CÁLCULO 1 UNIFICADO — 2024-1 — SEGUNDA PROVA – A — BOA PROVA!

x2 + 1
QUESTÃO 1 (1.5 pontos) Considerando o cálculo do limite lim 2 , determine se as seguintes justificativas
x→+∞ x − 1
são corretas ou erradas.
x2 + 1 x2 + 1 lim (x2 + 1)
2 2 x→+∞
(A) Como lim (x + 1) = lim (x − 1) = +∞, então lim 2 = 1, pois lim 2 = .
x→+∞ x→+∞ x→+∞ x − 1 x→+∞ x − 1 lim (x2 − 1)
x→+∞
x2 + 1
(B) Como lim (x2 + 1) = lim (x2 − 1) = +∞, então lim 2 = +∞, pois operações envolvendo infinito
x→+∞ x→+∞ x→+∞ x − 1
resultam em infinito.
x2 + 1
(C) Como lim (x2 + 1) = lim (x2 − 1) = +∞, então não existe o limite lim 2 .
x→+∞ x→+∞ x→+∞ x − 1
x2 1 + x12 1 + x12


x2 + 1
(D) Reescrevendo a função, segue que lim 2 = lim 2 = lim = 1.
x→+∞ x 1 − 12 x→+∞ 1 − 12


x→+∞ x − 1
x x
(E) Como lim (x2 + 1) = lim (x2 − 1) = +∞, e as funções envolvidas são deriváveis, podemos usar a Regra de
x→+∞ x→+∞
x2 + 1 2x
L’Hospital, concluindo que lim = lim = 1.
x→+∞ x2 − 1 x→+∞ 2x

Resposta:
(A) errada
(B) errada
(C) errada
(D) correta
(E) correta

1
QUESTÃO 2 (1.5 pontos) Calcule a derivada de f (x) = 5 ln (x + ex ) + cos


x .

Resposta:

sen x1


′ 5 x
f (x) = (1 + e ) + .
x + ex x2

√
QUESTÃO 3 (1.5 pontos) Considere a função f (x) = 5x2 + 8x − 4.

(a) Linearize f a partir do ponto x0 = 1.

(b) Use a linearização encontrada para calcular um valor aproximado de f (1, 02).

Resposta:
√
(a) A derivada de f (x) = 5x2 + 8x − 4 é
1 5x + 4
f ′ (x) = √ (10x + 8) = √
2
2 5x + 8x − 4 5x2 + 8x − 4
√ 5+4
e assim temos f (1) = 5 + 8 − 4 = 3 e f ′ (1) = √ = 3. A linearização de f (x) em x0 = 1 é dada por
5+8−4
′
L(x) = f (1) + f (1)(x − 1). Substituindo os valores encontrados, obtemos:

L(x) = 3 + 3(x − 1) = 3 + 3x − 3 = 3x
(b) A partir do resultado encontrado no item anterior, podemos estimar que f (1, 02) ≈ L(1, 02) = 3.(1, 02) = 3, 06.
  2 
x + 4x − 12

log2
 , 0≤x<2
QUESTÃO 4 (1.5 pontos) Seja a função f (x) = x−2 . Verifique se f (x) é
 9

, x≥2
x+1
contínua em x = 2. Justifique.

Resposta: Para que f (x) seja contínua em x = 2 é necessário que f (2) = lim f (x). Verificamos que f (2) = 3.
x→2
Além disso, encontramos os limites laterais como:
 
(x − 2)(x + 6)
lim f (x) = lim log2 = log2 (8) = log2 (23 ) = 3
x→2 − x→2 − x − 2
9
lim f (x) = lim =3
x→2+ x→2+ x+1
Como os limites laterais são iguais, temos a existência do limite. Ainda, f (2) = lim f (x). Portanto, a função f (x)
x→2
é contínua em x = 2.

QUESTÃO 5 (2.5 pontos)

1 2x 2
Considere a função f (x) = . Então f ′ (x) = − e f ′′ (x) = 6x + 8 .
x2 − 4 (x2 − 4)2 (x2 − 4)3
(a) Descreva o domínio da função f .

(b) Encontre as raízes da função e o ponto de interseção com o eixo y.

(c) Encontre as assintotas horizontais e verticais, caso existam.

(d) Encontre os pontos de máximo, mínimo e de inflexão, caso existam.

(e) Use as informações acima para fazer um esboço do gráfico de f .

Resposta:
a) (0.5)

Dom(f ) = {x ∈ R; x ̸= ±2}
b) (0.5)
Raízes
A função não possui raízes.

Interseção com o eixo y

Quando x = 0,
1
y=−
4

c) (0.5)
Assíntotas horizontais
1
lim =0
x→+∞ x2 − 4
e
1
lim =0
x→−∞ x2
−4
A reta y = 0 é a única assíntota horizontal ao gráfico de f .

Assíntotas verticais
1 1
lim = lim = +∞
x→2+ x2 2
− 4 x→−2− x − 4
e
1 1
lim = lim = −∞
x→2− x2 − 4 x→−2+ x2 − 4
Logo, as retas x = 2 e x = −2 são as únicas assintotas verticais ao gráfico de f .
d) (0.5)

f ′ (x) = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0.
Logo, x = 0 é o único ponto crítico. Note que

6(0) + 8
f ′′ (0) = <0
(0 − 4)3

Pelo teste da segunda derivada, x = 0 é ponto de máximo local.

Note que x = ±2 não são pontos de inflexão (o gráfico muda de concavidade nesses pontos, mas não são pontos
de continuidade).
e) (0.5)
QUESTÃO 6 (1.5 pontos)
Os proprietários de uma locadora de automóveis determinaram que, se cobrarem dos clientes x reais por dia para
alugar um carro, onde 50 ≤ x ≤ 200, o número de carros que eles alugam por dia pode ser modelado pela função
linear n(x) = 1000 − 5x. Supondo que os proprietários planejem cobrar dos clientes entre R$ 50 por dia e R$ 200
por dia para alugar um carro, quanto eles deveriam cobrar para maximizar sua receita?
Nota: Receita = Quantidade x Preço.

Resposta: Como r(x) = n(x).x temos que

r(x) = (1000 − 5x)x, x ∈ [50, 200].

Para encontrar a receita máxima vamos encontrar os pontos críticos e fazer o teste da primeira derivada.

r′ (x) = 0 ⇔ 1000 − 10x ⇔ x = 100.

Como r′ (x) > 0 quando 50 ≤ x < 100 e r′ (x) < 0 quando 100 < x ≤ 200, concluimos, pelo teste da primeira
derivada, que x = 400 é ponto de máximo local. Assim, o preço que maximiza a receita é R$100 por dia.