P1 EQ Gabarito
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P1 EQ Gabarito
Gabarito - P1
(a) Dadas as restrições impostas para o domı́nio de f1 , esta função é uma função
contı́nua?
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Cálculo Diferencial e Integral I (MAC118)
Prova 1 – 20 de setembro de 2023 (continuação)
π
O gráfico de f2 apresenta apenas assı́ntotas horizontais. São estas y = −
2
π π π
e y = , pois lim arctg (x) = − e lim arctg (x) = . Isso também pode
2 x→−∞ 2 x→∞ 2
ser visto pelo gráfico ilustrado no item c e pelo fato da função inversa de
π π
y = arctg (x) (y = tg (x)) possuir como assı́ntotas verticais x = − e x = ,
2 2
conforme justificamos no item b.
Note que, não faz sentido avaliarmos a existência de assı́ntotas verticais no gráfico
de f2 , pois seu conjunto imagem é limitado.
Questão 2 (2 pontos)
Seja:
3
x + 2 − a, se x < 1
f (x) = 2, se x = 1
√
x + b, se x > 1
Encontre os valores das constantes a e b de modo que f (x) seja contı́nua em todo o
seu domı́nio. Assuma que o domı́nio de f contempla apenas valores reais maiores ou
iguais a zero.
A função f (x) é função construı́da por partes e, visto que, o domı́nio de f (x) compre-
ende apenas valores maiores ou iguais a zero, sabemos que, cada uma destas partes
é uma função contı́nua. O único valor de x problemático é o valor em que a função
se ramifica, sendo este x = 1. Logo, para que f (x) seja contı́nua, basta que ela seja
contı́nua em x = 1. Avaliando a continuidade neste ponto, temos que:
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Cálculo Diferencial e Integral I (MAC118)
Prova 1 – 20 de setembro de 2023 (continuação)
2 = 1 − a −→ a = −1
Portanto, concluı́mos que, para que f (x) seja contı́nua em todo seu domı́nio, a deve
ser igual a −1 e b igual a 3.
Questão 3 (2 pontos)
Calcule os seguintes limites:
x3 − 5x + 4
(a) lim
x→1 x3 − 1
Ao tentarmos resolver este limite, vamos chegar na seguinte indeterminação:
x3 − 5x + 4 0
lim “ = ”
x→1 x3 − 1 0
Logo, precisamos reescrever este limite a fim de nos livrarmos desta indeter-
0
minação. Visto que chegamos na indeterminação , é possı́vel reescrever ambos
0
os polinômios desta função racional de forma que a expressão (x − 1) apareça.
Para a expressão do denominador, podemos usar a diferença de dois cubos, que é
dada por a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2 ), onde, neste caso, a = x e b = 1. Logo:
x3 − 1 = (x − 1) · (x2 + x + 1)
Para a expressão do numerador existem várias formas de realizar esta simpli-
ficação. Prossigamos reescrevendo esta expressão da seguinte forma:
x3 − 5x + 4 = x3 − x − 4x + 4
Realizando uma fatoração por agrupamento, temos:
x3 − x − 4x + 4 = x(x2 − 1) + 4(1 − x) ⇒
x(x − 1)(x + 1) − 4(x − 1) ⇒
(x − 1)(x(x + 1) − 4) ⇒
(x − 1)(x2 + x − 4)
Reescrevendo e recalculando o limite inicial, temos:
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Cálculo Diferencial e Integral I (MAC118)
Prova 1 – 20 de setembro de 2023 (continuação)
x3 − 5x + 4 (x − 1)(x2 + x − 4) (x2 + x − 4) 2
lim 3
= lim 2
= lim 2
=−
x→1 x −1 x→1 (x − 1)(x + x + 1) x→1 (x + x + 1) 3
√ √
4x2 + 9 − x2 − 9
(b) lim
x→∞ 6x
Ao tentarmos resolver este limite, vamos chegar na seguinte indeterminação:
√ √
4x2 + 9 − x2 − 9 ∞−∞
lim “=”
x→∞ 6x ∞
Prossigamos então com a seguinte simplificação:
√ √
q q
9 9
4x2 + 9 − x2 − 9 x2 4 + x2
− x2 1 − x2
lim = lim
x→∞ 6x x→∞ 6x
Como
√ x está indo para o infinito de valores positivos, podemos garantir que
x2 = x. Portanto, podemos aplicar a seguinte simplificação:
q q q q
9 9 9 9
x 4+ x2
−x 1− x2
x 4+ x2
− 1− x2
lim = lim ⇒
x→∞ 6x x→∞ 6x
q q
9 9
4+ x2
− 1− x2 1
lim =
x→∞ 6 6
Questão 4 (2 pontos)
Prove que a equação ex + x + 2 = 0 possui solução.
Queremos provar que a equação acima possui um raiz, ou seja, que existe algum valor
c tal que f (c) = 0. Vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário para provar
tal fato. Sabemos que a função f (x) = ex + x + 2 é uma função contı́nua em todo o
seu domı́nio, pois a mesma se trata de uma soma de outras funções contı́nuas. Logo,
precisamos encontrar algum valor a tal que f (a) < 0 e algum valor b tal que f (b) > 0.
Consideremos a = −3 e b = 0.
Como f (x) é contı́nua no intervalo [−3, 0] e f (−3) ̸= f (0), pelo Teorema do Valor
Intermediário, ∃ c ∈ (−3, 0) tal que f (c) está entre f (−3) e f (0), ou seja, existe c tal
que f (c) = 0.
Questão 5 (2 pontos)
Esboce os gráficos das funções abaixo utilizando as técnicas de deslocamentos no
plano vistas em aula..
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Cálculo Diferencial e Integral I (MAC118)
Prova 1 – 20 de setembro de 2023 (continuação)
(a) f (x) = |x + 2| − 3
1
(b) g(x) = − +4
x−1
1
Figura 3: Gráfico de g(x) = − + 4.
x−1
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