Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

Métodos Determinı́sticos II
1o Semestre de 2018
Exercı́cios Programados 1

Caro aluno, estamos iniciando mais um semestre e gostaria de lhes dar as boas vindas!
Ao longo desse semestre, estarei junto com vocês estudando a disciplina Métodos Determinı́sticos
II.
Primeiramente, farei uma revisão de alguns conteúdos que costumam ser estudados no Ensino
Médio, mas que já foram vistos em Métodos Determinı́sticos I. É necessário que estes conceitos estejam
bem compreendidos e naturalizados para que você acompanhe os novos conceitos do Cálculo Diferencial
e Integral, que pretendo introduzir.
Lembro que uma boa maneira de se estudar Matemática é reproduzir o que já foi feito, buscando
entender o raciocı́nio envolvido em cada um dos passos. Dessa forma, tentar refazer as soluções dos
exemplos e reescrever as definições é uma boa estratégia para fixar o conteúdo, e por consequência,
aprimorar o domı́nio da linguagem matemática. Além disso, isso o ajudará a comunicar-se de forma
correta e precisa.
Acreditamos que o seu principal objetivo seja uma boa formação. Para tanto, organize o seu
tempo de estudo e seja disciplinado. Sobretudo, não permita o acúmulo de dúvidas! Utilizarei os
Exercı́cios Programados (EP) para direcionar o seu estudo. Por isso, é importante que você os resolva
semanalmente. Eles também são o nosso canal de comunicação, pois toda vez que surgirem dúvidas
você deve me comunicar, para que eu possa explicar para você, e acrescentar exercı́cios que te levem
a entender a questão em mais etapas.
Nessa disciplina é importante que vocês tenham contato com os tutores presenciais e se não puderem
pelo menos com os tutores à distância. Uma vez que várias técnicas de cálculo e de como se expressar
são mais simples de se adquirir em um contato pessoal, já sem o contato você terá que demandar um
esforço muito maior e mais tempo.
Nesta primeira semana faremos uma revisão sobre funções; domı́nio, contradomı́nio e composição
de funções e estudo de suas inversas, assim como o estudo do sinal de uma função. Caso seja necessário
você deve fazer uma revisão das aulas 12 a 14 do módulo de Métodos Determinı́stico I.
Bom estudo!

Funções (Revisão)

Definição Uma função f de um conjunto A em um conjunto B é uma correspondência que a cada

elemento x de A associa, através de uma regra, um único elemento y de B. Denotamos y = f (x).
O conjunto A é chamado domı́nio de f , denotado por D(f ) ou Df . O conjunto B é chamado de
contradomı́nio de f , denotado por c(f ).
O subconjunto do c(f ) de todos os valores y = f (x) é chamado de imagem de f . Isto é, a imagem
de f é o conjunto IM (f ) = {y ∈ c(f ) : y = f (x), x ∈ D(f )}.
Exemplo Considere F : A → B cuja regra é x 7→ f (x) = x2 onde A = {−2, −1, 0, 1, 2} e B =
{−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}. Encontre o domı́nio de f o contra domı́nio e a imagem de f .
O domı́nio de f é D(f ) = A. O contradomı́nio é c(f ) = B e IM (f ) = {0, 1, 4}

1
Composição de funções
A função f , composta com a função g, que denotamos f ◦ g , é a função definida por (f ◦ g)(x) =
f (g(x)). Seu domı́nio é dado por D(f ◦ g) = {x ∈ D(g) : g(x) ∈ D(f )}.
Atenção! só é possı́vel fazer a composição f ◦ g se a imagem da g estiver contido no domı́nio da f .
Observação: O raciocı́nio é análogo para (g ◦ f )(x), (f ◦ f )(x) e (g ◦ g)(x).
Exemplo Sejam f : R → R e g : R → R, definidas por
{ { 2
−x se x ≤ 0 x −1 se x<2
f (x) = e g(x) =
x2 se x > 0 x+1 se x≥2

Encontre (f ◦ g)(x) e seu domı́nio.

Solução Ao fazermos {
−g(x) se g(x) ≤ 0
(f ◦ g)(x) =
[g(x)]2 se g(x) > 0
Repare que não existe restrição para o cálculo tanto de f quanto de g, portanto, o domı́nio da
composta (f ◦ g)(x) é dado por D(f ◦ g) = R.
Para determinar f ◦ g, precisamos descobrir os intervalos onde a função g(x) é negativa, positiva
ou nula. Para isto, faremos o estudo de seus sinais.

• Para x < 2, g(x) = x2 − 1. O sinal de x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) está representado abaixo:

x ≤ −1 −1 < x < 1 x ≥ 1
x−1 − − +
x+1 − + +
(x − 1)(x + 1) + − +

Como x < 2, então o sinal de g(x) = x2 − 1 é:

{
g(x) ≤ 0 se −1 ≤ x ≤ 1
g(x) > 0 se x < −1 ou 1 < x < 2

• Para x ≥ 2, g(x) = x + 1.
O sinal de x + 1 pode ser visto acima. Como estamos interessados nos valores de x ≥ 2, vemos
que nesse intervalo g(x) > 0.

Dessa forma, o domı́nio de f ◦ g fica:

 2
{ 
 (x − 1)2 se x < −1
−g(x) g(x) ≤ 0 
se −(x2 − 1) se −1 ≤ x ≤ 1
f (g(x)) = =
[g(x)]2 se g(x) > 0 
 (x2 − 1)2 se 1<x<2

(x + 1)2 se x≥2

2
Figure 1: Gráfico de (f ◦ g)(x)

Inversão de Funções
Duas operações são inversas quando uma ”desfaz” o que a outra fez. Por exemplo, a adição e a
subtração são operações inversas. Já no universo das funções, duas funções são ditas inversas quando
sua composição resulta na função identidade. Como sabemos, para se definir a função inversa de uma
função é necessário (e suficiente) que esta seja bijetora.
Assim, é possı́vel definir função inversa da seguinte maneira:
Definição: Seja f : A → B uma função bijetora. A função g : B → A tal que (f ◦g)(x) = (g◦f )(x) = x
é chamada de função inversa de f . Denotamos g(x) = f −1 (x).
Exemplo: Seja f a função real definida por, f (x) = x2 − 6x + 8 para todos os valores x > 3. Construa
o gráfico de f , conclua que existe a inversa f −1 e determine o valor de f −1 (3).
Solução: Como sabemos, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. É importante destacar
que, considerando R como domı́nio, uma parábola não é invertı́vel, uma vez que não é injetora. Pois,
com exceção do valor máximo ou mı́nimo assumido pela função, para cada valor de y da imagem de
f existem dois valores de x cuja imagem é igual a y.

Figure 2: Gráfico de f (x) = x2 − 6x + 8 e h(x) = x

Dessa maneira, para se obter uma função invertı́vel é preciso fazer uma restrição no domı́nio.
Observando o desenho, se percebe que o vértice é o ponto importante para a definição do novo
domı́nio. Usaremos o valor do vértice para ser o extremo (superior ou inferior) do intervalo para definir
a função quadrática como uma função injetora.
No nosso caso vamos admitir que o domı́nio de f é {x ∈ R : x > 3}, ou na notação de intervalo,
fica (3, +∞).
Nesta situação f : (3, +∞) → (−1, +∞) é uma função bijetora e, portanto, admite inversa.
Para encontrarmos a fórmula da inversa de f , chame a variável independente x de y e temos

x = y 2 − 6y + 8 ⇔ y 2 − 6y + 8 − x = 0,

vamos tentar escrever y em função de x, neste caso vamos precisar resolver a equação do segundo grau

3
em y e ficamos com √
6+ 36 − 4(8 − x) √
y= =3+ 1+x
2
Abaixo vamos fazer o gráfico de f (x), y = x (pontilhada) e f −1 (x)

Veja que o gráfico de f (x) e de f −1 (x)

são reflexões um do outro no gráfico da
reta y = x.
Pelo gráfico se percebe que y = 3 temos
que f −1 (3) = 5. Este valor pode ser
obtido algebricamente por resolver

x2 − 6x + 8 = 3 ⇔ x ∈ {1, 5}

Como só podemos usar valores x > 3,

logo f −1 (3) = 5.

Abaixo estão os exercı́cios propostos para esta unidade.

Jones Colombo
Coordenador de Métodos Determinı́sticos II

Questão 1: Seja F , definida por


 1−x se x≤1
F (x) = 5 se 1<x≤3

2x + 1 se x > 3.

a) Faça o esboço do gráfico de F ;

b) Determine o domı́nio e a imagem de F ;
c) Analise o comportamento (crescimento) de F nos intervalos de definição.

Questão 2: Para cada par de funções a seguir, determine f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, e g ◦ g, explicitando seus

domı́nios: √
a) f (x) = x − 5 e g(x) = x2 − 1 d) f (x) = x e g(x) = x2 − 1
√
b) f (x) = x e g(x) = 2x − 3 e) f (x) = x+1
x−1 e g(x) = x
1
1 x
c) f (x) = x+1 e g(x) = x−2

Questão 3: Sejam f e g funções definidas pelos gráficos abaixo e considerando D(f ) = D(g) = R,
encontre (f ◦ g)(−2) e (g ◦ f )(4).

4
 Figure 3: Gráfico de f (x) Figure 4: Gráfico de g(x)

Questão 4: Determine a inversa das seguintes funções:

a) f (x) = 5x − 7 c) f (x) = 2x+3
√x−1
b) f (x) = 2x−1
x d) f (x) = 0 − x2 , 0 ≤ x ≤ 3
√
Questão 5: Se f (x) = 16 − x2 , 0 ≤ x ≤ 4. Mostre que f é a sua própria inversa.

Questão 6: 13. Um fabricante de relógios pode produzir um determinado modelo a um custo de

R$15, 00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do relógio for de x reais, então o número
de relógios vendidos por semana será dado pela expressão 125 − x.

a) Dê a expressão do custo total dos relógios vendidos por semana.

b) A partir da expressão obtida no item anterior, determine o preço de venda de cada relógio em
função do custo total.

c) Relacione a expressão encontrada no item anterior com a noção de função inversa.