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Transformada Temario
Transformada Temario
Transformada Temario
Transformada de Fourier
Sea f (t) una funcin absolutamente integrable y continua a trozos en todo intervalo finito
del
eje t, podemos definir de la siguiente manera una nueva funcin F (), llamada
transformada
de Fourier de f.
Definicin. Se define la transformada de Fourier de la funcin f (t) como:
Problema
Calcule la transformada de Fourier de la funcin f (t) definida como:
Podemos escribir:
Donde hemos considerado que la integral de - a 0 se anula porque en ese intervalo f(t) =
0.
La ltima integral se puede escribir como:
Traslacin:
Derivada de la transformada:
O sea, es una funcin confinada en el origen y que tiene un valor tendiendo a infinito es
este punto. Adems, el rea de esta funcin para cualquier intervalo que abarque el origen,
en general de - a +, es la unidad. Obviamente es muy difcil relacionar un impulso con
una seal fsica, sin embargo, se puede pensar en la funcin impulso como un pulso de
duracin despreciable y amplitud finita.
La funcin impulso se suele representar con una flecha y nmero a su lado, indicando ste
el rea de ese impulso, 1 en el caso del impulso unitario, y no su amplitud, ya que esta
ltima es siempre infinita.
La funcin escaln es muy til para representar discontinuidades. Por ejemplo, una funcin
con una discontinuidad, se puede poner como una funcin continua ms un escaln de
altura la de la discontinuidad.
Teorema de convolucin
, podemos escribir:
son las
Transformada Z
En las matemticas y procesamiento de seales, la Transformada Z convierte
una seal real o compleja definida en el dominio del tiempo discreto en una representacin
en el dominio de la frecuencia compleja.
El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podra
llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre ms adecuado para la
TZ podra haber sido "Transformada de Laurent", ya que est basada en la serie de Laurent.
La TZ es a las seales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las seales de tiempo
continuo.
La definicin matemtica de la transformada Z es la siguiente:
Transforma una seal en tiempo discreto x(n) en una funcin polinmica compleja de
variable compleja.
Forma alternativa de representar la seal. Los valores de la seal pasan a ser los
coeficientes de un polinomio en la variable compleja z.
Transformada Z Unilateral
Tomemos una seal energa cualquiera y en tiempo continuo f (t) como la mostrada. Tal
seal debe estar limitada en banda segn lo indica el teorema de muestreo de Nyquist.
f (t)
Entonces se aplica a la seal cualquiera f (t), el tren causal de impulsos para muestrearla
con un periodo de . En forma de ecuacin se tiene que:
Para lograr que las muestras contenidas en la funcin fs (t) sean representativas de la
funcin original, se debe respetar el teorema de Nyquist, es decir, la frecuencia de
muestreo es cuando menos dos veces el doble de la frecuencia mxima de la seal. El
proceso continua con la introduccin de f (t) a la sumatoria muestreando su argumento de
tiempo:
Transformada Z: convergencia
X(z) es una serie de potencias, y puede haber valores de z en los que no converge. El
conjunto de puntos en los que X(z) converge se llama Regin de convergencia (ROC)
Si existe r1< tal que la 1 suma converge, converger para r< tal que la 2 suma
converge, converger para r>r2
Por tanto la ROC ser una regin de forma anular, es decir:
r<z<r
Transformada inversa Z
La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega el mismo papel que la
transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo. Para que la
transformada Z sea til, se debe estar familiarizado con los mtodos para hallar la
transformada Z inversa.
La notacin para la transformada Z inversa ser Z-1. La transformada Z inversa de X[Z] da
como resultado la correspondiente secuencia X[n].
Existen cuatro mtodos para obtener la transformada Z inversa y sern:
1. Mtodo de la Divisin Directa.
2. Mtodo Computacional.
3. Mtodo de expansin en fracciones parciales.
4. Mtodo de la Integral de inversin.
El mtodo de la divisin directa proviene del hecho de que si X[Z] est expandida en una
serie de potencias de Z-1, esto es s
Entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente, los valores de X[n] se pueden
hallar por inspeccin para n= 0, 1, 2,...
Problema
Halle X[n] para n = 0, 1, 2, 3, 4, cuando:
Solucin
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene:
X[Z]=10Z-1+17Z-2+18.4Z-3+18.68Z-4+ ...
Al comparar esta expansin X[Z] en una serie infinita