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UNIVERSIDAD DE CUENCA
Calculo Integral

Valeria Elizabeth Sumba Landy

valeria.sumba@ucuenca.edu.ec

Abstract— Se estudian las integrales impropias sobre la base del cálculo de integrales La integral impropia ∫𝑎
+∞
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 es convergente si existe y es finito
definidas y el límite de funciones. Es decir, una integral impropia es el límite de una integral 𝑡
definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número lim 𝐹(𝑡) = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
real específico, a →∞, o a →−∞. En algunos casos, la integral de “a” a “c” ni siquiera está 𝑡→+∞ 𝑡→+∞ 𝑎
definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son
ambas infinitas, sin embargo, el límite puede existir. Estos casos corresponden a las
llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse y si ese límite es L se dice que el valor de la integral impropia es L. Es
excepto como límites. Al estudiar las series infinitas, uno de los primeros criterios de decir,
convergencia que se presentan es el Criterio de la Integral.
+∞

I. OBJETIVOS 𝐿=∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑎
o Conocer conceptos generales de integrales impropias.
o Poner en práctica los conceptos de integrales impropias en Si el limite anterior es infinito (+∞ o −∞) se dice que la integral impropia
un ejercicio. es divergente [1].
De forma análoga se definen las integrales impropias de primera
especie en intervalos de la forma (−∞, b] para funciones f: (−∞, b]→R
II. INTRODUCCION integrables en [t, b], para todo t ∈ R, y las representamos por
𝑏
En la integral de Riemann se impusieron dos condiciones ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
−∞
fundamentales que son:
1. Se define en el intervalo cerrado y acotado [a, b], a < b. Definición 2
2. Se define para funciones acotadas en [a, b] Sea f: R → R integrable en todo intervalo cerrado de R. Diremos que
El propósito de esta sección, es extender la noción de integral al +∞
∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 es convergente si existe algún a ∈ R tal que las
caso de intervalo no acotados, y al caso de funciones no acotadas
integrales
sobre un intervalo acotado. Estas dos extensiones dan origen a las 𝑎 +∞
llamadas integrales impropias de primera y segunda especie ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑦 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥,
respectivamente. −∞ 𝑎
+∞
son ambas convergentes. En ese caso su valor es ∫−∞ 𝑓(𝑥) =
𝑎 +∞
∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
III. MARCO TEORICO
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de CRITERIOS DE CONVERGENCIA
integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de
integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas Criterio de comparación:
particularidades. Las integrales impropias no son realmente una nueva Sean f, g: [a, b) → R dos funciones continuas y positivas
forma de integrales, sino una extensión natural a las propiedades de la 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) para todo x∈ [a, b). Entonces, para las integrales
integral y un replanteamiento de nuestro concepto de área bajo la 𝑏 𝑏
curva [1]. impropias∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 e ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 , se verifica que:
Definición 1.
𝑏
1. Si la integral∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 converge, entonces la integral
𝑏 𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 también converge.
𝑏
𝑎
2. Si la integral ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 diverge, entonces la integral
es impropia si se presenta uno de los siguientes casos: 𝑏
∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 también diverge.
1. a = - ∞ o b = ∞, a = - ∞ y b = ∞
2. f (x) no es acotada en alguno de los puntos de [a, b], dichos
puntos se llaman singularidades de f (x).

Calculo Integral
 2

Es más, si la función f no es positiva, pero |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑔(𝑥) para todo Área:

𝑏
x∈[a,b). Entonces, la integral ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 converge si la integral 1
1
𝑏 ∫ √ 𝑑𝑥
∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 CONVERGE [1]. 0 𝑥(1 − 𝑥)
Luego:
𝑏
Criterio de comparación por paso al límite: 1
lim+ [ lim− (∫ √ 𝑑𝑥)]
Sean f ,g :[a,b) →dos funciones continuas y positivas tales que existe 𝑎→0 𝑏→1 𝑎 𝑥(1 − 𝑥)
𝑓(𝑥) 𝑏
𝐿 = lim − . Entonces, para las integrales impropias ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Integrar:
𝑥→−𝑏 𝑔(𝑥)
𝑏
e ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 se verifica que: 𝑏
1
∫ √ 𝑑𝑥
𝑎 𝑥(1 − 𝑥)
𝑏
 Si 0 < 𝐿 < ∞, las dos integrales ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 y
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 tienen el mismo carácter, es decir, la Usando sustitución:
1
𝑏
integral∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 converge si, y sólo, si la integral 𝑢 = √𝑥 y 𝑑𝑢 = → 𝑑𝑥 = 2√𝑥
2√𝑥
𝑏
∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 , converge.
𝑏
 Si L = 0 y la integral ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 converge, entonces la 𝑏
1
𝑏 lim+ [ lim− (2 ∫ 𝑑𝑢)]
integral ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 también converge. 𝑎→0 𝑏→1 𝑎 √1 − 𝑢2
𝑏
 Si L=∞ y la integral ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 diverge, entonces la integral
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 también diverge[1]. Entonces:

𝑏
Ejercicio: lim [ lim (2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑢))]
𝑎→0+ 𝑏→1− 𝑎
1
Calcular el área bajo la curva de la función 𝑦 2 = ,
𝑥(1−𝑥) 𝑏
𝑦 = 0 e identificar sus asíntotas: lim+ [ lim−(2𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛(√𝑥))]
1 𝑎→0 𝑏→1 𝑎
𝑦2 = , esto es:
𝑥(1−𝑥)
Por el teorema fundamental del cálculo:
1
𝑦=√
𝑥(1 − 𝑥)
lim [ lim (2𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛(√𝑏))] − lim+ [ lim−(2𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛(√𝑎))]
𝑎→0+ 𝑏→1− 𝑎→0 𝑏→1

Dominio: la función no existe cuando x=0 y x=1

Como:
Por tanto: D(x)= ( 𝑥/𝑥𝜖 (0 < 𝑥 < 1)) 𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0) = 𝑦 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(1) = 0
2
Asíntotas verticales:
Con x=0 ∴2 ∗ = 𝜋
𝜋
2
1
lim+ √ = +∞
𝑥→0 𝑥(1 − 𝑥)

x=1

1
lim √ = +∞
𝑥→1− 𝑥(1 − 𝑥)

∴ 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1

Asíntotas horizontales:
𝑓(𝑥) = 𝑏; 𝑦; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑁, 𝑠𝑖
lim
𝑥→+∞ 𝑥 > 𝑁, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) ≠ 𝑏

𝑓(𝑥) = 𝑏; 𝑦; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑁, 𝑠𝑖 Gráfica:

lim
𝑥→−∞ 𝑥 < 𝑁, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) ≠ 𝑏
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IV. CONCLUSIONES
 A lo largo del trabajo que realizamos hemos utilizado
habilidades muy importantes como: buscar información,
aplicar conocimientos adquiridos a la resolución de
ejercicios.
 Es necesario tener en cuenta los criterios de convergencia
para las integrales impropias.
 Se concluye que, para poder resolver los ejercicios de
integrales impropias, se debe tener conocimiento de temas
previos como indeterminaciones y límites.

V. RECOMENDACIONES
.
 Revisar conceptos que no están muy claros de límites,
indeterminaciones, etc.

VI. REFERENCIAS

[1] J.L.Quintero. Integral Impropia. (2011, junio). Departamento de

matemática Aplicada. [Online]. Available:
https://www.joseluisquintero.com/CalculoII/seccion05/tema3/TE
MA%203.pdf