HORMIGÓN I

ING. EDWIN ZURITA G., MENG

UNIDAD 2 Análisis y Diseño a Flexión, Teoría por última resistencia
 Definiciones:
Elementos que
trabajan a flexión
•En estructuras de edificios, las
vigas y losas son los principales
elementos que están sujetos a
flexión.

•Entre otros elementos, también

se deben revisar a flexión: las
columnas (flexo-compresión o
flexo-tracción), muros, elementos
de cimentación (plintos, zapatas,
vigas de cimentación, losas de
cimentación, etc)
Definiciones:
Tipos de vigas a
flexión
En general, las vigas pueden
tener cualquier tipo de sección;
sin embargo, las secciones
más utilizadas tienen formas
rectas (rectangular, cuadrada,
en “T” o en “L”)
 Definiciones:
Flexión negativa
y positiva
•Flexión negativa: flexión que
causa compresión en la parte
inferior de la viga de piso, y en
la parte superior de la viga de
cimentación
•Flexión positiva: flexión que
causa compresión en la parte
superior de la viga de piso, y en
la parte inferior de la viga de
cimentación
 Definiciones: Simbolos y notación
• Mu: momento último de diseño (combinaciones) • d: es la distancia desde la fibra extrema a compresión
hasta el centroide del acero a tensión
• Mn: momento nominal resistente.
• d’ : es la distancia desde la fibra extrema a compresión
• ϕMn: momento resistente de diseño hasta el centroide del acero a compresión
• As : acero de refuerzo a tensión • h: es la altura total de la viga
• A’s : acero de refuerzo a compresión • jd: brazo de palanca interno entre las resultantes a
compresión y tensión
• b: es el ancho de la viga que está a compresión
• ρ: es la cuantía de acero a tensión: ρ = As/b d

• εcu: es la deformación unitaria máxima usable para el

hormigón armado

• εs : es la deformación unitaria en el acero de refuerzo

 Se realizan tres suposiciones para calcular
la resistencia a flexión:

1. Las secciones perpendiculares al eje de

Comportamiento flexión permanecen planas después de la
de vigas de flexión
H.A.:Teoría del 2. Existe compatibilidad de deformaciones
comportamiento entre el hormigón y el acero de refuerzo

a flexión 3. Los esfuerzos en el hormigón y acero se

pueden calcular a partir de las
deformaciones unitarias, usando sus
correspondientes constitutivas
Comportamiento de
vigas de H.A.:
Comportamiento de
secciones con refuerzo
simple
“ SE C C I O NES C O N R E FU E R ZO
SIMPLE” SON AQUELLAS QUE
SO LA M E N T E T I E N E N R E FU E R ZO
E N LA ZO N A D E T E N SI Ó N .
Comportamiento
de vigas de H.A.:
Comportamiento
de secciones con
refuerzo simple
L A S C O N S T I T U T I VA S D E L
HORMIGÓN Y DEL ACERO SE
P U E D E N R E P R E S E N TA R ( D E
MANER A APROXIMADA) D E LA
SIGUIENTE MANER A:
Comportamiento de
vigas de H.A.:
Comportamiento de
secciones con refuerzo
simple

L AS C O N ST I T U T I VA S
DEL HORMIGÓN Y DEL
AC E RO S E P U E D E N
R E P R E S E N TA R ( D E
M A N E R A A P ROX I M A DA )
DE LA SIGUIENTE
MANER A:
Comportamiento de
vigas de H.A.:
Comportamiento de
secciones con refuerzo
simple

L AS C O N ST I T U T I VA S
DEL HORMIGÓN Y DEL
AC E RO S E P U E D E N
R E P R E S E N TA R ( D E
M A N E R A A P ROX I M A DA )
DE LA SIGUIENTE
MANER A:
 • Hormigón: se supone algún modelo propuesto por algún
Comportamiento de investigador. Por ejemplo, se puede usar el modelo propuesto por
vigas de H.A.: Hognestad, el mismo que se compone de dos ramas de
Comportamiento de comportamiento en compresión:
secciones con refuerzo ▪ Una parte parabólica hasta llegar a ε0 (deformación unitaria
simple en que el esfuerzo es f’c , valor que se puede suponer igual a
0.002), que responde a la siguiente ecuación:
L AS C O N ST I T U T I VA S
DEL HORMIGÓN Y DEL
AC E RO S E P U E D E N
R E P R E S E N TA R ( D E
M A N E R A A P ROX I M A DA ) Una parte lineal, más allá de ε0:
DE LA SIGUIENTE
MANER A:

Donde Z se puede suponer igual a 150.

• La tensión se puede suponer lineal hasta llegar al módulo de

ruptura fr . En general, el aporte de tensión del hormigón se puede
despreciar.
Comportamiento de
vigas de H.A.: Proceso
de cálculo del
diagrama Momento -
Curvatura
PA R A O B T E N E R U N P U N TO D E L
D I A G R A M A M O M E N TO - C U R VAT U R A ,
SE REALIZA EL SIGUIENTE
P R O C E D I M I E N TO :
 • Dada una sección, junto con el acero de refuerzo
Comportamiento de longitudinal (con su ubicación en la sección, área total,
vigas de H.A.: Proceso etc.)
• Se elige un valor de curvatura y se supone una
de cálculo del deformada (se asume la posición del eje neutro)
diagrama Momento - • A partir de la deformada, se estiman los esfuerzos que se
producen en el hormigón y en el acero de refuerzo,
Curvatura utilizando las constitutivas de cada material
• En función de la forma de la sección y los esfuerzos
actuantes calculados en el paso anterior, se calculan las
PA R A O B T E N E R U N P U N TO D E L
D I A G R A M A M O M E N TO - C U R VAT U R A ,
fuerzas internas y sus puntos de acción
SE REALIZA EL SIGUIENTE • A continuación se revisa que exista equilibrio. Si no hay
P R O C E D I M I E N TO : equilibrio, se procede a reubicar el eje neutro supuesto.
Se realizan iteraciones hasta lograr convergencia.
• Finalmente se calcula el momento producido por las
fuerzas internas obtenidas
Comportamiento de
vigas de H.A.: Proceso
de cálculo del diagrama
Momento - Curvatura

E ST E P RO C E S O S E
P U E D E R E P E T I R PA R A
D I ST I N TO S VA LO R E S
D E C U R VAT U R A , C O N
LO Q U E S E O B T I E N E
U N D I AG R A M A D E L A
S I G U I E N T E FO R M A :
 • Punto en que la fibra extrema del hormigón en tensión alcanza el
modulo de ruptura fr. Importante para determinar el acero mínimo de
refuerzo en vigas
Comportamiento de • Previo a llegar a este punto, para estimar el comportamiento de este
vigas de H.A.: Punto de elemento se puede aplicar la teoría de flexión elástica, es decir:
Fisura

• El momento en que teóricamente se produce la fisura es:

• Usando la teoría elástica, la curvatura sería:

Comportamiento de vigas
de H.A.: Punto de Fisura
• En rigor, las propiedades de la sección deben incluir la
presencia del acero de refuerzo. Esto se realiza reemplazando
el acero con una sección equivalente de hormigón, utilizando
el concepto de sección transformada
Ejemplo 2.1
Estimar el momento teórico y la correspondiente curvatura en que empieza a formarse la fisura en la
zona a tensión de una viga de 30x50 cm, con As = 10,80cm2 , f’c = 280 kgf/cm2 , fy = 4200 kgf/cm2 .
El centroide del acero se encuentra a 5 cm de la cara del hormigón que esta a tensión. Suponga que
la viga está en el primer piso y trabaja a momento positivo.
 Datos
F'c=280 Kgf/cm2
Fy=4200 Kgf/cm2
As=10.8 cm2

30 cm Fr=2*lamda*raiz(f'c)=33.47Kgf/cm2

N=Es/Ec=2030000Kgf/cm2/(15100*raiz(f'c))= 8.03
50 cm A2=(8.03-1)*10.8=75.92 cm2
Yt=(A1*Y1+A2*Y2)/AT=(30x50x25+75.92*5)/(30x50+75.92)=24.03 cm

5 cm Teorema de Ejes paralelos

A2=(N-1)AS=75.92 cm2
1 Ig=I1+A1(d1)^2+I2+A2(d2)^2=
(b*h^3)/12+((30x50)*(25-24.03)^2)+0+75.92(24.03-5)^2=341405.08 cm4

5 cm Mcr=(33.47*341405.08)/24.03=475523.43 Kgf.cm
Curv=475523.43/(15100*raiz(280)*341405.08)=5.51*10-6
(1/cm)=5.51*10-4(1/m)
Ejemplo 2.1.1
Estimar la curvatura Inmediatamente después de la fisura del ejemplo 2.1
 Ejemplo 2.1.2
Para la sección de viga que se muestra a continuación determinar los esfuerzos producidos por un
momento M=5 T.m. Asumir que la sección no se encuentra agrietada.

25 cm f’c=280 Kgf/cm2
dc=5 cm
fy=4200 Kgf/cm2

60 cm

3 ϕ 1”
 Comportamiento de vigas de
H.A.: Punto de Fluencia
• Representa el final de la zona de comportamiento elástico
• Después de la fisura, los esfuerzos de tensión en el acero y de
compresión en el hormigón crecen hasta que uno de los dos
llegue a su límite
• Si falla es por fluencia del acero o por aplastamiento del
hormigón, depende de la cuantía de acero que contenga la
sección (sub-reforzada, balanceada o sobre reforzada)
• Para estimar el momento y la curvatura, en las iteraciones se
supone que el acero tiene una deformación unitaria igual a Ꜫy
• Para facilitar el cálculo se puede suponer que el
comportamiento del hormigón es lineal, y se puede utilizar el
concepto de sección transformada (siempre que la sección sea
sub-reforzada). En rigor, el cálculo se debe realizar utilizando
las constitutivas.
 Comportamiento de vigas de
H.A.: Punto de Fluencia
Sacando el momento de las áreas (ver la figura) a compresión y
tensión e igualando, tenemos que:

Resolviendo esta ecuación cuadrática en k, podemos estimar jd y

hallamos el momento haciendo base en la posición de la fuerza de
compresión, por lo que:
 Comportamiento de vigas de
H.A.: Punto de Fluencia
Dado que debe haber equilibrio y C = 0,5 f’c b kd, podemos
estimar el esfuerzo máximo en el hormigón:

Mientras fc se mantenga por debajo del 40 o 50 % de f’c , la

suposición de distribución lineal de esfuerzos no produce errores
muy grandes en el cálculo de My
Ejemplo 2.2
Estimar el momento de fluencia teórico y la correspondiente curvatura para la viga del ejemplo 2.1.
 • Para vigas sub-reforzadas, se calcula suponiendo que la fibra
extrema de hormigón alcanza la deformación máxima, y se tantea la
posición del eje neutro hasta obtener equilibrio en la sección
Diagrama Momento • De acuerdo al ACI 318 (10.2.3), la deformación unitaria máxima del
Curvatura: Resistencia hormigón para el calculo de la resistencia nominal a flexión es igual
Nominal a Ꜫcu = 0.003
• Ya no podemos suponer que la distribución de esfuerzos en el
hormigón es lineal

Debido a la complejidad de manejar las constitutivas en estos cálculos,

existe una propuesta para simplificar el problema.
Partimos definiendo los siguientes parámetros:
 Diagrama Momento
Curvatura:
Resistencia Nominal

La idea es definir el valor de

estos parámetros en base a
ensayos, de manera de
conseguir una forma adecuada
y sencilla de estimar el momento
resistente.
De acuerdo a la norma ACI 318
en 10.2.6, se permite asumir
cualquier forma de distribución
de esfuerzos
 Diagrama Momento
Curvatura:
Resistencia Nominal

Como el objetivo es simplificar,

Whitney sugirió utilizar una
distribución uniforme, la misma
que fue acogida por la norma en
10.2.7
Diagrama
Momento
Curvatura:
Resistencia
Nominal
Diagrama Momento Curvatura: Resistencia Nominal
Diagrama
Momento
Curvatura:
Resistencia
Nominal
Ejemplo 2.3
Estimar el momento nominal teórico y la correspondiente curvatura para la viga del ejemplo 2.1.
Ejemplo 2.4
Estimar la resistencia a flexión de la viga que se muestra en la figura, usando el bloque de Whitney.
Diagrama
Momento
Curvatura:
Resistencia
Nominal
Diagrama
Momento
Curvatura:
Resistencia
Nominal
Condición de
Balance
Condición en que, cuando la sección
esta en equilibrio, las deformaciones
del acero de refuerzo son iguales a Ꜫy
y la deformación unitaria de la fibra
extrema de compresión es igual a
Ꜫcu.

El área de acero requerida para que

se produzca esta condición es el
“área balanceada del refuerzo en
tensión”
Ejemplo 2.5
Determinar la cantidad de acero que produce una condición de falla balanceada en una viga de hormigón
de 30x50 cm, con f’c = 300 kgf/cm2 . Asuma que el peralte efectivo es igual a 45 cm.
Secciones con refuerzo a compresión:
comportamiento
La presencia del refuerzo a compresión genera lo siguiente:

•En resistencia última, disminuye la dimensión del eje neutro

•Aumenta el brazo de palanca interno y, en consecuencia, el momento resistente. Sin embargo este
aumento no es muy significativo

•Se logra mayor deformación unitaria del acero de refuerzo a tensión

 Razones para colocar refuerzo a
compresión
•Reduce las deflexiones por carga sostenida (“creep”)

•Aumenta la ductilidad

•Modificar el modo de falla de compresión a tensión

•Facilidad de fabricación
Cálculo de
momento
nominal
resistente
Se puede utilizar la
aproximación de Whitney, y se
deberá tantear la posición del
eje neutro hasta conseguir el
equilibrio interno de la
sección. Un buen punto de
partida es: c=d/4
Ejemplo 2.6
Calcule el momento nominal resistente de la viga del ejemplo 2.1, asumiendo que A’s = 0.5As , y d’= 5cm
Secciones tipo
“T”:
Generalidades
En estructuras con losas llenas,
dado que las vigas y la losa se
funden de manera simultanea,
parte de la losa contribuye en
la resistencia de la viga
Ancho efectivo
Ancho
efectivo
De acuerdo a la sección 8.12 de la
norma,

• El ancho efectivo del ala de una viga

“T” no debe exceder Ln/4

• Además, los sobre-anchos de cada

lado de la viga no deben ser mayores
que: (1) 8hf , ni (2) Sn/2

• Para una viga tipo “L” invertida, el

sobre-ancho no debeexceder: (1)
Ln/12 , (2) 6hf , ni (3) Sn/2
Secciones tipo “T”: Resistencia
Nominal
Para revisión a momento positivo, pueden darse dos casos:

1. La altura del bloque de compresión de Whitney (“a”) es menor o igual que la altura del ala, en cuyo caso
se revisa la sección como si fuera rectangular con b = be

2. La altura del bloque de compresión de Whitney (“a”) es mayor que la altura del ala, se usa un artificio
Secciones tipo “T”: Resistencia
Nominal
Secciones tipo
“T”: Resistencia
Nominal
Para revisar la resistencia a
flexión negativa, el área del
acero longitudinal que se
encuentra dentro del ancho
efectivo del ala, debe
considerarse como parte de As
Ejemplo 2.7
En un sistema de piso, tenemos una losa de 5 cm, con vigas de 30x50 cm separadas cada 5.00 m y con luces
de 6.00 m. Calcule la resistencia a flexión positiva de la viga, suponiendo que el centroide del acero de
refuerzo se encuentra a 5 cm del fondo de la
viga y que el área del refuerzo es:
(1) As = 10.8cm2
(2) As = 40.0cm2
Diseño a
flexión
Losas unidireccionales
1. Las cargas se transmiten directamente a la losa

2. La losa se apoya sobre las vigas principales y secundarias

3. Las vigas secundarias se apoyan sobre las vigas principales

4. Las vigas principales se apoyan sobre las columnas

5. Las columnas se apoyan sobre el sistema de cimentacion (sean

plintos, zapatas en una o dos direcciones, losas, pilotes, etc)

6. El sistema de cimentacion transere las cargas al suelo

Losas en
una
dirección
Análisis estructural
Método de
los
coeficientes
del ACI
Método de los coeficientes
del ACI
 Arreglo de carga viva
Para tomar en cuenta la situación mas crítica de la posición de la carga viva, el código ACI 318 en 8.11 indica
que se debe considerar:

▪La totalidad de la carga muerta actuando en todos los vanos de manera simultanea

▪Se consideran varios estados de carga viva:

o Actuando en dos vanos adyacentes

o Actuando en vanos alternados

Ejemplo 2.8
En la figura que se muestra, estime la carga,
momentos y cortantes de diseño de la viga secundaria
que se encuentra entre los ejes 2 y 3. Asuma lo
siguiente: L1 = L2 = 5m, L3 = L4 = 6m, WL = 0.20 T/m2,
la losa es de tipo nervada en una dirección, con una
loseta de compresión de 5 cm y altura total de 20 cm.
Use el método de los coeficientes del ACI y compare
los resultados con un análisis elástico.
Secciones
Controladas por
Tensión o por
Compresión
Secciones Controladas por Tensión o
por Compresión
❖El tipo de comportamiento se define en función de la deformación unitaria del acero a tensión mas
alejado del eje neutro, cuando se alcanza el valor Mn.

❖El comportamiento dúctil junto con la naturaleza monolítica de las estructuras de hormigón armado,
permite la re-distribucion de cargas, proporcionando un nivel de seguridad un poco mayor.
Secciones
Controladas
por Tensión o
por
Compresión
Secciones
Controladas por
Tensión o por
Compresión
Diseño de Vigas
Controladas por
Tensión
Diseño de Vigas
Controladas por
Tensión
Ejemplo 2.9
Realizar el pre-dimensionamiento de la viga secundaria del ejemplo 2.8. Determinar la cantidad de acero
requerido para resistir flexión en las zonas críticas de la viga.
Requerimientos
ACI 318/11:
Acero Máximo y
Mínimo
Recubrimientos
Separación
entre varillas en
vigas
Ejemplo 2.10
Realizar el diseño estructural de la viga del ejemplo 2.9. Tomar en cuenta los requerimientos del código.
Ejemplo 2.11
Realizar el diseño estructural de la viga principal del eje B del ejemplo 2.8.