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Ficha Número Seis Teorema de Funções E Sucessões Enquadradas
Ficha Número Seis Teorema de Funções E Sucessões Enquadradas
Ficha Número Seis Teorema de Funções E Sucessões Enquadradas
O teorema anterior também é válido quando se consideram limites laterais em vez de limites.
Além disso, é ainda necessário ter em conta que a imagem apresentada acima mostra que difer-
entes funções, enquadradas num dado intervalo, podem ter exatamente o mesmo limite. Além
disso, basta que o ponto a seja ponto de acumulação de domı́nio D, não sendo necessário que
haja uma vizinhança de a toda contida no domı́nio da função.
C
r
A
x
Sabe-se que:
(1) A é o ponto de interseção da circunferência com o semieixo positivo Ox;
(2) B é um ponto do primeiro quadrante que pertence à circunferência ;
(3) C é o ponto da reta OB com abcissa igual à abcissa de A.
Seja x a amplitude em radianos do arco AB apresentado na circunferência acima.
Justifique que as áreas dos triângulos [OBA] e [OAC] apresentados acima, bem como o setor
circular OAB, respeitam, respectivamente, a relação apresentada abaixo.
π
sin(x) ≤ x ≤ tan(x), ∀ x ∈ ]0, [
2
Utilize o resultado acima apresentado e justifique, recorrendo ao teorema das funções enquadradas,
para mostrar a desigualdade e igualdade apresentadas abaixo.
1 1 π
1≤ ≤ , ∀ x ∈ ]0, [
sin(x) cos(x) 2
onde (vn ) é uma sucessão tal que vn → +∞ e para todo n natural, vn > 2.
Utilize o teorema de comparação para sucessões, determine o valor de lim(un ).
3.2. Considere as sucessões (an ) e (bn ) tais que lim(an ) = −∞ e a partir de uma certa ordem
tem-se que (an ) ≥ (bn ). Qual dos seguintes não pode ser o termo geral da sucessão (bn )?
√
1 n2 n5 + 1 2−n
−√ −1
√ −
4
n8 + 3n + 3
3
−n5 + 3n + 1 n2 3n
cos(2n)
3.3. Considere a sucessão (un ) de termo geral un = .
n+1
Recorra ao teorema das sucessões enquadradas e mostre que a sucessão é um infinitésimo, isto
é, o limite quando n tende para mais infinito é igual a zero. Justifique a sua resposta através de
processos exclusivamente analı́ticos.
(A) lim g(x) = +∞ e lim + h(x) = −∞ (C) lim g(x) − lim + h(x) = −∞
x→−k− x→−k x→−k− x→−k
(B) lim g(x) × lim + h(x) = +∞ (D) lim g(x) + lim + h(x) = 0
x→−k− x→−k x→−k− x→−k
4.2. Considere que k = π. Seja h a função em R \ {−π} pela expressão apresentada abaixo.
1
h(x) = 3 × f (x) − tan(0) + sin(2π)
x
Mostre que a desigualdade apresentada abaixo é verdadeira quando x tende para mais infinito.
x2 + cos2 (x + 2π) 1
3 2
≤ h′ (x) ≤ 4 × h(x), ∀x ∈ R \ {−π}
4x − 6x + 8x − 1 x
Justifique a sua resposta através de processos exclusivamente analı́ticos.
4.3. Escreve as equações das assı́ntotas ao gráfico da função h, definido na alı́nea anterior.
Justifique a sua resposta através de processos exclusivamente analı́ticos.
4.4. Seja un a sucessão de termo geral definido em 3.3. Determine lim f (un ).
Soluções Da Ficha De Trabalho Número Seis
sin(x) tan(x) x
1.1. A[AOB] = 2
| A[OAC] = 2
| ASetor[OB] = 2
3.1. +∞
3.2. Terceira Sucessão
4.1. Alı́nea C)
Fontes De Solução Da Ficha De Trabalho Número Seis