Actividad 4.

Ecuaciones cuadráticas

Métodos de solución de ecuaciones cuadráticas.

Para poder comenzar con el tema es necesario poder definir las ecuaciones. “Una ecuación (o
igualdad) es una afirmación de que dos cantidades o expresiones son iguales, se emplean
ecuaciones en todos los campos que emplean números reales”. (Swokowski, 2011, p. 56), en
algebra existen las ecuaciones lineales o de primer grado, y las ecuaciones cuadráticas o de
segundo grado que son en las que nos centraremos en esta actividad.

“Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 +bx +c=0 donde a, b y c son números
reales con a ≠ 0.” (Stewart,2012,p.46).

Para poder resolverlas existen diferentes métodos los cuales definiremos a continuación.

Factorización.

Algunas ecuaciones cuadráticas pueden resolverse por el método de Factorización y utilizar

propiedades básicas de los números reales.

Propiedad de producto Cero AB =0 si y sólo si A =0 o B= 0, esto significa que si podemos

factorizar el lado izquierdo de una ecuación cuadrática podemos resolverla igualando a 0 cada
factor a la vez. Este método funciona sólo cuando el lado derecho de la ecuación es 0.
(Stewart,2012,p.46).

Ejemplo retomado de (Stewart,2012,p.46).

Resuelva la ecuación x 2+ 5 x=24

SOLUCIÓN Primero debemos reescribir la ecuación de modo que el lado derecho sea 0

x 2+ 5 x=24

x 2+ 5 x−24=0 Resta 24

( x−3)( x +8)=0 Factorice

x−3=0 o x +8=0 Propiedad de producto cero

x=3 o x=−8 Resuelva

Módulo 1

Las soluciones son x=3 o x=−8

Completando cuadrados

Otra forma de resolver las ecuaciones cuadráticas es a través del método de completar el
cuadrado trabajando con números reales. El cual se describe a continuación.

Retomado de (Swokowski, 2011, p. 77) Para completar el cuadrado para x 2+ kx o x 2−kx

k 2
, sumamos ( ¿ ¿ ; esto es, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x.
2

(1) x 2+ kx +¿
(2) x 2−kx +¿
Ejemplo retomado de (Swokowski, 2011, p. 77).

Resuelva la ecuación x 2−5 x+ 3=0

SOLUCIÓN: Es conveniente primero reescribir la ecuación para que los únicos términos
que contengan a x se encuentren en el lado izquierdo, como sigue:

x 2−5 x+ 3=0 original

x 2−5 x=−3 reste 3

x 2−5 x+ ¿ complete el cuadrado, sume ¿

ambos lados

¿ ecuación equivalente

5 13
x− =±
2 4 √ tome la raíz cuadrada

5 13 5 ± √ 13 5
x= ±
2 2
=
√2
sume
2

Las soluciones de la ecuación son (5+ √13)/2≈ 4.3 y

(5−√13)/2 ≈ 0.7

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Módulo 1

Formula general

La solución de ecuaciones cuadráticas por formula general es el método más conocido y más
utilizado de ahí que también reciba el nombre de la fórmula del chicharronero. A continuación se
describe este método.

Retomado de (Baldor, 1980, p. 448)

Deducción de la fórmula para resolver la ecuación general de 2º. Grado ax 2 +bx +c=0

La ecuación es: __________________________ ax 2 +bx +c=0

Multiplicando por 4a: _____________________ 4 a2 x2 + 4 abx +4 ac=0
Sumando b2____________________________ 4 a2 x2 + 4 abx +4 ac+ b2=b 2
Pasando 4ac al 2º. Miembro:_______________ 4 a2 x2 + 4 abx +b2=b2−4 ac
Descomponiendo el primer miembro, es un trinomio
Cuadrado perfecto: ______________________ ¿
Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros: 2 ax+ b=± √ b2 −4 ac
Transponiendo b: ________________________ 2 ax=−b ± √ b2−4 ac
−b ± √ b2−4 ac
Despejando x: ___________________________ x=
2a
Ejercicio retomado de (Baldor, 1980, p. 449)

Resolver la ecuación: 3 x 2−7 x+ 2=0

−b ± √ b2−4 ac
Aplicamos la formula x=
2a

Aquí a=3, b=7, c=2, luego sustituyendo y teniendo presente que al sustituir b se pone con
signo cambiado, tendremos:

7 ± √72 −4 (3)(2) 7 ± √ 49−24 7 ± √ 25 7 ± 5

x= = = =
2(3) 6 6 6

Entonces:

7+5 12
x 1= = =2
6 6

7−5 2 1
x 2= = =
6 6 3

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Módulo 1

1
Las soluciones de la ecuación es x 1=2 x2 =
3

Método gráfico.

Por último tenemos el método gráfico para la solución de ecuaciones cuadráticas a través del
plano cartesiano y es una forma visual en la cual podemos observar a través de una gráfica los
resultados.

Ejemplo retomado de (Soto, Romero, 2018, p. 1)

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: x 2−4 x+1=0

Empezamos graficando la función y= x 2−4 x+1=0

Tabla de valores

x x 2−4 x+1=0
0 1

1 -2

2 -3

3 -2

4 1

Imagen retomada de (Soto, Romero, 2018, p. 1)

Solución x 1=2+ √ 3 x2=¿ 2+√ 3 ¿

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Módulo 1

Ejercicios:

i. Completando Cuadrados− x2 +6 x +4=0

−x 2+ 6 x+ 4=0 Multiplicamos por (-1) cada término

x 2−6 x−4=0

x 2−6 x=4 Sume 4

2 6 2 6 2 6 2
x −6 x +( ) =4+( ) Se completa el cuadrado ( ) en ambos lados
2 2 2

36 36
x 2−6 x + =4 + Se eleva al cuadrado
4 4

x 2−6 x +9=4+ 9 Se simplifica

x 2−6 x +9=13 Ecuación resultante

( x−3)2=13 Se factoriza

x−3=± √ 13 Raíz cuadrada

x=± √ 13 +3 Se suma 3

Solución x 1=3+ √ 13 x2=¿ 3−√13 ¿

Decimal x 1=6.6055512754639 x 2=¿−6.6055512754639¿

Comprobación −x 2+ 6 x+ 4=0

–¿

−( 43.6330765)+ 6 ( 6.6055512754639 )+ 4=0

−43.6330765+ 39.63330765+ 4=0

0=0

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Módulo 1

ii. Factorización x 2 +7 x=18

x 2+ 7 x −18=0 Resta 18

( x−2)(x +9)=0 Factorice

x−2=0 x+ 9=0 Propiedad del producto cero

x=2 o x=−9 Resuelva

Solución x 1=2 x2=¿−9 ¿

Comprobación x 2+ 7 x −18=0

(−9)2 +7(−9)−18=0

81−63−18=0

0=0

iii. Formula General ¿

3 x 2−22 x +7=0

a=3 , b=−22, c=7

−b ± √ b2−4 ac
Aplicamos la formula x=
2a

x=−(−22 ) ± √ ¿ ¿ ¿ Sustituyendo valores

22± √ 484−84 22 ± √ 400 22± 20

= = Resolviendo la ecuación
6 6 6

Solución x 42 x 2 1
1= =7 2= =
6 6 3

Comprobación 3 x 2−22 x +7=0

3(7)2−22 ( 7 )+7=0

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Módulo 1

3 ( 49 )−154+7=0

147−154+7=0

0=0

iv. Completando cuadrados x + √ 2 x +1=5

√ 2 x +1=(−x +5) Restar x al otro lado de la ecuación.

¿ Elevar ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar el radical

1
(2 x+1 ¿ ) =(−x +5)2
2 2 Multiplicar los exponentes

1
(2 x+1 ¿ ) =(−x +5)2 Cancelar el factor común
2 2

2 x+1=x 2−10 x +25 Expandir la expresión

x 2−10 x+ 25−2 x−1=0 Igualar a cero

x 2−12 x+24=0 Reducción términos semejantes

x 2−12 x=−24 Reste 24

12 2 12 2 12 2
x 2−12 x+ ( ) 2
=−24+( )
2
Se completa el cuadrado (
2
) en ambos lados

144 144
x 2−12 x+ =−24+ Se eleva al cuadrado
4 4

x 2−12 x+36=−24 +36 Se simplifica

x 2−12 x+36=12 Ecuación resultante

( x−6)2=12 Se factoriza

x−6=± √12 Raíz cuadrada

x−6=± √3. 22 Reducir radicales

x=± 2 √ 3+6 Se suma 6

Solución Forma exacta x 1=¿ 6−2 √3 ¿

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Módulo 1

Decimal x 1=¿2.5358983848622¿

Comprobación x + √ 2 x +1=5

2.5358983848622+ √ 2(2.5358983848622)+1=5

5=5

6. Se tiene la ecuación x 2+ bx+5=0 . Donde el valor de 𝑏 puede ser cualquier número real.
Elige 5 valores de b (positivos y negativos) y llena la siguiente tabla:

Valor de b Ecuación generada

0 1. x 2+ 0 x+5=0

2 2. x 2+ 2 x +5=0

4 3. x 2+ 6 x+5=0

-2 4. x 2−2 x+5=0

-4 5. x 2−6 x +5=0

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Módulo 1

¿Qué pasa con el valor 𝑏 = 0?

Cuando el valor de b=0 el eje de simetría no pasa por el eje de las abscisas, únicamente pasa por el eje
de las ordenadas.

¿Cómo son las gráficas cuándo 𝑏 > 0 y cuándo 𝑏 < 0?

“De las gráficas se observa que cuando b > 0, el desplazamiento de las parábolas es a la

izquierda, y cuando el valor de b < 0 el desplazamiento es a la derecha” , en ambas situaciones a
medida que el valor absoluto de "b" aumenta la ordenada del vértice de la parábola se hace más
negativa (Aguirre, 2008, p. 19)

¿Tienen algo en común las gráficas?

. En los dos casos las parábolas coinciden en el origen.”(Aguirre, 2008, p. 19)

¿Cómo se comportan las raíces de la ecuación cuando cambia b?

Si se disminuye el valor de b tanto positivo como negativo no tiene raíces es decir no toca el eje
x y cuando se incrementa el valor a partir de 4.5 o -4.55 tiene dos raíces.

Explica con tus propias palabras que representa el parámetro 𝑏 en una ecuación cuadrática.

“bx es el término lineal” (Perez, 2017)

Es decir que b tiene un valor numérico y que acompaña una incógnita con exponente 1 a
diferencia de a que la incógnita va al cuadrado y nos indica que es una ecuación cuadrática. Su
valor puede ser igual a cero o mayor o menor que cero.

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Módulo 1

Problemas de aplicación

1. Se resolverá el ejercicio 64 y 65 que no trae solución del Libro Algebra y Trigonometría con
Geometría Analítica de (Swokowski, 2011).

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Módulo 1

1.- Diseño de un cartel. Una hoja de papel de 24 por 36 pulgadas se va a usar para un cartel, con
el lado más corto en la parte inferior. Los márgenes de los lados y la parte superior van a tener el
mismo ancho, y el margen de abajo va a tener el doble de ancho que los otros márgenes.
Encuentre el ancho de los márgenes si el área impresa va a ser de 661.5 pulg2.

Desarrollo.
Hoja de papel: 24 por 36 pulg .
Lado más corto o ancho = 24 pulg.
Alto= 36 pulgadas
x= Margen
Solución completando el cuadrado

( 24−2 x ) ( 36−3 x ) =661.5 Ecuación resultante

864−661.5−144 x+ 6 x2 Desarrollar la ecuación

6 x 2−144 x +202.5=0 Simplifica

6 x2 144 x 202.5
− + =0 Se divide entre 6 para dejar x 2
6 6 6

x 2−24 x +33.75=0 Resultado de la división

x 2−24 x=−33.75 Reste 33.75

24 2 24 2 2
x 2−24 x +( ) =−33.75+( ) Se completa el cuadrado ( 24 ) en ambos lados
2 2 2

576 576
x 2−24 x + =−33.75+ Se eleva al cuadrado
4 4

x 2−24 x +144=−33.75+144 Se simplifica

x 2−24 x +144=110.25 Ecuación resultante

( x−12)2=110. Se factoriza

x−12=± √ 110.25 Raíz cuadrada

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Módulo 1

x=± √ 110.25 +12 Se suma 3

Solución x 1=12+ √ 110.25 x 2=¿ 12−√ 110.25¿

Decimal x 1=22.5 x 2=¿ 1.5 ¿

Respuesta los Márgenes de los lados y la parte superior deben medir 1.5 pulgadas. Y el
Margen de la parte inferior 3 pulgadas.

2. Instalación de una cerca en un jardín. Un jardín cuadrado se va a cultivar y luego a cerrar con
una cerca. Si ésta cuesta $1 por pie y el costo de preparar el suelo es de 0.50 por ft2, determine el
tamaño del jardín que puede encerrarse a un costo de $120.

Desarrollo.

Lado = $1x

Costo preparar = 0.50 por ft2

Tamaño de jardín a encerrarse costo =$120

Ecuación resultante de los 4 lados.

0.5 x 2+ 4 x=120

Solución con formula general

0.5 x 2+ 4 x=120 Igualamos a 0

0.5 x 2+ 4 x−120=0

a= 0.5 b=4 c=-120

−b ± √ b2−4 ac
Aplicamos la formula x=
2a

x=−( 4 ) ± √ ¿ ¿ ¿ Sustituyendo valores

−4 ± √16+240=−4 ± √256=−4 ±16 Resolviendo la ecuación

Solución x 1=12 x 2=−20

El tamaño del jardín que puede encerrarse a un costo de $120 es 12ft por 12 ft.

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Módulo 1

Referencias bibliográficas.

Libro:

1. James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson. (2012). Precalculo. Estados Unidos: Cengage
Learning.
2. EARL W. SWOKOWSKI • JEFFERY A. COLE . (2011). ALGEBRA Y
TRIGONOMETRIA CON GEOMETRÍA ANALITICA. USA: CENGAJE.
3. Dr. Aurelio Baldor. (1980). Algebra. Habana, Cuba: CODICE.
Página web:

1. Efraín Soto Apolinar, Jorge Abel Romero Ortiz. (2018). Solución de ecuaciones cuadráticas
método gráfico. 2018, de Aprende Matemáticas Sitio web:
https://www.aprendematematicas.org.mx/unit/metodo-grafico/.
2. Luis Javier Aguirre. ( 2008). Enseñanza y aprendizaje de la función cuadrática utilizando un
simulador geométrico desde el enfoque de la teoría de los conceptos nucleares . Junio del
2008, de monografias.com Sitio web: https://www.monografias.com/trabajos60/funcion-
cuadratica-simulador/funcion-cuadratica-simulador3.shtml.
3. Julián Pérez Porto y María Merino. Publicado: 2017. Actualizado: 2019.
Definicion.de: Definición de función cuadrática (https://definicion.de/funcion-cuadratica/)

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