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o ano)
Assı́ntotas
Exercı́cios de Provas Nacionais e Testes Intermédios
Estude a função f quanto à existência de assı́ntotas horizontais ao seu gráfico e, caso estas existam,
escreva as respetivas equações.
Exame – 2021, 2.a Fase
x3
Seja h a função, de domı́nio R+ , definida por h(x) =
2x2 − ln x
Estude a função h quanto à existência de assı́ntota oblı́qua ao seu gráfico e, caso esta exista, escreva a
sua equação reduzida.
Exame – 2021, 1.a Fase
1 + xex−1
se x ≤ 1
h(x) = √
x−1
se 1 < x < 4
sen (x − 1)
Mostre, sem recorrer à calculadora, que o gráfico da função h tem uma assı́ntota horizontal e apresente
uma equação dessa assı́ntota.
Exame – 2020, 2.a Fase
2/23
ex
6. Considere a função h , de domı́nio R \ {1}, definida por h(x) =
x−1
Estude a função h quanto à existência de assı́ntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso
existam, escreva as suas equações.
Exame – 2019, 2.a Fase
e−x
7. Seja g a função, de domı́nio R \ {0}, definida por g(x) =
x
1
Seja h a função, de domı́nio R+ , definida por h(x) = g(x) + 2x − √ Sabe-se que o gráfico da função h
x
tem uma assı́ntota oblı́qua.
h π h
8. Seja h a função, de domı́nio − , + ∞ , definida por
3
2
sen x
π
se − ≤ x < 0
sen (x2 )
3
h(x) =
ex
se x ≥ 0
x+1
Sabendo que a função h é contı́nua no ponto 0, estude a função h quanto à existência de assı́ntotas do
seu gráfico.
Exame – 2018, Ép. especial
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3/23
ln x
10. Considere a função f , de domı́nio R+ , definida por f (x) =
x
Estude a função f quanto à existência de assı́ntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados,
recorrendo a métodos analı́ticos, sem utilizar a calculadora.
Exame – 2017, 2.a Fase
f (x) × g(x)
Qual é o valor de lim ?
x→+∞ x
3π
12. Seja f a função, de domı́nio − , + ∞ , definida por
2
1 2 3π
4 x + cos x se − 2 < x < 0
f (x) =
ln (ex + x) se x ≥ 0
i π h
13. Seja f a função, de domı́nio − , + ∞ , definida por
2
2 + sen x π
cos x se − < x ≤ 0
2
f (x) =
x − ln x se x > 0
Estude, recorrendo a métodos analı́ticos, a função f quanto à existência de assı́ntota oblı́qua do seu
gráfico.
Exame – 2016, 2.a Fase
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4/23
x−1
15. Considere a função f , de domı́nio ] − ∞, − 1[∪]1, + ∞[ definida por f (x) = ln
x+1
Estude a função f quanto à existência de assı́ntota horizontal, recorrendo a métodos analı́ticos, sem
utilizar a calculadora.
Exame – 2015, Ép. especial
Estude a função f quanto à existência de assı́ntotas horizontais do seu gráfico, recorrendo a métodos
analı́ticos, sem utilizar a calculadora.
Exame – 2015, 2.a Fase
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5/23
19. Considere, para um certo número real k, a função f , de domı́nio ] − ∞,e[, definida por
xex−2 se x ≤ 2
f (x) =
sen (2 − x) + k se 2 < x < e
x2 + x − 6
Estude, recorrendo a métodos analı́ticos, sem utilizar a calculadora, a função f quanto à existência de
assı́ntota horizontal do seu gráfico e, caso exista, indique uma equação dessa assı́ntota.
Exame – 2014, Ép. especial
6x − 1
Qual é o valor de lim ?
x→+∞ f (x)
ln(−x)
21. Considere a função f , de domı́nio ] − ∞, 0[ definida por f (x) = x − 1 +
x
Estude, recorrendo a métodos analı́ticos, sem utilizar a calculadora, a função f quanto à existência de
assı́ntotas do seu gráfico e, caso existam, indique as suas equações.
Exame – 2014, 2.a Fase
O gráfico da função f tem uma assı́ntota oblı́qua quando x tende para +∞, de equação y = x + b, com
b∈R
Determine b, recorrendo a métodos analı́ticos, sem utilizar a calculadora.
Exame – 2014, 1.a Fase
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6/23
(A) (B)
(C) (D)
Nota – Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado,
assı́ntotas desse gráfico.
Exame – 2013, Ép. especial
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7/23
1 2
(A) y = x (B) y = x (C) y = x (D) y = 3x
3 3
Exame – 2013, 1.a Fase
Estude, a função f quanto à existência de assı́ntotas verticais do seu gráfico, recorrendo a métodos
analı́ticos, sem utilizar a calculadora.
Exame – 2013, 1.a Fase
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8/23
3x + 3
√ se x ≤ 4
x2 + 9
30. Seja f a função, de domı́nio R, definida por f (x) =
ln(3x − 11)
se x > 4
x−4
• lim f (x) = 3
x→−∞
• lim+ f (x) = +∞
x→1
• lim f (x) = 2
x→1−
Em qual das opções seguintes as duas equações definem assı́ntotas do gráfico da função f ?
Estude a função f quanto à existência de assı́ntotas não verticais do seu gráfico, recorrendo a métodos
exclusivamente analı́ticos.
Exame – 2012, 1.a Fase
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9/23
(A) (B)
(C) (D)
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10/23
1 − ex−1
3 +
se x < 1
x−1
f (x) =
−x + ln x se x ≥ 1
37. Considere uma função f , de domı́nio R \ {3}, contı́nua em todo o seu domı́nio.
Sabe-se que:
• lim f (x) = 1
x→+∞
• lim f (x) = −2
x→3
• lim (f (x) + 2x) = 0
x→−∞
Em qual das opções seguintes as equações definem duas assı́ntotas do gráfico de f ?
Estude f quanto à existência de assı́ntotas verticais no seu gráfico, recorrendo a métodos exclusivamente
analı́ticos.
Exame – 2011, 2.a Fase
39. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. xOy, parte
do gráfico da função g, de domı́nio ] − 3, + ∞[
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11/23
sen (x − 1)
2 + ex − e se 0 < x < 1
f (x) =
−x
xe + 2x se x ≥ 1
42. Seja uma função f , de domı́nio R+ , e seja a reta de equação y = 1 a única assı́ntota do gráfico de f
Considere a função g, de domı́nio R+ , definida por g(x) = f (x) + x
Prove que o gráfico de g tem uma assimptota oblı́qua paralela à bissetriz dos quadrantes ı́mpares.
Exame – 2010, Ép. especial
y
44. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do
gráfico de uma função f , contı́nua, de domı́nio ] − ∞,1[
Tal como a figura sugere, a reta de equação x = 1 é assı́ntota do gráfico de f
3x
Qual é o valor de lim− ? O
x→1 f (x)
1 x
(A) −∞ (B) 3 (C) 0 (D) +∞
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12/23
x−2
x − √2x se 0 < x < 2
+
48. Seja f a função, de domı́nio R , definida por f (x) =
−x
xe + x + 1 se x ≥ 2
ex + 3
49. Considere a função g, de domı́nio R, definida por g(x) = .
ex
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13/23
y
50. Na figura ao lado, estão representadas parte do gráfico de uma
função f , de domı́nio [−3, +∞[, e parte da reta r, que é a única r
assı́ntota do gráfico de f .
f (x)
Qual é o valor de lim ? −3 O 1 x
x→+∞ x
−1
(A) −1 (B) 0 (C) 1 (D) 2
√
x2 + 4 − x se x > 0
51. Considere a função h, de domı́nio R, definida por h(x) = 2 se x = 0
e2x − 1
se x < 0
x
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14/23
Em cada uma das alternativas apresentadas abaixo, está representado, em referencial o.n. xOy, o gráfico
de uma função e, a tracejado, uma assı́ntota desse gráfico.
Em qual das alternativas pode estar representado o gráfico de g?
0 x
0 x 0 x
0 x
3x2 − 3
se x < 1
x2− 2x + 1
54. Seja f a função de domı́nio R definida por f (x) =
ln(x) − e1−x se x ≥ 1
Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à existência de assı́ntotas do seu gráfico, paralelas
aos eixos coordenados.
Indique uma equação para cada assı́ntota encontrada.
Teste Intermédio 12.o ano – 11.03.2009
y
55. Na figura ao lado está representada parte do gráfico de
uma função f , de domı́nio R, sendo y = −1 a única
assı́ntota do seu gráfico.
O x
3
Qual é o valor do lim ?
x→−∞ f (x)
−1
f
(A) −∞ (B) −3
(C) −1 (D) 3
Exame – 2008, 2.a Fase
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15/23
t
(A) −1 (B) 0 (C) 1 (D) +∞
y
58. Na figura ao lado, está representada parte do gráfico de uma função
g, real de variável real.
h(x)
O valor do lim é:
x→1 g(x)
(A) −∞ (B) +∞ (C) 0 (D) 1
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16/23
(A) (B)
y y
O x O x
(C) (D)
y y
O x O x
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17/23
(A) (B)
(C) (D)
x
ln x se 0 < x < 1
+
62. Seja a função f , de domı́nio R , definida por f (x) =
xe2−x
se x ≥ 1
Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à existência de assı́ntotas do seu gráfico.
Exame – 2006, Ép. especial
63. Seja f a função, de domı́nio ]1, + ∞[, definida por f (x) = x + x ln(x − 1).
Sem recorrer à calculadora, estude a função quanto à existência de assimptotas do seu gráfico.
Exame – 2006, 2.a fase
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18/23
1 − ln x
65. Considere a função f , de domı́nio ]0, + ∞[, definida por f (x) = (ln designa logaritmo de base e).
x
Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à existência de assı́ntotas do seu gráfico,
paralelas aos eixos coordenados.
Teste Intermédio 12.o ano – 17.03.2006
x−2
67. Considere a função f , de domı́nio R \ {3}, definida por f (x) =
x−3
Em cada uma das opções seguintes estão escritas duas equações.
Em qual das opções as duas equações definem as assı́ntotas do gráfico de f ?
(A) x = 2 e y = 1 (B) x = 2 e y = 2
(C) x = 3 e y = 1 (D) x = 3 e y = 2
Exame – 2005, Ép. especial (cód. 435)
68. Considere uma função f , de domı́nio R \ {5}, contı́nua em todo o seu domı́nio.
Sabe-se que:
• lim f (x) = 3
x→5
• lim f (x) = 2
x→+∞
• lim [f (x) − x] = 0
x→−∞
Em cada uma das opções seguintes, estão escritas duas equações, representando cada uma delas uma
reta.
Em qual das opções as duas retas assim definidas são as assı́ntotas do gráfico da função f ?
(A) y = x e y = 2 (B) y = 2 e x = 5
(C) y = x e x = 5 (D) y = −3 e x = 2
Exame – 2005, 1.a fase (cód. 435)
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19/23
ex − 1
70. Considere a função f , de domı́nio R \ {0}, definida por f (x) =
x
Sem recorrer à calculadora, estude a função f quanto à existência de assı́ntotas do seu gráfico,
paralelas aos eixos coordenados.
Exame – 2004, 2.a Fase (cód. 435)
71. Seja g uma função de domı́nio R, não identicamente nula, contı́nua em todo o seu domı́nio.
1
Seja h =
g
Relativamente ao gráfico de h, sabe-se que:
• é simétrico relativamente ao eixo Oy
• tem uma única assı́ntota vertical
• tem uma assı́ntota horizontal
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
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20/23
y f
72. Na figura ao lado está representada parte do gráfico de uma função
f de domı́nio R, contı́nua em todo o seu domı́nio.
A bissetriz dos quadrantes pares e a bissetriz dos quadrantes
ı́mpares são assimptotas do gráfico de f .
Indique em qual das figuras seguintes pode estar representada
f (x)
parte do gráfico da função g definida por g(x) =
x O x
(A) (B)
y y
O x O x
(C) (D)
y y
O x O x
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21/23
73. Considere uma função g de domı́nio [0, + ∞[, contı́nua em todo o seu domı́nio.
Sabe-se que:
• O gráfico de g tem uma única assı́ntota
g(x) 1
• lim =
x→+∞ x 2
Em qual das alternativas seguintes podem estar representadas, em referencial o. n. xOy, parte do gráfico
da função g e, a tracejado, a sua assı́ntota?
(A) (B)
y y
O x
O x
(C) (D)
y y
O x
O x
75. De uma função f , de domı́nio [0, + ∞[, sabe-se que as retas de equações y = 1 e x = 2 são assı́ntotas do
seu gráfico.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) A função f é contı́nua em todo o seu domı́nio. (B) A função |f | tem máximo absoluto
(C) O gráfico de f não tem assı́ntota oblı́qua. (D) O gráfico de −f não tem assimptota vertical
Exame – 2002, Prova para militares (cód. 435)
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22/23
1
76. Considere a função f de domı́nio R, definida por f (x) = + 2e1−x
3
Utilizando métodos exclusivamente analı́ticos, estude a função f quanto à existência de assı́ntotas do seu
gráfico paralelas aos eixos coordenados.
Exame – 2002, 2.a Fase (cód. 435)
77. De uma função h, de domı́nio R− , sabe-se que a reta de equação y = 2 é assı́ntota do seu gráfico.
h(x)
Qual é o valor de lim ?
x→−∞ ex
(A) +∞ (B) −∞ (C) 0 (D) 2
Exame – 2002, 1.a fase - 2.a chamada (cód. 435)
78. O gráfico da função f , de domı́nio R, definida por f (x) = 0,1 + 0,2e0,3x uma única assı́ntota.
Qual das condições seguintes é uma equação dessa assı́ntota?
80. De uma função g, de domı́nio R+ , sabe-se que a bissetriz dos quadrantes ı́mpares é uma assı́ntota do seu
gráfico.
g(x)
Seja h a função, de domı́nio R+ , definida por h(x) = 2
x
Prove que o eixo Ox é uma assı́ntota do gráfico de h.
Exame – 2001, 1.a fase - 2.a chamada (cód. 435)
81. Considere a função f , de domı́nio R+ , definida por f (x) = 3x − 2 ln x (ln designa o logaritmo de base e).
Estude f quanto à existência de assı́ntotas do seu gráfico, utilizando métodos exclusivamente analı́ticos.
Exame – 2001, 1.a fase - 1.a chamada (cód. 435)
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23/23
ex
84. Considere a função f , de domı́nio R \ {1}, definida por f (x) =
x−1
Estude a função f quanto à existência de assı́ntotas verticais e horizontais do seu gráfico, recorrendo
exclusivamente a processos analı́ticos.
85. Considere uma função f de domı́nio R+ . Admita que f é positiva e que o eixo Ox é assı́ntota do gráfico
1
de f . Mostre que o gráfico da função não tem assı́ntota horizontal.
f
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