dado 𝑥 2 − 1 = 6𝑥 . Hallar 𝑥 2 + 𝑥 −2
2 1 2 1
16. ((5𝑚2 ) − 𝑚𝑛 + − 𝑛2 + 3) ( 𝑚 + 𝑛)=
3 5 5 15
17. Dividir 2𝑥 3 − 4𝑥 − 5 entre 𝑥 − 3
18. Factorice por completo la expresión usando agrupación de términos

an+2 − a2 bn − an+1 b + abn+1 + 3an b2 − 3bn+2
19. Dividir el siguiente polinomio aplicando la regla de RUFFINI:
(𝑥 4 𝑦 4 − 𝑥 3 𝑦 3 − 2𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥𝑦 − 5) ÷ (−𝑥𝑦 − 2)
𝑎3 +𝑏 3 +7√11
20. Si 𝑎 + 𝑏 = √11 ; 𝑎𝑏 = 4 ; hallar el valor de 𝑬 = 𝑎2 +𝑏 2
21. Si se cumple que a = b+1, hallar el valor de E = √(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑏 2 )(𝑎4 + 𝑏 4 ) + 𝑏 8
22. Determinar el valor que debe tomar m para que al dividir:

3𝑥 4 + 2𝑚𝑥 3 + (𝑚 + 7)𝑥 2 + 3𝑚𝑥 + 𝑚 + 3 ; entre 𝑥 − 1 ; el residuo sea 26
unidades menos que si se divide entre x-2.

23. Aplicando la regla de Ruffini, hallara el cociente y el residuo.
a) (𝑎3 − 2𝑎2 + 3𝑎 − 5) ÷ (𝑎 + 3)
1
b) (−2𝑥 3 + 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1) ÷ (𝑥 − 2)
24. Determinar el valor de “m” y “n” de modo que 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 𝑚𝑥 + 𝑛 sea divisible por
𝑥 2 − 2𝑥 + 4.
25. Determinar el valor de “m” y “n” si la división (𝑥 4 − 3𝑎𝑥 3 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎𝑚𝑥 + 𝑎4 𝑛) ÷
(𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑎2 ) deja como resto 7𝑎𝑥 + 8𝑎4 .
26. Si el polinomio P(x)=𝑥 4 + 2𝑥 3 − 7𝑥 3 + 𝑚𝑥 + 𝑛 es divisible para Q(x)=𝑥 2 − 3𝑥 + 5

determinar el valor de E=m+n
27. Factorizar los siguientes polinomios:

a. 𝑥 8 − 256
b. 𝑙𝑛2 𝑥 − 𝑙𝑛𝑥 𝑙𝑛𝑦 − 20𝑙𝑛2 𝑦
c. 𝑥 5 + 𝑥 + 1
d. 8𝑎5𝑚 − 13𝑎3𝑚 − 6𝑎𝑚
28. Si a+ b + c=0, simplificar
2(𝑎4 + 𝑏 4 + 𝑐 4 )
(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 )2
1 1 1
29. Si 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 hallar el valor de:
(3𝑎 + 2𝑐 + 𝑏)2 + (3𝑏 + 2𝑎 + 𝑐)2 + (3𝑐 + 2𝑏 + 𝑎)2
; 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0
𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 1
30. Si (𝑝 + 𝑞 + 𝑟)2 = 3(𝑝𝑞 + 𝑝𝑟 + 𝑞𝑟 − 𝑎2 − 𝑏 2 − 𝑐 2 ), ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒:

𝑝7 + 𝑞 7 + 𝑟 7
(𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 + 33 ) [ 2 ] ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 {𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑎, 𝑏, 𝑐}∁ 𝑅 − {0}
(𝑝 + 𝑞 2 + 𝑟 2 )(𝑝5 + 𝑞 5 + 𝑟 5 )
𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 3 𝑥 𝑛 +𝑦 𝑛
31. Si (𝑦) + (𝑥 ) = 62; 𝑛 ∈ 𝑍 + , 𝑥 > 0, 𝑦 > 0 halle el valor de T= √
√𝑥 𝑛 𝑦 𝑛
32. Un comerciante de computadoras vende (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)(𝑥 − 4) laptops a 4a
8𝑎3 +12𝑎2 𝑏+162𝑏3 1 4 1
dólares la unidad, considerando que 𝑥 = y tal que 2𝑎 = 2𝑎+3𝑏 − 3𝑏
8𝑎3 +27𝑏 3
¿Cuál es el ingreso mensual del comerciante?
33. Considerando los puntos X, Y e Z, que se encuentran ubicados en la recta de los

números reales con coordenadas x,y e z respectivamente, tres ingenieros realizan
los siguientes cálculos: José halla la suma de los cubos las 3 coordenadas, Juan halla

la suma de la primera y tercera y Jorge la diferencia entre la primera y tercera
coordenada aumentado en una unidad. Si el resultado que halla José es igual al
opuesto del triple del producto de los resultados hallados por Jorge y Juan, además
la coordenada X es mayor o igual a la unidad, Y mayor o igual a 0 y Z mayor o igual a
-1, ¿Cuántas unidades (u) dista el punto Z DE A y esta distancia es positiva o negativa
justifique su respuesta?
34. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

1−𝑥 𝑥 2 +2 4𝑥 𝑥+1 𝑥−1
a. + 𝑥 2 −1 + + 2𝑥−2 − 2𝑥+2 =
𝑥+1 𝑥 2 −1
𝑎2 −𝑎𝑏 𝑎 +𝑎𝑏+𝑏 2
2 2𝑎3 𝑎2 +𝑎𝑏+𝑏 2
b. × + (𝑎3+𝑏3 − 1) ÷ (𝑎2−𝑎𝑏+𝑏2) =
𝑎3 −𝑏 3 𝑎+𝑏
𝑥+𝑦 𝑥3+𝑦3
−
𝑥−𝑦 𝑥3−𝑦3
c. 𝑥+𝑦 𝑥2+𝑦2
=
−
𝑥−𝑦 𝑥2−𝑦2
1 1 1
d. − 𝑏(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐) − 𝑎𝑏𝑐 =
𝑎(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐)
𝒙−𝒚
e. 𝟓
√𝒙𝟒 + 𝟓√𝒙𝟑 𝒚+ 𝟓√𝒙𝟐 𝒚𝟐 + 𝟓√𝒙𝒚𝟑 + 𝟓√𝒚𝟒
2
𝑥 2 +5𝑥+6 𝑥−1 [6−𝑥+ ]÷𝑥 2 1
3−𝑥
f. − 𝑥+2 [ 1 6 5 ] ÷ (𝑥 − 4) − 1 =
𝑥 2 +2𝑥−3 − + 1+ 1
𝑥−3 𝑥2−3𝑥 𝑥3−3𝑥2 1− 1
1+
𝑥
35. Efectuar las operaciones aplicando la notación científica y simplificar:
0,6×0,0402×0,05 1
a. 𝐸 = ÷ 10−2 + 5
0,402×0,2
8,3×108 ×(3,12×10−5 +7,03×10−4 )
b. 𝐸 = 4320
(𝟐×𝟏𝟎𝟐 )𝟑 (𝟔𝒙𝟏𝟎−𝟓 )
c. −𝟐
𝟒×𝟏𝟎𝟑

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9. Aplicando las propiedades de los números reales, resolver el siguiente ejercicio:

MSc. Gustavo Hermosa

Realizar las siguientes operaciones entre polinomios:

17. Dividir 2𝑥 3 − 4𝑥 − 5 entre 𝑥 − 3

18. Factorice por completo la expresión usando agrupación de términos

19. Dividir el siguiente polinomio aplicando la regla de RUFFINI:

21. Si se cumple que a = b+1, hallar el valor de E = √(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 + 𝑏 2 )(𝑎4 + 𝑏 4 ) + 𝑏 8

22. Determinar el valor que debe tomar m para que al dividir:

MSc. Gustavo Hermosa

23. Aplicando la regla de Ruffini, hallara el cociente y el residuo.

26. Si el polinomio P(x)=𝑥 4 + 2𝑥 3 − 7𝑥 3 + 𝑚𝑥 + 𝑛 es divisible para Q(x)=𝑥 2 − 3𝑥 + 5

27. Factorizar los siguientes polinomios:

30. Si (𝑝 + 𝑞 + 𝑟)2 = 3(𝑝𝑞 + 𝑝𝑟 + 𝑞𝑟 − 𝑎2 − 𝑏 2 − 𝑐 2 ), ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒:

33. Considerando los puntos X, Y e Z, que se encuentran ubicados en la recta de los

MSc. Gustavo Hermosa

34. Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:

35. Efectuar las operaciones aplicando la notación científica y simplificar:

MSc. Gustavo Hermosa

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