Ecuaciones cuadráticas

Existen dos métodos para resolver este tipo de ecuaciones

1) Método de factorización
2) Método de formula cuadrática

Método de Factorización
En este método se aplican los métodos de factorización como son:
a) Factor común
b) Diferencia de cuadrados en caso especial
c) Tanteo simple y casos especiales
Nota: en las ecuaciones cuadráticas se buscan las soluciones de dos valores para “x”
Ejemplo de casos de factorización

1) x 2−x−6=0 ( x−3 ) ( x+ 2 )=0

x−3=0 x+ 2=0
x=3 x=−2

2) 2 x2 +5 x +3=0 x +1=0 2 x+3=0

2 x2 +5 x +6=0 x=−1 2 x =−3
−2
( 2 x+2 ) ( 2 x+3 )=0 x=
3
( x +1 )( 2 x+ 3 )=0

3) 3 x 2=6 x
3 x 2−6 x=0
3 x ( x−6 )=0
3 x=0 x−6=0
0
x= x=6
3
x=0

4) x 2−16=0
( x−4 ) ( x+ 4 )=0
x−4=0 x+ 4=0
x=4 x=−4
5) 4 x2 =8 x−3
4 x2 +8 x +3=0
4 x2 +8 x +12=0
( 4 x+6 )( 4 x +2 )=0
( 2 x+3 )( 2 x+1 )=0
2 x+3=0 2 x+1=0
−2 −1
x= x=
3 2

Ejercicios propuestos

1) x 2=30 x 2) x 2+ 4 x +4=9

3) x 2−25=0 4) 15 a2−28 a=−12

Método formula cuadrática

En este método se utiliza la siguiente formula:

−b ± √ b2−4 ac
x=
2( a)

En donde b 2−4 ac se le conoce como discriminante se su resultado es:

a) b 2−4 ac> 0 tiene dos soluciones

b) b 2−4 ac=0 hay una sola solución
c) b 2−4 ac< 0 no tiene solución

1) 2 x2 −5 x +1=0 b 2−4 ac
(−5)2−4(2)(1)
a b c 25−8=17

−5 ± √17
x=
2(2)
Como el discriminante es mayor que cero,
tiene dos soluciones
 −5+4.1231
=−0.2192
4

−5 ± 4.1231
4

−5−4.1231
=−2.2807
4

√ 17=4.1231

2) y 2 +4 y−12=0 b 2−4 ac

( 4)2−4 (1)(−12)
16+ 48=64

4 ± √ 64
2(1)

−4 +8
=2
2

−4 ± 8
2

4−8
=8
2

3) 2 x2 +3=−3 x b 2−4 ac

2 x2 +3 x +3=0 (3)2−4 ( 2 ) (3)

a b c 9−24=−15

−3 ± √ −15
2(3)
No tiene solución ya que raíces negativas
no existen

4) x 2=3 x b 2−4 ac
x 2−3 x+ 0=0 (−3)2−4(1)(0)
9−4 (1)(0)
a b c 9−0=9

−(−3) ± √ 9
2(1)

3+3
2
3± 3
2

3−3
2

9
x 1= x 2=0
2

Ejercicios propuestos
Formula cuadrática

1) 5 x 2−10 x−15=0 2) 2 x2 +5 x=3

1 2
3) 9 x 2+ 24 x+ 16=0 4) x +5 x−18=0
2

Ecuaciones con valor absoluto

Toda ecuación con valor absoluto se ordena y se iguala a cero. Si el número resultante es
negativo, el conjunto solución es vacío.

Ejemplo:
 2 1
| |
7 x
−2 =
−2
7
−2
1 7
| |
x
−2 =
2
7

|1x −2|=−1
C.S = ∅

Si la ecuación con valor absoluto queda igualada a un numero positivo, se debe resolver en dos partes, es
decir:

−3 4 2
|x−1|+ =
2 3 3

−3 2 4
|x−1|= −
2 3 3

−3 −2
|x−1|=
2 3

−2
|x−1|= 3
−3
2

4
|x−1|=
9

4 −4
x−1= x−1=
9 9

4 −4
x= −1 x= +1
9 9

13 5
x= x=
9 9

Ejercicios propuestos
 1 1
1) |1−3 x|+2=5 2) |2 x−1|− =0
2 3

5 1 1−x 1
3) 5+2|−2+ x|=
3 4) 3
−5 | |=
x+2 2

5) −3|4+5 x|−2=4

Ecuaciones fraccionales

En este tipo de ecuaciones es necesario primero factorizar los denominadores y de cada una de las
fracciones para encontrar un mínimo común denominador
Luego este mínimo común denominador se multiplica a ambos lados de la igualdad, para eliminar las
fracciones.
Luego se simplifican términos semejantes para despejar para “x”
Nota: si la igualdad no se cumple el conjunto solución es vacío

5x 6 5x 6
1) =
x −9 x+3
2
=
( x−3 ) ( x +3 ) x +3

5 x=6(x −3)

5 x=6 x−18

5 x−6 x=−18

−x=−18

x=18

x−2 1 3
2) = 2 +
x −x−6 x −4 2 x−4
2
 x −2 1 3
= +
(x−3)( x +2) ( x−2)(x +2) 2( x +2)

2 ( x−2 )( x−2 )=2 ( x −3 ) +3(x−3)( x−2)

2 ( x 2−4 x + 4 ) =2 x −6+3( x 2−5 x +6)

2 x2 −8 x+ 8=2 x−6+3 x 2−10 x+ 18

2 x2 −3 x 2−8 x −2 x +8+6 +15 x +18=0

(−x 2 +5 x−4=0)

x 2+ 5 x−4=0

( x−4 ) ( x−1 )=0

x−4=0 x−1=0
x=4 x=1

Ejercicios propuestos

7 1 3 2 x +11 x−2 12 7
1) − =
x−3 2 x−4 2) + − 2
x+ 4 x −4 x −16 2
=

3 x −1 4x 2x 15−32 x 2 3x
3) x+3
+3=
x−3 4) 2 x−3
= 2
+
4 x −9 2 x+3