Laboratorio N 01: Simulacin de la Serie de Fourier

Mediante el Software Matlab

Hans Junior Puente Jara
Facultad de Ingeniera Elctrica y Electrnica, Universidad Nacional de Ingeniera
Lima, Per
hanspuente@gmail.com
I.

OBJETIVOS

-Utilizando la sumatoria de n trminos de la serie de

Fourier estimar el ancho de banda de una onda y hallar su
grfica aproximada.
-Aprender a trabajar con Series de Fourier utilizando Matlab,
as como aumentar mis conocimientos sobre este software.
II. TEORA
1. Formas de Ondas
La forma de onda de una seal u onda, es la grfica de su
valor instantneo, versus tiempo.
En audio, por ejemplo, siempre estamos tratando con formas
de onda peridicas que son grficas de las ondas sonoras que
omos. Estas formas de onda pueden ser dibujadas en una
grfica que se ver como algn tipo de line curva que sube y
baja de nivel.
De izquierda a derecha se grafica el tiempo. Es decir podemos
ver una porcin de tiempo de determinada onda y saber qu
ocurre en esa porcin de tiempo. De arriba a abajo est la
amplitud de esos voltajes instantneos en el tiempo.
Las formas de onda algunas veces se usan tambin para
nombrar el sonido generado por un oscilador de un sintetizador.
Es decir se usa el nombre de la forma de onda para nombrar la
onda en s. Las ondas ms comunes generadas por los
osciladores en un sintetizador son las de sinusoidal, diente de
sierra, triangular y cuadrada. Se dice entonces que cierto
oscilador genera una onda sinusoidal, o una onda de diente de
sierra por ejemplo.

2. Series de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge
puntualmente a una funcin peridica y continua a trozos(o por
partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta
matemtica bsica del anlisis de Fourier empleado para
analizar funciones peridicas a travs de la descomposicin de
dicha funcin en una suma infinita de funciones senoidales
mucho ms simples (como combinacin de senos y cosenos con
frecuencias enteras). El nombre se debe al matemtico
francs Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarroll la teora
cuando estudiaba la ecuacin del calor. Fue el primero que
estudi tales series sistemticamente y publicando sus resulta
dos iniciales en 1807 y 1811. Esta rea de investigacin se
llama algunas veces Anlisis armnico.
Es una aplicacin usada en muchas ramas de la ingeniera,
adems de ser una herramienta sumamente til en la teora
matemtica abstracta. reas de aplicacin incluyen anlisis
vibratorio, acstica, ptica, procesamiento de imgenes y
seales, y compresin de datos. En ingeniera, para el caso de
los sistemas de telecomunicaciones, y a travs del uso de los
componentes espectrales de frecuencia de una seal dada, se
puede optimizar el diseo de un sistema para la seal portadora
del mismo. Refirase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:

Donde

se denominan coeficientes de Fourier de la

serie de Fourier de la funcin

Definicin:
Si

es una funcin (o seal) peridica y su perodo es

la serie de Fourier asociada a

Grficas de las formas de onda ms comunes

es:

Donde
,
los valores:

son los coeficientes de Fourier que toman

III. DESARROLLO DE LA EXPERIENCIA
A. Equipos y Materiales:

Una computadora
Software Matlab
Acceso a Internet
Capturador de imagen o cmara fotogrfica
Gua de laboratorio

B. Procedimiento:

Por la identidad de Euler, las frmulas de arriba

pueden expresarse tambin en su forma compleja:

1.-Haciendo uso del software Matlab, elabore un programa

que permita realizar lo siguiente:
a)

Dada una funcin en el tiempo, el programa debe

permitir visualizar en pantalla la grfica real.

b) Con el uso de la serie de Fourier, el programa nos debe

permitir visualizar las diferentes aproximaciones,
dependiendo de n, a la grfica real.
Los coeficientes ahora seran:
c)

Forma Exponencial:
Por la identidad de Euler para la exponencial compleja,
operando adecuadamente, si

la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos

series:

Determinar grficamente el espectro de frecuencias.

d) Para permitir realizar el paso b), el programa debe

solicitar:
La ecuacin caracterstica del trmino a0.

La ecuacin de los trminos an.

La ecuacin correspondiente a los bn.

En el programa desarrollado, simule la onda

asignada para diferentes valores de n.

Visualice los cambios, si realizamos variaciones

en los parmetros de la funcin; amplitud,

periodo, duracin del pulso.
Capture la imagen de las grficas ms

significativas anotando el valor de n.

2.- A cada grupo de trabajo se le asignar una funcin:
En nuestro caso siendo el grupo 2 se nos asign la siguiente
funcin:

En forma ms compacta:

Pulso triangular impar, amplitud 10 Vpp, periodo 20 ms,

duracin 20 ms.

Vale la pena mencionar que en esta expresin se ha separado el

trmino cuando n = 0, de la definicin de Serie de Fourier dada
en la seccin anterior, y ahora la sumatoria empieza en n = 1.

IV. RESPUESTA A PREGUNTAS

1.

En telecomunicaciones cmo se representa una

funcin peridica?

Definicin:

Para obtener A0 calculamos el promedio temporal de f(t),

sustituyendo la anterior serie en la integral del promedio y
tomando en cuenta que el promedio temporal de los senos y
cosenos son cero. El valor de t0 normalmente es cero pero ms
adelante nos convendr tomarlo como T/2.

Una forma de onda w (t) es peridica con un periodo T0 si:

w (t) = w (t+T0)

para toda t

(1)

Donde T0 es el nmero positivo ms pequeo que

satisface esta relacin.
Por ejemplo, una forma de onda senoidal con frecuencia
con frecuencia f0 = 1/T0 hertz es peridica, debido a que
satisface la ecuacin (1). A partir de esta definicin se hace
claro que una forma de onda peridica tendr valores
significativos sobre un intervalo de tiempo infinito (-).
Por consecuencia, las formas de onda fsicas no pueden ser
realmente peridicas pero s contar con valores peridicos
sobre un intervalo de tiempo finito. Esto es, la ecuacin (1)
puede satisfacerse para t sobre algn intervalo finito, pero
no para todos los valores de t.
2.

La serie de Fourier es una funcin peridica?Explicar

Definicin:
Una serie de Fourier es una expansin de una funcin
peridica f (t), con periodo T, en trminos de una suma
infinita de senos y cosenos que toma la forma:

En otras palabras, cualquier funcin peridica se puede

reescribir como una suma de funciones armnicas
multiplicadas por constantes a determinar: an y bn .

Para calcular los coeficientes Am con m=1,2,,,

calcularemos el promedio de una nueva funcin:
f(t) *cos ( m* 1*t)

La primera integral del lado derecho es cero porque es el

promedio de un coseno.
Y para la siguiente parte considerando que se nos permite
intercambiar los signos de sumatoria e integral.
Entonces calculemos primero la ltima integral usando que el
producto sen()*cos() se puede escribir como [sen(+)
+sen(-)]/2, resultando as dos promedios que se anulan en un
perodo, para todo valor de y , es decir para todo valor de n
y m, y as ningn Bm saldr en el resultado.
Para calcular la segunda integral usamos que el producto
cos ()*cos () se puede escribir como [cos(+)+cos(-)]/2,
resultando as dos promedios que se anulan en un perodo, para
todo valor de y , es decir para todo valor de n y m, excepto
para el caso n=m que solo se anula el promedio de cos(+),
porque cos(-)= cos(0)=1, cuyo promedio es 1.

Sin embargo, veremos que aunque la funcin no sea

peridica podremos hacer un anlisis de Fourier mediante
la transformada integral de Fourier.

En resumen, solamente quedar el valor Am/2, o cambiando la

letra del ndice:

3.

Similarmente obtenemos:

Determinar los coeficientes de Fourier.

Considerando el desarrollo en trminos de funciones

ortogonales, podemos encontrar los coeficientes del
desarrollo de Fourier para la funcin f (t) dada por:

El grfico de A n y B n en funcin de n ( de n) se conoce

como el espectro de frecuencias de la funcin peridica f(t).
Note que la distancia entre dos frecuencias consecutivas es:
= (n+1) 1 n 1 = 1 = 2 / T.
4.

Gn

1
T

2
T
2

f (t) e j n 1 t dt

Utilizar la identidad de Euler para determinar la forma

compleja de la serie de Fourier.

Es posible modificar la ecuacin de la Serie de Fourier para

que la funcin f(t), real, quede en trminos de exponenciales
complejas, usando para ello la frmula de Euler- De Moivre:

e j cos j sen
Para ello escribamos la serie de la siguiente manera:

Donde se cumplen las relaciones:

A n = C n cos (n)
B n = - C n sen (n)

5.

Qu ocurre si la funcin peridica es discontinua?

La expansin en Serie de Fourier usualmente funciona de

manera adecuada cuando tenemos funciones que son
discontinuas en el intervalo requerido. Sin embargo, en estos
casos la serie no produce una funcin discontinua, sino que
conecta la funcin original en su discontinuidad.
Por ejemplo, para la funcin diente de sierra definida como
f(t) = at (con a > 0) y periodo , que se muestra en la figura de
la izquierda, y que presenta una discontinuidad en t = ,
encontramos que el desarrollo en Serie de Fourier existe, tal
como se muestra en la figura de la derecha, el cual se ha
calculado para 4, 6 y 10 trminos.

La cual podemos escribir como:

Finalmente, usando un solo signo de sumatoria:

El valor de la funcin en trminos de la Serie de Fourier en la
discontinuidad ser el promedio de los valores que toma f(t) en
la discontinuidad.
Donde:

Las Gn se obtienen a partir de f(t) usando la integral:

Matemticamente, podemos expresar que en el punto de

discontinuidad td, la serie converge al valor dado por:

En la discontinuidad, la representacin en series de Fourier de

la funcin, fFOURIER(t) toma valores que rebasan los
correspondientes a la funcin original f(t).
Conforme se incluyen ms trminos en la representacin en
serie, los puntos con rebasamiento se acercan cada vez ms a la
discontinuidad, pero no desaparecen, incluso en el lmite
cuando se considera la serie completa.

6.

Con = 2/T, su serie de Fourier.

Si f es continua en un punto t, entonces la serie de Fourier

converge en ese punto a f(t), o sea:

Si f tiene una discontinuad de salto en un punto t,

entonces la serie de Fourier converge en ese punto al punto
medio del salto, o sea:

Explicar detalladamente las condiciones de Dirichlet y

el teorema de la convergencia.

Condiciones de Dirichlet:
Las series de Fourier pueden usarse para representar una
funcin para la cual no es posible un desarrollo de Taylor.
Las condiciones particulares que debe reunir una funcin f (t),
a fin de que pueda representarse mediante una serie de Fourier,
se conocen como condiciones de Dirichlet y son las siguientes:
i.

La funcin f(t) debe ser peridica.

ii.

La funcin debe ser monovaluada y continua, excepto

(posiblemente)
en
un
nmero
finito
de
discontinuidades finitas.

iii.

La funcin debe tener solamente un nmero finito de

mximos y mnimos dentro de un periodo T; y

iv.

La integral de |f(t)| sobre un periodo T, debe converger.

Si se satisfacen las condiciones anteriores entonces la serie de

Fourier correspondiente converge a f(t) en todos los puntos en
que f(t) es continua.
Vale la pena mencionar que cuando tenemos situaciones
fsicas (reales), las tres ltimas condiciones de Dirichlet casi
siempre se cumplen, no as la primera de ellas, ya que no todas
las funciones son peridicas. Sin embargo, en muchas
situaciones es posible representar una funcin no peridica
como una serie de Fourier mediante la manipulacin de la
funcin para transformarla en una forma peridica.
Teorema de la convergencia de Dirichlet:
Sea f: R R una funcin peridica de perodo T que
satisface las condiciones de Dirichlet y sea:

Donde, como es habitual:

Indica el lmite de f en t por la izquierda y:

Indica el lmite de f en t por la derecha.

El teorema nos dice, en particular, que si f satisface las
condiciones de Dirichlet y redefinimos el valor de f en cada
punto de discontinuidad como el punto medio del salto, o sea,
poniendo:

Entonces la suma de la serie de Fourier coincide con f(t) en

cada t R. Por eso, en lo que sigue, y salvo que se diga lo
contrario, supondremos que esto se cumple.
7.

Explicar el fenmeno de Gibbs en la serie de Fourier

considerando la funcin salto o funcin Delta de Dirac.

Consideremos la funcin salto:

La N-sima suma parcial correspondiente a su serie de

Fourier viene dada por la expresin:

Como f es una funcin impar, a k = 0, para todo k = 0, 1, 2,. . .

Por otra parte, bk puede calcularse de forma explcita,
obtenindose el siguiente resultado:

Por tanto, para nuestra funcin salto, la suma parcial de

Fourier queda:

Por otra parte, como b k = 0 si k es par, la suma se puede

escribir tambin de la forma:

Sabemos que, si f y df son continuas, salvo en un nmero

finito de puntos de discontinuidad de tipo salto, las sumas
parciales de Fourier convergen puntualmente a f(x) en los
puntos de continuidad de f y a la media de los lmites laterales
en los puntos de discontinuidad.
Este resultado se aplica al caso particular de la funcin salto
que estamos considerando y que presenta una singularidad en
x = 0: una discontinuidad de tipo salto. En la figura apreciamos
la forma en la que, efectivamente, cuando x diferente de 0, las
series de Fourier aproximan el valor de la funcin en x,
mientras que en x = 0 convergen a la media de los lmites
laterales, nula en este caso puesto que:
[f (0) + f (0+)]/2 = (1 1)/2 = 0
En este punto de discontinuidad x = 0 se aprecia tambin con
claridad el fenmeno de Gibbs. En efecto, se observa
claramente que la grfica de la suma parcial de Fourier excede a
la de la funcin salto en el punto de discontinuidad. Por
ejemplo, a la derecha del punto x = 0 se ve como la grfica de la
suma parcial de Fourier supera con nitidez a la de la funcin
salto.

Y dibujando la grfica de la suma parcial de Fourier de la

funcin salto, para N = 30

En la siguiente figura, se puede observar cmo las grficas de

las sumas parciales sobresalen por debajo de la grfica de f(x),
en las proximidades del punto (0,-1).

Y finalmente:

bn

20

[ sen(n ) 2 sen(n )]
2 2
2
n

Por lo tanto, tenemos que la ecuacin del pulso es:

f (t ) (bn ) * sen(
n 1

8.

n * * t
)
10

Desarrolle analticamente el espectro de frecuencias

para la seal asignada.
V. SIMULACIN

Funcin:
Pulso triangular impar (amplitud 10 Vpp, periodo
20 ms, duracin 20 ms)
Dado que la funcin es impar, entonces podemos reducir el
anlisis de la serie de Fourier; donde a0=0, an=0 y

bn

4
T

T /2

f (t ) * sen(n * w

* t )dt

Entonces analizando bn para el periodo T=20:

5

10

4
bn [ ( t ) sen(nw0 t ) dt (t 10) sen(nw0 t ) dt ]
T 0
5
Se obtiene:

bn

4
[ sen(10nw0 ) 2sen(5nw0 )]
Tn 2 w02

Funcin:
Pulso triangular impar (amplitud 10 Vpp, periodo
20 ms, duracin 20 ms)
Primero mostraremos la grfica de la funcin triangular
pedida mediante la siguiente codificacin:
x=-10:0.005:10;
f=(x<=-5).*(x+10)+(x>-5&x<=5).*(-x)+(x>5).*(x-10);
plot(x,f,'r'),grid on
con lo cual se obtiene:

Y finalmente comparamos ambas grficas:

Ahora simulamos la serie de Fourier de esta funcin triangular
impar, mediante el siguiente cdigo:

x=-10:0.005:10;
suma=0;
b=zeros(1,3);
for k=1:3
b(k)=20/(k^2*pi^2)*(sin(k*pi)-2*sin(k*pi/2));
suma=suma+b(k)*sin(k*pi/10*x);
end

x=-10:0.005:10;
f=(x<=-5).*(x+10)+(x>-5&x<=5).*(-x)+(x>5).*(x-10);
suma=0;
b=zeros(1,3);
for k=1:3
b(k)=20/(k^2*pi^2)*(sin(k*pi)-2*sin(k*pi/2));
suma=suma+b(k)*sin(k*pi/10*x);
end
plot(x,f,'r',x,suma,'b-'),grid on

plot(x,suma,'b-'),grid on

As obtenemos esta grfica:

VI.

BIBLIOGRAFA

Zoltowski, Michael. Signals and Systems Purdue University.

Feb 4 2012,
https://engineering.purdue.edu/~mikedz/ee301/ee301.html
Series de Fourier. AMPLIACIN DE MATEMTICAS.
Departamento de Matemtica Aplicada II. Universidad de
Sevilla. 2008.
http://personal.us.es/contreras/practica3.pdf
Edwards, Henry Penney, David. Ecuaciones
Diferenciales. Editorial Prentice Hall, 4ta edicin. Pg. 608610.
http://rpduarte.fisica.uson.mx/archivos/curso3/06MetMatFisI.pdf
http://verso.mat.uam.es/web/ezuazua/documentos_public/archiv
os/personal/conferencias/cubo.pdf
http://personales.us.es//contreras/practica3.pdf
J.W. Gibbs. Fouriers series, cartas en Nature, 59, (1898), p. 606
y 59, (1899), p.606. (Tambin en Collected Works, v. 2,
Longmans, Green and Co., 1931, pp. 258-260.)